2 ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN
2.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa
đồng điều địa phương
Ta sử dụng Nn để ký hiệu một trong ba R-môđun InM, InM/In+1M
và M/InM. Dễ dàng thấy rằng Hmi(Nn) là một R-môđun Artin với mọi i. Vì vậy tập AttR(Hmi(Nn)) là hữu hạn. Hơn nữa, tập AttR(Hmi(Nn)) là ổn định với n lớn, với i = 0 hoặc i = d, trong đó d = dim(Nn). Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát thì với i là một số nguyên tùy ý, tính chất này không còn đúng. Chúng ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2.1. ([7], Mệnh đề 3.5) Các phát biểu sau là đúng.
(i) Giả sử (T,m) là vành địa phương như trong Bổ đề 2.1.9 và I = (u, v)T. Khi đó tập AttT(Hm3(T /In)) và AttT(Hm4(In)) là không ổn định khi n đủ lớn.
(ii) Tồn tại một môđun hữu hạn sinh M trên vành địa phương (R,m) và một iđêan J của R sao cho AttR(Hmi(JnM/Jn+1M)) không ổn định với một số i nào đó.
Để chứng minh mệnh đề, ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.2. ([17], Mệnh đề 4.1) Giả sử f : R → R0 là một đồng cấu vành và A là một R0-môđun Artin. Khi đó ta có
AttR(A) = p∩R | p ∈ AttR0(A) .
Bây giờ ta chứng minh Mệnh đề 2.2.1. Chứng minh Mệnh đề 2.2.1.
Chứng minh.
(i) Ta xét vành địa phương (T,m) và I = (u, v)T như trong Bổ đề 2.1.9. Vì (T,m) là một vành địa phương Gorenstein có số chiều là 5, nên theo Định lý đối ngẫu địa phương, ta có
Hm3(T /In) ∼= Hom
T(Ext2T(T /In, T), E).
Do đó,
AttT(Hm3(T /In)) =AssT(Ext2T(T /In, T)).
Từ đây [ n≥0 AttT(Hm3(T /In)) = [ n≥0 AssT(Ext2T(T /In, T)) ⊇ AssT(lim−→ n Ext2T(T /In, T)) = AssT(HI2(T)).
Theo Bổ đề 2.1.9, vì AssT(HI2(T)) là một tập vô hạn nên
[
n≤0
AttT(Hm3(T /In))
là tập vô hạn. Do đó, tập Att(Hm3(T /In)) không ổn định khi n đủ lớn. Ta có dãy khớp ngắn
0→ In →T → T /In →0.
Từ đó suy ra Ext1T(In, T) ∼= Ext2
T(T /In, T). Do đó, [ n≥0 AttT(Hm4(In)) = [ n≥0 AssT(Ext1T(In, T)) = [ n≥0 AssT(Ext2T(T /In, T))
là tập vô hạn. Vậy tập AttT(Hm4(In)) là không ổn định với n đủ lớn. (ii) Với (T,m) và I = (u, v)T như trong chứng minh (i), ta xét vành Rees
R = L
n≥0In. Giả sử R+ = L
n>0In và M = mR + R+ là iđêan cực đại thuần nhất của R. Ta xét vành địa phương R = RM, J = (R+)R
và R-môđun hữu hạn sinh M = R. Để thuận lợi ta ký hiệu M là iđêan cực đại và R+ là iđêan (R+)R của R. Khi đó ta chứng minh rằng tập AttR(HM4 (JnM/Jn+1M)) là không ổn định. Vì Rn+/Rn++1 là linh tử hóa bởi R+ nên theo Định lý độc lập của đối đồng điều địa phương cho ta đẳng cấu tự nhiên HM4 (Rn+/Rn++1) = Hm4R+R+(Rn+/Rn++1) ∼= H4 M(Rn+/Rn++1) ∼= H4 m(In).
Theo Bổ đề 2.2.2 ta có AttT(Hm4(In)) =AttT(Hm4R(Rn+/Rn++1)) = n P ∩T | P ∈ AttR(HM4 (Rn+/Rn++1)) o . Do đó [ n≥0 AttT(Hm4(In)) = P ∩T |P ∈ [ n≥0 AttR(HM4 (Rn+/Rn++1)) .
Theo chứng minh (i), ta có Sn≥0AttT(Hm4(In)) là một tập vô hạn, do đó
[
n≥0
AttR(HM4 (Rn+/Rn++1)) là tập vô hạn. Suy ra AttR(Hm4(Rn
+/Rn++1))không ổn định khinđủ lớn. Mệnh đề 2.2.3. ([9], Mệnh đề 3.2) Giả sử (T,m) là một vành địa phương như trong Bổ đề 2.1.9 và I = (u, v)T. Khi đó các phát biểu sau là đúng
(i) Tập AssT(Ext2T(T /In, T)) là không ổn định với n lớn.
(ii) Tồn tại i ∈ {1,2,3} để tập AttT(Hmi(T /(un, vn)T)) không ổn định với n lớn. Chứng minh. (i) Ta có đẳng cấu HI2(T) ∼= lim −→ n Ext2T(T /In, T). Do đó
AssT(HI2(T)) =AssT(lim−→
n
Ext2T(T /In, T))
⊆ [
n≥0
Theo Bổ đề 2.1.9, AssT(HI2(T)) là tập vô hạn, do đó
[
n≥0
AssT(Ext2T(T /In, T))
là tập vô hạn. Suy ra tập AssT(Ext2T(T /In, T)) là không ổn định. (ii) Theo [3, Mệnh đề 5.2.9] ta có đẳng cấu
HI2(T) ∼= lim −→
n
(T /(un, vn)T).
Do đó
AssT(HI2(T)) = AssT(lim
−→ n (T /(un, vn)T)) ⊆ [ n≥0 AssT(T /(un, vn)T).
Dễ thấy rằng dim(T /(un, vn)T) = 3. Khi đó theo Brodmann and Sharp [3, 11.3.9] ta có AssT(T /(un, vn)T)) ⊆ 3 [ i=0 AttT(Hmi(T /(un, vn)T)). Suy ra AssT(HI2(T)) ⊆ [ n≥0 AssT(T /(un, vn)T) ⊆ [ n≥0 3 [ i=0 AttT(Hmi(T /(un, vn)T)) = 3 [ i=0 [ n≥0 AttT(Hmi(T /(un, vn)T)).
Theo Bổ đề 2.1.9 tập AssT(HI2(T)) là vô hạn, do đó tập
3 [ i=0 [ n≥0 AttT(Hmi(T /(un, vn)T))
là một tập vô hạn. Từ đó tồn tại i ∈ {1,2,3} sao cho tập
[
n≥0
AttT(Hmi(T /(un, vn)T))
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu về kết quả ổn định của một số tập iđêan nguyên tố liên kết và tập iđêan nguyên tố gắn kết. Luận văn thu được một số kết quả như sau:
1. Chương 1, trình bày một số kiến thức cơ bản về tập iđêan nguyên tố liên kết, tập iđêan nguyên tố gắn kết, dãy chính quy, dãy lọc chính quy và môđun đối đồng điều địa phương.
2. Chương 2, trình bày kết quả về tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương HI1(Nn) và HId−1(Nn) và tính ổn định của tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Hmi(M/(xn1, . . . , xrn)M) và Hmi(Nn).
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M. Brodmann (1979), Asymptotic stability of AssR(M/InM), Proc. Amer. Math. Soc., 16-18.
[2] M. Brodmann (1979), The asymptotic nature of the analytic spread, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 35-39.
[3] M. Brodmann and R. Y. Sharp (1998), “Local cohomology: an alge- braic introduction with geometric applications", Cambridge University Press.
[4] W. Bruns and H. J. Herzog (1993), Cohen-Macaulay Ring, Cambridge University Press.
[5] N. T. Cuong and N.V. Hoang (2008), On the vanishing and the finite- ness of supports of generalized local cohomology modules, Manuscripta Math., 59-72.
[6] N. T. Cuong, N.V. Hoang and P. H. Khanh (2010),Asymptotic stability of certain sets of associated prime ideals of local cohomology modules, Comm. Algebra, 4416-4429.
[7] N. T. Cuong and P. H. Khanh (2011), Some asymptotic properties of graded module, Acta Math. Vietnamica, 183-192.
[8] M. T. Dibaei and S. Yassemi (2004), Cohomological Dimension of Com- plexes, Comm. Algebra, 4375-4386.
[9] N. V. Hoang and P. H. Khanh (2012), On the asymptotic stability of certain sets of prime ideals, East-West J. of Mathematics, 20-27. [10] C. Huneke (1992), Problems on local cohomology, Free resolutions in
commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res. Notes Math., 93-108.
[11] M. Katzman (2002),An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J. Algebra, 161-166.
[12] R. Lu and Z. Tang (2001), The f-depth of an ideal on a module, Proc. Amer. Math. Soc., 1905 - 1912.
[13] I. G. Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commu-tative ring, Symp. Math., 23-43.
[14] T. Marley (2001), The associated primes of local cohomology modules over rings of small dimension, Manuscripta Math. 519-525
[15] H. Matsumura (1986), "Commutative ring theory", Cambridge Univ. Press, Cambridge.
[16] L. Melkersson (1990), On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 267-271.
[17] L. Melkersson and P. Schenzel (1993), Asymptotic prime ideals related to derived functions, Proc. Amer. Math. Soc., 935-938.
[18] L. J. Ratliff (1976), On prime divisors of In, n large, Michigan Math. J., 337-352.
[19] R. Y. Sharp (1986), Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime ideals, J. London Math. Soc., 212-218.
[20] R. Y. Sharp (2001), Steps in Commutative Algebra by Rodney, Cam- bridge University Press.
[21] A. Singh (2000), p-torsion elements in local cohomology modules, Math. Res. Lett., 165-176.
[22] W. V. Vasconcelos (1974), Divisor theory in module categories, in: North-Holland Mathematics Studies, Vol. 14.
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN