BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG THỊ NHƯ ĐỊNH LÝ GOING - UP VÀ ĐỊNH LÝ GOING - DOWN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ UÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Người hướng dẫn khoa học TS LE THI HOAI THU
Trang 3MỤC LỤC
Mục lục Mở đầu
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Phé ctta vanh va tépé Zariski 2
1.2 Md réng va thu hep idéan 2 ee
1.3 Vanh dia phuong 2 2 eee
1.4 Vanh va médun dia phuonghéa 2
1.5 Médun hitu han sinh 2 en
1.6 Médun phang 2 Q Q Q Q Q Q Q Q v2 1.7 Mơđun hồn tồn phẳng .Ặ.Ặ 1.8 Vành địa phương day di theo top6 madic
2 Dinh ly Going — up và Dinh ly Going — down
Trang 4MỞ ĐẦU
Trong tồn bộ luận văn vành luơn được giả thiết là giao hốn, cĩ đơn VỊ
Cho ƒ: A —>P là một đồng cấu vành Với mỗi iđêan nguyên tổ q của Bb, dat p—=ƒT!{q) =qf14A Khi đĩ p là một iđêan nguyên tổ của A va idéan q được gọi là nằm trên (ling ouer) iđêan p Tà nĩi Dịnh lý Going ~ up đúng đối với ƒ nếu với hai iđêan nguyên tổ bất kỳ p và E của A sao cho pC p và với iđêan nguyên tố bất kỳ q của nằm trên p, tồn tại một iđêan nguyên tổ d của nằm trên E sao cho qC dđ Tương tự, ta nĩi Định lý Gọng - down đúng đối với ƒ nếu với hai iđêan nguyên tổ bất kỳ p và yp của A sao cho pC p và với iđêan nguyên tổ bất kỳ d của Ư nằm trên py, tồn tại một iđêan nguyên tổ q của Ư nằm trên psao cho qC đ Trong Đại số giao hốn, hai định lý này thường được sử dụng khi mở rộng dãy các iđêan nguyên tổ lên các mở rộng nguyên Hay nĩi cách khác, chúng thường
được dùng để so sánh chiều của một đại số hữu hạn sinh trên một trường
với chiều của một vành con mà nĩ nguyên trên vành con đĩ
Trang 5cho œf1A =g; (1< ¡ < n) Định lý Going - down được phát biểu dưới dang: Giả sử 4 C_B là các miền nguyên, A4 đĩng nguyên, Ư nguyên trên A, Cho pj D po D D p, lA một dãy các iđêan nguyên tổ trong A va Œq œ2 2 q„,(m < n) là một dãy các iđêan nguyên té trong B sao cho œf14 =p; (1< i < m) Khi đĩ dãy q Đ q 2Ð 2 q„ cĩ thể mở rộng thành dãy qi 2 œ2 2 q„ sao cho qœ (1Á =g; với l < ¿ < n
Cĩ rất nhiều tài liệu đề cập đến Định lý Going - up và Định lý Gọng - down (chẳng hạn [3], [4], || [6] [7] ) Mục đích của luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo liên quan để tìm hiểu, tống hợp và từ đĩ trình bay lại về hai định lý nĩi trên
Ngồi phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của luận
văn được trình bày trong hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong
chương này, chúng tơi trình bày một số khái niệm của Đại số nhằm mục
đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở Chương 2 Ngồi ra chúng tơi cịn trích dẫn một số kết quả đã cĩ dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau Chương 2: Định lý Gọng - up va Dinh lý Going - down Trong chương này chúng tõi trình bày về Dịnh lý Going - up và Định lý Going - down chủ yếu dựa vào [3] và [6] Cụ thể là chúng tối sẽ trình bày những vấn đề sau:
2.1 Giới thiệu về Dịnh lý Going - up và Dinh ly Going - down; 2.2 Dinh ly Going — up, Dinh ly Going - down và đồng cấu phẳng: 2.3 Định lý Gọng - up và mở rộng nguyên;
2.4 Định lý Gọng - down và mở rộng nguyên
Luận văn được hồn thành tại Trường Dại học Vĩnh dưới sự hướng dẫn
của cõ giáo TS Lê Thị Hồi Thu Tác giả xin được bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến cơ giáo TS Lê Thị Hồi Thu đã tận tình hướng dẫn, động viên
và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và làm
Trang 6trao đổi và chỉ dẫn cho tác giả về luận văn
Nhãn dịp này, tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới các thầy cơ giáo
trong Bộ mơn Đại số, Khoa Tốn, Phịng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám
hiệu Trường Dại học Vinh đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả cĩ một mơi trường học tập tốt và hết sức thuận lợi
Trang 7CHƯNG 1
KIEN THUC CHUAN BI
Trong chương này chúng tối trình bày một số kiến thức về Dại số nhằm
mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở Chương
2 Ngồi ra chúng tơi cịn trích dẫn một số kết quả đã cĩ dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau.Trong tồn bộ luận
văn, các vành được nhắc đến là vành giao hốn, cĩ đơn vị 1 z0
1.1 Phổ của vành và tơpơ Zariski
1.1.1 Định nghĩa Cho / là idéan thực sự của # Khi đĩ:
() Iđêan / được gọi là nguyên tố nếu với mọi +; € /đmà 2€ 7 kéo theo œ€ 7 hoặc € 1
(ii) Iđêan 7 được gọi là cực đại nếu khơng tồn tai idéan JAR mal AJ
val cJ
Từ định nghĩa trên ta suy ra / là nguyên tổ khi và chỉ khi vành thương R/T là miền nguyên; 7 là iđêan cực đại khi và chỉ khi vành thương #/7 là
một trường
Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành ? được kí hiệu là SpeeR Với mỗi idéan / của vành # ta ki hiéu V7) ={p € Speck |pD 1}
Trang 8on
(i) Cho I, J la cae idéan cia R Khi db VII) =VI A) =V (DWV) va điều này đúng cho họ hữu hạn các iđêan
(ii) VSO) = NV G), vd S la tap chi 86 tiy ú
Jes Jes
(iii) VW) =V (VJ) khi ồ chỉ khi VT — V7
(iv) VO) =Speck, V(R) =e
Như vậy các tập hợp dạng V(1) với 7 là iđêan của # thoả mãn các tiên đề về họ tập đĩng trong khơng gian tưpõ Do đĩ Specf trở thành một khơng gian tơpõ với họ tập đĩng là V(ƒ) trong đĩ ƒ là iđêan của Tưpõ này được gọi là #ơpơ Zariski Khơng gian tơpơ Spe¿# được gọi là phổ của vành # Mỗi tập hợp V (7) được gọi là fập đại số xác định bởi J
Một khơng gian tơpơ X được gọi là khơng gian Noether nếu mọi dãy giảm các tập đĩng trong X đều dừng Chú ý rằng nếu # là vành Noether thi Sbec# là khơng gian tơpư Noether Cho ƒ : 4 —># là một đồng cấu vành Khi đĩ, với mỗi q © SpecB thi f~'(q) @SpecA Ánh xạ “ƒ : SbecB —>
SbecA xác định bởi “ƒ(q) =ƒ~ (q) là liên tục
Một tập đĩng trong một khơng gian tơpõ được gọi là bát khá guy nếu nĩ khơng thể biểu diễn thành hợp của hai tập con đĩng thực sự Cho vành R và #' là một tập con déng cia Y =SpecR Khi đĩ F 1a bat kha quy khi và chỉ khi =V(Đ) với một iđêan nguyên tố p nào đĩ Iđêan p là duy nhất và được gọi là điểm tổng quát (generic point) của '
Trong một khơng gian tơpõ X, mỗi tập đĩng Z đều cĩ một phân tích duy nhất thành hợp của hữu hạn các tập đĩng bất khả quy: Z =Z⁄4L⁄2L1 L„„ Zi GC Z¿ với ¡ Aj Cac tap dong Z; duge goi la cdc thanh phan bat kha quy
của Z
1.1.3 Mệnh dé Gia sit I la idéan thuc su ctia vanh R Khi dé V(1) cĩ ít
Trang 9Phần tử cực tiểu trong mệnh đề trên được gọi là idéan nguyên tố cực tiểu trên của Ï (a minimal prime over-ideal of !) hoặc iđêøn nguyên tơ cực tiểu chứa 1
1.2 Mở rộng và thu hẹp iđêan
1.2.1 Định nghĩa Cho ƒ : # —>/ử là một đồng cấu vành
(i) Nếu / là một iđêan của vành /#, kí hiệu J“=ƒ~!{2) Khi đĩ J“ là một iđêan của, # và được goi lA thu hep cua idéan J trong vành # bởi đồng cấu ƒ
(đ) Cho 7 là một iđêan của vành # Kí hiệu /°“=< ƒ(/) > là iđêan sinh bởi ƒŒ) Khi đĩ 7° là một iđêan của vành R’ va gọi là mở rộng của lđêan ƒ trong vành /# bởi đồng cấu ƒ Chú ý rằng: e Nếu g là iđêan nguyên tổ của vành /# và g“ z # thì g” là iđêan nguyên tổ của vành ?; e Nếu p là iđêan nguyên tổ của vành thì g cĩ thể khơng là iđêan nguyên tổ của vành f#
1.2.2 Mệnh đề Œho ƒ : A —>H là một đồng cấu ờnh va p là một iđêøn nguyên tơ của A Kh¿ đĩ p là thu hẹp của một iđêqn nguyên tơ của B nếu va chi néu p© =p
1.3 Vành địa phương
Trang 101.3.2 Ví dụ (1) Mỗi trường là một vành địa phương vì chỉ cĩ duy nhất một iđêan cực đại là {0}
co -
(2) Vành các chuỗi lũy thừa hình thức A [[z]] = {Sona |ứ; ex} là,
=0
vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất là <z>
1.4 Vành và mơđun địa phương hĩa
1.4.1 Định nghĩa Cho vành # và Š là một tập con của vành # Tập hợp S được gọi là tập nhân đĩng của vành R néu 1 €S và với mọi a,b ES thi ab ES 1.4.2 Định nghĩa Cho Š là tập nhân déng ctia vanh R Trén tich Dé-cdc Rx S={(r,s)|r ER, s eS} xét quan hệ hai ngéi ~ nhu sau: (r,8)~ (r,8’) SF ES : t(rs’— 1's) =0
Dé thay ~ là một quan hệ tương đương trên R x S Khi dé R x S dude chia thành các lớp tương đương
(7,8) ={(r', 8’) ER x S| (r’, 8’) ~ (r,s)}- Kí hiệu r/s thay cho (r, s) và
