Xác định khuynh của quá trình bằng xấp xỉ wavelet luận văn thạc sĩ toán học

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌCVINH

Trương Thị Ngọc

MỘT SỐ LUẬT YẾU SỐ LỚN

CHO MANG CAC BIEN NGAU NHIÊN

Luận van thạc sĩ Toán học

Chuyên ngònh: Lý thuyết xác suất - Thống kê Toán học

Mã số: 60.46.15

Người hướng dẫn: PGS TS NGUYEN VAN QUANG

Trang 2

MỤC LỤC Những kí hiệu dùng trong luận văn 1 Kiến thức chuẩn bị II Các khá nệm .ẶẶẶẶ Ặ 1.1.1 Biến ngẫu nhiên 112 Hàm phân phối

1.13 Các loại biến ngẫu nhiên

1.1.4 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1.15 Các dạng hộitụ 1.1.6 Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên 1.17 Kỳ vọng có điều kiện I.1.8 Martingale .ẶẶẶ.Ặ 1.2 Một số bất đẳng thức liên quan .- 1.2.1 Bất đẳng thứ Markov 1.2.2 Các bất đẳng thức moment 1⁄23 Bất đẳng thức Bukholder 1.2.4 Bất đẳng thứ Davs 2_ Một số luật yếu số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên 2.1 Các dạng bị làm trội của biến ngẫu nhiên

2.2 Quan hệ giữa các dạng bị làm trội

2.3 Luật yếu số lớn cho mảng khả tích đều

Trang 3

LỜI NÓI ĐẦU

Lí thuyết xác suất là bộ mơn tốn nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, ra đời vào nửa cuối thế kỉ thứ 17 ở Pháp Mặc dù ra đời muộn nhưng nó đã phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống con người Kolmogorov đã từng nói "Giá trị chấp nhận được của lí thuyết xác suất là các định lí giới hạn, các kết quả chủ yếu nhất và quan trọng nhất của lí thuyết xác suất là các luật số lớn” Luật số lớn được xem là một trong ba viên ngọc quý của lí thuyết xác suất Luật yếu số lớn cho tổng các biến ngẫu

nhiên cùng phân phối có thể tổng quát theo nhiều cách khác nhau Mục đích

của luận văn này là thiết lập một số điều kiện hội tụ bị chặn điển hình và cung cấp một số luật yếu số lớn tương đối tổng quát cho mảng các biến ngẫu nhiên

Luan van g6m hai chương

Chương 1 trình bày những kiến thức chuẩn bị, bao gồm các khái niệm

biến ngẫu nhiên, hàm phân phối, các dạng hội tụ, kỳ vọng có điều kiện và một số bất đẳng thức liên quan

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương này bao gồm các dạng bị làm trội của biến ngẫu nhiên, luật yếu số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên và các kết quả liên quan

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn trực

tiếp của PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự quan tâm và nhiệt tình hướng dẫn mà thầy đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn PGS.TS Trân Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hồ cùng các thầy cơ giáo đã tham gia giảng dạy tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD & ĐT Hà Tĩnh, Ban Giám hiệu trường THPT Hà Huy Tập, các đồng nghiệp trường THPT Hà Huy Tập, gia đình và bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả

trong quá trình học tập và nghiên cứu

Vinh, thang 10 nam 2012

Trang 4

NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

Ñ Tập hợp các số nguyên dương R Tập hợp các số thực

Trang 5

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Các khái niệm

1.1.1 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1 Cho không gian xác suất (©, Z, P), đ là ø- đại số con của ơ- đại số Z Khi đó ánh xạ X: Q —> IR được gọi là biến ngẫu nhiên Ở- đo được nếu nó là ánh xạ đ/B(R) đo được, tức là với mọi ö € Z(R) thi

X"!(Pb)cú

Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F- đo được, thì X

được gọi một cách đơn giản là biến ngâu nhiên Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận hữu hạn giá trị thì nó được gọi là biến ngẫu nhiên đơn giản

