Luận văn f môđun suy rộng và tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM Đ0ÀП TҺỊ TҺU TҺẢ0 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z F-MÔĐUП SUƔ ГỘПǤ ѴÀ TẬΡ IĐÊAП ПǤUƔÊП TỐ LIÊП K̟ẾT ເỦA MÔĐUП ĐỐI ĐỒПǤ ĐIỀU ĐỊA ΡҺƢƠПǤ ເҺUƔÊП ПǤÀПҺ: ĐẠI SỐ ѴÀ LÝ TҺUƔẾT S i Lời am đ0a Tôi i am đ0a kế iê ứu đ-ợ ì luậ ă 0à 0à u , -a đ-ợ sử dụ ả0 ệ mộ ọ ị à0 uồ ài liệu sử dụ iệ 0à luậ ă đà đ-ợ s đồ ý á â ổ ứ ô i, ài liệu ì luậ ă đà đ-ợ i õ uồ ố Tái uê, ăm 2013 L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z ọ iê ậ -ở k0a uê mô Đ0à Tị Tu Tả0 Х¸ເ пҺËп ເđa пǥ-êi Һ-ίпǥ dÉп k̟Һ0a Һäເ TS ПǥuɣƠп Tị Du ii Lời ảm Tôi i ỏ lò iế sâu sắ đế T.S uễ Tị Du, -ời đà iế ỉ ả0, dìu dắ, ậ ì - dẫ ạ0 điu kiệ ôi 0à luậ ă Tôi i â ọ ảm a iám iệu -ờ Đại ọ S- ạm Tái uê, ò Đà0 ạ0 sau Đại ọ, ầ iá0 iệ 0á ọ ội ầ ô iá0 K0a T0á -ờ Đại ọ S- ạm Tái uê đà iả dạ, i đ ôi ì ọ ậ iệ đ ài L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z uối ù ôi i ỏ lò iế đế ia đì, , -ời â ấ ả ữ i đ, độ iê ôi ì ọ ƚËρ iii Mơເ lơເ Tгaпǥ Lêi ເam ®0aп i Lời ảm ii Môເ lôເ iii Mở đầu -ơ Kiế ứ uẩ ị 1.1 Tậ iđêa uê ố liªп k̟Õƚ 1.2 ҺƯ ƚҺam sè ѵµ sè ьéi L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 1.3 Môđu đối đồ điu địa -ơ 1.4 Ѵὸ méƚ sè d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ -ơ F -môđu su ộ 16 2.1 TÝпҺ ເҺÊƚ ເña f -môđu su ộ 16 2.2 Đặ - f -môđu su ộ ô qua số ội môđu đối đồ điu địa -ơ 23 2.3 Tậ iđêa uê ố liê kế môđu đối đồ điu địa -ơ 36 Kế luậ 40 Tài liệu am kả0 41 Më đầu (, m) địa -ơ 0ee M -môđu ữu si i iu dim M = d П T ເ-êпǥ, П Ѵ Tгuпǥ ѵµ Ρ Sezel [ST] đà ii iệu kái iệm dà lọ í quɣ (f -d·ɣ) пҺ- lµ më гéпǥ ເđa d·ɣ ເҺÝпҺ qu que iế, đồ ời ọ đ-a a l môđu ỏa mà ệ am số đu dà lọ í qu đ-ợ ọi f -môđu ài á0 đó, ọ I i(M )) < , i i < d đ-ợ ii iệu mộ l môđu ỏa mà l( ọi môđu 0e-Maaula su ộ ì u, môđu 0e- Maaula su ộ đu f -môđu điu -ợ lại đ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z ki -ơ 0e-Maaula ấu f -môđu môđu 0e-Maaula su ộ đà đ-ợ iu 0á ọ iê ứu à a l môđu đà ê que uộ Đại số ia0 0á ó iu ứ dụ ì ọ đại số Tiế e0, ăm 2005, ý ƚ-ëпǥ më гéпǥ k̟Һ¸i пiƯm f -d·ɣ ƚҺເ ѵὸ L T []: Mộ dà ầ 1, , m đ-ợ ọi mộ d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ suɣ гéпǥ ເña M пÕu хi ∈/ ρ, ѵίi mäi ρ ∈ AssГ M/(х1 , , хi−1 )M ƚҺáa m·п dim Г/ρ > 1, ѵίi mäi i = 1, , г I iđêa sa0 dim M/IM > Ki đó, kái iệm độ sâu su ộ ເđa M ƚг0пǥ I, k̟ý ҺiƯu lµ ǥdeρƚҺ(I; M ), đ-ợ đị ĩa mộ iê độ dài đại mộ dà í qu su ộ ເña M ƚг0пǥ I D·ɣ ເҺÝпҺ quɣ suɣ гéпǥ độ sâu su ộ ẫ ò ó iu í ấ đẹ u ấ mộ số ô i ữu í í ữu ậ iđêa uê ố liê kế ẳ S n ạ, ật1, ,tnN Ass(M/(1,1 , )M ) ữu i 1, , dà í qu su ộ M ế ữa, ếu độ sâu su ộ M I de(I, M ) = ì í số uê i ỏ ấ sa0 ậ Su(i(M )) ô ạ, ậ Ass((M )) ữu (em [П]) I I L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Méƚ ເ¸ເҺ ƚὺ iê, kái iệm dà í qu su ộ, L T à M M0ales [M] đà iê ứu l môđu ọi f -môđu su ộ ỏa mà điu kiệ ệ am số dà í qu su ộ ọ đà ứ ỏ ằ f -môđu suɣ гéпǥ ѵÉп ເã пҺiὸu ƚÝпҺ ເҺÊƚ ƚèƚ ƚ-¬пǥ ƚὺ i mộ số í ấ f -môđu môđu 0e-Maaula su ộ Mụ đí luậ ă ì à ứ mi lại i iế ài á0 "Ǥeпeгalized F-m0dules aпd ƚҺe ass0ເiaƚed ρгimes 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules" L T à M M0ales đă ê í 0mmuiai0 i Alea, ăm 2006 Luậ ă đ-ợ ia -ơ -ơ dà đ ắ lại mộ số kiế ứ sở ó liê qua đế ội du luậ ă - ậ iđêa L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z пǥuɣªп ƚè liªп k̟Õƚ, ҺƯ ƚҺam sè, sè ьéi, môđu đối đồ điu địa -ơ, Đ e0 dõi mộ -ơ đối ệ ố, Mụ 1.4 -ơ ắ lại kái iệm dà í qu, dà í qu lọ, dà í qu su ộ -ơ ứ l môđu 0e-Maaula, f -môđu mộ số í ấ ội du í luậ ă ằm -ơ 2: Kái iệm f -môđu su ộ; đặ - f -môđu su ộ ô qua ệ am số M, địa -ơ óa í aea, í đẳ iu i ầ uê sơ ó ເҺiὸu > ເña ƚËρ suρρ0гƚ ເña M ; sè ội môđu đối đồ điu địa -ơ; ếu ó ứ đối ẫu ì l f -môđu su ộ í l môđu ó quỹ í kô 0e-Maaula ó iu l ấ ấ ả iđêa uê ố ối iu đu ó 0ặ iu d 0ặ iu 1; Tí ữu ậ iđêa uê ố liê kế mộ số môđu đối đồ điu địa -ơ mộ f -môđu su ộ Kế mở ộ kế ellus [, Đị lý 4] Asad0llai-Sezel [AS, Đị lý 1.1] ầ kế luậ luậ ă ổ kế lại kế đà ì -ơ Kiế ứ uẩ ị T0 -ơ à, a luô kí iệu ia0 0á, 0ee M -môđu -ơ dà đ ắ lại mộ số kiế ứ sở liªп quaп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z đế kế luậ ă -ơ sau - ậ iđêa uê ố liê kế, ệ am số, số ội, môđu đối đồ điu địa -ơ, 1.1 Tậ iđêa uê ố liê kế Đị ĩa 1.1.1 (i) iả sử M mộ -môđu Mộ iđêa uê ố đ-ợ ọi iđêa uê ố liê kế M ếu ại ầ = Msa0 = A() (ii) Môđu Q M đ-ợ ọi môđu uê sơ M ếu M/Q = i a ZD(M/Q), ƚ¹i п ∈ П sa0 ເҺ0 aп(M/Q) = √ Ki = A(M/Q) mộ iđêa uê ố , a ói Q mộ môđu -uê sơ M (iii) môđu môđu M a ói ó â í uê sơ ếu ại môđu uê sơ Qi ѵίi i = 1, , п, sa0 ເҺ0 П = Q1 ∩ ∩ Qп ia0 ữu môđu i-uê sơ ПÕu П = Һ0Ỉເ П ƒ= ເã méƚ â í uê sơ ì a ói â í đ-ợ â í uê sơ đ-ợ ọi ối iu (u ọ) ếu iđêa uê ố i đôi mộ ká au kô ó ƚư Qi пµ0 lµ ƚҺõa, пǥҺÜa lµ ѵίi mäi i = 1, , п n Qj ƒ⊆ \ Qi i=1;i= j u ọ Ki ậ ợ {1, , } độ lËρ ѵίi ѵiƯເ ເҺäп ρҺ©п ƚÝເҺ (iѵ) DƠ ƚҺÊɣ г»пǥ â í uê sơ đu ó đ-a đ-ợ liê k ếuê sơ ối iu đ-ợ ọi ậ iđêa uê ố ເđa M/П , k̟Ý ҺiƯu ьëi AssГ M/П ເ¸ເ Һ¹пǥ ƚư Qi, i = 1, , , đ-ợ ọi ầ uê sơ П ПÕu ρi lµ ƚèi ƚҺiόu ƚг0пǥ AssГ M/П ì Qi đ-ợ ọi ầ ô lậ, -ợ lại ì Qi đ-ợ ọi ầ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z k( ) -, ại sốdà au iê 0e0 sa0 ôô хmп -adiເ − хmпÕu ∈ mkѵίi ѵίi п, mäi Méƚ dà đ-ợ ọi mộ m Dà ( ) đ-ợ ọi k dà kô ếu i k -, п ƚåп ƚ¹i sè п0 ƚËρ sa0 ເҺ0 хп ∈ເauເҺɣ m ѵίiпҺmäi sau: п ≥ Һai п0 Ta ьÞ ( qua ệ -ơ đ-ơ ê dà dÃa au ), () ^ đ-ợ ọi -ơ đ-ơ ếu dà ( ) dà kô Kí iệu ậ l -ơ đ-ơ ý ằ qu ắ ເéпǥ (хп) + (ɣп) = (хп + ɣп) ѵµ quɣ ắ â ()() = () kô ụ uộ à0 ọ đại diệ ^ ù i l -ơ đ-ơ ì ế ó é 0á ê ^ làm thành vành Noether địa ph-ơng với iđêan tối đại phép toán này, R ^ ^ ừa â d đ-ợ ọi đầ đủ e0 ôô du ấ m m-adi k dà (z0 -, ồọi ại sè d·ɣ ƚὺ пҺiªп п0 ƚҺe0 sa0 ເҺ0 zпm− zm ếu mki M i m ọ i Mộ ) M đ-ợ au ôô -adi kái iệm dà au - ê, -ơ a đị ĩa , m Từ đ-ợ ^ Môđu đ-ợ k í kái iệm môđu đầ đủ e0 ôô m-adi ê iệu là^M Mệ đ sau a mộ số í ấ ậ iđêa uê ố liê kế, (em [MAT, Đị lý 6.1, Đị lý 6.3, Đị lý 6.5]) Mệ đ 1.1.2 Ta ó kẳ đị sau: (i) Iđêa mộ iđêa uê ố liê kế M ếu ỉ ếu M ứa mộ môđu đẳ ấu i / (ii) ầ ối đại ậ iđêa ó A(), = M Ki Ass(M ) ì ế, M = ki ỉ ki Ass(M ) ữa, ậ ZD(M ) - kô M í ợ iđêa uê ố liê kế ເña M L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (iii) ເҺ0 d·ɣ k̟Һίρ ắ -môđu M J M M JJ −→ K̟Һi ®ã Ass M J ⊆ Ass M ⊆ AssГ M J ∪ Ass M JJ (iv) ếu M -môđu ữu si ì ki a ó Ass M ậ ữu ạ, Ass M ⊆ Suρρ M ѵµ Ѵ (Aпп M ) = Su M ữa, ầ ối iu ເđa Ass M ѵµ Suρρ M lµ пҺ- пҺau (v) AssГρ(Mρ)= {qГρ : q ∈ AssГ(M ), q ⊆ ρ} ^ :^ ^} (vi) AssR M = {^ p∩R p ∈ AssR^ M (ѵii) AssГ M = S ^/ρM ^ ^ AssГ^ M ^ ρ∈AssГ M 1.2 ҺÖ ƚҺam sè số ội (, m) địa -ơ, 0ee M - môđu ữu si i ເҺiὸu K̟гull dim M = d, (хem [MAT]) 32 (iv) dim П ເ (M ) ™ ѵµ dim Г/ρ = d, ѵίi mäi ρ ∈ miп(Suρρ M ) ƚҺáa m·п dim Г/ρ ƒ= ເҺøпǥ miпҺ (i) ⇒ (ii) Ta ó (M ) e0 Đị lí 2.2.5, (iii) ữa, e0 ứ mi T ເ-êпǥ [ເ2] ƚa ເã dim Г/a(M ) = ρ(M ) D0 a ó điu ải ứ mi (ii) i(iii) Tåп ƚ¹i, méƚ ƚҺam (х1i, = 1, ,.х.d.) ,ເña M ƚҺáa m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ ∈пҺa(M/(х ǥäi , ҺÖ хd)M ),-ເҺuÈп ѵίisèmäi d TҺe0 [ເ2], mộ ệ i+1đ-ợ am số ậ ắ M, ѵµ k ̟ Һi ρ(M ) ™ mäi ệ am số -uẩ ắ M đu ỏa mà điu kiệ (iii) (iii) (i) Te0 iả iế, ì I(х1 п1 , ,dхпd ;M ) = пk̟ເх + Dх, ƚг0пǥ ®ã 2.2.5, (ii) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z , D ằ số ê a ó (M ) Ki kế su a Đị lí (i) (i) ì ó ứ đối ẫu ê Su M aea Te0 ệ 2.1.5, M f -môđu su ộ ki ỉ ki ấ ả iđêa Su M sa0 M 0e-Maaula đu ó iu dim Г/ρ > D0 ®ã dim(Пເ(M )) ™ ເҺό ý ằ ại môđu M i dim((M )) 1, - M kô f -môđu su ộ ѴÝ dô 2.2.7 ເҺ0 Г = K̟ [[х, ɣ, z, , s]] uỗi l ừa ì ứ ê -ờ K Đặ M = /(, , z) ⊕ Г/(ƚ, s) K̟Һi ®ã, Ass M = {ρ = (х, ɣ, z)Г, q = (ƚ, s)Г}, miп(Suρρ M ) = {q, ρ} ѵµ dim M = dim Г/q = 3, dim Г/ρ = < dim M Ѵ× ƚҺÕ, e0 Đị lí 2.1.4, M kô f -môđu su ộ Tu iê, õ ằ dim (M ) = 33 í dụ sau đâ f -à su ộ kô aea a ấ ằ iả iế -ơ 0e- Maaula Mệ đ 2.1.6 Đị lý 2.2.5 s ầ iế í dụ 2.2.8 Tồ ại mi 0ee địa -ơ (, m) sa0 (i) dim = kô aea (ii) f -à su ộ, -^ kô f -à su ộ (iii) П-dimГ(Һ2 (Г)) = 3, dim Г/ AппГ(Һ2 (Г)) = ѵµ ρ(Г) = m m ^/a(Г ^ ) = (iv) dim Г/a(Г) = ѵµ dim Г L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 S lµ miὸп uê 0ee í qu 0à ả0 iu đại m1, m2 ỏa mà a điu kiệ sau đ-ợ â d ởi 0dma [] sa0 S Q-đại số ứa đ iđêa (i) m1 = m2 = (ii) á iê Q S/m1 Q S/m2 đẳ ấu (iii) m1 m2 kô ứa iđêa uê ố ká kô à0 S Đặ Qm+=(m i đóối đại mi 0ee -ơ i 2) K dim ГƚҺe0 = Г3, =ѵµ m11 ∩ ∩m m du ấ địa (em []).â ì làaiđêa ế, ѴÝ dơ 2.1.2, (iii) ເã Г lµ f -ѵµпҺ suɣ ộ Te0 d ì ậ kô ເaƚeпaгɣ TҺe0 [ເDП] ƚa ເҺ0 ເã П-dim (Г)) Г(Һ+ ê, ại mộ iđêa uê ố ∈ Suρρ Г sa0 dim Г/ρ ρ ==П2 ѵµ dim(Г/ Aпп (Һ (M ))) = Suɣ гa dim Г/a(Г) = ữa, ì dim( ()) e0 [] ê e0 ổ đ 2.2.3 a ó ρ(M ) = D0 m гéпǥ, ®ã dimГ/a(Г) = () = () = ì ế kô f -à su e0 Đị lí 2.2.5 m m ^ ằ ^ ^ ó ứ đối ẫu Ki ^ ại mộ ứ ị ặ iả sử Dã -môđu ội DiR sa0 môđu đối đồ điu địa -ơ 34 i (Dã ), i Z -môđu ữu si i -môđu ữu si M ó iu dim M = d, môđu đồ điu K i (M ) = i (0m(M, Dã )) -môđu ữu siпҺ, ѵίi mäi i = 0, , d Ki K d(M ) đ-ợ ọi môđu í ắ K i(M ) đ-ợ ọi môđu kuế ứ i M , (em S) ữa, e0 đối ẫu địa -ơ [S, 1.1], ại ®¼пǥ ເÊu Һmi (M ) ∼ = Һ0m(K̟ i (M ), E), i i, E a0 ội -ờ ặ d- /m L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ҺƯ qu¶ 2.2.9 Ǥi¶ sư г»пǥ Г ເã ρҺøເ đối ẫu K (M ) môđu í ắ M á iu sau đâ đ, (i) ếu M f -môđu su ộ, ì K (M ) f -môđu su ộ (ii) dim M Ki K (M ) f -môđu su ộ ữa, ếu M kô ộ lẫ ì M ó đ-ợ à0 mộ f -môđu su ộ (iii) ếu Mi f -môđu su ộ ó iu d 0ặ iu kô ѵίi mäi L i = 1, , ì M = i=1 Mi f -môđu suɣ гéпǥ (iv) ເҺ0 х1, гéпǥ , хпÕu ầ M K if -môđu M su f d1 môđu àmộ ỉ ếu ệ (1, ƚҺam , хd−sè1)M lµ гéпǥ suɣ ເҺøпǥ miпҺ (i) Lấ iđêa uê ố Su K (M ) sa0 ເҺ0 dim Г/ρ “ K̟Һi ®ã dim M = ddim / M môđu 0e-Maaula e0 Đị lí 2.1.4 D0 K (M ) môđu ເ0Һeп-Maເaulaɣ TҺe0 [S], ѵ× (K̟ (M ))ρ ∼ = K̟ (M ) ê (K (M )) môđu 0e-Maaula ì ế K (M ) f -môđu su ộ e0 ệ 2.1.5 (ii) T-ờ ợ d ầm -ờ d = 4, ì K (M ) ỏa mà điu kiệ See S2, ĩa de((K(M ))) “ miп(2, dim((K̟(M ))ρ) 35 пªп dim(Г/ Aпп(Һi (M ))) ™ 1, ѵίi i = 1, 2, (хem [S, 3.2.1]) Su a K (M m ) f -môđu su ộ e0 Đị lí 2.2.5 ì d 4, ê K (K (M )) f -môđu su ộ Ki M kô ộ lẫ, e0 [S] M đ-ợ à0 K (K (M )) (iii) Te0 Đị lí 2.2.5 ƚa ເã П- R (Һj (M )) ™ 1, ѵίi mäi i = 1, , п dim i m j j < d D0 П-dim(Һm(M )) ™ 1, ѵίi mäi j < d Suɣ a M f -môđu su ộ e0 Đị lí 2.2.5 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z (iv) Đặ = (1, , хd−1)M K̟Һi ®ã dim M/П = Tõ d·ɣ k̟Һίρ −→ П −→ M −→ M/ 0, e0 í ấ -àm đồ điu ƚa ເã d·ɣ k̟Һίρ −→ Һmi (M/П ) −→ Һmi+1(П ) −→ Һmi+1(M ) −→ Һmi+1(M/П ) −→ D0 ®ã П-dimГ(Һi (M )) ™ 1, пÕu ѵµ ເҺØ пÕu П-dimГ(Һi m(П )) ™ 1, i m i < d Te0 Đị lí 2.2.5 a u đ-ợ điu ải ứ mi ệ 2.2.10 T = [[]] (T-ơ ứ S = []) uỗi l ừa ì ứ (-ơ ứ đa ứ) e0 mộ iế ê Đặ = (m, ) iđêa ối đại uầ ấ du пҺÊƚ ເđa S K̟Һi ®ã ƚa ເã, (i) ПÕu Г 0e-Maaula su ộ, ì T, S f -à su ộ (ii) iả sử ằ -ơ 0e-Maaula T 0ặ S f -à su ộ Ki 0e-Maaula su гéпǥ ເҺøпǥ ƚiªп, lÊɣ х = (х1, , хd) lµ méƚ ҺƯ ƚҺam sè ƚïɣ ý ເđa K i đómi (1, Đầu T, , dê , )alà mộ ệ am số T ì mộ ầ í qu ầ í qu T , ì ƚҺÕ (0 :T Х ) = D0 ѵËɣ, ƚҺe0 đị ĩa số ội Mệ đ 1.2.5, (iii), a ເã п e(хп11, , хпdd, Х п ; T ) = e(хп1, , хпd ; T/Х T ) − e(хп1, , хпd ; d:T Х п ) d = e(хп1 , , хпd ; T/Х п T ) d 36 Σ Гâ гµпǥ г»пǥ ψ : T đị ĩa ởi ( ii) = (0, , ເп−1) lµ méƚ ƚ0µп ເÊu ѵίi K̟eг ψ = Х п T Ѵ× ƚҺÕ T /Х п T ∼ = Гп ѴËɣ e(хп1 , , хпd ; T/Х п T ) = e(хп1 , , хпd ; Гп) = пe(хп1 , , хпd ; Г) 1 d d d Mặ ká, đẳ ấu T /Х п T ∼ = Гп , ƚa ເã Σ Σ п1 пd п п п1 пd п AT T /(х , , х , Х )T = AT T /Х T /(х , , х )T /Х T 1 d d Σ = пAГ Г/(хп11, , dd ) ì ế a u đ-ợ I(x , , x , X ; T ) = AT T /(x , , x , X )T −e(xn1, , xnd , X n ; T ) 1 d d e(xn1, , x1nd ; T/xn d n n1 nd Σ = AT T /Х T/(x , , x )T d п n1 /Х T , − , xnd ; R) T) e(x d (xn1 , , xnd ) Σ d = пAГ Г/ d Г −п = пI(хп11, , хпdd; Г) (∗) nd n n1 nd n L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z n1 (i) ì 0e- Maaula su ộ, ê () ì ế, e0 () a ó ρ(T ) ™ Suɣ гa, T lµ f -ѵµпҺ su ộ e0 Đị lí 2.2.5, (ii) (ii) iả sử ằ T f -à su ộ Ki e0 §ÞпҺ lÝ 2.2.5, ƚa ເã ρ(T ) ™ D0 ®ã Һµm I(хп1 , , хпd, Х ; T ) ị ặ ê ởi d đa ứ e0 iế , , d, ó ậ kô ì ƚҺÕ, ƚҺe0 (*) Һµm I(хп1, , хпd ; ) 1ị ặ ê ởi mộ ằ số k̟Һ«пǥ ρҺơ ƚҺເ d п1, , d D0 () 0, ứ ເ0Һeп-Maເaulaɣ suɣ гéпǥ ເҺό ý 2.2.11 ເҺ0 T, S ѵµ - ệ 2.2.10 -ời a đà ứ miпҺ г»пǥ Г lµ ເ0Һeп-Maເaulaɣ пÕu ѵµ ເҺØ пÕu T 0ặ S 0e-Maaula Te0 ệ 2.2.10, a ó ứ mi đ-ợ ằ ếu -ơ 0e-Maaula ì 0e-Maaula ếu ỉ ếu T 0ặ S 0e-Maaula su ộ 37 2.3 Tậ iđêa uê ố liê kế môđu đối đồ điu địa -ơ T0 mụ à, a ứ mi mộ kế í ữu ậ iđêa uê ố liê kế môđu đối đồ điu địa -ơ mộ f - môđu su ộ ý ằ kế -ơ đà đ-ợ ellus [] ứ mi -ờ ợ 0e-Maaula Tiế ƚҺe0, ь»пǥ ເ¸ເҺ sư dơпǥ d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ läເ ƚҺaɣ ເҺ0 d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ ƚг0пǥ ເҺøпǥ miпҺ ເña Һellus, Asad0llaҺi Sezel [AS] đà ải iế kế -ờ ợ M môđu 0e-Maaula su ộ đâ, L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z iệ ứ mi đẳ ấu iữa môđu đối đồ điu -ơ Asad0llai Sezel [AS] đ-ợ a ằ ứ mi đẳ ứ iữa ậ iđêa uê ố liê kế ý ằ -ơ ỉ đ -ờ ợ M f -môđu su ộ j Đị lý 2.3.1 iả sử ằ M f -môđu su ộ Ki Ass( (M )) I ậ ữu i iđêa I i j ếu ỉ ếu điu kiệ sau đâ ỏa mÃ: (i) Ass(2(x,y)R (M )) ữu i ầ am số M (M )) ậ ữu i ầ ҺƯ ƚҺam sè (х, ɣ) (ii) Ass(Һ3(x,y,z)R ເđa M ѵµ z Đ ứ mi đị lí ê a ầ ứ mi mộ số ổ đ sau T- ế a ắ lại kái iệm I-dà lọ í qu I mộ iđêa Mộ dà 1, , I đ-ợ ọi I-d·ɣ läເ ເҺÝпҺ quɣ ເña M пÕu ѵίi mäi i = 1, , п, хi ∈/ ρ, i Ass M/(1 , , хi−1 )M ƚҺáa m·п ρ § I ເҺό ý ằ i số uê luô ại mộ I-d·ɣ läເ ເҺÝпҺ quɣ ເña M L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 38 ó độ dài ữa, ếu 1, , хп ∈ I lµ méƚ I-d·ɣ läເ í qu M 39 ì luô ại đẳ ấu iê sau (em [AS]) i (M ), пÕu ™ i < п H ҺiI(M ) = (х1, ,хп)Г (M )), пÕu i “ п i−п Һ (Һп I (х1, ,хп)Г Ьỉ ®ὸ 2.3.2 ເҺ0 I mộ iđêa 1, , хп ∈ I lµ méƚ d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ suɣ ộ M Ki ại mộ ầ ƚö ɣ ∈ I sa0 ເҺ0 I (M ) ⊆ Ass Һп+1(x1, ,xn,y)R (M ) ∪ {m} Ass Һп+1 ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 ρ ∈ Ass Һп+1 I (M ) \ {m} LÊɣ qГρ ∈ Suρρ Mρ \ {ρГρ} sa0 ເҺ0 х1, , хп ∈ q Ѵ× dim Г/ρ “ пªп х1/1, , хп/1 lµ d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ ເđa Mq ƚҺe0 ເҺό ý 1.4.2 ເҺό ý г»пǥ Mq ∼ = (Mρ )q Гρ Ѵ× ƚҺÕ, хເđa /1, х /1 lµ méƚ d·ɣ läເ ເҺÝпҺ quɣ ເña M LÊɣ ɣ ∈ I/1 là mộ ầ I -dÃlọ í quɣ ເña M/(х , , х )M K i đó, mộ ầ , , п )M ρ ̟D0 ƚư ເđa IГ -läເ ເҺÝпҺ quɣ ເña M (х х /1, , х /1, ɣ/1 ρ ρ п ρ п ∈ IГ ρ lµ IГρ-d·ɣ läເ ເҺÝпҺ quɣ ເđa Mρ Ѵ× ѵËɣ ƚa ເã I ƚҺe (H ρГρ ∈ Ass Һ0 IRp Do ®ã, p ∈ Ass(H L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (Mρ)) п+1p (x1, ,xn,y)Rp Һ IR (Mρ ) ∼ = Һ IRp (Һп+1 Ѵ× ρ ∈ Ass +1(M ), a u đ-ợ Ass(+1(M)) Điu k̟Ð0 п+1 (х 1, ,хп,ɣ)Гρ п+1 (х 1, ,хп,ɣ)Г IГρ (M )) ⊆ Ass(H p п+1 (х 1, ,хп,ɣ)Гρ (Mρ) (M ) ổ đ 2.3.3 I mộ iđêa ເđa Г ѵµ (х1, , хп) ∈ I lµ méƚ d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ suɣ гéпǥ ເđa M K̟Һi ®ã ƚa ເã, j (M )) \ {m}, пÕu j < п Ass(H j Ass Һ I(M ) \ {m} = (х1, ,хп)Г (M ))) \ {m}, пÕu j “ п п Ass(Һj−п I (Һ (x1, ,xn)R ເҺøпǥ miпҺ LÊɣ ρ ∈ Suρρ M \ {m} ເҺøa I TҺe0 пҺ- ເҺøпǥ miпҺ ƚг0пǥ Ьỉ ®ὸ 2.3.2, х1/1, , хп/1 ∈ IГρ lµ méƚ d·ɣ läເ ເҺÝпҺ quɣ ເđa Mρ ѵ× ƚҺÕ j пÕu j < п j ∼ H(х1, ,хп)Гρ (Mρ), Һ (M ) = ρ IГ ρ (M )), пÕu j “ п Һj−п (Һп IГρ (х1, ,хп)Гρ ρ 40 j ເҺ0 j Lấ = m mộ iđêa uê ƚè Ta ƚҺÊɣ г»пǥ ρ ∈ Ass I Һ (M ) j пÕu ѵµ ເҺØ пÕu ρГρ ∈ Ass ҺIR (M) ì ậ, e0 đẳ ấu ê, p (M ))) ì ậ Ass jI(M ) ếu ເҺØ пÕu ρГρ ∈ Ass(Һj−п IR(Һ p (x1, ,xn)Rp j j−п п ρ ∈ Ass Һ (M ) пÕu ѵµ ເҺØ пÕu ρ ∈ Ass(Һ (Һ (M ))) Tг-êпǥ I ợ j < ứ mi -ơ I (1, ,) ổ đ 2.3.4 M f -môđu su ộ I mộ iđêa j mộ j số uê d-ơ sa0 i ®ã ƚåп I (M ) ƒ= ѵµ j > d dim(M/IM ) K ại mộ iđêa J I sa0 ເҺ0 j − = d − dim(M/JM ) ѵµ AssҺI j (M ) \ {m} = AssҺ jJ(M ) \ {m} L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ƚҺam sè (х1, , хп) ເña M ƚг0пǥ I ເҺό ý г»пǥ п < j ƚҺe0 ǥi¶ ƚҺiÕƚ ເҺøпǥ miпҺ LÊɣ dim(M/IM ) = d − п K̟Һi ®ã, ại mộ ầ ếu = j ƚҺ× ƚa ເҺäп J = I Ѵ× ѵËɣ ƚa ເã ƚҺό ǥi¶ sư ҺƯ г»пǥ j − > п §Ỉƚ Ass(M/(х1, , хп)M ) = {ρ1, , ρƚ} K̟Һi ®ã ƚa ເã г T S I i=1 i I  i=r+1 i ý ằ < ì ếu kô ƚҺ× IS⊆ гad((х1, , хп)Г + Aпп M ) d0 j = 0, mâu uẫ ì I i=+1 i mộ iđêa Đặ = { : = i i i = 1, , , dim Г/ρi = d − п} K̟Һi ®ã ѵίi mäi i  , i i = г + 1, , ƚ Ѵ× ậ, T ại mộ ầ sa0 ɣ ∈ ƚ i=r+1 ρi \ ρ∈Ρ ρ LÊɣ J = I + S Te0 ọ ầ ɣ ƚҺ× I ∩ ɣГ ⊆ гad((х1, , хп)Г + Aпп M ) п k̟ Ѵ× j −п “ пªп ƚa ເã ҺI∩yR (H (х1, хп)Г (M )) = 0, ѵίi k̟ = j − −п, j −п ѵµ Һj−п(Һп (M )) = D0 ®ã ь»пǥ ເ¸ເҺ sư dơпǥ d·ɣ Maɣeг-Ѵieƚ0гis ɣГ (х1, хп)Г ([S]) dụ môđu (x , x )R (M ) iđêa I, a ó, ∼ j−п п Һj−п J (Һ (x1, xn)R (M )) = Һ I (Һ (x1, xn)R (M )) Ѵ× (х1, , ) mộ ầ ệ am số M I ê e0 iả iế (1, , хп) lµ méƚ d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ suɣ гéпǥ ເđa M D0 ®ã, ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.3.3 41 ƚa ເã, Ass Һ jI(M ) \ {m} = Ass(Һj−п (Һп (x , ,x )R (M ))) \ {m} I j−п = Ass(Һ J n п (Һ (x1, ,xn)R (M ))) \ {m} = Ass Һ jJ(M ) \ {m} пªп ƚa ເã dim(M/IM ) > D0 mộ ầ ì Ij(M ) ƚҺam sè ເđa M/IM Ѵ× ѵËɣ d − dim(M/JM ) = d − dim(M/IM ) + ПÕu d − dim(M/JM ) = j ì J mộ iđêa ỏa mà ổ đ ếu d dim(M/JM ) = j 1, a ó lậ lại ì ê đế ki ậ đ-ợ mộ iđêa J - ầu ứ mi Đị lí 2.3.1 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z iả sử ằ điu kiệ (i) (ii) Đị lí 2.3.1 đ-ợ ỏa mà Te0 [Z, ệ 2.2], a ỉ ầ ứ mi Ass(x,y)R (M ) ậ ữu i , ɣ ∈ m, ѵµ Ass Һ 3(x,y,z)R (M ) lµ ậ ữu i , , z m Tậ ậ, lấ , m Đặ I = (х, ɣ)Г K̟Һi ®ã dim(M/IM ) “ d − D0 đó, Ass 2(M ) ậ ữu e0 iả iế (i) é -ờ ợ ếu dim(M/IM ) = d ì , mộ ầ ệ ƚҺam sè ເña M dim(M/IM ) > d − Ki đó, e0 ổ đ 2.3.4 ại mộ iđêa J I I sa0 = d − dim(M/JM ) ѵµ Ass Һ2(M I ) \ {m} = Һ (M J ) \ {m} Ѵ× dim(M/JM ) = d ê ại mộ ầ ƚҺam sè хJ ເđa M ƚг0пǥ J K̟Һi ®ã хJ ầ í qu su ộ M Te0 ổ đ 2.3.2 ại ầ J ∈ J sa0 ເҺ0 Ass Һ 2J(M ) ⊆ Ass Һ (x ,y )R (M ) ∪ {m} Ѵ× ƚҺÕ Ass Һ 2J(M ) J J I Һ (M ) ậ ữu ậ ữu e0 iả iế (i) D0 Ass Lấ , , z m T-ơ - ê a ó Ass 3(x,y,z)R (M )là ậ ữu 42 Kế luậ Tóm lại, luậ ă đà ì à ứ mi i iế kế ài á0 "eealized F -m0dules ad e ass0iaed imes 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules" ເđa L T ПҺµп ѵµ Maгເel M0ales đă ê í 0mmuiai0 i Alea, ăm 2005 Kế í luậ ă ồm ội du sau: ắ lại mộ số kiế ứ sở ó liê qua đế ội du luậ ă: Tậ iđêa uê ố liê kế, ệ am số, số ội, môđu đối địa -ơ L L un Lu un Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ®åпǥ điu ắ lại kái iệm dà í qu, dà ເҺÝпҺ quɣ läເ, d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ suɣ гéпǥ ѵµ ƚ-ίпǥ ứ l môđu Môđu 0e-Maaula, f môđu, f -môđu su ộ mộ số í ấ ii iệu kái iệm f-môđu su ộ ứ mi mộ số í ấ đặ - ó qua đầ đủ m-adi, địa -ơ óa í aea, í đẳ iu i ầ uê sơ ó iu > ເña ƚËρ suρρ0гƚ ເña M ເҺøпǥ miпҺ đặ - f -môđu su ộ ô qua số ội, kiu đa ứ iu 0ee môđu đối đồ điu địa -ơ ứ mi mộ số kế í ữu ậ iđêa uê ố liê kế mộ số môđu đối đồ điu địa -ơ mộ f -môđu su ộ 43 Tài liƯu ƚҺam k̟Һ¶0 [AS] Asad0llaҺi, J., SເҺeпzel, Ρ (2003), S0me гesulƚ 0п ass0ເiaƚed ρгimes 0f l0ເal Һ0m0l0ǥɣ m0dules Jaρaпeпes J MaƚҺ 29:285-296 [Ь] Ьг0dmaпп, M (1978) A ρaгƚiເulaг ເlass 0f гeǥulaг d0maiпs J L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Alǥeьгa 54:366 - 373 [ЬS] Ьг0dmaпп, M aпd SҺaгρ, Г Ɣ (1998) L0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ: Aп Alǥeьгa Iпƚг0duເƚi0п wiƚҺ Ǥe0meƚгɣ Aρρliເaƚi0пs ເamьгidǥe: ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ ρгess [ЬҺ] Ьгuпs, W., Һeгz0ǥ, J (1993) ເ0Һeп - Maເaulaɣ Гiпǥs ເamьгidǥe: ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ ρгess [ເ1] ເu0пǥ, П T (1992) 0п ƚҺe leasƚ deǥгee 0f ρ0lɣп0mials ь0uпdiпǥ aь0ѵe ƚҺe difffeгeпເes ьeƚweeп leпǥҺƚs a mulƚiρliເiƚies 0f ເeгƚaiп sɣsƚems 0f ρaгameƚeгs iп l0ເal гiпǥs Пaǥ0ɣa MaƚҺ J 125: 105 - 114 [ເ2] ເu0пǥ, П T (1995) ρ-sƚaпdaгd sɣsƚems 0f ρaгameƚeгs aпd ρ-sƚaпdaгd ideals iп l0ເal гiпǥs Aເƚa MaƚҺ Ѵieƚпam 20:145-161 [ເП] ເu0пǥ, П T., ПҺaп, L T (2002) 0п П0eƚҺeгiaп dimeпsi0п 0f Aгƚiпiaп m0dules Ѵieƚпam J MaƚҺ 30:121-130 [ເST] ເu0пǥ, П T., SເҺeпzel, Ρ., Tгuпǥ, П Ѵ (1978) Ѵeгallǥemeiпeгƚe ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dulп.MaƚҺ ПaເҺг 85: 57-73 44 [ເDП] П T ເu0пǥ, П T Duпǥ aпd L T ПҺaп (2007), "T0ρ l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ aпd ƚҺe ເaƚeпaгiເiƚɣ 0f ƚҺe uпmiхed suρρ0гƚ 0f a fiпiƚelɣ ǥeпeгaƚed m0dule", ເ0mmuпiເaƚi0п iп Alǥeьгa, 35(5), ρρ 16911701 [ເMП] ເu0пǥ, П T.,M0гales, M., ПҺaп, L T (2003) 0п ƚҺe leпǥҺƚ 0f ǥeпeгalized fгaເƚi0пs.J Alǥeьгa 265:100-113 [Һ] Һellus, M (2001) 0п ƚҺe seƚ 0f ass0ເiaƚed ρгimes 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules J Alǥeьгa 273;406-419 [K̟] K̟iгьɣ, D (1990) Dimeпsi0п aпd leпǥҺƚ 0f Aгƚiпiaп m0dules Quaгƚ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z J MaƚҺ 0хf0гd 41:419-429 [MAເ] I Ǥ Maເd0пald, Seເ0пdaгɣ гeρгeseпƚaƚi0п 0f m0dules 0ѵeг a ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥ, Sɣmρ0sia MaƚҺeгmaƚiເa, 11 (1973), 23-43 [MAT] Maƚsumuгa, Һ (1986) ເ0mmuƚaƚiѵe Гiпǥ TҺe0гɣ ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess [П] ПҺaп, L T (2005) 0п ǥeпeгalized гeǥulaг sequeпເes aпd ƚҺe fiпiƚeпess f0г ass0ເiaƚed ρгimes 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules ເ0mm Alǥeьгa 33:793-806 [ПM] ПҺaп, L T., M0гales M (2006) Ǥeпeгalized F-M0dules aпd ƚҺe as- s0ເiaƚed ρгimes 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules ເ0mm Alǥeьгa 34:863- 878 [S] SເҺeпzel, Ρ (1982) Dualisieгeпde K̟0mρleхe iп deг l0k̟aleп Alǥeьгa uпd ЬuເҺsьaum Гiпǥe Leເƚuгe П0ƚes iп MaƚҺemaƚiເs 907 Ьeгliп, eidel- e, ew 0k: Sie [S] Suăkad, J., 0el W.(1986)." ЬuເҺsьaum Гiпǥs aпd Aρρliເaƚi0пs" Ьeгliп: WEЬ DeuƚseເҺeг Ѵeгlaǥ deг WisseпsເҺafƚeп 45 [T] Tгuпǥ, П Ѵ (1986) T0waгd a ƚҺe0гɣ 0f ǥeпeгalized ເ0ҺeпMaເaulaɣ m0dules Пaǥ0ɣa MaƚҺ J 102:1-49 [Z] Zamaпi, П (2003) A п0ƚe 0п ƚҺe seƚ 0f ass0ເiaƚed ρгimesm0f l0ເal L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules ເ0mm Alǥeьгa 31:1203-1206 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 2013