Xác định khuynh của quá trình bằng xấp xỉ wavelet

ệ ệ ử õ tự ỡ s ữủ ố ữỡ s ộ tớ q tr ổ t ữỡ tố t q tr t t ỡ s t ữợ ữủ ọ t ỹ t tr ổ tổ t ự ổ tổ t ỹ số t tt tr q t sỹ t tr tố ữủ ỳ ữủ ỡ q t t ữ trỳ q st tr tỹ t tữớ ữủ t t ữợ ộ số tứ ỳ ộ số ữớ t õ t rút r ữủ ỳ q t ởt q tr ữủ ổ t tổ q ộ số ữ ự q trồ t ỹ r ởt ộ ỳ ứ ỳ ữớ t ữ r ổ ộ tớ ữ ổ tỹ ỗ q ổ ỹ ỗ q t ủ tr trữủt trss trt r ổ ởt ổ ữủ ự rở r tr t tt ỹ q tr t ữủ t q õ ổ t ự t ộ tớ ứ t t q tr õ ổ tr tỹ t ởt q st tữớ ỗ t ởt t ởt t tt ỏ õ ố ỹ ữủ ổ ỹ t ủ ởt ộ ỳ q st ũ ởt số ữỡ t t t ữ õ ữủ ổ ữ õ ữủ õ ữ ởt trỡ tt sỹ t ởt õ tố tr ộ tớ õ ữ tr t tr sỹ õ t q rt tợ ữợ ữủ ởt t tờ qt tr õ ự t t õ tr t ữỡ t ữ ởt ổ t ộ tớ tọ r õ q ố ợ t r ỡ s t t ú tổ ự t q tr t ỗ ữỡ ữỡ tự r ữỡ ú tổ tr ởt số ỡ q ữỡ s t ú tổ tr ởt số ỡ ỵ tt st ữ ữủ ố q tr ỗ tớ õ ỳ tự ỡ s ự ú tổ tr ổ t ữỡ tố t ữỡ q tr t ỗ tt t ú tổ t ỡ s t s ữủ sỷ tr t ú tổ t tự ữợ ữủ t số ổ q t t t ữợ ữủ õ tr t ú tổ tr t ọ t ữủ tỹ t t trữớ ữợ sỹ ữợ t t t t r ỏ ữủ tọ ỏ t ỡ s s t t sỹ ữợ t t t t ủ t tr sốt q tr t ự t ụ t ỡ t ổ tr tờ st ố ự t ổ tr ỗ ỏ s ồtrữớ ỗ tớ tổ õ ỡ tợ õ ỵ t tỹ ũ õ ố s ổ tr ọ ỳ t sõt rt ữủ ỳ ỳ ỵ õ õ t ổ ữủ t ỡ t ỡ t ì é ữủ ố sỷ ởt t tũ ỵ rộ P() tt t ợ F P() ữủ số tọ s F A F \A = Ac F An F(n = 1, 2, ) An F n=1 (, F) ữủ ổ P : F R ữủ st tr F s tó P (A) ợ A F P () = An F Ai Aj AiAj (i = j) t P( n=1 An ) = P (An ) n=1 (, F, P ) ữủ ổ st sỷ (, F, P ) ổ st G số số F B số r tr ữớ t tỹ R õ X : R ữủ G ữủ ợ B B(R) t X (B) G ỏ ữủ ữủ sỷ (, F, P ) ổ st X : R õ số FX (x) = P (X < x) = P ( : X() < x) ữủ ố ữỡ s tr tr số EX ữủ EX = Xdp t t X t EX X = C t EX = C ợ C số tỗ t EX t ợ số t õ E(X) = EX tỗt EX EY t E(X Y ) = EX EY rớ r P (X = xk ) = pk , k x k pk , EX = + xp(x)dx, tử õ t p(x) ỵ P sỹ tử ỡ Xn X tữỡ ự Xn X tỗ t EXn < tữỡ ự EXn+ < t EXn EX tữỡ ự EXn EX t Xn Y, n EY > t ElimXn limEXn , Xn Y, n EY < t ElimXn limEXn , |Xn | Y, n EY < t ElimXn limEXn limEXn ElimXn ỵ ss sỹ tử |Xn| Y, n EY < Xn X t X t E|Xn X| EXn EX, n ỗ X (X) t t E((X)) (EX) X Y t E(XY ) = EX.EY Pữỡ s X DX r ởt số ữủ DX = E(X EX)2 õ DX = k (xk + (x EX)2 pk , rớ r EX)2 p(x)dx, tử õ t P (X = xk ) = pk , p(x) t t ữỡ s DX 0, DX = X = C số ợ số t D(X) = 2DX DX = EX (EX)2 X, Y t D(X Y ) = DX + DY ợ số t õ E(X )2 E(X EX)2 r EX = ộ tớ q tr ộ tớ ởt ộ tr ởt ữủ õ ữủ s t tự tỹ tớ t số tớ T = [a, b] R t õ ộ tớ tử t số tớ T Z t õ ộ tớ rớ r tr X(t) ởt ợ ữủ tở t số t T T R ữủ t ữ tớ õ t ộ tớ tr ởt ổ ổ ữủ tr õ st õ t ữ r q tr ộ tớ ởt t ỡ ữ s sỷ T = {x Z : x [a, b] R, a < b +} {Xt , t T } ởt ợ ữủ ữủ s t tự tỹ tr ộ tớ ởt {xt /t T } ỳ ổ tr {Xt } ữ ộ tớ ởt rớ r t ởt q tr ữủ số õ số t tr ỳ tớ t ủ tớ q st t0, t0 + h, , t0 + N h t ộ tớ ữủ x0, x1, x2, , xN N + ữủ ộ T = Z t ộ tớ ổ , x2 , x1 , x0 , x1 , x2 , T = N t ộ tớ x0, x1, x2, ữủ ữủ tứ ổ st (, F, P ) ổ (R, B) q tr {Xt } (t, ) ữủ t ợ ộ t T tr X(t) t R ữủ ứ t ợ h R t1 < t2 < < tn t ố st ỗ tớ {X(t1 + h), X(t2 + h), , X(tn + h)} {X(t1), X(t2), , X(tn)} ữ ố ỳ X(t) ổ t t t X(t) ởt q h t ổ ổ ổ t ũ ỹ q tr t tt tứ trss trt r ộ tứ ổ t ổ t P tỹ ỗ q trss P ủ t trt P tr r ổ tữớ ữủ t ữợ p, d, q tr õ p ổ t d ổ t ủ t q ổ t t q s t ổ õ p, q, d õ t tự tr ỳ trữớ ủ t ũ ởt tr ổ P ổ ổ t t ộ tr q st ởt p tr trữợ õ ị tữ ổ ỗ q tr số q ự ỳ trữợ Y (t) = a0 + a1 Y (t 1) + a2 Y (t 2) + + ap Y (t p) + et r õ Y (t) tr q st t tớ t Y (t 1), Y (t 2), , Y (t p) tr q st t tớ t 1, t 2, , t p et s số õ t ởt tr tr ộ ỗ tr a0, a1, a2, ap số p = t ộ q st ởt ởt q st trữợ õ õ : Y (t) = a0 + a1Y (t 1) + et P ổ r tr q st ữủ ổ õ trỹ t ộ s q st t s ữủ ổ õ d = s : z(t) = y(t) y(t 1) d = s : h(t) = z(t) z(t 1) q P ổ ổ t t ộ tr q st q s số trữợ õ Y (t) = b0 + et + b1 et1 + b2 et2 + + bq etq r õ et s số t tớ t et1, et2, , etq s số trữợ õ t tớ tữỡ ự t 1, t 2, , t q b0, b1, b2, , bq