STR=Rx S/~={r/s|r €R,s €S} là tap thương của # x S theo quan hé tuong duong ~
Trang 11Mỗi idéan của vành các thương S~! đều cĩ dạng S”ÌƑ, trong đĩ ï là idéan cia vanh R Ta cé STE =S71R SINS Ad Do dé Sr l7 là iđêan
thực sự cia S~'R khi va chi khi / MS =¢
Cho p € SpecR Khi d6 S = R\p la một tập nhân đĩng của vành R Vanh S~'R& trong trường hợp này là vành địa phương, kí hiệu là #y, với idéan cực đại duy nhat la pR, = {ø/s|ø €p.s € R\pÐ} nên được gọi là vanh địa phương hĩa của vành F‡ tại iđêan nguyên tổ p
Cho M 1a mét R-médun Trên tích Đề-các M x Š ta xét quan hệ hai ngồi
(m,s)~ (m’, 8’) 33 ES :t(s’m — sm’) =0
Dễ thấy ~ là một quan hệ tuong duong trén M x S Khi dé M x S được chia thành các lớp tương đương Với mỗi phần tử (n,s) € M x S, ki hiéu m/s là lớp tương đương chứa (m, s), tức là (m/s) ={(m’, 8’) EM x S| (m’, 8") ~ (m, s)} ={(m’,s’) EM x S|4 ES :t(s’m— sm’) =O} Kí hiệu S~!Aƒ —M x ŠS/ ~ là tập thương của M x Š theo quan hệ tương đương ~, tức là: S% 1M =M x S/»= {m/s|m €M,s 6S} Chú ¥ ring trong S-1M : m/s =m’/s’ = €S :t(s'’m — sm’) =0
Trên S~!A/ trang bị hai phép tốn cộng (+) và nhân (.) Khi đĩ S~!A là một S~!-mơđdun và gọi là mơđun các thương của M theo tập nhân đĩng
®, với phần tử khơng là 0/1 =0a//s, Ws € 6
S5! cũng cĩ cấu trúc là một Đ-mơđun với phép nhân với võ hướng xác định như sau:
rm/s =r/1im/s —=rm/3,
Trang 12Cho p € SpecR Khi d6 S = R\p la một tập nhân đĩng của vành R Trong truéng hgp nay ta viét Ry thay cho S~1R va viét M, thay cho S~'M
Médun My, duge goi la médun dia phuong héa cia M tai idéan nguyén tổ
p
1.4.3 Mệnh dé Cho f : M —>N là một h-đồng cấu Khi đĩ các phát biểu sau là tương đương:
() ƒ là đơn cấu (tương ứng tồn cấu hoặc đẳng cắn)
(ii) fy: Mp Np la đơn cấu (tương ứng toừn cấu hoặc đẳng cấu) uới mỗi idéan nguyén t6 p (trong d6 fy =S lf vdi S =R\p)
(iii) fin: Mm Nim la đơn cấu (tương ứng tồn cấu hoặc đẳng cấu) uới mỗi iđêœn cực đại tụ của uành H
1.4.4 Mệnh đề Cho A là sành, S là tập nhân đĩng của A tà ƒ : A —> S-!A là ánh xạ tự nhiên Khi đĩ tới mỗi iđêan p của S~ÌA ta c6 p = S-!(-!(p)) Do ậy tương ứng p—> ƒT!(p) là một đơn ánh từ tập các iđêan S~1A đến tập các iđêan của A Hơn nữa, tương ứng này là một song ánh giữa tập các iđêan nguyên tơ của S~1A tà tập các iđêan nguyên tơ của A khơng giao vii S
1.5 Mơdun hữu hạn sinh
1.5.1 Định nghĩa Một R-mơdun M dusc gọi là hữu hợn sinh nếu cĩ một tập sinh gồm hữu hạn phần tử Nĩi cách khác, tồn tại các phần tử #2, .,„ CM sao cho MỸ —r1#t +ra#a + r„a#„|r¿ G Rịi =1,n} 1.5.2 Mệnh đề Giả sử A, B, Ở là các uờnh giao hốn Nếu Ở là B-médun hitu han sinh tà B là A-mơdun hữu hẹn sinh thi C la A-médun hitu han
Trang 1310
1.6 Mơđun phẳng
1.6.1 Định nghĩa (i) Cho P là một #-mơdun Khi đĩ P được gọi là médun phẳng nếu với mọi dãy khớp ngắn các F-mưđun 0—>M“ =M—®M“—=0 thì dãy 0 P@M!_1tr®f | P@M _1P®89_ P@M” 0 R R R ° là khớp (đ) Cho đồng cấu vành ƒ : R —>$ Khi đĩ ƒ được gọi là đồng cấu phẳng nếu Š là một #-mơđun phẳng 1.6.2 Dinh ly Cho đồng cấu ồnh ƒ : R —>S Khi đĩ các điều biện sœu tương đương:
(i) S la R-médun phang
(ii) Sq la Raenr-médun phang, vdi moi idéan nguyén to q của S (1) Sm là Ruevrmơđun phẳng, uới mọi iđênn cực đại m của S
1.7 Mơđun hồn tồn phẳng
1.7.1 Định nghĩa Cho A⁄ là một #-mõđun khác 0 Khi đĩ A được gọi là mơđun hồn tồn phang néu M là mưđun phẳng và với mọi R-mơđun W mà M@ ĐN —=0thì VN =O
R
Trang 14ll
1.7.3 Mệnh dé Cho ƒ : R—>S là một đồng céiu vanh Khi do f la hoan tồn phẳng khi à chỉ khi ƒ phẳng va énh xạ Wb : SpecS —>Speck la toan
anh
1.7.4 Định nghĩa Cho # và Š là các vành Khi đĩ một đồng cấu vành ƒ: R—›S được gọi là đồng cấu địa phương nêu ƒ (ay;) C ty, với mọi iđêan cực đại trựy của vành # (mw là Iđêan cực đại của vành 9)
1.7.5 Hé qua Cho R, S la céc vanh địa phương tà ƒ : l —>S là một đồng cấu địa phương Khi đĩ S là R-mơäun phẳng khi va chi khi S là R-médun hồn tồn phẳng
1.8 Vành địa phương đầy đủ theo tơpơ aradic
Cho (mm) là một vành địa phương Tà xét J? như một vành tõpõ với cơ sở lần cận của phần tử 0 là các iđêan mí, với —O, 1,2, Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tử tùy ýz € Ï gồm các lớp ghép r + trí với ¿ =0 1,2, Khi đĩ »ành đầu đủ theo tơpơ tw«adie của l được kí hiệu bởi đ được định nghĩa bằng cách thơng thường theo ngơn ngữ dãy Cauchy như sau: Một day Cauchy trong f là một dãy (r„) các phan ttt cla KR sao cho với mọi f > Q tơn tại số tự nhiên nọ để 7„— r„„ Ent vai moi n,m > no
Dãy (r„) được gọi là hội fụ vé đấy khơng nêu với mọi † > 0 tốn tại số tự nhiên no để z„— Ư=—=r„ CtÝ với mọi n > no
Hai dãy Cauchy (r„) và (s„) được gọi là hai dãy fương đương, kí hiệu là (ra) ~ (s„) nếu dãy (r„— s„) là dãy khơng Khi đĩ quan hệ ~ trên tập các dãy Cauchy là quan hệ tương đương Ta kí hiệu Ria tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy
Chú ý rằng nếu (r„) và (s„) là các day Cauchy thì các dãy (r„-Es„), (rzsa) cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy (r„ -Es„),
Trang 1512
đương của các dãy (r„) và (s„), tức là nếu (r„) ~ (r,) va (Sn) ~ (8/,) thi (r„-Es„) ~ (11, +-sƒ,) và (r„s„) ~ (r{s/) Vì thế ƒ? được trang bị hai phép tốn hai ngơi và đồng thời cùng với hai phép tồn này, R lap thanh một vành Méi phan tit r © R cé thé déng nhat vdi lép tuong duong cia day Cauchy ma tat cả các phần tử trong day déu lar Vi thé ta cé mét don cấu tự nhiên giữa các vành
ROR
r— (r),
Trang 1613 CHƯNG 2 ĐỊNH LÝ GOING - UP VÀ ĐỊNH LÝ GOING - DOWN 2.1 Giới thiệu về Định lý Going - up va Dinh ly Going — down
Cho ƒ : A —> là một đồng cấu vành Với mỗi iđêan nguyên tổ qcủa Ư, đặt p—ƒ- !{q):—=qf14 Khi đĩ p là một iđêan nguyên tố của A va idéan q được gọi là ndm trén (lying over) idéan p Dinh ly Gọng - up được gọi là đúng đối với ƒ nếu thỏa mãn điều kiện sau:
(GU) Với hai iđêan nguyên tổ bất kỳ p và tý của A sao cho pC E và với iđêan nguyên tỗ bất kỳ q của B nằm trên p, tồn tại một iđêan nguyên tố d cia B nam trén p sao cho qc qd
Tương tự, Định lý Gọing - down được gọi là ding déi vdi f néu théa
mãn điều kiện sau:
(GD) Với hai iđêan nguyên tổ bất kỳ p và g của A sao cho pC p va vdi iđêan nguyên tổ bất kỳ d của Ư nằm trên g, tổn tại một iđêan nguyên tỗ q của nằm trên psao cho qC đ
Trang 1714
và q là phần tử cực tiểu (theo quan hệ bao hàm) của tập hợp
V (pB) ={Q €SpecB | Q 2 pB}
Ta sé chtmg minh qn A =p Thật vậy, khi đĩ do q p8 nên qí14 Đ Đ Giả sử qí1A zp, theo (GD), tồn tại iđêan nguyên tổ q clia B sao cho q14 =p và qÐ q¡ Khi đĩ qÐ qm D pB, mau thuẫn với tính tối thiểu của q Vậy qí1A =pb
(GD’) (GD): Giả sử p, g là các iđêan nguyên tổ của A sao cho pc pf và đ là iđêan nguyên tố của Ư nằm trên g, tức là qq MA =p Khi đĩ ta cĩ thể thu nhỏ iđêan d đến một iđêan cực tiểu q trong số tất cả các iđêan nguyên tổ chứa pƯ và giả thiết rằng qí1A =bp Suy ra điều phải chứng minh
L]
2.1.2 Chú ý Cho ƒ : 4A —>B là một đồng cấu vành, đặt X — Spe<4,
Y =SpecB va — “ƒ, với “ƒ : SecB —>SpecA là ánh xạ xác định bởi “ƒ(q) =ƒ-~†1{q) (xem Mục 1.1) Giả sử là Noether Khi đĩ (GD) cĩ thể được trình bày dưới dang hinh hoc nhu sau: Chop € X, đặt X’ =V(p) C X va Y’1a một thành phần bất khả quy tity ¥ cia ~!(X”) Khi đĩ ánh xạ biến điểm tổng quát của Y” thành điểm tổng quát của X”
2.1.3 Ví dụ Cho #[z] là một vành đa thức trên trường # và đặt x) = œ(Œ — 1), #› =z2Œ — 1) Khi đĩ KŒ) = K(i,z2) và bao hàm thức K [x1, £2] C K [x] cam sinh ra một cấu xạ song hữu tỉ
ƒ :Ơ =Skxx(K[z]) —>Œ“ =S<x(K [zạ, #2]),
Trang 18Cho là một biến khác và đặt Ư = h|z,], A = k[ra,za2,] Khi đĩ Y =SpecB là một mặt phẳng và X —SÐ<4 là một đường thẳng; X thu được bằng cách đồng nhất các đường thẳng Ùị : —=Ovà La: —1 trong Y Cho Lg C Y 1a mét đường thẳng được xác định bởi —=az,a z0 và ø:Y —>X là cấu xạ tự nhiên Khi đồ g(l3) =X’ 1a đường cong bất khả quy trên X và ø 1X”) =LsLJ4(0 3), (1,0)} Do đĩ Định lý Going - down khơng đúng cho trường hợp A C Ư
2.2 Định lý Going - down và đồng cầu phẳng
Nhắc lại rằng, một đồng cấu vành ƒ : A —> được gọi là đồng cấu phẳng nếu là một A-médun phang Dinh ly sau day cho thay rang đồng cấu phẳng thỏa mãn Dinh ly Going — down
2.2.1 Dinh ly Cho f : A > B là một đồng cấu phẳng Khi đĩ Dịnh lý Going - down dting đối tới ƒ
Chứng mình Giả sử p,W là các iđêan nguyên tổ của A sao cho pC pva q là iđêan nguyên tỗ của nằm trên p, p—=qf14A Vì ƒ: A —>B là đồng cấu phẳng nên ta suy ra Ø là A-mơdun phẳng Áp dụng Định lý 1.6.2 tà suy ra Bg la Aymưdun phẳng Mặt khác, ta cĩ ý : Áp —>ạ là đồng cấu địa phương (vi ú(p4p) C w(p)By © qB,) Do dé theo Hé qua 1.7.5 ta suy ra Bg la Apmédun hoan toan phẳng Vì vậy theo Mệnh đề 1.7.3 ánh xạ p : SpecBy —>SpecAy là tồn ánh
Bây giờ ta sẽ chứng minh tén tai mét idéan nguyén td q cia B nim trên E sao cho dq C q That vay, gia sử dƒ là iđêan nguyên tổ của By nim trên 4g, tức là df NAy =p Ay Lay =dƒ r1 thì d chính là iđêan nguyên tổ cia B nam trén p va d € q
Trang 1916
2.2.2 Chú ý Cho (tr) là một vành địa phương; kí hiệu Ra bao day dii madic ctia R Khi đĩ đồng cấu tự nhiên # —> ƒ? là hồn tồn phẳng (xem Mục 1.8) nên theo định lý trên nĩ thỏa mãn Dịnh lý Going - down Do đĩ với mỗi iđêan nguyên tố p của # và mỗi iđêan nguyên tổ cực tiểu q ctia pR, ta cd GAR =p
2.3 Dinh ly Going - up và mở rộng nguyên
Trước hết chúng tối trình bày về mở rộng nguyên
2.3.1 Định nghĩa Cho A là một vành con của vành giao hốn B va x € 8B Ta néi rang phần tử z là nguyên trên A nêu tồn tại n € Đ và
đ1, đạ, , q„„ CA sao cho:
+” ae -E -Ea„ 1# -Ea„ =Ú
cĩ nghĩa là + là nghiệm của một đa thức đơn hệ với hệ tử trên A
2.3.2 Ví dụ (1) Mọi phần tử ø của vành A bat ky đều nguyên trên 4 vì a la nghiệm của đa thức ƒ(œ) =z — ø € Ale]
(2) Nếu z —=r/s €Onguyên trên Z.(trong đĩ z,s €/Z4s z0 (r,s) =1)
thi r? +ayr” $s + tay_irs”™ | +a,8” =0 véi a; © Znio dé Do dé
s chia hét cho r”, ma (r,s) =1nén s =+1 Suy raz EZ
Một mưđun được gọi là frưng thành nêu linh hĩa tử của nĩ bằng 0 Ta
cĩ bổ đề sau:
Trang 2017
2.3.4 Mệnh dé Cho A la vanh con của vinh B vib EB Khi đĩ các điều hiện sau tương đương:
() b nguyên trên A;
(ii) A[b] la A-mơdun hữu han sinh;
(1) Alb| được chứa trong một uành cơn Œ của B sao cho Ở là A-mơđun hữu hạn sinh;
(iv) Tðn tại một A|b]-mơđưn trưng thành M sao cho MĨ cũng là A-mơđun
hữu hạn sinh
Chứng mình () =1): Nếu b nguyên trên A thi 6 là nghiệm của một da thức với hệ số trên A Do đĩ tơn tại a; GA, —1,n sao cho
b” a,b" t+ +an1b +a, =0
Véi moi m > n, ta cd b™ =—(ayb"™! + +a,h""”) Ding quy nạp ta cĩ thể chỉ ra rằng là một tổ hợp tuyến tính của Lb, ,b*“1, Suy ra mọi phần tử ƒ@) € Alð] là một tổ hợp tuyến tính của 1,b, ,b*~1, Do đĩ {1,b, ,b 1} 1 một hệ sinh của Alb] trên A, hay 4l] là A-mơđun hữu
hạn sinh
(ii) => (ii): Lay C = Ap], hiển nhiên Œ là vành con của vành và Œ là A-médun hitu han sinh
(iii) > (iv): Lay M =C Néu y € Alb] sao cho yM =Othi y =y.1=0 Do d6 M 1a Afb]-médun trung thành, hiển nhiên M là A-médun httu han sinh
(iv) (i): Áp dụng Bố đề 2.3.3 với / =A
L]
2.3.5 Hé qua Cho A la vanh con ctia vanh B Giá sử bị,ba, ,b„ GB Nếu bì,ba, , b„ đều nguyên trên A thì Albi, ba, , bạ] là A-mơđun hữu hạn
Trang 2118
Chứng mình Ta chứng tình bằng quy nạp theo ø Với ø =1, Hệ quả được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.3.4
Với n > 1, gid stt Alby, bo, ,6,] 1&8 A-mưđun hữu hạn sinh, khi đĩ Albi,ba, ,b„| — Alba, ba, , bạ 1Ì|[ba| và b„ nguyên trên Á nên by nguyên trên Albi,ba, ,b„ 1](vì AŠ Albi,ba, bạ 1]) Do đĩ Albi,ba, , bạ 1, bạ] là Alb, be, , b»-1|-modun hữu hạn sinh Suy ra A[bq, ba, , bạ 1, bạ] là A-modun
hữu hạn sinh
L] 2.3.6 Hé qua Gid sit A la vanh con của oờnh B Tập con Ở của B gồm những phần tử nguyên trên A là một ành con của B chứa A
Chứng mình Lẫy +, €C, khi đĩ z, nguyên trên A suy ra A|z, 0] nguyên trên 4, suy ra # +, € Alz, | là nguyên trên A hay z và z + €C Vậy Œ là một vành con của Ư và chứa A
L] Vành con Œ trong hệ quả trên được gọi là bao đĩng nguyên của A trong B Nếu C =A thì A được gọi là đĩng nguyên trong B Nếu Ở —=B thì vành P được gọi là nguyên trên A (như vậy P là nguyên trên 4 nếu mọi phần tử của Ư đều nguyên trên 4)
2.3.7 Ví dụ (1) Cho vành A, mỗi phần tử ø GA là nghiệm của đa thức œ—ø € Alz] nên ø nguyên trên 4 hay vành 4 là vành mở rộng nguyên trên chính nĩ
(2) Mọi phần tử của vành số thực I§ đều nguyên trên vành số hữu tỉ @ nên IRlà vành mở rộng nguyên của Q
Trang 2219
2.3.8 Mệnh đề Cho A là một uành con của uờnh B và S là tập nhân đĩng của A Nếu C là bao đĩng nguyên của A trong B thi S-'C la bao đĩng nguyên của S~1A trong S~1H
Chứng mình Xét phần tử b/s € S~1B và nguyên trên S~1A, với s €9,b € B Khi đĩ ta cĩ phương trình:
(b/s) +(ai/s1)(b/s)"* + + G@r-1/8n-1) 6/8) + G@n/8n) =0 (*),
véi a; EA, 8; ES, i =1,7n
Dat u = s182 8n © S, nhan cả hai về của phương trình (x) với (us}” ta
được:
(ub)" +(a182 8n8)(ub)” * + +(Gn-181 -8n-28n8 (ub) +(Gn8 1-818) =O
Suy ra (ub)” +a) (ub)! + +a/,_ (ub) +a/, =0, véi af €A,i =Tn Do đĩ tồn tại v © S sao cho v(u"”" +ahu”™ bt + +a’, ub +a/,) =0 Từ d6 ta cé vub nguyên trên A nên vub €C va b/s =vub/vus € S~1C Vay S~†Œ là bao đĩng nguyên của S~!A trong S~1B
L] Hệ qua sau day cho thấy mở rộng nguyên cĩ tính chất bắc cầu
2.3.9 Hé qua Cho A, B, C là các tờnh thỏa mãn A C BC C Gia sử B
nguyên trên A 0à Œ nguyên trên B Khi đĩ C nguyên trên A
Chúng mình Giả sử Ở nguyên trên B và nguyên trên 4 Cho e CC, vì c nguyên trên Ư nên e là nghiệm của một đa thức
f(@) =a" -E-bi+P†-E -Eb„_ 1# -Eb„, cJB];b¿B,¡ =1,n
Trang 2320
hạn sinh Vì vậy ta suy ra B’[c] = Albi, ba, , ba|[c] — AlPa, ba, , bạ, c| là A-mơđun hữu hạn sinh Do đĩ e là phần tử nguyên trên A hay Ở nguyên trên A
L] 2.3.10 Hệ quả Cho A là uành con của ồnh B ồ C là bao đĩng ngưyên, của A trong Ð Khi đĩ C đĩng nguyên trong B
Chitng minh Lay x G B nguyên trên C Theo tinh chất bắc cầu của mở rộng nguyên ta cĩ # nguyên trên 44, do đĩ z €Œ
oO Mệnh đề sau cho thấy tính chất "nguyên" được bảo tồn khi chuyển qua địa phương hĩa
2.3.11 Ménh dé Cho A la một uành con của vanh B va B nguyên trên A Khi đĩ nếu S là tập nhân đĩng của A thà S~1B nguyên trên S~1A
Chứng mãnh Xét phần tử z/s bất kỳ thuộc S—!B, với z © B, s €S Khi đĩ + nguyên trên 4 nên tồn tại a; € 1( =1,n) thỏa mãn phương trình:
xe” aye” |} Han 1% +an =O
Suy ra (7/s)” +(a1/s)(a/sy 1+ +(an_1/8” \(@/8) +(Gn/8”) =0 hay #/s là phần tử nguyên trên S~1!A Do đĩ S~1! nguyên trên S~1A
L] Mệnh đề sau cho thấy tính chất "nguyên" được bảo tồn khi chuyển qua vành thương
Trang 2421
Chứng minh Xét tương ứng ƒ : A/a—>B/bxác dinh bai x +ar— 2 +b
Do A là vành con của vành Ư và aC bnên ƒ là ánh xạ và là đơn cấu vành
Do đĩ A/alà vành con của B/b
Lấy bất kỳ z €, vì nguyên trên A nên # nguyên trên 4, khi đĩ ta cĩ phương trình:
a” -+aiaP 1E -a„ 1# -Ea„ —=U;a¿; Cai —T,n Gia st x +6 €B/6n EN a, +aa2+4 ,4,+aeA/a Ta cĩ:
(a +6)" + (a1 +a)(x +6)" 1+ + (@n1 +a)(v +6) + (Gn +a) =x" +b+ (a1 +a)(e” | +b) + +(G@n-1 +a)(u +6) +4, +a
=x" +aya" 1+ +an_1t +an+a+b=0
Hay z b nguyên trên A/œ Vậy B/b nguyên trên 4/œ
L]
2.3.13 Ménh dé Cho A la vanh con ctia mién nguyén B, B nguyên trên A Khi đĩ A là trường khi va chi khi B là trường
Chitng minh (=) Gia st A là trường, ta chứng mình Ư là trường Lấy b€B,bz0 do b nguyên trên 4 nên ở là nghiệm của phương trình:
b” +ayb" t+ +an_1b +a, =0,a1 €A,i =n
Suy ra b>) =—(a,) 1! +ayb""? + +an-1) € B va do đĩ B là một
trường
(< Giả sử Ø là trường, ta chứng mình A là trường Lấy ø €A,ø z0 Khi đĩ a~!€ B và nguyên trên 4 nên ta cĩ phương trình:
a")? +47"! + tz 1(—”)-Ety„=U,f¿CA
Nhân cả hai về của phương trình với a”! ta được:
Trang 25Suy ra A là trường
L] 2.3.14 Hé qua Gia sv A la vanh con cia vanh B, B nguyén trên A Cho q la mét idéan nguyén tơ cia B va p=of' =ANgq Khi do q la idéan cực
dai néu va chi néu p la idéan cuc dai
Chứng mình Giả sử q là một 1đêan nguyên tổ của B, và đặt p= =Af Khi đĩ p là iđêan nguyên tổ của A
Theo Ménh dé 2.3.12, Ø/q nguyên trên 4/p và theo Mệnh đề 2.3.13, p la idéan cực đại của A ©>A/p là trường <>/q là trường <>q là iđêan cực
dai của B
L]