Ví dụ 1.1

Giả sử A € 7 Dat

1 néuw€ A, Taw) = {0 néuw ¢ A

Khi đó 7x là biến ngẫu nhiên đơn giản

Thật vậy, với mọi € Ø(R) thì Ø C R nên

Ú nếu0£ H.lợ” 4, nếu0€ D,1lợ”

A, nud ¢ BEB

Q, néeu0E BL1 EB

Tir dé I;'(B) € F voi mọi B € B(R)

Suy ra I, 1a mot bién ngau nhién

I,'(B) =

Trang 6

1.1.2 Hàm phân phối

Định nghĩa 1.2 Giả sử (O, Z P) là một không gian xác suất; X: () —>› IR là biến ngẫu nhiên khi đó, hàm số Fx(œ) = P(X < z) = P(œ: X(œ) < 2) được gọi là hàm phân phối của X Tính chất 10< F(a) <1 2 Néua<b thi /'(b)— F(a) = P(a < x < bd); do dé F(x) 1a ham khong giam 3 fim F(x) =1; im F(x) =0

1.1.3 Các loại biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.3 Một biến ngẫu nhiên được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó chỉ nhận một số hữu hạn hoặc đếm được giá trị

Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, tập hợp tất cả các giá trị có thể có của

nó có thể được liệt kê bằng một dãy hữu hạn hay vô hạn z¡, #s #3, #„

Tập hợp các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu là

Bảng phân phối Khi nghiên cứu về biến ngẫu nhiên rời rạc X, ta cần biết tất cả các giá trị của nó cùng với các xác suất tương ứng Các thông tin này được xác định tiện lợi trong một bảng gọi là bởng phân phối

Trang 7

Px(B) — So pi Fy (x) = »

acB m<ứ

Trang 8

Tính chất Từ định nghĩa, suy ra 1 Với mọi ø, thỏa mãn —œ < ø < b < +00 tacé b P(a< X <b)= [ooae 2 f plade =1 —%

3 p(œ) = F'(a) tai moi diém z+ ma p(x) liên tục 1.1.4 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.5 Giả sử X : (©, 7, P) — (R, 8(R)) là biến ngẫu nhiên Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo PP (nếu tồn tại) được gọi là &ỳ vọng của X và ký hiệu EX

Vậy

EX = Í XdP JQ

Nếu tơn tại E|X|? < œ (p > 0) thì ta nói X khở tích bậc p Đặc biệt, nếu IE|X| < œ thì X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích

Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản X = )”?; ø;1¿, thì

n

EX := 0 ajP(Ai)

i=l

Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì X là giới hạn của một dãy tăng các biến ngẫu nhiên đơn giản (X„,? > 1)

Khi đó

EX := lim EX,

Trang 9

Khi đó: EX := EX” — IEX~ (nếu có nghĩa) Kỳ vọng có các tính chất sau đây

1 Néu X > O thi EX > 0 2 Néu X = C thi EX =C

3 Nếu tồn tại EX thì với mọi C € R tacé E(CX) = CEX

4, Néu ton tai EX va EY thi E-Y +Y) =EX +EY 5

SS wip; nếu X rời rạc nhận các giá tri x1, x2

EX = 4 voi P(X = #¡) = pị

Se zp(z)dz nếu X liên tục có hàm mật độ (+)

Tổng quát: Nếu f : R > R 1a ham do duoc va Y = f(X) thi

SO f(xi)pi nếu X rời rạc nhận các giá trị #, #3

EY =4 với D(X = 2) = py

SLX fle)p(w)de nếu X liên tục có ham mat do P(.r)

6 (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |X;,| < Y,EY < œ và

X, — X thì X khả tích, E|X; — X| —› 0 và EX; —> EX (khi n» —> oœc)

Ý nghĩa: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là giá trị trung bình theo xác suất của biến ngẫu nhiên đó Trong trường hợp X nhận các giá trị với xác suất như nhau thì kỳ vọng chính là trung bình cộng của nó

Định nghĩa 1.6 Giả sử X là biến ngẫu nhiên Khi đó, số

DX :— E(X — EX)? (nếu tồn tại) được gọi là phương sai của X

Vậy

S)(z¡ — EX)*p; nếu X rời rạc và P(X = z;) = pj mm (es, —EX)*p(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ là p(x) Phương sai có các tính chất cơ bản sau đây

1 DX —EX? - (EX)?

2.DX >0

Trang 10

1.1.5 Các dạng hội tụ

Định nghĩa 1.7 Ta nói dãy biến ngẫu nhiên (X„,» > 1) hội £¿ đến biến ngẫu nhiên X (khi ø — œ) là

e Hầu chắc chắn nếu P( lim |X„ — X| = 0) = 1 Kihieu X, “2 x e Theo xác suất nếu với mọi z > 0 thì lim P(|X, —X noc >e)=0 Ta Poy Ki hiéu X, > X e Đầy đ/ nếu với mọi e > 0 thì À `P(|X; — X| >£) < 00 n=1 Kí hiệu X„ S› X e Theo trung bình cấp p (p > 0) nếu lim E|X, — X? =0 noc 711A Ấp Kíhiệu Xạ —> X

Trang 11

h.c.c Chứng minh (¡) Giả sử X„ —> X Khi đó, với mọi s > 0 lim P(sup |X, — X| > e) =0 NOX m>n Mặt khác 0 < P(|X; — X| > e) < P(sup |X„ — X| > s) m>n Vì vậy ta có lim P(|X„ — X| > £) = 0 (với mọi = > 0) N00 Do dé X,, £ X khin > ov

() Giả sử X„ -**y X Khi đó áp dụng bất đẳng thức Markov cho biến ngẫu nhiên |X; — X|P ta có, với mọi e > 0

E|X, — XỊ? S=—— *

(P(|X, — X| > 2) = P(\X, — XP > 2) 0

Do đó X„ ^› X khi ø — oc Đó là điều cần chứng minh

1.1.6 Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.8 Họ các biến ngẫu nhiên (X;);¿; được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu họ ơ- đại số (ơ(X;));e; độc lập (độc lập đôi một)

Trang 12

ul 1.1.7 Kỳ vọng có điều kiện

Định nghĩa 1.9 Giả sử (Q.7 P) là không gian xác suất, X: (@ —> IR là biến ngẫu nhiên và đ là ø- đại số con của Z Khi đó biến ngẫu nhiên Y gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với ơ- đại số Ở nếu

(i) Y 1a bién ngẫu nhiên đ— đo được; Í YdP = Í XdP JA JA Ky hiéu: Y = E(X|G) hay Y = E9X () Với mỗi A € Ở, ta có Chú ý:

1 Néu Y là biến ngẫu nhiên xác định trên (O, Z,P) và đ là ơ- đại số

con của Z sao cho Y là biến ngẫu nhiên đ— đo được, thì ta viết Y € G

2 Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên da cho trén (Q, F, P) va G 1a o- dai số sinh bởi Y, thì E( X|đ) được ký hiệu là E(X|Y ) và được gọi là kỳ vọng điêu kiện của biến ngẫu nhiên X đối với biến ngẫu nhiên Y

3 Nếu Xị X¿ , là các biến ngẫu nhiên xác định trên (O, Z, P)và đ là

ơ- đại số sinh bởi chúng thì I#(X|đ) được ký hiệu là E(X|X¡, X›, ) 4 Nếu X = l¡, 4€ ở thì I#(X|đ) được ký hiệu là P(4|đ) và được gọi

là xác suất điều kiện của biến cố A đối với ơ- đại số đ E(LẠ|X: X: ) được ký hiệu là P(A|X;, X›, ) và được gọi là xác suất điều kiện của biến

cố A đối với biến ngẫu nhiên X), X¿,

Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện

I1 Nếu E|X| < œ thì tồn tại duy nhất Y = E(X|đ) (h.c.c.) 2 Nếu X = c (hằng số) thì

E(X|G) =E(clG)=c (h.cc.) 3 Nếu X > Y (ñ.c.c) thì

Trang 13

4 Với mọi hằng số «ø, Ð ta có:

BE(aX + bY|đ) = aE(X|đ) + ĐE(Y|0) — (h.c‹.)

5 Nếu X và G độc lập thì E(X|đ) = EX

6 E[E(X|G) =EX (h.e‹c)

7 Nếu X là biến ngẫu nhiên G— do dugc thi E(X|G) = X — (h.c.c.) 8 Néu E|XY| < 00, E|X| < 00, X € G thi

E(XY|6đ) = XE(Y|đ) (h.c.c.) 1.1.8 Martingale

Giả sử (X„,n € N) 1a day bién ngau nhién, (F,,,n € N) 1a day tang cdc o-

đại số con clia o- dai s6 F : Fy C Fi C Fa C Z„ C Z Khi đó, nếu

Xn € Fy (Vn € N) thi day (Xn, Fn,n € N) được gọi là đấy phù hợp Định nghĩa 1.10 Gia su (Q, F, P) 1a khong gian xác suất, (X„.nø € Ñ) là dãy biến ngẫu nhiên, (Z„,» € Ñ) là dãy tăng các ơ- đại số Khi đó dãy

(Xn, Fn, n € Ñ) được gọi là

e martingale nếu

(t) (Xn, Fn n € Ñ) là dãy phù hợp (it) E|X,| < 00, Vn EN

(iit) V6im <n, mneN

E(Xa|#„) = X„ — h.cc e Hiéu martingale néu

(i) (Xn, Fn, n € N) 1a day phi hop

(it) E|X,| < 00, Yn EN (ii’) V6im <n, m,n EN

Trang 14

13 1.2 Mot sé bat dang thitc lién quan 1.2.1 Bất đẳng thức Markov Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm Khi đó với mọi > 0, ta có P(X>e)< EX’ Chứng mình Ta có EX = [xe- XdP+ / XdP>e Í dP = <P(X ><) ọ (0<X<e) (X>2) (ae) Suy ra P(X >e)< EX’ œ 1.2.2 Các bất đẳng thức moment

(1.2.1) là tâm thường nếu ||X ||›||Y ||› — 0

Vậy có thể giả thiết ||X ||›||Y ||› > 0

Thay a, b trong bất đẳng thức sơ cấp

Trang 15

bởi ri, và ty, tương ứng, sau đó lấy kỳ vọng hai vế ta có

[XY| x? y?

2E xem? <2 (nag) + Gyp <E +E 5) =2

Từ đó ta có điều phải chứng minh L1 b Bất đẳng thức Minkovski Giả sử X,Y € £°,1<p< œ Khi đó X + Y € £? và IX +¥Vllp < XI, + lIY | Chứng mình Xem [1] Oo c Bất đẳng thức C,

Giả sử X,Y € £r,z > 0 Khi đó

E|X +Y' < Œ(EIXI' + ElY|’)

Trang 16

15

1.2.3 Bất đẳng thức Burkholder

Cho (Z,, Fn), + = 1,2 , là martingale Đặt Xạ = Zạ — Zạ_¡ Với p > 1, tồn tại các íc hằng SỐ đương hitu han C;, va 7), chỉ phụ thuộc vào ; sao cho

[E(Y` x?)?]'" < (ElZ4I)1® < D,[ Ộ ` xi7 )2]!(1.2.2)

k=1

Khi các biến ngẫu nhiên X;, X›, , độc lập thì (1.2.2) còn được gọi là bất đẳng thức Marcinkiewicz - Zygmund và nó cũng đúng trong trường hợp p= 1 Chứng mình Xem [4] L] 1.2.4 Bất đẳng thức Davis Cho (X„,n € Ñ) là dãy biến ngẫu nhiên và ƒ — (ƒ¡, /›, ) là martingale v6i fr = D> Xx, m„ > 1 k=l

Dat f* = sup, [fal va S(f) = (> X?)!