số ổ Y (t) = b0 + et + b1et1 ổ Y (t) = b0 + et + b1et1 + b2et2 ổ sỷ ổ õ ữợ ữủ tr p, d, q t ủ õ tứ p, d, q t số ai(i = 1, 2, , p) bj (j = 1, 2, , q) t t t tớ t P (t, L) 1, 2, B P (t, L) = 1, 0, r õ L L t< , L L t< , 6 L L t , tr trữớ ủ ỏ B= L ỗ t ố ữ ởt õ õ ỏ t t õ ữớ t t t ũ t ú t õ tử tr tỹ t ộ tớ ú t ũ tợ rớ r ú rớ r r t õ N i , N N I(i, N ) = + i N, 1, 0, i < i > N rớ r ừ t t 1, 1, N 2, P (i, N ) = 1, 0, i N3 , N3 + i 2N , 2N + i N, i < i > N r õ N = L tờ ộ tớ tr ỡ s t ũ t ú t sỷ ũ ởt ộ tớ õ số ộ tớ t ữợ ữủ ìợ ữủ ổ ìợ ữủ G t số ởt X ữủ ữợ ữủ ổ tó E(G) = sỷ t tờ qt ú t q st ữủ t t ổ g(t) = g(t) + à0 + à1 t + à2 t2 r õ t tớ g tr tự tớ ộ tớ t tr tr à0, à1, à2 số tự ộ g t L t ữợ ữủ à0, à1, à2 s õ t t t g(t) số t g(t) ố ợ ỡ s t t + g(s)P (s t, L)ds (t, L) = ộ tớ t tờ qt g(t) L ữợ ữủ ổ tó õ tr t tớ t = à2 à2 L , L = à2 ự õ tr t tớ t = L2 L ,L = õ L ,L = L L + g(s)P s L , L ds + L + L + g(s)P s , L ds L 2 + L L g(s)P s , L ds + L L g(s)P s g(s)P s g(s)P s L L L , 2 L L L ,L = g(s)P s , L ds + L 2 L , L ds L , L ds L , L ds P (t, L) = L g(s)P s L L + L g(s)P s L , L ds L , L ds ỷ t õ L ,L = B L 2L g(s)ds 2B L g(s)ds + B L g(s)ds 2L ú ỵ tr t t t ỡ t ộ tớ ữ t t ộ tớ t õ t t ởt số ữủ số t ữủ số õ tứ t tợ ữ tr t ú t ởt tr t tớ L2 tứ P ủ g t t tr 2L g(s)ds, I = 2B L t t = s L3 õ L I = 2B g(t + L )dt g(s + L )ds L I = 2B t t L g(s)ds, J =B 2L t t = s 2L õ L J =B g(t + 2L )dt g(s + 2L )ds L J =B õ tr t L L ,L = B ds g(s) g (s + 2L L ) + g(s + ) 3 ố ợ g tr t õ t q L L ,L = B ds g(s) 2g(s + L 2L ) + g(s + ) + à2 3 ứ t õ tr tr t tr s ữ L2 , L ởt ữợ ữủ à2 õ à2 t tự ú t õ t à2 E[à2] ữủ L E[à2 ] = BE ds g(s) 2g(s + 2L L ) + g(s + ) 3 + E[à2 ] ứ E[g(t)] = t õ E[à2 ] = à2 ữ à2 = L2 , L ữợ ữủ ổ à2 ú ỵ r t tr tữỡ tỹ ữ t tỷ s õ ố ợ ỡ s t ữợ ữủ số tr ộ tớ t t ủ t g(t) ợ t r số t + g(s)I(s t, L)ds X(t, L) = ộ g(t) tó à2 t ữủ tr õ tr X L , L à2 L ữợ ữủ ổ à1 à1 ự t số t t tớ t = L2 L ,L = X + L , L)ds g(s)I(s õ X L L ,L = L + g(s)I(s X g(s)I(s L , L)ds g(s)I(s L , L)ds L + L , L)ds + L L , 2 t L ,L = L g(s)I(s , L)ds + L L L g(s)I(s , L)ds + L 2 g(s)I(s L , L)ds ỷ t t X L , L = A L L g(s)ds + A r t t L I=A g(s)ds, L t t = s L2 õ t õ L I=A g(t + L )dt g(s + L )ds L I=A g(s)ds L õ tr t X L L ,L = A ds g(s + L ) g(s) g tỹ t số t t t õ X L L ,L = A ds g(s + t X ữủ à1 t à1 L ) g(s) + à1 + à2 L L ,L à1 = X t ủ ợ t ởt ữợ L , L à2 L t t õ L à1 = à1 + A ds g(s + L ) g(s) (à2 à2 )L t tự t õ t tr ý L E[à1 ] = E[à1 ] + A r dsE g(s + L ) g(s) LE[à2 à2 ] E[à1 ] = à1 õ tr tr à2 ữợ ữủ ổ à2 à1 ởt ữợ ữủ ổ à1 ú ỵ r t tr s t t tỷ s ởt tữỡ tỹ ỹ r ự r ú t õ t ữợ ữủ t t tr ởt ộ tớ trứ ỡ tr tr ỷ tự t ộ tứ tr ỷ tự ố ũ t số à0 tr tự ộ g(t) tó à2 t ữủ tr à1 t ữủ tr õ tr 1 g à1 L à2 L2 ữợ ữủ ổ à0 à0 r õ g tr g g = L L g(s)ds ự t t g t õ L g = L r g(s) + à0 + à1 s + à2 s2 ds L õ tr tr ởt ữợ ữủ à0 à0 g = L 1 à0 = g à1 L à2 L2 tứ t õ à0 = à0 + L 1 g(s)ds + à0 + à1 L + à2 L2 L 1 g(s)ds L(à1 à1 ) L2 (à2 à2 ) L 1 E[g(s)]ds LE[à1 à1 ] L2 E[à2 à2 ] õ E[à0 ] = E[à0 ] + L ữ E[à0 ] = à0 ứ õ tr tr à1 à2 ữủt ữợ ữủ ổ à1 à2 õ q t ú t ữủ ữợ ữủ à0 à0 ụ ởt ữợ ữủ ổ ìợ ữủ ỳ ìợ ữủ ữủ ỳ t số ởt X ữợ ữủ g tó lim P (|g | > ) = 0, n ợ > ữợ ữủ à0 à1 à2 ữủ õ tr tr ú t sỷ tợ s số ữỡ tr ú t t tớ số ữỡ tr s số ữỡ s M SE à0 M SE[à0 ] = E[(à0 à0 )2 ] ữỡ tỹ s số ữỡ tr à1 à2 M SE[à1 ] = E[(à1 à1 )2 ] M SE[à2 ] = E[(à2 à2 )2 ] ữ s t tớ T = g + Cg ( )d r õ g2 ữỡ s ỵ tt ộ Cg tỹ tữỡ q Cg ( ) = E[g(t)g(t + )] tr T ữủ rs r ợ t tt ỗ ố s số ữỡ tr à0 à1 à2 tr t ổ ữ r ự r T ỳ ọ ỡ rt s ợ t ở ộ à0 à1 à2 ỳ ữợ ỳ s số ữỡ tr ộ ữợ ữủ õ ợ õ tr à0 à1 à2 ữủt tốt ợ à0 à1 à2 ứ t q tr ú tổ ữ r tt s tr ộ q st g r tr ữợ ữủ à0 à1 à2 ữợ à2 L à2 = B ds g(s) g (s + r õ ữợ à1 L à1 = A ds g(s + r õ A= ữợ à0 à0 = L L 3 L B= 2L L ) + g(s + ) 3 L ) g(s) à2 L 2 L 1 g(s)ds à1 L à2 L2 ọ t ữ ú t õ õ ỗ t tt t t t sỹ tt ố ợ ọ ụ õ ổ ự ỵ t ú t t r t ỏ t tỹ sỹ õ ởt ữợ ữủ ỳ số tự qt õ ọ ộ tớ ổ t tự t sỡ ỗ t ổ ú t ữ r ởt t ữủ qt t t ọ ởt ữủ ữợ ữủ ú ỵ rớ r ộ tớ tr gi = gi + à0 + à1 i + à2 (i)2 , tr õ i số i N õ tr g õ rớ r g = N g = N = N = N N gi i=1 N [gi + à0 + à1 i + à2 (i)2 ] i=1 N i=1 N i=1 à1 gi + à0 + N N i=1 à2 i+ N N i2 i=1 à1 à2 gi + à0 + (N + 1) + (N + 1)(2N + 1) g = N N gi + à0 + i=1 à2 à1 (N + 1) + (N + 1)(2N + 1) tự tữỡ tỹ ữ ởt ữủ õ ữỡ s ổ g s2g ữủ ữ s s2g = N N ( gi g)2 i=1 ứ t õ s2g = N N (gi N i=1 +à2 N gk ) + à1 (i k=1 N +1 ) (N + 1)(2N + 1) i 2 ỹ t tr tr t ữủ = N g2 + + N N 1 + N N (gi N i=1 N i=1 N N gk )2 k=1 à21 i2 i(N + 1) + (N + 1)2 i i2 (N + 1) (N + 1)(2N + 1) + (N + 1)2 (2N + 1) 12 i2 à22 i4 (N + 1)(2N + 1) + (N + 1)2 (2N + 1)2 36 à1 à2 i3 i=1 N i=1 t g2 = N N (gi N i=1 ố ũ tờ t t ữủ g2 = g2 + N gk )2 k=1 N (N + 1) 15à21 + 30à1 à2 (N + 1) + à22 (2N + 1)(8N + 11) 180 r õ g2 g2 ữủt ữỡ s tt ộ g g Pữỡ tr ổ tó ởt ộ ũ ợ s t tỹ t sỷ ú t sỷ ộ g õ ởt r õ ú t ổ t t r ỗ t ởt tr ộ ỳ trứ |g2 g2 | > r2 ứ t ỏ ọ t t tứ ỳ N (N + 1) [15à1 + 30à1 à2 (N + 1) + à2 2 (2N + 1)(8N + 11)] 180 = D22 > r2 ú t r tr ộ tớ õ t t ổ ữỡ tr t t 2 à1 N (N + 1) = D12 > r2 12 õ ú t t t ữủ à0 à1 à2 t ú t õ t D12 D22 tũ t ủ t t q ợ ỡ ữỡ ú t t tứ ộ g trữợ t t tố tr tr tr t qt ữủ ởt số ữ s r ởt tố ỳ tự ỡ s ử ự õ q tr t tr ỳ tt ỡ s ỵ tt st q tr q tr ứ t ữỡ tố t ổ t ữỡ sỷ t t r t t t ữợ ữủ ữỡ tr ữ r ữợ ữủ ữợ ữủ ổ ữợ ữủ ỳ tt ữợ ữủ số tr ữỡ tr tự õ ú tổ s t tử ự ỹ ổ t tt tr tỷ ố ợ ỳ t t ữủ tr tỹ t st ố ụ t ỵ tt st ố ũ ổ st ự t qố r ỏ ổ ố sỷ ỵ số rs r s ts t tt trs r tsr t t tr r s s ts r t srs rsts t rtt sttsts t rs rst rrr Ptr r Pr tss tr t t stt rst st rtt tts ts t Prs t ss srt Prrs trs Ps tt tsr r s ts r r ts s rs r tr tr t srs t ts rrt s sttr ss