2.3.15 Hé qua Gia si A la vanh con ctia vanh B, B nguyên trên A Cho P1, Po là các idéan nguyên tố của B sao cho py C po va pp NA =poNA Khi đĩ tì —Đa
Chứng mình Đặt p —pị YA —=pafƒ1A va S =A\p, do pla iđêan nguyên tố nên Š là tập nhân đĩng của A Ta cĩ Š FYp —ĩ và S 1p —ĩ
Gọi tà mở rộng của p trong S-14 =Ay, khi dé mla idéan cuc dai duy
nhất của Ay
Goi mị, te là các mở rộng của pị, Đa trong Ủụ, tà sẽ chứng mình nếu
tụ C wm thi nm =m That vay, vi p C pi va Ap C By nén MC mị f14;
Hiển nhiên mị F1Áp C Ap, néu my MAy = Ay thi Ap C my do dé 1 E ry hay
m =By (vi 1 GC Ap C By va Ap C my nén 1 ery = By, C ry ma ta da cd
tụ C_Ủp nên suy ra mạ —= Øg) mâu thuẫn vì mị là iđêan nguyên tổ của By
ay mC mMAp C 4p, mặt khác tmlà iđêan cực đại duy nhất của Ap nén
ta suy ra m= (1A
Trang 2623
mila idéan cực đại của 4p nên theo Mệnh đề 2.3.14, tụ, re là iđêan cực đại
của Đụ Do đĩ nếu tụ € mm thi tụ =m
Theo Mệnh đề 1.4.4 ta cĩ một tương ứng 1-1 giữa tập các iđêan nguyên td cia 9”! = By và tập các Iđêan nguyên tổ của khơng giao với Š nên
ta suy ra py =p»
L]
2.3.16 Dinh ly Gia sv A là vanh con của uành B, B nguyên trên A Cho p là một iđêan nguyên tơ của A Kha đĩ tồn tại một tđêmn nguyên tố q của B sao cho qnA =p
Chứng mãnh Ta cĩ biểu đồ giao hốn sau: A—+B |g Ap— Bp trong đĩ /,7 là các đồng cấu nhúng và ƒ,ø là các đồng cấu chính tắc: f@) =a/1, 9) =b/1
Theo Ménh dé 2.3.11, Bp nguyén trén Ap Néu dƒ là iđêan cực đại tùy ý của By thi d f1⁄4p là iđêan cực đại của 4; (theo Mệnh đề 2.3.14) và do đĩ nĩ là iđêan cực đại duy nhất của 4g (vì Ap là vành địa phương) Gọi pf là mở rộng của p trong 4g, khi đĩ p là iđêan cực đại duy nhất của 4g Do đĩ pl =d MAy, Suy ra ƒ~!(đ 14g) =ø !(đ)đ1A Đặt q=ø !{đ) ta cĩ
ƒ-'4#) —=qA hay p—qOA
L]
Kết quả sau đây cho thấy Định lý Going - up đúng đối với trường hợp Tnở rộng nguyên
Trang 2724
(m < n) là một dãy các tđêøn nguyên tố trong B sao cho yA = p; (<< m) Khi đĩ dãy œ C œ C C qu, cĩ thể mở rộng thành dãy
qi CdœC C q›; sao cho gNA =p; (1<i <n)
Chứng mình Đằng phương pháp quy nạp, ta chỉ cần chứng mình cho trường hop n =2,m =1
Gia stt, pr C po va qi A =p, theo Ménh dé 2.3.12 ta suy ra Ư/qi nguyén trén A/p) MA po/p, 1A một idéan nguyén td của A/p¡ nên áp dụng Mệnh đề 2.3.16, tồn tại một iđêan nguyên tổ œ/q¡ của P/qi sao cho: (œ/a)£A/Đ) =(/Đ)), trong đĩ œ là iđêan nguyên tổ của và dị C œ
Ta sẽ chứng mình qa( 1A —=pa Thật vậy:
"CC" Lay « € MA, do A/p, la vanh con cia B/qy nên # +p, =x +
a € (b/o1) O(A/pi) = Po/pi, suy rae +p = y +p1 Vdi y © pe nén
(@—y) Ep C po =r Epo
"5" Lay « Epo, khi dé x +p, € po/pr € ep/m, suy ra x +p =y +H, với y €qp Mat khac x +p, =x +q) nén (# — ) Cqi C qœ=z €qaf14
Vay OA =p
2.4 Dinh ly Going — down va m6 réng nguyên
2.4.1 Định nghĩa Một miền nguyên được gọi là đĩng nguyên nêu nĩ đĩng nguyên trong trường các thương của nĩ
2.4.2 Ví dụ (1) Zlà một miền đĩng nguyên (xem Ví dụ 3.3.7)
(2) Chứng minh tương tự như đỗi với Z2ta cũng cĩ mỗi miền nhân tử hĩa là một miền đĩng nguyên Dặc biệt, vành đa thức œ biến k{[#, #a, , #„;] với hệ tử trên trường È là một miền đĩng nguyên
Trang 2825
2.4.3 Mệnh đề Cho A là miền nguyên Khá đĩ các mệnh đề sau là tương đương:
(i) A la déng nguyên
ii) A, la déng nguyén, vdi moi idéan nguyén to p p (iii) Am la déng nguyén, vdi moi idéan cực đại tu
Chitng minh Goi là trường các thương của miền nguyên A va Ở là bao đĩng nguyên của A trong K Xét đồng cấu nhúng ƒ : A4 —>ŒƠ Khi đĩ 4 là đĩng nguyên khi và chỉ khi ƒ là tồn cấu
Mặt khác, với p là iđêan nguyên tố của A, theo Mệnh đề 2.3.8, Ơpy là bao đĩng nguyên của 4; trong trường các thương của 4p Tương tự ta cố 4; là miền đồng nguyên khi và chỉ khi fy : Ap Cy 1& toan cau Theo Ménh dé 1.4.3 ta cĩ ƒ là tồn cấu khi va chi khi f, 1& toan cau
Do đĩ ta suy ra A là miền đĩng nguyên khi va chi khi Ap 1A miền đĩng nguyên, với mọi iđêan nguyên tổ p
Chứng mính tương tự, ta cĩ 4 là miền đĩng nguyên khi và chỉ khi Am là miền đĩng nguyên, với mọi iđêan cực đại m
L]
2.4.4 Dinh nghĩa Cho A là vành con của vành Ư và alà một Iđêan của
vành A
(i) Mot phan tử của B được gọi là nguyên trên a nêu nĩ là nghiệm của
một đa thức lấy hệ số trong œ
(H) ao đĩng nguyên của atrong Ð là tập hợp các phần tử của Ở nguyên
trên œ
Trang 2926
Chứng mình Giả sử phần tử z € B nguyén trên q khi đĩ z là nghiệm của một phương trình dang:
+" aya" | 4 +a, 2" +a, —=U;a; CaC A,¡ =Ln Do đĩ z cũng nguyên trén A Vi vay « EC va x” Ee Suy ra:
xv er() = {a €B| Wh EN: 2” Eek}
Ngược lại, giả sử z Er (ed) Khi dé tén tai sé tu nhién n sao cho x2” Edt
Vi of 1& méddun httu han sinh nén ta cé:
7m
ø”= > đự¿; i=l trong dé a; Ear; EC
Suy ra #1,#a2, ,„ nguyên trên A, suy ra Mƒ — Alzi,#a, z„| là A-mưđun hữu hạn sinh và theo Mệnh đề 2.3.4 thì AM cũng là A-mơđun trung thành Mặt khác ta cĩ #ø”M — Sai MC Su M € aM nên theo Bổ đề 2.3.3 thì z” nguyên trên olay 2 # nguyên trên a
L] Cho K là một trường và L là trường mở rộng của , một phần tử a GCL được gọi là phần tử đại số trên K nếu tồn tại đa thức khác khơng ƒŒœ) € K[z] nhận ø làm nghiệm Như vậy ta cĩ ø € nguyên trên khi và chỉ khi ø là phần tử đại số trên /€
2.4.6 Mệnh đề Giá st A C B là các mién nguyên, A đĩng nguyên tà x EB là nguyên trên một iđêmn a của A Khi đĩ + là phần tử đại số trên trường các thương K của A, uà nếu đa thúc cực tiểu của nĩ trên K là t tayt”™ b+ tan, thi ay, ,an €r(a)
Trang 3027
Mỗi +; thỏa mãn phương trình của mở rộng nguyên #"'-Ea#!?~Ì- -Ea„ =0, do dé a; nguyén trén a Hé sé cha da thức cực tiểu của + trên # là đa thức
trong x;, do đĩ từ Mệnh đề 2.4.ã ta cĩ các ứ,đa, , ø„ nguyên trên œ Vì
A đồng nguyên nên theo Mệnh đề 2.4.5 ta suy ra a, , ø„ €7 (@)
L] Kết quả sau đây cho thấy Dịnh lý Going - down đúng đổi với trường hợp miền đĩng nguyên
2.4.7 Định lý Giá sử A CB là các miền nguyên, A đĩng nguyên, B nguyên trên A Cho pị 2 poD D py là một đãu các iđênn nguyên tơ trong A tà q 2 q 2 Gn (m< n) là một dãy các iđênn nguyên tơ trong B sao cho œ (1A =p; 1<i<m) Khi đĩ đấy q2 œ2 2 an cĩ thể mỏ rộng thành đấy qi 2 qaĐ_ qụ, sao cho q;f1A —Đy tới 1</?<n Chứng mình Đằng phương pháp quy nạp, ta chỉ cần chứng mình định lý cho trường hợp ra =1,n =2 Gia stt po 1A thu hẹp của một iđêan nguyên tổ trong vành Đạ,, hoặc tương đương với Mệnh đề 1.2.2 là By po NA —=psz
Với mỗi z € Đạp thì z luơn biểu diễn được dưới dạng /s, trong đĩ y © Bp và s €P\q¡ Theo Mệnh đề 2.4.5 ta cĩ nguyên trén py va theo Mệnh đề 2.4.6 thì phương trình nhỏ nhất trên trường các thương K của 4 sẽ cĩ dạng:
y buy” t+ uy r + u„ =0 (1);
VỚI tiỊ, tia, .tự C Đa
Bây giờ ta giả sử z € Pqpaf1A Khi đĩ s =##-! với z~! € K, ta thu được phương trình nhỏ nhất của s trên bằng cách chia (1) cho 4”:
Trang 3128
trong dé v; =u,/2"
Do dé xv; =u; Ep (1<i<r) (3)
Nhưng s nguyên trên 4, nên theo Mệnh đề 2.4.6 (với a = (1)) ta cĩ u¿ CA Giả sử + khơng thudc po, khi đĩ (3) chứng tổ mỗi ư¿ Ca, do đĩ từ (2) ta c6 8s" © Bp C Bp, C q va vi vay s Gq, mau thuan Do dé x Epo va By poMA =po
Trang 3229
KẾT LUẬN
Dựa vào [3| và [6], chúng tơi đã trình bày về Định lý Gọng - up, Định lý Going - down và một số trường hợp cụ thể mà các định lý này đúng
Nĩi rõ hơn, luận văn đã hồn thành những việc sau:
1 Giới thiệu về Dịnh lý Going - up, Định lý Going - down 2 Dịnh lý Going - up, Định lý Going - down và đồng cấu phẳng 3 Định lý Gọing - up, Định lý Gọng - down và mở rộng nguyên
Trang 3330
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
{[IJ Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Dại số hiện đại NXB Dại học Quốc gia Hà Nội
[2] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết mơđun, Nhà xuất bản Dai
học Sư phạm, Hà Nội
Tiếng Anh
[3] M F Atiyah and IG Macdonald (1969), Introduction to Commuta- tive Algebra, Addison-Wesley Publishing Company
[4] W Bruns and J Herzog (1992), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press
[5] I Kaplansky (1970), Commutative rings, Allyn and Bacon
[6] H Matsumura (1980), Commutative algebra (second edition), Ben- jamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass