Chiều số bội và tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH MAI CHIỀU, SỐ BỘI VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VỚI GIÁ CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH MAI CHIỀU, SỐ BỘI VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VỚI GIÁ CỰC ĐẠI Ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 8.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn GS TS Lê Thị Thanh Nhàn, kết nghiên cứu trung thực chưa công bố cơng trình khác Thái Ngun, tháng năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thanh Mai Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn khoa học GS TS Lê Thị Thanh Nhàn i LỜI CẢM ƠN Luận văn "Chiều, số bội iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại" thực Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hồn thành hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Tác giả xin bảy tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Đồng thời, tác giả xin trân trọng cảm ơn tới TS Trần Đỗ Minh Châu với giúp đỡ cô suốt trình thực luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn thầy khoa Tốn tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè động viên giúp đỡ nhiều trình học tập ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu Chương Iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, số bội cho môđun Artin 1.1 Tập iđêan nguyên tố gắn kết 1.2 Chiều môđun Artin 1.3 Số bội cho môđun Artin 14 Chương Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại 16 2.1 Tính Artin 16 2.2 Chiều 21 2.3 Tập iđêan nguyên tố gắn kết 26 2.4 Công thức bội liên kết 38 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 iii MỞ ĐẦU Cho (R, m) vành Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh Chiều Krull, tập iđêan nguyên tố liên kết, đa thức Hilbert-Samuel số bội bất biến quan trọng M nghiên cứu mơđun Chúng có mối liên hệ chặt chẽ với Nếu kí hiệu chiều M d từ kết quen thuộc SuppR (M ) = Var(AnnR M ) Var(AnnR M ) = AssR (M ) ta tính d thơng qua tập iđêan ngun tố liên kết M Hơn nữa, d bậc đa thức Hilbert-Samuel Số bội M tương ứng với iđêan m-nguyên sơ q R tích d! với hệ số cao đa thức Hilbert-Samuel Số bội cịn tính thơng qua tập iđêan nguyên tố liên kết nhờ công thức liên kết cho số bội Đối với R-mơđun Artin A, nhìn chung cơng thức SuppR (A) = Var(AnnR A) khơng cịn Thêm vào SuppR (A), khác rỗng gồm iđêan cực đại Vì chiều Krull tập iđêan ngun tố liên kết khơng có ý nghĩa nghiên cứu cấu trúc môđun Artin A Năm 1971, D Kirby [11] I iđêan R cho (0 :A I) hữu hạn (0 :A I n ) đa thức n đủ lớn Ông gọi đa thức đa thức Hilbert mơđun Artin A vai trị A tương tự vai trị đa thức Hilbert-Samuel môđun hữu hạn sinh Sau đó, R N Roberts [21] đưa khái niệm chiều Noether (lúc đầu ông gọi chiều Krull kí hiệu Kdim, chiều Noether thuật ngữ D Kirby đổi lại để tránh nhầm lẫn với chiều Krull) Trong [21], ông chứng minh chiều Noether mơđun Artin A bậc đa thức Hilbert A Chính thế, chiều Noether thích hợp để đến định nghĩa hệ bội, hệ tham số cho môđun Artin xây dựng công thức liên kết cho số bội môđun Artin Năm 1973, I G Macdonald [12] giới thiệu lý thuyết biểu diễn thứ cấp đưa khái niệm iđêan nguyên tố gắn kết môđun Đối với mơđun Artin A, vai trị tập tất iđêan nguyên tố gắn kết hoàn toàn tương tự vai trò tập iđêan nguyên tố liên kết môđun hữu hạn sinh Chú ý rằng, môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Hmi (M ) ln Artin cấp Vì chiều Noether tập iđêan nguyên tố gắn kết số bội có vai trị quan trọng nghiên cứu mơđun đối đồng điều địa phương Mục tiêu luận văn trình bày lại kết gần tác giả M Brodmann, N T Cường, L T Nhàn, T N An, P H Quý, T Đ M Châu, báo [3], [7], [8], [17], [18], [19], chiều, tập iđêan nguyên tố gắn kết số bội môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày thành hai chương: Chương trình bày kết tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều số bội cho mơđun Artin Chương 2, chương luận văn trình bày số kết chiều, tập iđêan nguyên tố gắn kết công thức liên kết cho số bội môđun đối đồng địa phương Artin với giá cực đại Hmi (M ) Thái Nguyên, tháng năm 2019 Chương Iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, số bội cho mơđun Artin Trong tồn luận văn này, ln giả thiết (R, m) vành giao hốn Noether địa phương; M R-môđun hữu hạn sinh chiều d, A R-môđun Artin, N R-môđun hữu hạn sinh tuỳ ý L R-mơđun Với iđêan I R ta kí hiệu Var(I) tập iđêan nguyên tố R chứa I Mục tiêu chương trình bày số kết tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, số bội cho môđun Artin 1.1 Tập iđêan nguyên tố gắn kết Tiết dành để trình bày tính chất tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Artin dựa tài liệu tham khảo I G Macdonald [12], M P Brodmann R Y Sharp [2] Theo nghĩa đó, tập iđêan ngun tố gắn kết mơđun Artin có vai trị tương tự tập iđêan nguyên tố liên kết mơđun hữu hạn sinh Vì thế, cơng cụ hữu hiệu nghiên cứu cấu trúc môđun Artin Cơ sở để đến định nghĩa tập iđêan nguyên tố gắn kết biểu diễn thứ cấp Định nghĩa 1.1.1 (i) Cho x ∈ R Nếu tồn số tự nhiên n cho xn L = ta nói phép nhân x L luỹ linh Nếu xL = L ta nói phép nhân x L tồn cấu (ii) Ta nói L mơđun thứ cấp L = với x ∈ R, phép nhân x L toàn cấu luỹ linh Trong trường hợp này, tập tất phần tử x ∈ R cho phép nhân x L luỹ linh √ iđêan nguyên tố R, kí hiệu p Hơn nữa, AnnR L = p Ta gọi L p-thứ cấp (iii) Mỗi cách viết L dạng L = L1 + L2 + + Ln , Li pi -thứ cấp, gọi biểu diễn thứ cấp L Biểu diễn thứ cấp gọi tối tiểu pi đôi khác Li không thừa, tức Li = L1 + + Li−1 + Li+1 + + Ln với i = 1, , n Ta nói L R-mơđun biểu diễn có biểu diễn thứ cấp Vì tổng hữu hạn mơđun p-thứ cấp L p-thứ cấp nên biểu diễn thứ cấp quy tối tiểu Định lý 1.1.2 (Định lý thứ nhất) Giả sử L = L1 + + Lr = L1 + + Ls hai biểu diễn thứ cấp tối tiểu L, Li pi -thứ cấp với i = 1, , r Li qi -thứ cấp với i = 1, , s Khi r = s {p1 , , pr } = {q1 , , qs } Định nghĩa 1.1.3 Giả sử L biểu diễn Theo Định lý thứ nhất, tập {p1 , , pn } phụ thuộc vào L mà không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối tiểu L Ta gọi tập iđêan nguyên tố gắn kết L kí hiệu AttR (L) Mỗi phần tử AttR (L) iđêan nguyên tố gắn kết L Nếu p tối tiểu tập AttR (L) thành phần thứ cấp tương ứng gọi thành phần thứ cấp cô lập L Nhận xét 1.1.4 Rõ ràng L R-mơđun biểu diễn AttR (L) hữu hạn Hơn nữa, AttR (L) = ∅ L = Định lý thành phần thứ cấp cô lập Định lý 1.1.5 (Định lý thứ hai) Giả sử L biểu diễn Khi thành phần thứ cấp lập L không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối tiểu L f g Định lý 1.1.6 Cho → L → − L→ − L → dãy khớp R-môđun biểu diễn R-đồng cấu Khi AttR (L ) ⊆ AttR (L) ⊆ AttR (L ) ∪ AttR (L ) Định lý sau cho thấy ứng dụng biểu diễn thứ cấp nghiên cứu môđun Artin Định lý 1.1.7 Mọi môđun Artin biểu diễn Sau số kết tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Artin tương tự với kết biết tập iđêan nguyên tố liên kết môđun hữu hạn sinh Mệnh đề 1.1.8 Cho A R-môđun Artin r ∈ R Khi (i) rA = A r ∈ R \ √ (ii) AnnR A = p∈AttR (A) p p∈AttR (A) p Chứng minh Nếu A = AttR (A) = ∅ theo Nhận xét 1.1.4 Vì khẳng định (i) (ii) Giả sử A = A = L1 + + Ln biểu diễn thứ cấp tối tiểu A, Li mơđun pi -thứ cấp A Khi AttR (A) = {p1 , , pn } (i) Giả sử r ∈ R \ p∈AttR (A) p Suy rLi = Li với i = 1, , n Do rA = A Ngược lại, r ∈ pj , với j (1 ≤ j ≤ n) tồn Bổ đề 2.3.13 Cho (x1 , , xd ) hệ tham số M Với kí hiệu Kí hiệu 2.3.10, xi ∈ a(M/(x1 , , xd )M )3 với i = 1, , d d−1 d−1 AttR (Hmi (M )) ⊆ i=0 (AssR (M/(x1 , , xi )M ))d−i−1 i=0 Chứng minh Ta chứng minh bổ đề quy nạp theo d Với d = vế trái AttR (Hm0 (M )) vế phải (AssR (M ))0 Vậy khẳng định Với d > Đặt M1 = M/x1 M Khi đó, theo Bổ đề 2.3.12 theo quy nạp ta có d−1 d−2 AttR (Hmi (M )) AttR (Hmi (M1 )) ∪ (AssR M )d−1 ⊆ i=0 i=0 d−2 ⊆ (AssR (M1 /(x2 , , xi+1 )M1 ))d−i−2 ∪ (AssR M )d−1 i=0 d−1 (AssR (M/(x1 , , xi )M ))d−i−1 ∪ (AssR M )d−1 = i=1 d−1 = (AssR (M/(x1 , , xi )M ))d−i−1 i=0 Bây giờ, ta trình bày kết phần Định lý 2.3.14 Các mệnh đề sau tương đương (i) R vành catenary phổ dụng thớ hình thức R Cohen-Macaulay i−dim(R/ p) (ii) AttRp (Hp Rp (Mp )) = {q Rp | q ∈ AttR (Hmi (M )), q ⊆ p} với R-môđun hữu hạn sinh M, số nguyên i ≥ iđêan nguyên tố p R (iii) AttR (Hmi (M )) = AssR (R/ p R) với R-môđun i (M )) p∈AttR (Hm hữu hạn sinh M số nguyên i ≥ Chứng minh Trước hết, ta chứng minh tồn hệ tham số (x1 , , xd ) 34 M cho xk ∈ a(M/(x1 , , xk−1 )M )3 với k = 1, , d AttR (Hmi (M )) ⊆ AssR (R/ p R) i (M )) p∈AttR (Hm Thật vậy, giả sử P ∈ AttR (Hmi (M )) Nếu i = d theo Định lý 2.3.1 ta có AttR (Hmi (M )) = (AssR (M ))d (AssR (M ))d = AttR (Hmd (M )) Vì P ∈ (AssR (M ))d theo [14, Định lý 23.2], ta có P∈ Ass(R/ p R) = p∈(AssR (M ))d Ass(R/ p R) d (M )) p∈AttR (Hm Giả sử i < d Đặt dim(R/P) = t Suy P ∈ (AttR (Hmi (M )))t Rõ ràng với k = 1, , d ta có a(M/(x1 , , xk−1 )M )R ⊆ a(M /(x1 , , xk−1 )M ) Vì xk ∈ a(M /(x1 , , xk−1 )M )3 với k = 1, , d Áp dụng Bổ đề 2.3.13 ta có P ∈ (AssR (M /(x1 , , xd−t−1 )M ))t Chú ý theo [14, Định lý 23.2], ta có AssR (M /(x1 , , xd−t−1 )M ) = Ass(R/ p R) p∈AssR (M/(x1 , ,xd−t−1 )M ) Suy tồn p0 ∈ AssR (M/(x1 , , xd−t−1 )M ) cho P ∈ Ass(R/ p0 R) Khi P ∩ R = p0 p0 ∈ AttR (Hmi (M )) theo Bổ đề 1.1.12 Vậy P∈ AssR (R/ p R) Khẳng định chứng minh i (M )) p∈AttR (Hm Bây ta chứng minh (i) ⇒ (ii) Cho số nguyên i ≥ p iđêan nguyên tố R Giả sử q ⊆ p q ∈ AttR (Hmi (M )) Theo Bổ đề 2.3.3, ta i−dim R/ p cần chứng minh q Rp ∈ AttRp (Hp Rp (Mp )) Thật vậy, theo Bổ đề 1.1.12, tồn iđêan nguyên tố Q ∈ AttR (Hmi (M )) cho Q ∩ R = q Vì R vành catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay nên theo Mệnh đề 2.2.6 Định lý 2.2.1 ta có dim(R/at (M )) ≤ t với t = 0, , d − Suy dim(R/a(M )) < d Do tồn x1 ∈ a(M )3 35 phần tử tham số M Lập luận tương tự, ta chọn hệ tham số (x1 , x2 , , xd ) M cho xk ∈ a(M/(x − 1, , xk−1 )M )3 với k = 1, , d Theo khẳng định vừa chứng minh ta có Q ∈ AssR (R/ q R) Vì R vành catenary phổ dụng thớ hình thức R CohenMacaulay nên vành R/ q không trộn lẫn theo nghĩa M Nagata [16], nghĩa dim(R/P) = dim(R/ q R) với P ∈ (AssR (R/ q R)) Vì dim(R/Q) = dim(R/ q) q RQ = QRQ Do Q ∈ AttR (Hmi (M )) = i−dim(R/Q) AttR (Hmi R (M )) nên theo Bổ đề 2.3.2 ta có QRQ ∈ AttRQ (HQR Q (MQ )) Vì đồng cấu tự nhiên Rq → RQ phẳng hoàn toàn nên theo Định lý 2.1.4 ta có i−dim(R/ q) Hq Rq i−dim(R/Q) (Mq ⊗ RQ ) (Mq ) ⊗ RQ ∼ = Hq R Q i−dim(R/Q) ∼ (Mq ⊗ RQ ) = HQR Q Chú ý ta ln có RQ -đẳng cấu Mq ⊗ RQ ∼ = M ⊗R Rq ⊗Rq RQ ∼ = M ⊗R R ⊗Rq RQ ∼ = MQ = M ⊗R RQ ∼ Vì i−dim(R/ q) Hq Rq i−dim(R/Q) (Mq ) ⊗ RQ ∼ (MQ ) = HQR Q i−dim(R/ q) Do theo Bổ đề 1.1.11 ta có q Rq ∈ AttRq (Hq Rq (Mq )) Vì R vành catenary theo giả thiết (i) nên ta có i − dim(R/ q) = (i − dim(R/ p)) − dim(Rp / q Rp ) i−dim(R/ p) Do (Rp )q Rp ∼ (Mp )) theo Bổ đề 2.3.3 = Rq nên q Rp ∈ AttRp (Hp Rp (ii) ⇒ (iii) Lấy p ∈ AttR (Hmi (M )) P ∈ Ass(R/ p R) Trước hết, ta chứng minh dim(R/P) = dim(R/ p) Thật vậy, giả sử dim(R/P) < dim(R/ p) Đặt k = dim(R/P) Theo Bổ đề 2.3.4, ta có P ∈ AttR (Hmk R (R/ p R)) = AttR (Hmk (R/ p) ⊗ R) = AttR (Hmk (R/ p)) 36 Vì P ∈ Ass(R/ p R) nên p = P ∩ R ∈ AttR (Hmk (R/ p)) theo Bổ đề k−dim(R/ p) 1.1.12 Do ta có p Rp ∈ AttRp (Hp Rp (Rp / p Rp )) theo giả thiết (ii) k−dim(R/ p) Mặt khác, dim(R/ p) > k nên AttRp (Hp Rp (Rp / p Rp )) = ∅, mâu thuẫn Vậy dim(R/P) = dim(R/ p) Tiếp theo, P iđêan tối tiểu R/ p R nên dim(RP / p RP ) = i−dim(R/ p) Do p ∈ AttR (Hmi (M )) nên ta có p Rp ∈ AttRp (Hp Rp (Mp )) theo giả thiết (ii) Chú ý đồng cấu tự nhiên Rp → RP phẳng hoàn toàn i−dim(R/ p) Hp Rp i−dim(R/P) (Mp ) ⊗ RP ∼ (MP ) = HPR P i−dim(R/P) Vì thế, theo Bổ đề 1.1.11, ta có PRP ∈ AttRP (HPR P (MP )) Suy P ∈ AttR (Hmi R (M )) theo nguyên lý nâng địa phương yếu Do P ∈ AttR (Hmi (M )) Vậy AttR (Hmi (M )) ⊇ AssR (R/ p R) i (M )) p∈AttR (Hm Ngược lại, với i ∈ {0, , d − 1} cho Hmi (M ) = 0, theo Bổ đề 1.1.10, tồn iđêan nguyên tố p ∈ AttR (Hmi (M )) cho dim(R/ p) = i−dim(R/ p) dim(R/ai (M )) Khi p Rp ∈ AttRp (Hp Rp i−dim(R/ p) Suy Hp Rp (Mp )) theo giả thiết (ii) (Mp ) = Do i ≥ dim(R/ p) Vì dim(R/ai (M )) ≤ i Suy dim(R/a(M )) < d Khi tồn phần tử x1 ∈ a(M )3 phần tử tham số M Lập luận tương tự, tồn hệ tham số (x1 , , xd ) M cho xk ∈ a(M/(x1 , , xk−1 )M )3 với k = 1, , d Vậy AttR (Hmi (M )) ⊆ AssR (R/ p R) i (M )) p∈AttR (Hm (iii) ⇒ (ii) Cho i ≥ Đặt t = dimR (R/ AnnR (Hmi (M ))) k = dimR (R/ AnnR (Hmi (M ))) Theo Bổ đề 1.2.7 Hệ 1.2.9 ta có k ≤ t Ngược lại, tồn p0 ∈ AttR (Hmi (M )) theo Mệnh đề 1.1.10 cho dim(R/ p0 ) = k Lấy P ∈ Var(p0 R) cho dim(R/P) = k Khi P ∩ R = p0 Vì P ∈ i (M )) p0 ∈AttR (Hm 37 AssR (R/ p0 R) Theo giả thiết (iii), P ∈ AttR (Hmi (M )) Suy dim(R/P) ≤ dim(R/ AnnR (Hmi (M ))) hay k ≤ t Vậy t = k Vì dim(R/ AnnR (Hmi (M ))) = dim(R/ AnnR (Hmi (M ))) Theo Mệnh đề 2.2.6 R catenary phổ dụng với thớ hình thức CohenMacaulay 2.4 Cơng thức bội liên kết Cho M R-môđun hữu hạn sinh q iđêan m-ngun sơ Ta tính số bội e(q, M ) M ứng với q dựa vào công thức sau đây, gọi công thức bội liên kết [4, 4.6.8] e(q, M ) = Rp (Mp )e(q, R/ p) p∈SuppR (M ) dim(R/ p)=d Trong công thức này, iđêan nguyên tố p chạy tập giá SuppR (M ) cho dim(R/ p) = d = dim M Để xây dựng công thức bội liên kết tương tự cho môđun đối đồng điều địa phương Artin Hmi (M ), ta cần định nghĩa "đối địa phương hóa" thích hợp cho Hmi (M ) Trong [3], M P Brodmann i−dim(R/ p) R Y Sharp xem Hp Rp (Mp ) "đối địa phương hóa" Hmi (M ) để định nghĩa tập giả giá thứ i M Từ hai ông xây dựng thành công công thức bội liên kết cho Hmi (M ) vành sở thương vành Cohen-Macaulay Sau đó, L T Nhàn T N An chứng minh công thức bội Hmi (M ) thoả mãn tính chất (∗) Mục tiêu phần trình bày lại hai kết Trước hết ta nhắc lại khái niệm giả giá thứ i M Định nghĩa 2.4.1 Cho i ≥ số nguyên.Giả giá thứ i M, kí hiệu 38 PsuppiR (M ), cho công thức sau i−dim(R/ p) PsuppiR (M ) = {p ∈ Spec(R) | Hp R p (Mp ) = 0} Khi R thương vành Gorenstein địa phương, sử dụng đối ngẫu Matlis đối ngẫu địa phương ta nhanh chóng chứng minh công thức bội liên kết cho Hmi (M ) Mệnh đề 2.4.2 (Xem [3, Mệnh đề 1.2]) Giả sử R thương vành Gorenstein địa phương q iđêan m-nguyên sơ Cho i ≥ số nguyên Nếu Hmi (M ) = i−dim R/ p (Mp ))e(q, R/ p) Rp (Hp Rp e (q, Hmi (M )) = (2.8) p∈PsuppiR (M ) i (M )) dim(R/ p)=N-dim(Hm Chứng minh Vì R thương vành Gorenstein địa phương nên theo Bổ đề 2.1.7 ta có đẳng cấu Hmi (M ) ∼ = D(K i (M )) Suy ra, với n ≥ 0, ta có đẳng cấu i i :Hmi (M ) qn+1 ∼ / qn+1 KM = :D(KMi ) qn+1 ∼ = D KM Vì áp dụng tính chất đối ngẫu Matlis ta có :Hmi (M ) qn+1 = i i KM / qn+1 KM Điều dẫn đến đa thức Hilbert-Samuel K