Khi đó tồn tại hai số dương C, D sao cho

ŒI|50)II: < l/"li < ÐII50)NL-

Ching minh

Trang 17

Chuong 2

MOT SO LUAT YEU SO LON

CHO MANG CAC BIEN NGAU NHIEN

2.1 Các dạng bị làm trội của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.1 Cho {k,;n > 1} 1a day số nguyên dương thỏa mãn lim k, = oo Mảng biến ngẫu nhiên {Y;;; 1 < ¡ < k;.ø > 1} được gọi là

NOX

(a) Bi chan mạnh bởi biến ngẫu nhiên Y nếu |Yz;| < Y (h.c.c) đối với mọi ¿ và m:

(b) Bi chan mạnh theo nghĩa Cesàro bởi biến ngẫu nhiên Y nếu tồn tại

+ > 0 sao cho

Kn

El So ¥nil < yY (h.c.c) véi moi n i=l

(c) Bị chặn yếu bởi biến ngẫu nhiên Y nếu

P(|Y2¿| > ø) < P(Y > ø) với mọi > 0 và với mọi ¡ va n

(d) Bị chặn yếu theo nghĩa Cesàro bởi biến ngẫu nhiên Y nếu tôn tại y > 0

sao cho

Kn

~YOPUYnl > y) < YP(Y > y) với mọi y > 0 và với mọi n

_=

(e) Khả tích đều nếu

Trang 18

17

2.2 Quan hệ giữa các dạng bị làm trội

Mệnh đề 2.1 Mội máng biến ngẫu nhiên {Yj¡; 1 < ¡ < bạ,n > 1} bị chặn mạnh thì bị chặn yếu

Chứng mình

Mảng biến ngẫu nhiên {Y?„¿; 1 < ¡ < k„,n > 1} bị chặn mạnh nên |Y;;| < Y,

VỚI MỌI ¿ Và ?

Do d6 P(|Yni| > y) < P(Y > y), moi > 0 và mọi i, n

Suy ra {Y2; 1 < ¡ < ky n > 1} bị chặn yếu oO

Ménh dé 2.2 Mang bién ngẫu nhiên {Y„:L < ¡ < k„,n > L} bị chặn

mạnh thì bị chặn mạnh theo nghĩa Cesàro Chứng mình Mảng biến ngẫu nhiên {Y;;; 1 < ¡ < 1, > 1} bị chặn mạnh nên |Y;;| < Y, VỚI moi i va n Suy ra kn 1 kn Ynil < knY > —— Ynil < Y » Yr i » | Do đó tồn tại + = 1 sao cho 1 1 — 2| < — Vil <

Suy ra {Yni; L 1} bi chan mạnh theo nghĩa Cesàro Đó là

điều phải chứng minh oO

Ménh dé 2.3 Mang bién ngdu nhién {Yni31 1} bi chan yéu

thì bị chặn yếu theo nghĩa Cesàro Chứng mình

Mảng biến ngẫu nhiên {Y,;;1 1} bị chặn yếu nên

Trang 19

Do đó kn SE PUYnil > w) < knP(Y > 9) i=l Suy ra tồn tại y = 1 sao cho ky SSP (UYnil > y) < PUY > y), i=1 1 kn moi y > 0 va moi 7

Vậy {Y¡¡;1 < ¡ < k,n > 1} bị chặn yếu theo nghĩa Cesàro oO Mệnh dé 2.4 Mot mang bién ngdu nhién {Y¥ni31 1} kha tich déu thi kha tich déu theo nghia Cesaro

Ching minh

Mảng biến ngẫu nhiên {Y?;: l 1} khả tích đều nên

Trang 20

19

Định lý 2.1 (Định lý Chandra (1989)) Một dãy biến ngẫu nhiên { X„;?› > 1}

khả tích đêu theo nghĩa Cesàro nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa

mãn

Tì

(a) sup(? 15” E(|X¿|)) k=l

(b) Với mỗi < > 0, ton tai mét s6 5 > 0 sao cho khi {A,,} thỏa mãn điều kién (2.1.1) sup ( =Š PAn) <ð thì sup ( oy | |X;.|dP) > = (2.1.2) k=l}, Ching minh Điều kiện cần Với < = 1 tn tai ap > 0 sao cho sup (n my / |X¿|dP) < =lx, >a Khi đó E(|Xx|) < ag + / |X;,{dP |Xx|>ao0 k= 1x, >a Suy ra n ˆ nn' SE (|Xx|) < ap + n7 » / |X;|dP < a, +1 k=1

Vậy điều kiện (a) được chứng minh

Trang 21

Đặt ổ — =/(2ao) khi đó từ điều kiện (2.1.1) ta có n mì » / |X,|dP < nÌ » (apP(Ax) + / |X;|4P) k=l 4, k=l IXiÌ>a n Tì = dạn"! À `P(4;) +n! » / |X;|đlP < auồ + e/2=e k=l Fly > a9 Vay điều kiện (b) được chứng minh Điều kiện đủ Đặt n K =sup{(w”E([X,|)) k=l

Khi đó với mỗi a > 0,

P(|X;¿| > a) < a7! E(|X;|) voi moi & > 1 Vi vay

no! S> P(X: >a) < Ñ/«, với mọi > 1

k=l

Với c > 0 tùy ý, từ (b) tồn tại một số ð > 0 sao cho (2.1.1) kéo theo (2.1.2)

Đặt øo = /€C/ð Nếu (ø > øa) thi | txies / |X, |dP |X; [2a |X¿|>ao Tw đó suy ra n Tì n!) J |X¿|ldP <ø='3 2 / |X,.|dP < e

Klixy ea Flix, [a9

Vậy định lý được chứng minh L]

Định lý 2.2 (Mở rộng định lý Chandra cho mảng) Máng biến ngẫu nhiên

Trang 22

21 (a) supe iy E(|Xnil) < oo n (b) Với mỗi e > 0, tôn tại một số ồ > 0 sao cho nếu { A„¡} là mảng thỏa mãn điều kiện sup (~ SSP Un) <o (2.2.1) ” i=l thi sup ( = / |Xz|dP) < e (2.2.2) ĐH Chứng mình Điều kiện cần Với e — 1 tồn tại ø¿ > 0 sao cho sup (= | |[XnildP) < 1 n “ n |X„¿ >ao Khi đó E(|Xpil) < a + | LXz.|dP |Xø„¡ >aa Suy ra k, 1 kn › E|X,,| <a TT "` / |Xni|dP < < ao + 1 i=l Xn: >qu

Vậy điều kiện (a) được chứng minh

Bay giờ với £ > 0 tùy ý, lấy ap > 0 sao cho

¬ 1

Trang 23

k, » (apP(Ani) Tr / |Xz¡|dP) n i=1 - IXnil2a0 LSS fixuee< 2 kin a; ~ ky 1 k 1 Kn ">> 5 J |X„|ÄP < auỗ + e/2 = e =ï lly Sag Vậy điều kiện (b) được chứng minh Điều kiện đủ Đặt k, Lót

K= \ ule À, |Xnil) —È `EIX„|)} }

Khi đó với méi a > 0, ta cd

P(|Xpi| > a) < a7! E(|Xpil), voi moi i> 1 Do dé 1 k Fy 2 PlXnl 24) <~ v6i mg’ hn > 1 Với e > 0 tùy ý, từ (b) tồn tại một số ổ > 0 sao cho (2.2.1) suy ra (2.2.2) Đặt đụ = K/6 néu a > ao thi [ular < | |XnildP |X„|>a |Xnal2a0 Tir d6 suy ra 1 1 te m5 / [XnildP < 7) \Xyi|dP <<

Do đó mảng { X„¡; 1 < ¡ < kạ,+ > 1} khả tích đều theo nghĩa Cesàro

Trang 24

23

2.3 Luật yếu số lớn cho mảng khả tích đều

Trang 25

Truong hop 1: Với 1 < p < 2: Ap dung bat đẳng thức Burkholder (khi 1 |X7P i=1

< Byk??M? + Bykn( (se

với B, la hang s6, chỉ phụ thuộc vào ? Ta sẽ chứng minh rằng mảng biến ngẫu nhiên

{|Xøi — tại|P: L < ? < kạ.n > 1}

khả tích đều theo nghĩa Cesàro Thật vậy, theo giả thiết ta có

{|Xnil?} 1 1} khả tích đều theo nghĩa Cesàro

Mặt khác ta thấy rằng

E|u„|? < E|X,,;|?

Do đó {|/„¡|?;1 < ¿ < k„,n: > 1} khả tích đều theo nghĩa Cesàro

Suy ra

|Xøi — nil? < Cy(|Xnil? + ||")

với Cý = maz(1,2P~}) Vậy {| Xi — dại|P: 1 < ? < kạ,n > L} khả tích đều theo nghĩa Cesàro

Trang 27

Do đó

kn? Sp +30 khi no

Từ hai trường hợp trên, suy ra điều phải chứng minh QO

Dinh ly 2.4 Cho máng biến ngẫu nhiên độc lập đôi một

Trang 29

khi —> oc với mỗi ý cố định Do đó với mỗi ý > 1 ta có

kn

; ‘ —1 <9s L—l — Y„

Jim sup ky E(|S:„|) < 2sup fk; À„FúXu Ynil) }-

Bây giờ cho N —> co và chú ý rằng

E(|Xni — Yni |) = / |Xni|dP

|X„|>N

Suy ra

k„ IE(|S;, |) — 0,

hay

Vậy định lý được chứng minh

2.4 Luật yếu số lớn cho mảng đôi một không tương quan Định nghĩa 2.2 Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là không tương quan

néu E(XY) = EXEY

Trang 30

29 Vay thi kn kn kn DỊ) Xói) = E(Ồ ` Xa)” — (EỒ ` Xu)? i=1 i=l ?z=l kn kn

= ED„ Xi +2 SO Xi Xnj)— SEX)? -2 SO EX„EX¡;

i 1<i<j<ky i=1 1<i<j<kn = = Sex — (EX„i) ) +2 ` (E(Xz;X„j) — EX,„iRX„;) 1<i<j<È, = x DXni- i=1 (Vì Xz¿ X;; không tương quan nên I#(X„; X„;) — EX„¡EX„¿ = 0.) Ta có điều cần chứng minh Oo

Định lý 2.5 Gi¿ sử {Xn 1 < ¡ < kạ,n > 1} đôi một không tương quan

Trang 31

KẾT LUẬN

1 Luận văn đã giải quyết được những vấn đề sau:

1.1 Đưa ra được mối quan hệ giữa các dạng bị làm trội

1.2 Mở rộng định lí Chandra cho mảng các biến ngẫu nhiên

1.3 Cung cấp một số luật yếu số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên 1.4 Nêu được một số mối liên hệ với các kết quả trước đây

Trang 32

31

TAI LIEU THAM KHAO

[1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xúc suất nâng cao, NXB Đại học Quốc

gia, Hà Nội

[2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), Lý huyết xác suất, NXB Dai

học Quốc gia, Hà Nội

[3] A Gut (1992), The weak law of large numbers for arrays, Statist Probab Lett, 14, 49-52

[4] I Fazekas (2005), Burkholder's inequality for multiindex martingales, Annales Mathematicae et Informaticae, 32, 45-51

[5] T.K Chandra (1989), Uniform integrability in the Cesaro sense and

The weak law of large numbers, Sankhya Series A 51, 309-317 [6] B Davis (1970), On the integrability of the martingale square funtion,

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	4,02 MB