Tập iđêan nguyên tố liên kết
Định nghĩa 1.1.1 Cho M là một R-môđun Một iđêan nguyên tố p của
R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x ∈ M, x 6= 0 sao cho Ann R (x) =p.
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M, ký hiệu là Ass R (M) hoặc Ass(M) Như vậy
Giá của môđun M ký hiệu là Supp(M) = p ∈ Spec(R) | M p 6= 0 Đặt V(I) = p ∈ Spec(R) | I ⊂ p Khi đó,
Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Supp(M) =V(Ann(M)).
Nếu R là một vành Noether và I là một iđêan của R, thì tập hợp các điểm hỗ trợ của R/I được xác định bởi V(I) Theo định nghĩa, một phần tử a trong vành R được xem là một ước của không của R-môđun M nếu tồn tại một phần tử x trong M, với x khác 0, sao cho tích ax bằng 0.
Tập các ước của không của M được ký hiệu là ZD R (M). Định lý 1.1.3 ([15], Định lý 6.1) Cho R là vành Noether và M là R- môđun khác không Khi đó
(i) Phần tử cực đại trong họ các iđêan F = Ann R (x) | 06= x ∈ M là iđêan nguyên tố liên kết của M Đặc biệt, Ass R (M) 6= ∅ khi và chỉ khi M 6= 0.
(i) Giả sử p = Ann R (x) ∈ F, p là phần tử cực đại của F Ta cần chứng minh p nguyên tố.
Với mọi a, b ∈ R mà ab ∈ p và b /∈ p, ta có abx = 0 và bx ≠ 0 Do 0 ≠ bx ∈ M nên Ann R (bx) ∈ F Vì Ann R (x) ∈ Ann R (bx) và Ann R (x) là phần tử cực đại, ta suy ra Ann R (bx) = Ann R (x) Từ abx = 0, suy ra a ∈ Ann R (bx), dẫn đến a ∈ Ann R (x) Do đó, p là iđêan nguyên tố và kết luận rằng p là iđêan nguyên tố liên kết của M.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh Ass R (M) 6= ∅ khi và chỉ khi M 6= 0 Giả sử
Khi M khác không (M 6= 0), tồn tại một phần tử khác không x thuộc M, dẫn đến F không rỗng (F 6= ∅) Vì R là vành Noether, nên tồn tại một phần tử cực đại p trong F Theo chứng minh, p thuộc Ass R (M), do đó Ass R (M) không rỗng (Ass R (M) 6= ∅) Ngược lại, nếu Ass R (M) không rỗng, sẽ có phần tử khác không x thuộc M sao cho Ass R (x) = p, với p là phần tử nguyên tố, từ đó suy ra M khác không (M 6= 0).
(ii) Giả sử α ∈ [ p∈Ass R (M ) p, khi đó tồn tại p ∈ Ass R (M) sao cho α ∈ p, tức là tồn tại x 6= 0, x ∈ M để αx = 0 Suy ra α ∈ ZD R (M) Do đó
Giả sử α ∈ ZD R (M) Khi đó tồn tại x 6= 0 sao cho αx = 0 Suy ra α ∈ Ann R (x) Do đó tồn tại p ∈ Ass R (M) để Ann R (x) ⊆ p Suy ra α ∈ [ p∈Ass R (M ) p Do đó,
Bổ đề 1.1.4 Cho R là vành và M, N là các R-môđun Khi đó
(ii) Cho p là iđêan nguyên tố của vành R Khi đó p ∈ Ass R (M) khi và chỉ khi tồn tại một R-môđun con N của M sao cho N ∼= R/p.
Giả sử p thuộc Ass R (N), thì tồn tại một x khác 0 trong N sao cho p = Ann R (x) Vì x thuộc N và N là tập con của M, nên x cũng thuộc M, từ đó suy ra p thuộc Ass R (M) Điều này dẫn đến kết luận rằng Ass R (N) là tập con của Ass R (M) Ngược lại, nếu p thuộc Ass R (M), thì có một x khác 0 trong M sao cho p = Ann R (x), và ta đặt N = Rx là một mô đun con của M.
Ta xét ánh xạ f như sau f : R −→ Rx a 7−→ ax
Rõ ràng f là R-toàn cấu Áp dụng định lý đẳng cấu môđun ta có N ∼ R/Kerf = R/Ann(x) =R/p.
Ngược lại, do Ass R (R/p) = {p} = Ass R (N), tồn tại phần tử x khác 0, x thuộc N và N là tập con của M, sao cho p = Ann R (x) Do đó, p thuộc Ass R (M) Định lý 1.1.5 cho biết rằng nếu M là một R-môđun trên vành giao hoán Noether và S là tập con nhân đóng của R, thì có các kết quả liên quan đến cấu trúc của M.
Chứng minh Vì R là vành giao hoán Noether nênS −1 R cũng là một vành giao hoán Noether Do đó, tập Ass S −1 R (S −1 M) là xác định.
Lấy p ∈ Ass R (M) sao cho p ∩S = ∅ Khi đó tồn tại m 6= 0, m ∈ M sao cho p = (0 : R m) Ta có pS −1 R = (0 : S −1 R m/1) ∈ Spec(S −1 R) Do đó, pS −1 R ∈ Ass S −1 R (S −1 M) Suy ra n pS −1 R | p ∈ Ass R (M),p∩S = ∅o ⊆ Ass S −1 R (S −1 M).
Giả sử q thuộc Ass S −1 R (S −1 M), thì q thuộc Spec(S −1 R) và tồn tại duy nhất p thuộc Spec(R) sao cho p ∩ S = ∅, với q = pS −1 R Hơn nữa, có m thuộc M và s thuộc S sao cho q = (0 : S −1 R m/s) Bởi vì s/1 là phần tử khả nghịch của S −1 R, ta có q = (0 : S −1 R m/1) Do R là vành Noether, nên p là một iđêan hữu hạn sinh và được sinh bởi các phần tử p1, p2, , pn.
Khi p i m/1 = 0 S −1 M với mọi i = 1,2, , n, tồn tại một s i ∈ S sao cho s i p i m = 0 Đặt t := s1ã ã ãsn ∈ S, từ đó tpim = 0 cho mọi i = 1,2, , n dẫn đến ptm = 0, do đó p ⊆ (0 : R tm) Ngược lại, nếu lấy r ∈ (0 : R tm), thì rt m = 0, và (rt/1)(m/1) = 0 S −1 R, suy ra rt/1 ∈ (0 : S −1 R m/1) = pS −1 R.
Vì p là iđêan nguyên tố nên rt∈ p Hơn nữa, t∈ S ⊆R\p nên r ∈ p suy ra p ⊇ (0 :R tm) Do đó p = (0 :R tm), suy ra p ∈ Ass R (M).
Hệ quả 1.1.6 ChoM là mộtR-môđun hữu hạn sinh và p là iđêan nguyên tố của R Khi đó
Ass R p (M p ) = qR p | q ∈ Ass R (M),q ⊆ p Định lý 1.1.7 ([15], Định lý 6.3) Cho vành R và
0 →M 0 −→ f M −→ g M 00 →0 là dãy khớp các R-môđun Khi đó Ass R (M) ⊂ Ass R (M 0 )∪Ass R (M 00 ).
Theo Bổ đề 1.1.4, với mọi p ∈ Ass R (M), tồn tại một môđun con N ∼= R/p trong M, mà không mất tính tổng quát, ta có thể xem N = R/p Với mọi x ∈ N và x khác 0, ta có x = a + p, với a không thuộc p, dẫn đến Ann R (x) = p Nếu N ∩ M 0 khác {0}, tồn tại x khác 0 thuộc N ∩ M 0, do đó Ann R (x) = p và p thuộc Ass R (M 0) Ngược lại, nếu N ∩ M 0 = {0}, ta xem xét ánh xạ g| N : N −→ M 0.
Vì dãy là khớp và Kerg| N = Kerg ∩ N nên Kerg| N = M 0 ∩ N = {0}. Suy ra g| N đơn cấu, do đó N ⊆ M 00 Áp dụng Bổ đề 1.1.4 thì Ass R (N) ⊆ Ass R (M 00 ) Hơn nữa, vì Ass R (N) =p nên p ∈ Ass R (M 00 ).
Từ các trường hợp trên ta suy ra p ∈ Ass R (M 0 )∪ Ass R (M 00 ).
Vậy Ass R (M) ⊆ Ass R (M 0 )∪Ass R (M 00 ). Định lý 1.1.8 ([15], Định lý 6.4) Cho R là vành Noether và M 6= 0 là
R-môđun hữu hạn sinh Khi đó tồn tại chuỗi dây chuyền
0 = M 0 ⊂M 1 ⊂ ã ã ã ⊂M n = M trong đó các M i , với i = 1, n, là R-môđun con của M sao cho với mỗi i ta có M i /M i−1 ∼= R/p i , với p i ∈ Spec(R).
Chứng minh Vì M 6= 0 nên Ass R (M) 6= ∅ Chọn p 1 ∈ Ass R (M) bất kỳ. Theo Bổ đề 1.1.4 tồn tại M 1 là môđun con của M để M 1 ∼= R/p 1 hay
Nếu M 1 6= M, thì tập hợp Ass R (M/M 1 ) không rỗng Chúng ta chọn phần tử p 2 từ Ass R (M/M 1 ), dẫn đến việc tồn tại môđun con M2/M1 của M/M1 sao cho M2/M1 đồng isomorph với R/p 2 Tiếp tục quá trình này, ta sẽ thu được một chuỗi các R-môđun con của M.
Vì M là môđun Noether, nên dãy trên là dừng, tức là tồn tại một số n∈ N sao cho M = Mn, từ đó định lý được chứng minh Theo Định lý 1.1.9, nếu R là một vành Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh, thì tập Ass R (M) là hữu hạn.
Chứng minh Trường hợp M = 0 thì Ass R (M) = ∅ do đó Ass R (M) là tập hữu hạn.
Trường hợp M 6= 0, theo Định lý 1.1.8 thì sẽ tồn tại một chuỗi dây chuyền các môđun con của M như sau
Vì dãy trên là dãy khớp nên áp dụng Định lý 1.1.7 ta được
Ass R (M) ⊂Ass R (M n−1 )∪ Ass R (M/M n−1 ) trong đó Ass R (M/M n−1 ) =Ass R (R/p n ) = {p n }.
Ta xét dãy thứ hai
Tương tự như trên ta có
Ass R (M n−1 ) ⊂ Ass R (M n−2 )∪Ass R (M n−1 /M n−2 ) và Ass R (M n−1 /M n−2 ) = Ass R (R/p n−1 ) ={p n−1 }.
Thực hiện tiếp tục như trên ta nhận được dãy khớp
Do Ass R (M 2 /M 1 ) = Ass R (R/p 2 ) = {p 2 } và Ass R (M 1 ) = Ass R (R/p 1 ) {p 1 } nên
Vậy Ass R (M) là tập hữu hạn.
Tập iđêan nguyên tố gắn kết
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày kiến thức cơ bản về môđun thứ cấp, bao gồm biểu diễn thứ cấp của môđun và tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Một R-môđun M được gọi là thứ cấp nếu M khác không và với mọi x thuộc R, tự đồng cấu ϕx,M : M −→ M được xác định bởi phép nhân của x trên M là toàn cấu hoặc lũy linh.
Chú ý 1.2.2 Nếu M là một R-môđun thứ cấp thì p = pAnn R (M) là một iđêan nguyên tố của M. Định nghĩa 1.2.3 Một R-môđun M là thứ cấp và p = pAnn R (M) thì
M được gọi là p-thứ cấp.
Mệnh đề 1.2.4 ([13], Trang 26) Một môđun thương khác không của môđun p-thứ cấp là môđun p-thứ cấp.
Giả sử M là R-môđun p-thứ cấp và N là môđun con thực sự của M, thì M/N sẽ trở thành môđun thương khác không của M Đối với mọi x ∈ R, có hai trường hợp xảy ra.
+) Trường hợp x ∈ p thì ϕ x,M : M −→ M là lũy linh Do đó tồn tại n∈ N sao cho x n M = 0 Suy ra x n (M/N) = (x n M +N)/N = 0, do đó ϕ x,M/N :M/N −→ M/N là lũy linh.
+) Trường hợp x /∈ p thì ϕ x,M : M −→ M là toàn cấu, do đó xM = M.Suy ra x(M/N) = (xM +N)/N = (M +N)/N = M/N, do đó ϕ x,M/N :
Ann R (M/N) = p Thật vậy, lấy một giá trị x ∈ pAnn R (M/N) bất kỳ, khi đó tồn tại n ∈ N sao cho x n (M/N) = 0. Suy ra (x n M + N)/N = 0 Do đó x n M + N = N Do x n M = 0 nên x ∈ pAnn R (M) = p Suy ra p
Ngược lại, lấy một giá trị x bất kỳ sao cho x ∈ p Ann R (M) =p Khi đó tồn tạik > 0 để x k M = 0 suy ra x k (M/N) = 0 Do đó x k ∈ Ann R (M/N) hay x ∈ pAnn R (M/N) Suy ra p
Ann R (M/N) = p Vậy M/N là một p-thứ cấp.
Bổ đề 1.2.5 ([13], Trang 27) Linh hóa tử của một môđun p-thứ cấp là một iđêan p-nguyên sơ.
Giả sử M là R-môđun p-thứ cấp, với ab ∈ Ann R (M) và b n ∈/ Ann R (M) cho mọi n Do M là R-môđun p-thứ cấp, ta có bM = M hoặc tồn tại một số tự nhiên n sao cho b n ∈ Ann R (M) Tuy nhiên, vì b n ∈/ Ann R (M), nên bM phải bằng M Với ab ∈ Ann R (M), ta có abM = 0, dẫn đến aM = 0, từ đó suy ra a ∈ pAnn R (M) Do đó, Ann R (M) là nguyên sơ, và vì p = pAnn R (M), ta kết luận rằng Ann R (M) là p-thứ cấp.
Bổ đề đã được chứng minh.
Ví dụ 1.2.6 Nếu R là vành địa phương với p là iđêan nguyên tố cực đại và mọi phần tử trong p đều là lũy linh thì R chính là R-môđun p-thứ cấp.
Bổ đề 1.2.7 Cho M là một R-môđun và p là một iđêan nguyên tố của
R, M 1 , M 2 , , M r là các môđun con p-thứ cấp của M Khi đó, P M 1 +M 2 +ã ã ã+M r cũng là p-thứ cấp của M.
Chứng minh Với mọi x ∈ R xảy ra hai trường hợp sau
+) Trường hợp x∈ p thì với mọi i ta có ϕx,M i :Mi −→Mi là lũy linh, do đó tồn tại n i sao cho x n i M i = 0.
Với n = M ax{n 1 , n 2 , , n r }, thì x n M i = 0 với mọi i, do đó x n P = 0. Suy ra ϕ x,P : P −→ P là lũy linh.
+) Trường hợp x /∈ p thì với mọi i ta có ϕ x,M i : M i −→ M i là toàn cấu. Khi đóxM i = M i với mọi i Do đó xP = P suy ra ϕ x,P :P −→ P là toàn cấu.
Vậy P = M 1 +M 2 +ã ã ã+M r là R-mụđun p-thứ cấp. Định nghĩa 1.2.8.
(i) Một biểu diễn thứ cấp của M là một phõn tớch M = M 1 +M 2 +ã ã ã+
M r thành tổng hữu hạn các môđun con p i -thứ cấp M i Nếu M = 0 hoặc M có biểu diễn thứ cấp thì ta nói M biểu diễn được.
(ii) Một biểu diễn thứ cấp của M được gọi là tối tiểu nếu các môđun con thứ cấp M 1 , M 2 ,ã ã ã , M r thỏa món cỏc điều kiện
(2) Không có Mi nào nằm trong tổng các môđun con còn lại.
Mọi biểu diễn thứ cấp của R-môđun M đều có thể được đưa về dạng tối tiểu Tập hợp {p1, p2, , pn} được gọi là tập iđêan nguyên tố gắn kết của M, ký hiệu là Att R M Một R-môđun M được xem là bất khả tổng nếu M khác không và tổng của hai môđun con thực sự của M luôn là một môđun con thực sự của M.
Bổ đề 1.2.10 ([13], Trang 35) Nếu M là R-môđun Artin khác không và bất khả tổng thì M là môđun thứ cấp.
Giả sử M không phải là môđun thứ cấp, tồn tại phần tử x ∈ R sao cho M khác xM và x^nM khác 0 với mọi n > 0 Do M là R-môđun Artin, dãy các môđun con {x^nM} n≥0 của M là dãy dừng, dẫn đến tồn tại số tự nhiên k sao cho x^kM = x^(k+1)M = = x^(2k)M Đặt M1 = Ker(ϕ_x^k, M) và M2 = x^kM, ta có M1 và M2 là hai môđun con của M Vì x^kM1 = 0 và x^kM khác 0, suy ra M1 khác M và do đó M không bằng xM.
M 2 6= M Do đó M 1 , M 2 là hai môđun con thực sự của M.
Giả sử u ∈ M bất kỳ, vì x k u ∈ x k M = x 2k M nên tồn tại v ∈ M sao cho x k u = x 2k v, suy ra x k (u−x k v) = 0 Do đó u−x k v ∈ M1.
Môđun R Artin không đều có thể được biểu diễn dưới dạng môđun thứ cấp, điều này được chứng minh bằng cách xem xét mối quan hệ giữa các phần tử trong môđun Cụ thể, nếu ta có u = x k v + (u−x k v) ∈ M 2 + M 1, thì từ đó suy ra rằng M = M 1 + M 2 Tuy nhiên, điều này lại mâu thuẫn với giả thiết rằng M là bất khả tổng Do đó, kết luận rằng M là môđun thứ cấp là hoàn toàn hợp lý.
Chứng minh Giả sử M là R-môđun Artin không biểu diễn được Xét tập các môđun con khác không không biểu diễn được của M Tập này khác rỗng vì chứa M.
Vì M là R-môđun Artin, nên phần tử cực tiểu là N Tuy nhiên, N là môđun con không biểu diễn được, dẫn đến việc N không phải là môđun thứ cấp Theo Bổ đề 1.2.10, N được xem là tổng của hai môđun con thực sự N1 và N2 Do tính chất cực tiểu của N, cả N1 và N2 đều là môđun biểu diễn được Vì N là tổng của hai môđun con biểu diễn được, nên N cũng phải là môđun biểu diễn được, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu về N.
Vậy M là môđun biểu diễn được. Định nghĩa 1.2.12 Cho (R,m) là vành Noether địa phương, M là một
R-môđun Đối ngẫu Matlis của M là môđun
D(M) =Hom R (M,E(R/m)) trong đó E(R/m) là bao nội xạ của R/m.
Chú ý 1.2.13 Cho M, N là các R-môđun Giả sử rằng M là một R- môđun hữu hạn sinh Khi đó, ta có đẳng cấu
Bổ đề 1.2.14 Cho M là R-môđun Khi đó
Mệnh đề 1.2.15 Giả sử (R,m) là vành giao hoán địa phương, Noether, đầy đủ Khi đó,
(i) Nếu N là R-môđun hữu hạn sinh thì D(N) là R-môđun Artin. (ii) Nếu N là R-môđun Artin thì D(N) là R-môđun hữu hạn sinh.
Mệnh đề 1.2.16 Cho R là vành địa phương, đầy đủ, M là R-môđun hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin Khi đó,
Dãy chính quy và dãy lọc chính quy
Trong bài viết này, chúng ta sẽ nhắc lại định nghĩa về dãy chính quy và dãy lọc chính quy, cùng với một số tính chất liên quan Cụ thể, định nghĩa 1.3.1 nêu rõ rằng, cho M là R-môđun hữu hạn sinh, một phần tử a khác 0 của R được gọi là phần tử chính quy của M hay M-chính quy nếu như tích ax khác 0 với mọi x thuộc M và x khác 0.
Một dãy các phần tử x1, x2, , xr của R được gọi là một dãy chính quy của M hay M-dãy chính quy nếu thỏa mãn hai điều kiện sau
(ii) xi là phần tử chính quy của M/(x1, x2, , xi−1)M, với mọi i = 1, r.
Nếu dãy x 1 , x 2 , , x r chỉ thỏa mãn điều kiện (ii) thì ta nói x 1 , x 2 , , x r là một M-dãy chính quy yếu.
Một phần tử a ∈ R được gọi là phần tử chính quy của M khi và chỉ khi a không thuộc bất kỳ lý thuyết tối thiểu nào p trong tập hợp Ass R (M) Nếu (R,m) là vành địa phương và x1, x2, , xr thuộc m, đồng thời M là R-môđun hữu hạn sinh khác không, thì điều kiện này luôn được thỏa mãn theo Bổ đề Nakayama Theo Định lý 1.3.3, nếu a1, , an là một dãy chính quy của M, thì a δ1 1 , , a δn n cũng sẽ là một dãy chính quy của M với mọi số nguyên dương δ1, , δn.
Để chứng minh định lý, cần chứng minh rằng nếu a1, , an là M-chính quy thì aδ1, a2, , an cũng là M-dãy chính quy Giả sử aδ11, a2, , an là M-dãy chính quy, ta đặt M1 = M/aδ11M, từ đó suy ra a2, , an là M1-dãy chính quy Tiếp tục quá trình này, ta nhận thấy aδnn là M/(aδ11, aδ22, , aδn-1n-1)M-dãy chính quy với M khác (aδ11, aδ22, , aδn-1n-1)M Do đó, nếu a1, , an là M-chính quy, thì aδ1, a2, , an cũng là M-dãy chính quy.
M-dãy chính quy bằng quy nạp.
Với δ > 1, giả sử dãy trên đúng với δ −1 Ta chứng minh dãy trên đúng với δ.
Trong bài viết này, chúng ta chứng minh rằng nếu a δ 1 là một phần tử chính quy của M, thì với mọi i > 1, chuỗi a δ 1 1, , a i cũng là một M-dãy chính quy Giả sử ω ∈ M và ai(ω + (a δ 1, , a i−1)M) = 0, điều này dẫn đến aiω nằm trong (a δ−1 1, , a i−1)M Theo giả thiết quy nạp, (a δ−1 1, , a i−1, a i) là M-dãy chính quy, do đó ω thuộc về (a δ−1 1, , a i−1)M Kết quả là ω có thể được biểu diễn dưới dạng (a δ−1 1 η 1 + + a i−1 η i−1) với η j ∈ M, từ đó suy ra a i ω = a 1 a δ−1 1 η 1 + + a i a i−1 η i−1.
Vì a δ−1 1 , , a i−1 là M-dãy chính quy nên ta suy ra được a 1 ξ 1 −a i η 1 ∈ a δ−1 1 M + a 2 M + ã ã ã + a i−1 M Suy ra a i η 1 ∈ a 1 M + ã ã ã + a i−1 M Vỡ a 1 , , a i−1 , a i là M-dóy chớnh quy nờn η 1 ∈ a 1 M + ã ã ã + a i−1 M hay η 1 = a 1 η 1 0 + ã ã ã+a i−1 η i−1 0 Do đú ω = a δ 1 η 1 0 +a δ−1 1 a2η 2 0 +ã ã ã+a δ−1 i−1 a i−1 η 0 i−1 +a2η2 +ã ã ã+a i−1 η i−1
Suy ra a i là phần tử chính quy của M/(a δ 1 , a 2 , , a i−1 )M, cho thấy nếu a 1 , , a n là M-dãy chính quy, thì a δ 1 1 , a 2 , , a n cũng là M-dãy chính quy Điều này dẫn đến việc a 2 , , a n trở thành M/a δ 1 1 M-dãy chính quy, từ đó suy ra a δ 2 2 , , a n là M/a δ 1 1 M-dãy chính quy.
Tiếp tục quá trình trên ta có a δ n n là M/(a δ 1 1 , , a δn−1 n−1 )M-dãy chính quy.
Vỡ (a δ 1 1 M+ã ã ã+a δ n n M) ⊂ a 1 M+ã ã ã+a n M và M/(a 1 M+ã ã ã+a n M) 6= 0 nờn M/(a δ 1 1 +ã ã ã+a δ n n M) 6= 0 Định nghĩa 1.3.4 nêu rõ rằng cho R là vành giao hoán Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh khác 0, nếu I là iđêan của R sao cho M 6= IM và a 1, , a n là M-dãy chính quy trong I, thì a 1, , a n được gọi là M-dãy chính quy tối đại trong I nếu không tồn tại phần tử a n+1 ∈ I sao cho a 1, , a n, a n+1 là M-dãy chính quy có độ dài n+1 Định nghĩa 1.3.5 xác định rằng cho M là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R sao cho IM 6= M, mọi dãy chính quy cực đại của M trong I đều có cùng độ dài, gọi độ dài chung đó là độ sâu của M trong I, kí hiệu depth(I, M) Nếu IM = M, ta quy ước depth(I, M) = +∞ Độ sâu của M trong I được xác định bởi công thức depth(I, M) = inf n i | Ext i R (R/I, M) 6= 0o.
Trong trường hợp(R,m)là vành giao hoán Noether địa phương thì depth(m, M) được gọi là độ sâu của M và ký hiệu bởi depth(M).
Mệnh đề sau đây giúp chúng ta có một công thức quy nạp về tính độ sâu.
Mệnh đề 1.3.6 ([4], Mệnh đề 1.2.10) Cho M là R-môđun hữu hạn sinh.
Khi đó nếu x 1 , x 2 , , x r là một dãy chính quy của M trong I thì depth(I, M/(x 1 , x 2 , , x r )M) = depth(I, M)−r.
Tiếp theo chúng ta nhắc lại khái niệm dãy lọc chính quy, nó là một trong những khái niệm mở rộng của dãy chính quy được N T Cường, N.
V Trung và P Chenzel giới thiệu vào năm 1978. Định nghĩa 1.3.7.
(i) Một phần tử x ∈ m được gọi là phần tử lọc chính quy đối với M nếu x /∈ p với mọi p ∈ Ass R (M)\ {m}.
Một dãy các phần tử x₁, x₂, , xₙ của R được gọi là dãy lọc chính quy của M, hay M-dãy lọc chính quy, nếu mỗi phần tử xᵢ là phần tử lọc chính quy của M/(x₁, x₂, , xᵢ₋₁)M cho mọi i từ 1 đến n.
(i) x ∈ mlà M-phần tử lọc chính quy nếu và chỉ nếu x /∈ [ p∈ Ass R (M )\{m} p.
(ii) Nếux 1 , x 2 , , x n ∈ m là M-dãy chính quy thì nó cũng là M-dãy lọc chính quy.
(iii) Một dãy các phần tử x 1 , x 2 , , x n ∈ m là M-dãy lọc chính quy nếu và chỉ nếu x1 là M-phần tử lọc chính quy và x2, , xn là M/x1M- dãy lọc chính quy.
Mệnh đề 1.3.9 Cho dãy các phần tử x 1 , x 2 , , x n ∈ m Khi đó
(i) x 1 , x 2 , , x n làM-dãy lọc chính quy nếu và chỉ nếux 1 /1,x 2 /1, ,x n /1 là M p -dãy chính quy với mọi p ∈ Supp(M)\ {m} chứa x 1 , x 2 , , x n
(ii) Nếu x 1 , x 2 , , x n là M-dãy lọc chính quy thì x α 1 1 , x α 2 2 , , x α n n cũng là M-dãy lọc chính quy với mọi α1, α2, , αn ∈ N.
(i) Bằng quy nạp, ta chỉ cần chứng minh với trường hợp n= 1 Cho x 1 là
M-dãy lọc chính quy và p ∈ Supp(M)\ {m} sao cho x1 ∈ p Giả sử x1/1 không phải là dãy chính quy của M p, thì tồn tại qR p ∈ Ass R p (M p) sao cho x1/1 ∈ qR p Điều này dẫn đến x1 ∈ q và q ∈ Ass R (M), với dimR/q ≥ 1 Sự mâu thuẫn này cho thấy giả thiết x1 là dãy lọc chính quy của M không thể đúng.
Ngược lại, giả sử x₁/₁ là dãy chính quy của Mₚ, với mọi p ∈ Supp(M)\{m} chứa x₁ Nếu x₁ không phải là phần tử lọc chính quy của M, thì tồn tại p ∈ Ass R (M) sao cho x₁ ∈ p và dimR/p ≥ 1 Do đó, x₁/₁ thuộc pRₚ, với p ∈ AssMₚ, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng x₁/₁ là phần tử chính quy của Mₚ.
Theo định nghĩa (i), x₁/₁, x₂/₁, , xₙ/₁ là M p -dãy chính quy với mọi p thuộc tập T Suy ra, x₁ᵅ₁/₁, x₂ᵅ₂/₁, , xₙᵅₙ/₁ cũng là M p -dãy chính quy với mọi p thuộc T Do đó, x₁ᵅ₁, x₂ᵅ₂, , xₙᵅₙ là M-dãy lọc chính quy Định nghĩa 1.3.10 nêu rõ rằng I là một iđêan thực sự của R.
(i) Một M-dãy lọc chính quy x 1 , x 2 , , x n trong I gọi là tối đại nếu x 1 , x 2 , , x n , x n+1 không là M-dãy lọc chính quy với bất kỳ x n+1 ∈
(ii) Độ sâu lọc của M trong I là độ dài của M-dãy lọc chính quy tối đại bất kỳ trong I, kí hiệu là fdepth(I, M).
Nếu trong I không tồn tại M-dãy lọc chính quy tối đại nào cả thì ta quy ước fdepth(I, M) =∞.
Môđun đối đồng điều địa phương
Định nghĩa 1.4.1 Cho vành R, I ⊆ R là một iđêan, M là R-môđun. Đặt
(0 : M I) := m ∈ M | mI = 0 Khi đó môđun con I-xoắn của môđun M được kí hiệu ΓI(M) = [ n∈ Z
Ví dụ 1.4.2 Vành R là R-môđun 0R-xoắn. Định nghĩa 1.4.3 Cho dãy các đồng cấu R-môđun
−→M i+1 → ã ã ã sao cho Ker(d i ) ⊇ Im(d i−1 ), với mọi i ∈ Z được gọi là đối phức của các
Kí hiệu (M • , d • ) và (N • , e • ) đại diện cho hai đối phức của R-môđun Định nghĩa đồng cấu đối phức của các R-môđun f •: (M • , d • ) → (N • , e • ) bao gồm một tập hợp các đồng cấu R-môđun f i: M i → N i, thỏa mãn điều kiện f i+1 ◦ d i = e i ◦ f i cho mọi i ∈ Z Điều này tạo thành một sơ đồ giao hoán giữa các thành phần của hai đối phức, từ M i−1, M i, M i+1, M i+2 đến N i−1, N i, N i+1, N i+2 với các ánh xạ d i−1, d i, d i+1 và e i−1, e i, e i+1.
= nh : (M, d) →(N, e) là đồng cấu đối phức của R-môđun o
Họ đồng cấu đồng nhất (id Mi) i∈ Z của các R-môđun xác định một đồng cấu đối phức cho các R-môđun id (M • , d • ) Định nghĩa 1.4.6 nêu rõ rằng, với một n ∈ Z cố định, đối đồng điều thứ n của đối phức (M • , d • ) của R-môđun được định nghĩa như sau.
H n (M • , d • ) =H n (M • ) := Ker(d n )/Im(d n−1 ). Định nghĩa 1.4.7 Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử hiệp biến F kí hiệu là R i F được xác định như sau
(i) Với mọi môđun M và một giải thức nội xạ thu gọn của M
−→ ã ã ã Tác động F vào P M , ta được đối phức
−−→ ã ã ã Khi đó R i F(M) = H i (F PM) = Ker(F d i )/Im(F d i−1 ).
(ii) Với f : M → N và một giải thức nội xạ thu gọn của môđun N
(Q N ) : 0→ Q 0 −→ ã ã ã → e 0 Q i e −→ ã ã ã i tồn tại một phép biến đổi đối phức f : P M →Q N
Tác động F vào f ta được phép biến đổi đối phức
Định nghĩa 1.4.8: Cho I ⊆ R là một iđêan, hàm tử dẫn xuất thứ i, với i ∈ N, của hàm tử Γ I (•) được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I, ký hiệu là H I i (•).
Cho M là R-môđun Khi đó luôn tồn tại một phép giải phải nội xạ ((P • , d • );a) của M sao cho ta có dãy sau khớp
−→2 P 3 → ã ã ã với mỗi R-môđun P i là môđun nội xạ, với mọi i ∈ Z Khi đó, ta có giải thức nội xạ thu gọn
−→P 3 → ã ã ã Tác động hàm tử I-xoắn Γ I (•), ta được đối phức mới ((Γ I (P • ),Γ I (d • ))
−−−→ Γ I (P 3 ) → ã ã ã Khi đó, môđun đối đồng điều thứ i của đối phức này là
. Định nghĩa 1.4.9 H I i (M) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của R-môđun M đối với iđêan I.
Cho f : M →N là đồng cấu R-môđun Đồng cấu cảm sinh bởi f trong đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I được định nghĩa như đồng cấu R-môđun
H I i (f) : H I i (M) →H I i (N). Đồng cấu này thu được bởi sự lựa chọn phép giải phải nội xạ Nghĩa là
Trong đó ((M • , d • ), a),((N • , e • ), b) là phép giải phải nội xạ tương ứng của
Vì ΓI(•) là hàm tử hiệp biến và tuyến tính, nên hàm tử đối đồng điều địa phương H I i (•) cũng có tính chất tương tự Cụ thể, giả sử f :M → N và g : N → P là các đồng cấu R-môđun.
I (M ). Suy ra H I i (•) là hiệp biến.
Cho h : M → N là đồng cấu R-môđun và λ ∈ R.
Suy ra H I i (•) là R-tuyến tính.
Dãy khớp ngắn các R-môđun (A): 0 → L −→ f M −→ g N → 0 có thể được mở rộng thành dãy dài vô hạn đối đồng điều bằng cách tác động môđun đối đồng điều vào và sử dụng đồng cấu kết nối H I i (N) → H I i−1 (L).
Mệnh đề 1.4.11 Nếu M là R-môđun I-xoắn và N ⊆ M là môđun con của M Khi đó, M và M/N là môđun I-xoắn.
Chứng minh Vì M là R-môđun I-xoắn nên M = Γ I (M) hay với mọi m ∈ M, tồn tại n ∈ N sao cho I n m = 0 Vì N ⊆ M nên với x ∈ N, ta có x ∈ M Khi đó với mọi x ∈ N, tồn tại n ∈ N sao cho I n x = 0.
Tương tự, lấy x ∈ M/N, khi đó x = m + N, m ∈ M Với n ∈ N, ta có
Mệnh đề 1.4.12 ChoI là một iđêan của vành Noether R,M làR-môđun và i ∈ N Khi đó, môđun đối đồng điều H I i (M) là môđun I-xoắn.
Khi đó, dễ thấy Ker Γ I (d i ) là môđun con của môđun I-xoắn Γ I (M i ) và Im ΓI(d i−1 ) là môđun con của môđun I-xoắn ΓI(M i ) Do
⊆ Ker Γ I (d i ) nên theo Mệnh đề 1.4.11 ta suy ra môđun thương
Im Γ I (d i−1 là môđun I-xoắn. Định lý 1.4.13 Nếu F là hàm tử khớp trái thì ta có thể đồng nhất hàm tử F với hàm tử R 0 (F) Nghĩa là R 0 (F) =F.
Mệnh đề 1.4.14 Cho I là một iđêan của vành Noether R Khi đó ta có Γ I (•) = H I 0 (•)
Chứng minh Do Γ I là khớp trái nên theo Định lý 1.4.13 ta có R 0 Γ I (•) Γ I (•) Theo định nghĩa hàm tử đối đồng điều thứi, ta cóR 0 Γ I (•) = H I 0 (•). Vậy Γ I (•) = H I 0 (•).
Chú ý 1.4.15 Cho M là một R-môđun I-xoắn Khi đó tồn tại một phép giải phải nội xạ của M mà mỗi phần tử là một R-môđun I-xoắn.
Mệnh đề 1.4.16 Cho M, N là các R-môđun, trong đó M là I-xoắn Khi đó
= 0 với mọi i >0. (iii) Đồng cấu π : N → N/ΓI(N) cảm sinh đẳng cấu
(i) Vì M là R-môđun I-xoắn nên tồn tại một giải thức nội xạ thu gọn
−→P i+1 → ã ã ã với tất cả các môđun P i là các R-môđun I-xoắn Do đó Γ I (P i ) = P i với mọi i >0.
−−−→ Γ I (P 1 ) → ã ã ã → Γ I (P i ) → ã ã ã cũng khớp tại Γ I (P i ) với mọi i > 0 Khi đó, với mọi i > 0 ta có
Im(Γ I (d i−1 )) = Ker(Γ I (d i )) Suy raH I i (M) = Ker(Γ I (d i ))/Im(Γ I (d i−1 )) 0.
(ii) Vì Γ I (N) là R-môđun I-xoắn nên từ (i) ta có
(iii) Ta có dãy khớp ngắn
0 →Γ I (N) → N −→ π N/Γ I (N) → 0 Tác động môđun đối đồng điều vào ta được dãy khớp dài đối đồng điều
= 0, với mọi i >0 nên ta có các dãy khớp
Định lý 1.4.17 cho phép chúng ta tính độ sâu của môđun thông qua đối đồng điều địa phương Cụ thể, cho M là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của vành R, ta có công thức depth(I, M) = inf {n | Hi^I(M) ≠ 0}.
Chương 2 ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA MỘT
SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ
LIÊN KẾT VÀ TẬP IĐÊAN
Trong chương này, chúng tôi sẽ nghiên cứu vành giao hoán Noether địa phương (R,m) cùng với hai iđêan I, J của R và môđun hữu hạn sinh M Nội dung chính sẽ tập trung vào sự ổn định của các tập iđêan nguyên tố liên kết và nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương, bao gồm Ass R (H I 1 (N n )), Ass R (H I d−1 (N n )), Att R (H m i (M/(x n 1 , , x n r )M)) và Att R (H m i (Nn)).
Tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương
Dãy I-lọc chính quy là một khái niệm mở rộng từ dãy lọc chính quy Theo định nghĩa, một dãy x1, , xr thuộc I được xem là dãy I-lọc chính quy của M nếu với mọi phần tử p thuộc Ass R, không có x_i nằm trong p đối với mọi i từ 1 đến r, khi xét M/(x1, , xi−1)M và V(I).
Bổ đề 2.1.2 ([7], Bổ đề 3.1) Nếu x 1 , , x r ∈ I là một dãy I-lọc chính quy của M thì ta có
Bổ đề 2.1.3 ([6], Bổ đề 3.1) Giả sử r = depth(I,M) với 1 ≤ r < ∞ và x 1 , , x r là dãy chính quy của M trong I Khi đó ta có
Giả sử R = L n≥0 Rn là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh của vành địa phương R 0 = R, và M = L n≥0 M n là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Để đơn giản hóa, chúng ta sẽ ký hiệu R-môđun M n bằng N n.
Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại kết quả ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết được chứng minh bởi Brodmann [8].
Bổ đề 2.1.4 ([9], Bổ đề 2.2) Tập Ass R (Nn) là ổn định với n đủ lớn.
Theo Bổ đề 2.1.4, giá trị ổn định của dimN n được xác định khi n đủ lớn Định lý 2.1.5 khẳng định rằng R = L n≥0 R n là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh của R 0, với R 0 = R, và M = L n≥0 M n cũng được xác định trong bối cảnh này.
R-môđun phân bậc hữu hạn sinh có tính ổn định về độ sâu khi n đủ lớn Định lý 2.1.6 chỉ ra rằng nếu R là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh và M là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh, thì giá trị ổn định của độ sâu của iđêan I trong M n sẽ được duy trì Điều này mang lại kết quả ổn định cho tập nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương.
Ass R H I r (Mn) ổn định khi n đủ lớn.
Chứng minh rằng khi r = ∞, thì Ass R (H I r (M n )) = ∅ khi n đủ lớn Ngược lại, nếu r = 0, theo Bổ đề 2.1.4, ta có Ass R (H I 0 (M n )) = Ass R (M n ) ∩ V(I) ổn định khi n đủ lớn Đối với trường hợp 0 < r < ∞, theo Định lý 2.1.5, Bổ đề 2.1.4 và [6, Bổ đề 2.8], tồn tại một số nguyên dương n0 sao cho với mọi n ≥ n0, ta có: (i) r = depth(I, M n ); (ii) tồn tại dãy x1, , xr ∈ I là dãy chính quy của M n; và (iii) Ass R (M n /(x1, , xr)M n) không phụ thuộc vào n Do đó, theo Bổ đề 2.1.3, ta có kết quả cần chứng minh.
Ass R (H I r (M n )) = Ass R (M n /(x 1 , , x r )M n )∩V(I) với mọi n≥ n 0 Vì vậy, Ass R (H I r (M n )) ổn định khi n đủ lớn.
Giả sử r là giá trị ổn định của depth(I, M n ) Theo Định lý 1.4.16, H I i (M n ) = 0 cho mọi i < r khi n đủ lớn Theo Định lý 2.1.6, Ass R (H I r (M n)) ổn định khi n lớn Do đó, Ass R (H I i (M n)) cũng ổn định với mọi i ≤ r khi n đủ lớn.
Giả sử R = L n≥0 R n là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh của R0, với R0 = R và M = L n≥0 Mn là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Nếu I ⊆ R là một iđêan, thì Ass R (H I 1 (M n )) sẽ ổn định khi n lớn.
Chứng minh rằng L n≥0Mn/ΓI(Mn) là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh và H I i (M n /Γ I (M n )) ∼= H I i (M n ) với mọi i > 0 và mọi n Nhờ đó, ta có thể thay M n bằng M n /Γ I (M n ) Do đó, ta có thể giả sử rằng depth(I, M n ) > 0.
0với mọi n Giả sửr là một giá trị ổn định của depth(I, Mn) Khi đór ≥ 1.
Vì Ass R (H I i (M n )) là ổn định khinđủ lớn với mọii ≤ r nên Ass R (H I 1 (M n )) ổn định khi n đủ lớn.
Tiếp theo ta sẽ nhắc lại một phản ví dụ của M Katzman Nó đóng vai trò quan trọng trong chương này.
Bổ đề 2.1.9 ([11], Hệ quả 1.3) Giả sử S = k[x, y, z, t, u, v] là vành đa thức sáu biến trên trường k và f = sx 2 v 2 −(s+ t)xyuv +ty 2 u 2 Kí hiệu
T là địa phương hóa của S/f S tại iđêan cực đại m = (x, y, s, t, u, v) Khi đó tập Ass T (H (u,v)T 2 (T)) là vô hạn.
Mệnh đề 2.1.10 ([7], Mệnh đề 3.3) Các phát biểu sau là đúng
(i) Nếu M là một R-môđun hữu hạn sinh và I, J là iđêan của R thì tập
Ass R (H I 1 (J n M/J n+1 M)) là ổn định với n đủ lớn.
(ii) Tồn tại một R-môđun hữu hạn sinh M và hai iđêan I, J của R sao cho Ass R (H I 1 (M/J n M)) là không ổn định với n lớn.
(i) Xét trường hợp M n = J n M/J n+1 M Áp dụng Mệnh đề 2.1.8 ta suy ra được mệnh đề (i).
Xét vành địa phương T cùng với các phần tử u và v theo Bổ đề 2.1.9, ta nhận thấy rằng tập Ass T (H (u,v) 2 (T)) là vô hạn Giả sử a và b là một (u, v)T-dãy lọc chính quy của T, chúng ta có thể chứng minh rằng tập Ass R (H I 1 (M/J n M)) không ổn định với M = T, I = (b), J = (a) Để làm điều này, chỉ cần chỉ ra rằng
Ass T (H (b) 1 (T /a n T)) là tập vô hạn Từ Bổ đề 2.1.2, ta có
Do đó Ass T (H (u,v) 2 (T)) ⊆ Ass T (H (a,b) 1 (H (a) 1 (T))) Theo Bổ đề 2.1.9
Ass T (H (u,v) 2 (T)) là tập vô hạn Do đó,
Ass T (H (a,b) 1 (H (a) 1 (T))) là tập vô hạn Mặt khác, vì
Ass T (H (b) 1 (T /a n T)) là một tập vô hạn.
Nhận xét 2.1.11 Chúng ta biết rằng nhiều tính chất đúng cho môđun
Môđun M/J n M và M/J n+1 M có tính chất tương tự, nhưng sự ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết lại khác nhau Theo Mệnh đề 2.1.10, tập Ass R (H I 1 (J n M/J n+1 M)) ổn định khi đủ lớn, trong khi tập Ass R (H I 1 (M/J n M)) thường không đạt được tính ổn định này.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày kết quả chính thứ hai của mục này.
Mệnh đề 2.1.12 ([9], Mệnh đề 2.3) Giả sử N n được định nghĩa như trên.
Với mỗi số nguyên không âm l, tập S j≥l Supp R (H I j (N n )) sẽ ổn định khi n đủ lớn Đặc biệt, tập Ass R (H I d−1 (N n )) ∪ {m} cũng ổn định với n đủ lớn, trong đó d là giá trị ổn định của dimN n Để chứng minh Mệnh đề 2.1.12, cần thiết phải có các bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.13 ([9], Bổ đề 2.4)Giả sử M, N là các môđun hữu hạn sinh và
I là một iđêan của R Nếu Supp R (M) ⊆Supp R (N) thì với mọi số nguyên không âm l ta có
Chúng ta sẽ chứng minh bổ đề bằng phương pháp quy nạp lùi theo l Dựa vào Định lý triệt tiêu của Grothendieck, chúng ta có thể dễ dàng xác định rằng bổ đề đúng với mọi l lớn hơn dimM Giả sử l nhỏ hơn hoặc bằng dimM và bổ đề đã đúng với l + 1 Do Supp R (M) nằm trong Supp R (N), theo Định lý Gruson, có tồn tại một dãy.
0 = L 0 ⊆ L 1 ⊆ ã ã ã ⊆L t = M (2.1) các môđun con của M, trong đó mỗi L i /L i−1 là một ảnh đồng cấu của tổng trực tiếp hữu hạn lần môđun N Với mỗi i = 1, , t, từ dãy khớp
Supp R (H I l (Li)) ⊆ Supp R (H I l (L i−1 )) ∪Supp R (H I l (Li/L i−1 )).
Từ đó ta suy ra
Supp R (H I l (M)) ⊆Supp R (H I l (Lt−1))∪Supp R (H I l (Lt/Lt−1))
Bởi tính chất của dãy (2.1), với mỗi i ∈ {1, , t}, ta có dãy khớp ngắn
N → L i /L i−1 →0 trong đó K i là các R-môđun hữu hạn sinh Từ đó ta có dãy khớp
Supp R (H I l (Li/L i−1 )) ⊆ Supp R (H l+1 (Ki))∪ Supp R (H I l ( s i
Vì vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
Bổ đề 2.1.14 ([9], Bổ đề 2.5) Giả sử dimM = d Khi đó
Chứng minh Dễ thấy rằng
Theo [5, Bổ đề 2.6], tập Supp R (H I d−1 (M)) là hữu hạn, dẫn đến theo [15, Định lý 31.2], dim(R/p) ≤ 1 với mọi p ∈ Supp R (H I d−1 (M)) Điều này có nghĩa là với mọi p ∈ Supp R (H I d−1 (M)), p là một phần tử cực tiểu của Supp R (H I d−1 (M)) hoặc p = m.
Bây giờ ta chứng minh Mệnh đề 2.1.12.
Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.4, tồn tại một số nguyên n0 sao cho
Supp R (N n ) =Supp R (N n 0 ) với mọi n≥ n 0 Vì thế theo Bổ đề 2.1.13 ta có
Supp R (H I j (N n 0 )) với mọi n≥ n 0 Do đó điều kiện thứ nhất của mệnh đề thỏa mãn. Đối với điều kiện thứ hai, theo Bổ đề 2.1.14 ta có
Supp R (H I j (N n ))) là ổn định với n lớn nên
{m} ∪Ass R (H I d−1 (N n )) là ổn định với n lớn.
Tiếp theo chúng tôi nhắc lại khái niệm chiều đối đồng điều như sau. Định nghĩa 2.1.15 Chiều đối đồng điều của môđun M đối với iđêan I là cd(I, M) = sup n i ∈ Z | H I i (M) 6= 0o.
Rõ ràng rằng cd(I, M) ≤ dimM Trong tài liệu [8, Mệnh đề 1.4], T Dibaei và S Yassemi đã chứng minh rằng nếu M và N là các R-môđun hữu hạn sinh với Supp R (M) ⊆ Supp R (N), thì cd(I, M) ≤ cd(I, N) Kết quả này dẫn đến bổ đề tiếp theo theo Bổ đề 2.1.4.
Bổ đề 2.1.16 ([9], Bổ đề 2.6) cd(I, M n ) là một hằng số với n lớn.
Giả sửdlà giá trị ổn định của dimM n Ta dễ dàng thấy rằng Ass R (H I i (M n )) là ổn định với n lớn, với i = 0 hoặc i > d Theo Mệnh đề 2.1.10,
Ass R (H I 1 (M n )) ổn định khi n lớn, và H I d (M n ) là Artin Kết hợp với Bổ đề 2.1.16, tập Ass R (H I d (M n )) cũng ổn định với n lớn Hơn nữa, Ass R (H I d−1 (M n ))∪ {m} duy trì tính ổn định với n lớn theo Mệnh đề 2.1.12 Đặc biệt, trong trường hợp R là một vành có số chiều thấp, chúng ta có kết quả đáng chú ý.
Hệ quả 2.1.17 Nếu dimR ≤ 2 thì tập Ass R (H I i (M n )) là ổn định khi n lớn và với mọi i.
Hệ quả 2.1.18 Nếu dimR ≤ 3 thì tập Ass R (H I i (Mn)) ∪ {m} là ổn định khi n lớn và với mọi i.
Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương
Ta sử dụng N n để ký hiệu một trong ba R-môđun I n M, I n M/I n+1 M và M/I n M Dễ dàng thấy rằng H m i (Nn) là một R-môđun Artin với mọi i.
Tập Att R (H m i (N n )) là hữu hạn và ổn định với n lớn khi i = 0 hoặc i = d, trong đó d là kích thước dim(N n ) Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, tính chất này không còn đúng khi i là một số nguyên tùy ý.
Mệnh đề 2.2.1 ([7], Mệnh đề 3.5) Các phát biểu sau là đúng.
(i) Giả sử (T,m) là vành địa phương như trong Bổ đề 2.1.9 và I (u, v)T Khi đó tập Att T (H m 3 (T /I n )) và Att T (H m 4 (I n )) là không ổn định khi n đủ lớn.
Tồn tại một môđun hữu hạn sinh M trên vành địa phương (R,m) cùng với một iđêan J của R, sao cho Att R (H m i (J n M/J n+1 M)) không ổn định với một số i nào đó Để chứng minh mệnh đề này, cần thiết phải sử dụng bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.2 ([17], Mệnh đề 4.1) Giả sử f : R → R 0 là một đồng cấu vành và A là một R 0 -môđun Artin Khi đó ta có
Bây giờ ta chứng minh Mệnh đề 2.2.1.
(i) Ta xét vành địa phương (T,m) và I = (u, v)T như trong Bổ đề 2.1.9.
Vì (T,m) là một vành địa phương Gorenstein có số chiều là 5, nên theo Định lý đối ngẫu địa phương, ta có
Theo Bổ đề 2.1.9, vì Ass T (H I 2 (T)) là một tập vô hạn nên
Att T (H m 3 (T /I n )) là tập vô hạn Do đó, tập Att(H m 3 (T /I n )) không ổn định khi n đủ lớn.
Ta có dãy khớp ngắn
Từ đó suy ra Ext 1 T (I n , T) ∼= Ext 2 T (T /I n , T) Do đó,
Ass T (Ext 2 T (T /I n , T)) là tập vô hạn Vậy tập Att T (H m 4 (I n )) là không ổn định với n đủ lớn. (ii) Với (T,m) và I = (u, v)T như trong chứng minh (i), ta xét vành Rees
Giả sử R = L n≥0 I n và R + = L n>0 I n, với M là iđêan cực đại thuần nhất của R Chúng ta xét vành địa phương R = R M, J = (R + )R và R-môđun hữu hạn sinh M = R Để thuận lợi, ký hiệu M là iđêan cực đại và R + là iđêan (R + )R của R Chứng minh rằng tập Att R (H M 4 (J n M/J n+1 M)) không ổn định Do R n + /R n+1 + là linh tử hóa bởi R +, theo Định lý độc lập của đối đồng điều địa phương, ta có đẳng cấu tự nhiên.
Theo Bổ đề 2.2.2 ta có
Theo chứng minh (i), ta có S n≥0Att T (H m 4 (I n )) là một tập vô hạn, do đó [ n≥0
Att R (H M 4 (R n + /R n+1 + )) là tập vô hạn Suy ra Att R (H m 4 (R n + /R n+1 + ))không ổn định khinđủ lớn.
Giả sử (T,m) là một vành địa phương theo Bổ đề 2.1.9 và I = (u, v)T, thì Tập Ass T (Ext 2 T (T /I n , T)) sẽ không ổn định khi n lớn.
(ii) Tồn tại i ∈ {1,2,3} để tập Att T (H m i (T /(u n , v n )T)) không ổn định với n lớn.
Theo Bổ đề 2.1.9, Ass T (H I 2 (T)) là tập vô hạn, do đó
Ass T (Ext 2 T (T /I n , T)) là tập vô hạn Suy ra tập Ass T (Ext 2 T (T /I n , T)) là không ổn định.
(ii) Theo [3, Mệnh đề 5.2.9] ta có đẳng cấu
Dễ thấy rằng dim(T /(u n , v n )T) = 3 Khi đó theo Brodmann and Sharp
Theo Bổ đề 2.1.9 tập Ass T (H I 2 (T)) là vô hạn, do đó tập
Att T (H m i (T /(u n , v n )T)) là một tập vô hạn Từ đó tồn tại i ∈ {1,2,3} sao cho tập
Att T (H m i (T /(u n , v n )T)) là vô hạn Khi đó Att T (H m i (T /(u n , v n )T)) không ổn định khi nđủ lớn.
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu kết quả ổn định của các tập iđêan nguyên tố liên kết và tập iđêan nguyên tố gắn kết Nghiên cứu đã đạt được một số kết quả quan trọng liên quan đến tính ổn định của các iđêan này.
Chương 1 giới thiệu các kiến thức cơ bản về tập iđêan nguyên tố liên kết và tập iđêan nguyên tố gắn kết, đồng thời trình bày về dãy chính quy, dãy lọc chính quy và môđun đối đồng điều địa phương.
Chương 2 trình bày kết quả về tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết trong môđun đối đồng điều địa phương H I 1 (N n ) và H I d−1 (N n ) Đồng thời, cũng phân tích tính ổn định của tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương H m i (M/(x n 1 , , x n r )M) và H m i (N n ).
[1] M Brodmann (1979), Asymptotic stability of Ass R (M/I n M), Proc. Amer Math Soc., 16-18.
[2] M Brodmann (1979), The asymptotic nature of the analytic spread, Math Proc Camb Phil Soc., 35-39.
[3] M Brodmann and R Y Sharp (1998), “Local cohomology: an alge- braic introduction with geometric applications", Cambridge University Press.
[4] W Bruns and H J Herzog (1993), Cohen-Macaulay Ring, Cambridge University Press.
[5] N T Cuong and N.V Hoang (2008), On the vanishing and the finite- ness of supports of generalized local cohomology modules, Manuscripta Math., 59-72.
[6] N T Cuong, N.V Hoang and P H Khanh (2010),Asymptotic stability of certain sets of associated prime ideals of local cohomology modules, Comm Algebra, 4416-4429.
[7] N T Cuong and P H Khanh (2011), Some asymptotic properties of graded module, Acta Math Vietnamica, 183-192.
[8] M T Dibaei and S Yassemi (2004), Cohomological Dimension of Com- plexes, Comm Algebra, 4375-4386.
[9] N V Hoang and P H Khanh (2012), On the asymptotic stability of certain sets of prime ideals, East-West J of Mathematics, 20-27.
[10] C Huneke (1992), Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res Notes Math., 93-108.
[11] M Katzman (2002),An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J Algebra, 161-166.
[12] R Lu and Z Tang (2001), The f-depth of an ideal on a module, Proc. Amer Math Soc., 1905 - 1912.
[13] I G Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commu-tative ring, Symp Math., 23-43.
[14] T Marley (2001), The associated primes of local cohomology modules over rings of small dimension, Manuscripta Math 519-525
[15] H Matsumura (1986), "Commutative ring theory", Cambridge Univ. Press, Cambridge.
[16] L Melkersson (1990), On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal, Math Proc Camb Phil Soc., 267-271.
[17] L Melkersson and P Schenzel (1993), Asymptotic prime ideals related to derived functions, Proc Amer Math Soc., 935-938.
[18] L J Ratliff (1976), On prime divisors of I n , n large, Michigan Math. J., 337-352.
[19] R Y Sharp (1986), Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime ideals, J London Math Soc., 212-218.
[20] R Y Sharp (2001), Steps in Commutative Algebra by Rodney, Cam- bridge University Press.
[21] A Singh (2000), p-torsion elements in local cohomology modules, Math Res Lett., 165-176.
[22] W V Vasconcelos (1974), Divisor theory in module categories, in:North-Holland Mathematics Studies, Vol 14.