Đối ngẫu matlis của môđun đối đồng điều địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THỊ TOAN ĐỐI NGẪU MATLIS CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Nghệ An, 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THỊ TOAN ĐỐI NGẪU MATLIS CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An, 2012 MỤC LỤC trang MỤC LỤC……………………………………………………………… MỞ ĐẦU………………………………………………………………… CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ………………………………… 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết……………………………………………… 1.2 Dãy quy độ sâu……………………………………… 1.3 Dãy quy lọc…………………………………………………… 1.4 Mơđun đối đồng điều địa phƣơng…………………………………… 1.5 Giá môđun đối đồng điều địa phƣơng…………………………… 12 CHƢƠNG ĐỐI NGẪU MATLIS CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG…………………………………………………………… 14 2.1 Đối ngẫu Matlis……………………………………………………… 14 2.2 Dãy quy I  lọc…………………………………………… 21 2.3 Đối ngẫu Matlis môđun đối đồng điều địa phƣơng……………… 25 KẾT LUẬN……………………………………………………………… 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO… …………………………………………… 30 MỞ ĐẦU Cho ( R, m) vành giao hoán địa phƣơng Noether khác không; I iđêan vành R M R  môđun Với i ≥ 0, môđun đối đồng điều địa phƣơng thứ i M với giá I đƣợc xác định bởi: H Ii ( M )  lim Ext Ri ( R / I n , M ) n0 Kí hiệu E  E ( R / m) bao nội xạ trƣờng thặng dƣ ( R, m) R Xét hàm tử D     Hom R (, E ( R / m)) từ phạm trù R – mơđun đến Vì E ( R / m) môđun nội xạ nên D () hàm tử khớp Hàm tử D () đƣợc gọi hàm tử đối ngẫu Matlis Gần có số cơng trình nghiên cứu môđun D( H Ii ( R)) thu đƣợc nhiều kết thú vị Chẳng hạn, ngƣời ta số phần tử sinh tối thiểu I liên quan đến độ dài dãy quy D( H Ii ( R)) môđun D( H Ii ( R)) “bé” theo nghĩa: H Ii ( D( H Ii ( R))) E Khái niệm dãy quy I - lọc mở rộng khái niệm dãy quy Cho R vành Noether địa phƣơng, M R  môđun hữu hạn sinh I iđêan R với IM  M Trong [6], cách sử dụng cơng cụ dãy quy I – lọc, K Khashyarmanesh tồn dãy quy x1 , , xn  I M H Ii ( M )  với i > n H In ( D( H In (M )))  E Mục đích Luận văn trình bày lại chi tiết kết báo [6] K Khashyarmanesh đối ngẫu Matlis môđun đối đồng điều địa phƣơng Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn đƣợc chia thành hai chƣơng Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở Đại số giao hốn có sử dụng Luận văn nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung Luận văn Chƣơng Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có dƣới dạng Mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chƣơng 2: Đối ngẫu Matlis môđun đối đồng điều địa phƣơng Chƣơng nội dung Luận văn Trong chƣơng chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất dãy quy I  lọc đối ngẫu Matlis môđun đối đồng điều địa phƣơng Luận văn đƣợc hoàn thành vào tháng năm 2012 trƣờng Đại học Vinh dƣới hƣớng dẫn cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cơ, ngƣời hƣớng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm túc suốt trình học tập, nghiên cứu Cũng xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ Đại số – Khoa Toán – Trƣờng Đại học Vinh, tác giả xin cảm ơn anh, chị, em, bạn bè lớp cao học 18 – Chuyên ngành Đại số lý thuyết số cộng tác giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành Luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng nghiêm túc q trình hồn thành Luận văn, song khơng thể tránh thiếu sót Chúng tơi mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn bè đồng nghiệp để Luận văn đƣợc hoàn thiện Vinh, tháng 06 năm 2012 Tác giả CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở Đại số giao hốn có liên quan đến kết chứng minh Chƣơng nhƣ: Iđêan nguyên tố liên kết, dãy quy độ sâu, dãy quy lọc, mơđun đối đồng điều địa phƣơng, giá môđun đối đồng điều địa phƣơng 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết 1.1.1 Định nghĩa Giả sử M R  môđun Ta gọi iđêan nguyên tố p R iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x  M , x  cho p  (0 :R x)  AnnR ( x) Tập iđêan nguyên tố liên kết M đƣợc ký hiệu AssR M (hoặc AssM không để ý đến vành R ) AssM  p SpecR : p  Ann( x) với x  M , x  0 1.1.2 Tính chất (i) p iđêan nguyên tố liên kết M tồn môđun Q M cho Q  R / p (ii) Gọi    Ann( x ) / x  M Khi đó, p phần tử tối đại  p iđêan nguyên tố liên kết M (iii) R vành Noether M R  môđun Khi đó, AssM   M  Hơn nữa, M R  môđun Noether tập AssM tập hữu hạn (iv) Cho M R  môđun N môđun M Khi đó, AssN  AssM (v) Cho M R  mơđun Khi đó, AssM  SuppM Nếu p SuppM p tối tiểu SuppM theo quan hệ bao hàm p AssM 1.1.3 Bổ đề Cho dãy khớp ngắn R  môđun  M  M  M  Khi đó: (i) AssM  AssM  AssM (ii) SuppM  SuppM  AssM SuppM  1.2 Dãy quy độ sâu 1.2.1 Định nghĩa Cho M R  môđun hữu hạn sinh (i) Một phần tử a đƣợc gọi phần tử quy M M  quy ax  với x  M, x  (ii) Một dãy phần tử x1 , x2 , , xn R đƣợc gọi dãy quy R  mơđun M hay cịn đƣợc gọi M  dãy M / ( x1 , , xn ) M  xi M / ( x1 , , xi 1 ) M  quy với i  1, , n Chú ý a  R phần tử quy M x  p , với p AssM Do đó, x1 , x2 , , xn dãy quy M M / ( x1 , , xn ) M  xi  p, với p AssM / ( x1, , xn ) M với i  1, , n 1.2.2 Định nghĩa (i) Giả sử x1 , x2 , , xn M  dãy Khi n đƣợc gọi độ dài dãy (ii) Cho I iđêan tùy ý vành R cho IM  M x1 , x2 , , xn M  dãy I Khi x1 , x2 , , xn đƣợc gọi dãy quy cực đại I không tồn y  I cho x1 , x2 , , xn , y dãy quy M Ta biết dãy quy cực đại iđêan I có độ dài Độ dài chung đƣợc gọi độ sâu M iđêan I đƣợc ký hiệu depthI ( M) Đặc biệt, I  m depthm ( M) đƣợc gọi độ sâu M ký hiệu depthM Nếu x1 , x2 , , xn dãy quy M phần hệ tham số M Do depthM  dim M 1.2.3 Mệnh đề Các phát biểu sau (i) Nếu x1 , , xn M  dãy quy x1k1 , , xnkn M  dãy quy với số tự nhiên k1 , , kn (ii) Nếu ( R, m) vành địa phương xi không ước M / ( x1 , , xi 1 ) M với i x1 , , xn M  dãy quy (iii) Nếu ( R, m) vành địa phương hốn vị M  dãy quy M  dãy quy 1.2.4 Mệnh đề Cho ( R, m) vành địa phương Khi phần tử a  M phần tử M  quy a  p với p  AssM Đặc biệt, M có phần tử quy m m  Ass M 1.3 Dãy quy lọc Giả thiết ( R, m) vành địa phƣơng M R – môđun hữu hạn sinh Khái niệm dãy quy lọc đƣợc định nghĩa năm 1978 N T Cƣờng, P Schenzel N V Trung mở rộng khái niệm dãy quy 1.3.1 Định nghĩa (i) Một phần tử a  m đƣợc gọi phần tử quy lọc M a  p với p AssM \ m (ii) Một dãy phần tử x1 , , xn R đƣợc gọi dãy quy lọc M hay M  dãy quy lọc xi phần tử quy lọc M / ( x1 , , xn ) M với i  1, , n 1.3.2 Định nghĩa (i) Ta gọi độ dài M n tồn dãy tăng môđun M có độ dài n khơng tồn dãy tăng mơđun M có độ dài lớn n Trong trƣờng hợp tồn dãy tăng mơđun M có độ dài tùy ý ta nói M có độ dài vơ hạn Độ dài M đƣợc kí hiệu ( M ) (ii) Ta gọi chiều M, kí hiệu dim M , số d tồn dãy tăng iđêan nguyên tố R chứa AnnM có độ dài d nhƣng khơng tồn dãy tăng iđêan nguyên tố R chứa AnnM có độ dài lớn d 1.3.3 Mệnh đề Các phát biểu sau (i) Phần tử a  m M  quy lọc : M a có độ dài hữu hạn (ii) Phần tử a  m M  quy lọc dim  0:M a   (iii) Phần tử M  quy lọc m tồn Hơn nữa, với số tự nhiên n tồn M  dãy quy lọc m có độ dài n (iv) Cho I iđêan R Nếu dim M / IM  dãy M  quy lọc I mở rộng thành dãy quy lọc tối đại, M  dãy quy lọc tối đại I có chung độ dài Độ dài chung gọi độ sâu lọc M I kí hiệu f  depth( I , M) 1.3.4 Mệnh đề Các phát biểu sau (i) Nếu I iđêan R depth( I, M)  f  depth( I, M) (ii) depthM  dim M (iii) Nếu dim(M / IM )  f  depth( I, M)  dim M (iv) Nếu dim(M / IM )  f  depth( I , M)   1.4 Môđun đối đồng điều địa phƣơng 1.4.1 Định nghĩa Giả thiết R vành Noether địa phƣơng, m iđêan tối đại R M R  môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M  d (i) Đối đồng điều địa phương lần đƣợc định nghĩa A Grothendick Cho I iđêan R Với R  môđun M, đặt  I ( M):  n   (0: M I n )  x  M / n  , xI n  Ta có  I ( M) mơđun M Với R  đồng cấu f : M  N, ta có f ( I ( M))   I (N) Do tồn  I ( f ):  I ( M )   I (N ) x  I ( f )( x )  f ( x ),  x   I ( M ) Khi  I hàm tử cộng tính, hiệp biến, khớp trái từ phạm trù R  môđun vào phạm trù R  môđun  I đƣợc gọi hàm tử xoắn Với số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i  I đƣợc kí hiệu H Ii đƣợc gọi hàm tử đối đồng điều địa phƣơng thứ i với giá I Với R  mơđun M, ta kí hiệu HIi ( M ) “ảnh” môđun M qua tác động hàm tử H Ii Khi đó, HIi ( M ) đƣợc gọi môđun đối đồng điều địa phương thứ i môđun M với giá I d (ii) Ngƣời ta gọi Hm ( M ) (với dim M  d ) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao môđun M i 1.4.2 Mệnh đề (i) Hm ( M ) R  môđun Artin với i  (ii) HIdim M ( M) môđun Artin với iđêan I R i (iii) Hm ( M)  với i  dim M i  depth M Với     i i depth M  i : Hm ( M )  ; dim M  max i : Hm ( M)  dim M dim M Đặc biệt, Hm ( M)  Hm ( M) môđun Artin d >0 16 2.1.6 Mệnh đề Giả sử ( R, m) vành địa phương Artin Sử dụng ký hiệu 2.1.1, ta có: (i) D( R / m)  R / m (ii) Với R  môđun hữu hạn sinh G , đối ngẫu Matlis D( G ) hữu hạn sinh ( D(G))  (G) (iii) E hữu hạn sinh (và Artin) ( E )  ( R) (iv) Với R – môđun hữu hạn sinh G , ánh xạ G : G  D( D(G)) đẳng cấu (v) Với f  HomG ( E, E ) , có rf  R cho f ( x)  rf x với x  E Chứng minh Chú ý rằng, điều kiện (v) tƣơng đƣơng với phát biểu đồng cấu  : R  HomR ( E, E ) xác định  (r )  rId E với r  R , đẳng cấu (i) Gọi k trƣờng thặng dƣ R Khi có đẳng cấu k – môđun D( R / m)  HomR ( R / m, E )  (0 :E m) Nhƣng (0 :E m)  Ek (k ) , k – môđun, tức không gian vectơ k nội xạ, Ek (k )  k Suy D( R / m)  R / m (ii) Quy nạp theo độ dài: Nhớ D hàm tử khớp (iii) Từ E  D( R) theo (ii) suy điều phải chứng minh (iv) Cho G R – môđun hữu hạn sinh Theo (ii), ta chứng minh đƣợc D( D(G)) hữu hạn sinh ( D( D(G)))  (G) Theo Nhận xét 2.1.3, G đơn cấu, suy G đẳng cấu (v) Theo (iv), ánh xạ G : R  HomR ( HomR ( R, E ), E ) đẳng cấu Do điều cần chứng minh đƣợc suy từ G   : R   D( D( R))   D( E ) 17 2.1.7 Mệnh đề Cho m iđêan cực đại R Khi R – mơđun nội xạ E ( R / m) Artin Chứng minh Ta có (0 :ER ( R / m) m)  ER / m ( R / m) Do R / m trƣờng, ER / m ( R / m)  R / m Do đó, (0 :ER ( R / m) m) R – mơđun Artin Khi ER ( R / m) m – xoắn, từ suy ER ( R / m) Artin 2.1.8 Mệnh đề Giả sử ( R, m) vành địa phương đặt E  E ( R / m) Cho M R – mơđun Khi M Artin M đẳng cấu với môđun E t , với số tự nhiên t đó, E t  ti 1 Ei với Ei  E,  i  1, , t Chứng minh +/ Điều kiện đủ Giả sử M đẳng cấu với môđun E t Khi theo Mệnh đề 2.1.7, với t  , môđun E t Artin +/ Điều kiện cần Giả sử M Artin M  Theo Hệ 2.1.5, M mở rộng cốt yếu Soc( M ) Soc( M ) môđun Artin triệt tiêu m Vì vậy, Soc( M ) có cấu trúc tự nhiên nhƣ không gian vectơ R / m tồn t  cho Soc( M )  ( R / m)t Hợp thành đẳng cấu với tổng trực tiếp ánh xạ bao hàm thu đƣợc R – đơn cấu f : Sos(M)  E t Do E t nội xạ nên f mở rộng thành R – đơn cấu f  : M  E t f  có đơn cấu từ M mở rộng cốt yếu Soc( M ) (Theo Hệ 2.1.5) Suy M đẳng cấu với môđun t E , với t  2.1.9 Nhận xét Giả sử ( R, m) vành địa phƣơng A R – mơđun Artin Cho a  A Khi tồn số t  t cho m a  Thật vậy, với a  hiển nhiên Nếu a  R – môđun Ra Artin, vành R / (0 : a) Artin, địa phƣơng iđêan cực đại lũy linh nên ta có điều phải chứng minh 18 Từ ta suy A có cấu trúc tự nhiên nhƣ R – môđun: với a  R (rn )  R , rn  R , amn  n đủ lớn (n rn a không thay đổi n phần tử rn a với n 0) nên Vì định nghĩa (rn )a Khi đó, tập A R – môđun R  môđun 2.1.10 Mệnh đề Giả sử ( R, m) vành địa phương gọi E : E ( R / m) Khi E R – mơđun Artin có cấu trúc tự nhiên R – môđun Artin R – đồng cấu tự nhiên  : R  HomR ( E, E ) xác định  (r )  rId E với r  R đẳng cấu Nói theo cách khác, với f  HomR ( E, E ) , tồn phần tử rf  R cho f ( x)  rf x với x  E Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.7, E R – mơđun Artin Do đó, theo Nhận xét 2.1.9, E có cấu trúc tự nhiên R – môđun Với n  En : (0 :E mn ) Cho f  HomR ( E, E ) , t  , đặt Rõ ràng, R / m triệt tiêu mt Khi tồn đẳng cấu R / mt – môđun Et  ER / mt ((R / mt ) / (m / mt )) t Ta có f ( Et )  Et R / m vành địa phƣơng Artin Vì vậy, theo Mệnh đề 2.1.6(v), tồn rt  R cho f (e)  rt e với e  Et nữa, rt phần tử khác R cho f (e)  rt e với e  Et rt  mt  rt  mt tức rt  rt  mt Ta thực tƣơng tự nhƣ với t  xây dựng dãy xác định (rn  mn )n  n R / mn với tính chất: Với n  , ta có f (e)  rn e với e  En Hơn nữa, với n, h , ta có 19 En  En  h từ f (e)  rn e  rn  h e với e  En , suy rn  rn  h  mt Bởi vậy, ta tìm đƣợc dãy xác định (rn  mn )n  lim R / mn  R n cho với n  , ta có f (e)  rn e với e  En Do E  n En nên suy có r  R cho f ( x)  rx với x  E 2.1.11 Định lý (Định lý đối ngẫu Matlis) Giả sử ( R, m) vành địa phương đầy đủ Ký hiệu E : E ( R / m) D : HomR (., E ) hàm tử đối ngẫu Khi (i) Với f  HomR ( E, E ) , tồn phần tử rf  R cho f ( x)  rf x với x  E (ii) Nếu N R – môđun hữu hạn sinh, đồng cấu tự nhiên  N : N  D( D( N )) đẳng cấu D( N ) Artin (iii) Nếu A R – môđun Artin, đồng cấu tự nhiên  N : A  D( D( A)) đẳng cấu D( A) Noether Chứng minh (i) Dễ dàng suy từ Mệnh đề 2.1.10 (ii) Ánh xạ hợp thành R   : R   D( D( R))   D( E ) , ánh xạ thứ hai đẳng cấu tự nhiên, cho  (r )  rId E với r  R Ta thấy (i),  đẳng cấu,  R đẳng cấu Hàm tử đồng DD hai hàm tử cộng tính kết áp dụng hàm tử cộng tính vào dãy khớp ngắn dãy khớp ngắn, vậy,  phép biến đổi tự nhiên hàm tử Bởi ta suy luận, quy nạp theo hạng,  F đẳng cấu F R – môđun hữu hạn sinh tự 20 Gọi N R – mơđun hữu hạn sinh tùy ý Khi N nhúng đƣợc vào dãy khớp F1  F0  N  , F1 F0 R – môđun hữu hạn sinh tự Do hàm tử DD cộng tính khớp,  phép biến đổi tự nhiên hàm tử, suy dãy khớp cảm sinh biểu đồ giao hoán N F0 F1   F1   F0 N D( D( F1 )) D( D( F0 )) D( D( N )) 0 0 với hàng khớp Từ suy  N đẳng cấu Cuối cùng, áp dụng hàm tử phản biến, khớp D vào dãy khớp F0  N  suy D( N ) đẳng cấu với môđun D( F0 ) Do D( F0 ) đẳng cấu tới tổng trực tiếp số hữu hạn D( R) D( R)  E , nên theo Mệnh đề 2.1.8, suy D( N ) Artin (iii) Hợp thành E Hom( , Id E )  E   H1   H  E với H1  HomR ( HomR ( E, E ), E ) H  HomR ( R, E ) ,  đẳng cấu xác định chứng minh (ii) Do  E đẳng cấu Bây sử dụng tính chất cộng tính hàm tử DD phép biến đổi tự nhiên  , quy nạp theo t , suy  E t đẳng cấu với t  Cho A R – môđun Artin tùy ý Theo Mệnh đề 2.1.8, suy có dãy khớp  A  E n0  E n1 với n0  n1  Từ tính khớp hàm tử DD phép biến đổi tự nhiên  nhƣ chứng minh phần 21 (ii), nhận đƣợc biểu đồ giao hoán với hàng khớp Suy  A đẳng cấu Cuối cùng, áp dụng hàm tử phản biến, khớp D cho dãy khớp  A  E n0 suy D( A) ảnh đồng cấu D( E n0 )  ( D( E ))n0 Do  : R  D( E ) đẳng cấu, D( A) ảnh đồng cấu R – môđun hữu hạn sinh tự Noether 2.1.12 Nhận xét Giả sử ( R , m ) vành địa phƣơng, đầy đủ sử dụng ký hiệu 2.1.1 Gọi G R – môđun có độ dài hữu hạn, theo Định lý đối ngẫu Matlis 2.1.11, đối ngẫu Matlis D(G) có độ dài hữu hạn ( D(G))  (G) Trong [6], K Khashyarmanesh sử dụng khái niệm dãy quy I  lọc nhƣ cơng cụ quan trọng Vì phần tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất dãy qui I – lọc dựa theo [7] 2.2 Dãy quy I  lọc 2.2.1 Định nghĩa Cho I iđêan vành R x1 , x2 , , xn dãy phần tử thuộc iđêan I Khi x1 , x2 , , xn đƣợc gọi dãy quy I  lọc M  ( x , , xi 1 ) M :M x1  Supp    V( I ) ( x , , x ) M   i 1 với i  1, , n V ( I ) tập iđêan nguyên tố R chứa I 2.2.2 Nhận xét (i) Từ Định nghĩa ta thấy dãy phần tử x1 , x2 , , xn I dãy quy I  lọc M với i  1, , n ta có xi  p với p AssM / ( x1, x2, , xn ) M thỏa mãn tính chất p I (ii) Nếu ( R, m) vành địa phƣơng với iđêan cực đại m dãy quy m – lọc khái niệm quy lọc (hay cịn gọi f – dãy) 22 đƣợc đƣa N T Cƣờng, P Schezel N V Trung Do dãy quy I  lọc khái quát hóa khái niệm dãy quy lọc Mệnh đề sau cho thấy với số nguyên dƣơng n tồn dãy quy I – lọc M có độ dài n Điều chứng tỏ độ dài dãy quy I – lọc vô hạn 2.2.3 Mệnh đề Giả sử x1 , x2 , , xn dãy quy I  lọc M với i  1, , n Khi ln tồn phần tử y  I cho x1 , x2 , , xn , y dãy quy I  lọc M Chứng minh Nếu HI0 ( M )  M ta chọn tùy ý phần tử y  I   Nếu HI0 ( M )  M HI0 M / HI0 ( M )  Suy   depth M / HI0 ( M)  Do tồn phần tử y  I M / HI0 ( M)  quy Suy x1 , x2 , , xn , y dãy quy I  lọc M 2.2.4 Định nghĩa Một dãy phần tử x1 , x2 , , xn đƣợc gọi dãy quy I – lọc hốn vị M x1 , x2 , , xn một dãy quy I  lọc M với hốn vị 2.2.5 Mệnh đề Nếu x1 , x2 , , xn dãy quy I – lọc hốn vị M tồn phần tử xn 1  I cho x1 , x2 , , xn , xn 1 dãy quy I  lọc hốn vị M Chứng minh Nếu r  ta chọn phần tử tùy ý x1  I \     pAss ( M ) \ V ( I ) p   Nếu r  Đặt S : p : p Ass  M / (  Rxi ) M   giả sử xn 1  I \ pS \ V ( I ) p x1 , x2 , , xn , xn 1 Giả sử iI Giả sử y1 , y2 , , yn 1 dãy hoán vị y  xn 1 với   n  Bây với i  1, , n  1; yi  p với p Ass  M / (  Rxi ) M  \ V( I ) Theo giả thiết   iI 23 với số nguyên dƣơng i,   i  n  p Ass  M / (  Rxi ) M  \ V( I ) cho yi  p Khi ta có dãy   iI y1 , , y , , yi , , yn 1 dãy quy I  lọc M Bây ta có y1 y y y , , , , i , , n 1 1 1 với yj  pRp M p  dãy Cho nên i 1 y1 y y   , , i , , n 1 M p  dãy Suy pRp  Ass  Mp / (  y j ) Mp  1 j 1   2.2.6 Mệnh đề Giả sử I iđêan vành R x1 , x2 , , xn dãy phần tử I Khi mệnh đề sau tương đương: (i) x1 , x2 , , xn dãy quy I – lọc M (ii) x1 x x , , i , , n 1 Rp M p  dãy nghèo, với p Supp(M ) \ V ( I ) , với i  1, , n (iii) x1t1 , , xntn dãy quy I – lọc M ,  t1 , , tn  Chứng minh (i)  (ii) Ta cần chứng minh trƣờng hợp r  phƣơng pháp quy nạp ta suy kết luận Với r  ta chứng minh: * x1 phần tử quy M p ,  p Supp(M ) \ V ( I ) mà x1  p * x1  p,  p Supp(M ) \ V ( I ) Thật vậy, M R – môđun hữu hạn sinh R vành Noether nên M R  môđun Noether nên tồn n0  cho n0 :M (V ( I ))n  :M (V ( I )) n0 Đặt M   :M (V ( I ))n0 Ta có (V ( I ))n0 M   Suy 24 M   V ( I ).M   (V ( I ))2 M    (V ( I ))n0 1.M   (V ( I )) n0 M   Do 0 : M  (V ( I ))n0  RM    Mặt khác x1 phần tử quy lọc nên theo định nghĩa dãy quy lọc ta có :M x1  :M (V ( I ))n0 Suy AssR (0 :M x1 )  V ( I ) Do SuppR (0 :M x1 )  V ( I ) Suy pV ( I ) p SuppR (0 :M x1 ) Suy (0 : x1 )p  (*) Giả sử tồn p Ass(M ) \ V ( I ), x1  p , từ (*) ta có (0 : x1 )p  ( : x1 ) p  0p : x1 p  : Suy :M p x1 Rp x x1 Rp  Suy phần tử quy M p Suy 1 x1 x  pRp , với pRp  AssM p Do  pRp nên pRp  AssM p Suy 1 p AssM p điều mâu thuẫn với p Ass(M ) \ V ( I ) Vậy x1  p , với p Ass(M ) \ V ( I ) Chứng minh kết sau đƣợc suy từ chứng minh kết tƣơng tự U Nagel P Schenzel dãy qui lọc Tuy nhiên chứng minh sử dụng kiến thức sâu sắc dãy phổ nên chúng tơi khơng trình bày 2.2.7 Định lý Cho x   x1 , , xn  dãy qui I - lọc M Khi ta có đẳng cấu sau đây: i  H ( x1 , , xn ) (M )  i H I (M )   i n n   H I ( H ( x1 , , xn ) ( M )) víi  i  n víi n  i 25 2.2.8 Định nghĩa Giả sử I iđêan vành Noether R , M R – môđun Một dãy phần tử x1 , x2 , , xn iđêan I đƣợc gọi M  dãy I  yếu với i  1, , n ta có ( x1 , , xi 1 ).M :M xi  ( x1, , xi 1 ).M :M I 2.2.9 Chú ý (i) Cho I iđêan vành Noether R, M R – môđun Nếu dãy phần tử x1 , , xn iđêan I M  dãy I  yếu x1 , , xn dãy quy I  lọc (ii) Cho ( R, m) vành địa phƣơng, M R – môđun hữu hạn sinh Khi M mơđun Cohen – Macaulay suy rộng tồn k cho hệ tham số M M – dãy mk – yếu 2.3 Đối ngẫu Matlis môđun đối đồng điều địa phƣơng 2.3.1 Bổ đề Giả sử M R – môđun hữu hạn sinh I iđêan R Nếu với số nguyên không âm n x1 , , xn 1  I dãy quy I – lọc M tồn dãy khớp  H In (M )  H (nx1 , , xn ) (M )  ( H (nx1 , , xn ) ( M )) xn1  H (nx11, , xn1 ) ( M )  Chứng minh Giả sử n  x1 , , xn 1 dãy quy I  lọc M Tập hợp N : H (nx1 , , xn ) ( M ) Theo Định lý 2.2.7, có H (0xn1 ) ( N )  H (0xn1 ) ( H (0x1 , , xn ) ( N ))  H (0x1 , , xn1 ) ( N )   H (nx1 , , xn1 ) ( M )  H In ( M ) H (1xn1 ) ( N )  H(1x1 , , xn1) ( N )  H(nx1, , xn1) ( M ) Ngồi ra, có dãy khớp sau  H (0xn1 ) ( N )  N  ( N ) xn1  H (1xn1 ) ( N )  Vì vậy, ta có dãy khớp  H In (M )  H (nx1 , , xn ) (M )  ( H (nx1 , , xn ) ( M )) xn1  H (nx11, , xn1 ) ( M )  26 2.3.2 Kí hiệu Giả sử ( R, m) vành địa phƣơng E : ER ( R / m) bao nội xạ R/ m Chúng ta biểu thị đối ngẫu Matlis hàm tử HomR (, E ) D() Đối với M R – môđun, chiều đối đồng điều M với giá I đƣợc  định nghĩa cd (I , M ) : max i   : H Ii ( M )  2.3.3 Mệnh đề Giả sử ( R, m) vành địa phương, j số nguyên dương cho j  cd ( I , M )  x1 , , x j dãy quy I – lọc M Khi H In ( D( H (jx , , x ) ( M )))  với n  j j số nguyên dƣơng cho j  cd ( I , M )  Chứng minh Giả sử Giả sử x1 , , x j 1  I dãy quy I  lọc M Theo Bổ đề 2.3.1 có dãy khớp sau đây:  H (jx1 , , x j ) ( M )  ( H (jx1 , , x j ) ( M )) x j 1  H (jx11, , x j 1 ) ( M )  Do tồn dãy khớp (*)  D( H (jx11, , x j 1 ) ( M ))  D(( H (jx1 , , x j ) (M )) x j 1 )  D( H (jx1 , , x j ) (M ))  Giả sử n số nguyên dƣơng không âm tùy ý Do phép nhân phần tử x j 1 tự đồng cấu ( H (jx1 , , x j ) ( M )) x j 1 phần tử H In ( D(( H (jx1 , , x j ) ( M )) x j 1 )) bị triệt tiêu lũy thừa I , dễ dàng thấy H In ( D(( H (jx , , x ) ( M )) x j 1 ))  Vì vậy, cách lập lại phƣơng j pháp chúng tơi có đẳng cấu H In ( D( H (jx1 , , x j ) ( M )))  H In 1 ( D( H (jx11, , x j 1 ) (M ))) với i  Cho iđêan I vành R cho IM  M Khi độ dài dãy quy cực đại I mơđun M đƣợc ký hiệu 27 gradeM I Vậy gradeM I số nguyên khơng âm Định lý sau kết [6] 2.3.4 Định lý Giả sử ( R, m) vành địa phương, I iđêan R cho IM  M n : gradeM I  cd ( I , M )  Khi H In ( D( H In ( M )))  D( M ) Chứng minh Giả sử x1 , , xn  I dãy quy M Do x1 , , xn dãy quy I  lọc M , nên tồn phần tử xn 1  I cho x1 , , xn 1 tạo thành dãy quy I  lọc M Vì vậy, theo Bổ đề 2.3.1, tồn dãy khớp sau  H In ( M )  H (nx1 , , xn ) ( M )  ( H (nx1 , , xn ) ( M )) xn1  H (nx11, , xn1 ) ( M )  Do ta có dãy khớp sau  D( H (nx11, , xn1 ) ( M ))  D(( H (nx1 , , xn ) ( M )) xn1 )  D( H (nx1 , , xn ) ( M ))   D( H In ( M ))  (**) Do phép nhân phần tử xn 1 tự đồng cấu D(( H (nx1 , , xn ) ( M )) xn1 ) phần tử H In ( D(( H (nx1 , , xn ) ( M )) xn1 )) bị triệt tiêu lũy thừa I nên suy H In ( D(( H (nx1 , , xn ) ( M )) xn1 ))  Do đó, cách tách dãy khớp (**) thành hai dãy khớp áp dụng hàm tử  I () chúng kết hợp với Mệnh đề 2.3.3, dễ dàng thấy H In ( D( H In (M )))  H In ( D( H (nx1 , , xn ) (M ))) Vì vậy, cần chứng minh H In ( D( H (nx1 , , xn ) ( M )))  D( M ) Do n  gradeM I , theo Bổ đề 2.3.1 có dãy khớp  H (i x1 , , xi ) (M )  ( H (ix1 , , xi ) ( M )) xi 1  H (ix11, , xi 1 ) ( M )  28 với i,  i  n  Nhƣ vậy, cách sử dụng phƣơng pháp tƣơng tự đƣợc sử dụng phần đầu củ a chứng minh này, ta có đẳng cấu sau H In ( D( H (nx1 , , xn ) (M )))  H In 1 ( D( H (nx11, , xn1 ) (M )))   H 1I ( D( H (1x1 ) (M ))) Hơn nữa, x1 không ƣớc M, nên ta có dãy khớp  M  M x1  H (1x1 ) (M )  Nhƣ vậy, H 1I ( D( H (1x1 ) ( M )))   I ( D( M )) Do phần tử E bị triệt tiêu lũy thừa m M hữu hạn sinh, nên ta có  I ( D(M ))  D(M ) Hệ sau đƣợc suy từ Định lý Hệ khái quát hóa kết báo M Hellus trƣớc báo [6] năm 2.3.5 Hệ Cho R vành địa phương I iđêan thực R cho n : gradeR I  cd ( I , R) Khi H In ( D( H In ( R)))  E Chứng minh Đƣợc suy trực tiếp từ Định lý 2.3.4 29 KẾT LUẬN Tóm lại, luận văn chúng tơi trình bày cách tƣờng minh kết báo [6] K Khashyarmanesh Dựa vào [6] tài liệu liên quan hồn thành đƣợc nội dung sau đây: Trình bày khái niệm mơđun đối đồng điều địa phƣơng số tính chất Trình bày khái niệm hàm tử đối ngẫu Matlis chứng minh số tính chất Khái niệm số tính chất dãy quy I  lọc Khái niệm khái qt hóa khái niệm dãy quy lọc ( f  dãy) đƣợc đƣa N T Cƣờng, P Schezel N V Trung năm 1978 Mối liên hệ dãy quy I  lọc đối ngẫu Matlis môđun đối đồng điều địa phƣơng Đây kết báo [6] 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cƣờng (2003), Giáo trình Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [2] Dƣơng Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất Đại học sƣ phạm [3] Dƣơng Quốc Việt (2008), Lí thuyết chiều, Nhà xuất Đại học sƣ phạm Tiếng Anh [4] M.F Atiyah and I.G Macdonal (1969), Introduction to Commutative Algebra, Reading, Mass [5] M P Brodman, R Y Sharp (1998), Local comology: an algebraic introducsion winh geometric applications, Cambridge University Press [6] K Khashyarmanesh (2007), On the Matlis duals of the local cohomology modules, Arch Math 88, 413-418 [7] K Khashyarmanesh and Sh.Salarian (1998), Filter regular sequences and the Finiteness of local cohomology modules, Communications in algebra, 26(8), 2483 – 2490 [8] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Translated by M Reid, Cambridge University Press ... Mơđun đối đồng điều địa phƣơng…………………………………… 1.5 Giá môđun đối đồng điều địa phƣơng…………………………… 12 CHƢƠNG ĐỐI NGẪU MATLIS CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG…………………………………………………………… 14 2.1 Đối ngẫu Matlis? ??……………………………………………………... Chƣơng 2: Đối ngẫu Matlis môđun đối đồng điều địa phƣơng Chƣơng nội dung Luận văn Trong chƣơng chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất dãy quy I  lọc đối ngẫu Matlis môđun đối đồng điều địa phƣơng... CHƢƠNG ĐỐI NGẪU MATLIS CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG Trong chƣơng chúng tơi trình bày kết báo [6] K Khashyarmanesh Nội dung báo nghiên cứu đối ngẫu Matlis môđun đối đồng điều địa phƣơng