i (M ) Hmi (M ) trùng Do dim(K i (M )) = N-dim(Hmi (M )) e (q, Hmi (M )) = e(q, K i (M )) Cho p ∈ Spec(R) Giả sử R ảnh vành Gorenstein địa phương R qua toàn cấu φ : R → R Đặt p = φ−1 (p) Khi dim(R / p ) = dim(R/ p) Vì R vành Gorenstein nên ta có dim Rp = dim R − dim(R / p ) Chú ý φ cảm sinh toàn cấu vành φp : Rp → Rp xác định φp (r /s ) = φ(r )/φ(s ) r ∈ R , s ∈ R \ p Vì Rp vành 39 Gorenstein nên áp dụng Định lý Đối ngẫu địa phương 2.1.7 [2, 11.2.7] ta Rp -đẳng cấu i−dim(R/ p) Hp Rp dim R −(i−dim R/ p) (Mp ) ∼ (Mp , Rp ), ERp (Rp / p Rp )) = HomRp (ExtR p p R −i = HomRp (Extdim (Mp , Rp ), ERp (Rp / p Rp )) R p R −i ∼ (M, R ))p , ERp (Rp / p Rp )) = HomRp ((Extdim R ∼ = D((K i (M ))p ) i−dim(R/ p) Điều dẫn đến Hp Rp (Mp ) = (K i (M ))p = Suy ta có PsuppiR (M ) = SuppR (K i (M )) Hơn nữa, với p ∈ SuppR (K i (M )) = i−dim(R/ p) PsuppiR (M ) cho dim(R/ p) = dim(K i (M )), ta có (Hp Rp (Mp )) = ((K i (M ))p ) Vì từ cơng thức bội liên kết K i (M ) e(q, K i (M )) = ) Rp ((K i (M ))p )e(q, R/ p) (K i (M ) p∈SuppR dim(R/ p)=dim(K i (M )) ta suy công thức bội liên kết Hmi (M ) ứng với q i−dim(R/ p) (Mp ))e(q, R/ p) Rp (Hp Rp e (q, Hmi (M )) = p∈PsuppiR (M ) i (M )) dim(R/ p)=N-dim(Hm Nhận xét 2.4.3 Nếu R vành đầy đủ theo Định lý Cấu trúc Cohen [14, Định lý 31.7], R ảnh đồng cấu vành quy địa phương Vì thế, theo lập luận chứng minh Mệnh đề 2.4.2 ta có PsuppiR (M ) = Var(Ann(K i (M ))) = Var(Ann(Hmi (M ))) Trong [17], L T Nhàn T N An chứng minh Hmi (M ) thoả mãn tính chất (∗) Psuppim (M ) = Var(AnnR (Hmi (M ))) Bổ đề 2.4.4 (Xem [17, Định lý 3.1]) Cho i ≥ số nguyên Nếu Hmi (M ) thoả mãn tính chất (∗) Psuppim (M ) = Var(AnnR (Hmi (M ))) 40 i−dim(R/ p) Chứng minh Giả sử p ∈ PsuppiR (M ) Khi Hp Rp (Mp ) = Suy i−dim(R/ p) (Mp )) = ∅ Vì tồn q ∈ Spec(R) cho q Rp ∈ i−dim(R/ p) (Mp )) với iđêan nguyên tố q ⊆ p Theo Bổ đề 2.3.3 ta có AttRp (Hp Rp AttRp (Hp Rp q ∈ AttR (Hmi (M )) Do p ⊇ q ⊇ AnnR (Hmi (M )) Vì PsuppiR (M ) ⊆ Var(AnnR (Hmi (M ))) Ngược lại, giả sử p ∈ Var(AnnR (Hmi (M ))) Do Hmi (M ) thoả mãn tính chất (∗) nên AnnR (0 :Hmi (M ) p) = p Đặt A = (0 :Hmi (M ) p) Giả sử q ∈ Spec(R) q ⊇ AnnR A Ta chứng minh AnnR (0 :A q) = q Hiển nhiên q ⊆ AnnR (0 :A q) Mặt khác, A ⊆ Hmi (M ) nên (0 :A q) ⊇ (0 :Hmi (M ) q) Vì AnnR (0 :A q) ⊆ AnnR (0 :Hmi (M ) q) Do Hmi (M ) thoả mãn tính chất (∗) q ⊇ AnnR (Hmi (M )) nên AnnR (0 :Hmi (M ) q) = q Suy AnnR (0 :A q) = q Vì thế, áp dụng Mệnh đề 1.2.11 ta có dim(R/ p) = dim(R/ AnnR A) = dim(R/ AnnR A) = max{dim(R/P) | P ∈ AttR (A)} Suy tồn P ∈ AttR (A) cho dim(R/P) = dim(R/ p) Chú ý Hmi R (M ) ∼ = Hmi (M ) R-môđun nên theo Nhận xét 2.4.3 PsuppiR (M ) = Var(AnnR (Hmi R (M ))) = Var(AnnR (Hmi (M ))) Vì P ⊇ AnnR A nên P ⊇ AnnR (Hmi (M )) Dẫn đến P ∈ PsuppiR (M ) Suy i−dim(R/P) HPR P (MP ) = Lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.3.14(ii i−dim(R/ p) ⇒ iii) ta Hp Rp (Mp ) = hay p ∈ PsuppiR (M ) Do ta có Var(AnnR (Hmi (M ))) ⊆ PsuppiR (M ) Chú ý 2.4.5 Chiều ngược lại Bổ đề Có thể xem chứng minh chi tiết [17, Định lý 3.1] Kết cho thấy rõ vai trò PsuppiR (M ) Hmi (M ) tương tự vai trò SuppR (M ) môđun Noether M 41 Bổ đề 2.4.6 (Xem [17, Hệ 3.3]) Cho i ≥ số nguyên Giả sử Hmi (M ) thoả mãn tính chất (∗) Khi khẳng định sau (i) PsuppiR (M ) tập đóng Spec(R) tôpô Zariski (ii) Nếu p ∈ PsuppiR (M ) cho dim(R/ p) = N-dim(Hmi (M )) i−dim(R/ p) (Mp )) Rp (Hp Rp khác không hữu hạn Hơn nữa, P ∈ PsuppiR (M ) cho dim(R/P) = dim(R/ p) i−dim(R/P) (MP )) RP (HPRP = i−dim(R/ p) (Mp )) RP (RP / p RP ) Rp (Hp Rp Chứng minh (i) Hiển nhiên Bổ đề 2.4.4 (ii) Lấy p ∈ PsuppiR (M ) cho dim(R/ p) = N-dim(Hmi (M )) Giả sử P ∈ Var(p R) thoả mãn dim(R/P) = dim(R/ p) Khi ta có i−dim(R/ p) Hp Rp (Mp ) = Bằng cách lập luận chứng minh Định lý 2.3.14(ii ⇒ iii) ta i−dim(R/ p) Hp Rp i−dim(R/P) Suy HPR P i−dim(R/P) (MP ) (Mp ) ⊗ RP ∼ = HPR P (MP ) = Vì P ∈ PsuppiR (M ) Do dim R/P = N-dimR (Hmi (M )) = N-dimR (Hmi (M )) PsuppiR (M ) = Var(AnnR Hmi (M )) nên P ∈ Min PsuppiR (M ) Vì R ảnh đồng cấu vành quy địa phương nên áp dụng Mệnh đề 2.4.2, suy i−dim(R/P) (MP )) RP (HPRP hữu hạn khác không Chú ý đồng cấu h : Rp → RP đồng cấu phẳng địa i−dim(R/P) (MP ) khác không RP HPRP i−dim(R/ p) Hp Rp (Mp ) khác không hữu hạn Hơn phương nên áp dụng [4, 1.2.25] ta hữu hạn Rp nữa, trường hợp ta có i−dim(R/P) RP HPR P (MP ) = i−dim(R/ p) Hp Rp (Mp ) RP (RP / p RP ) Định lý 2.4.7 (Xem [17, Hệ 3.3]) Cho i ≥ số nguyên q iđêan 42 m-nguyên sơ Nếu Hmi (M ) = Hmi (M ) thoả mãn tính chất (∗) i−dim(R/ p) e (q, Hmi (M )) = Hp Rp Rp (Mp ))e(q, R/ p p∈PsuppiR (M ) i (M )) dim(R/ p)=N-dim(Hm Chứng minh Với R-môđun hữu hạn sinh N ta ln có R (N/ q n R) = R (N/ q n R ⊗ R) = R (N /(q R)N ) Vì e(q, R/ p) = e(q R, R/ p R) Áp dụng công thức bội liên kết cho R/ p R ứng với q R ta e (q R, R/ p R) = RP Rp RP e(q R, R/P) P∈PsuppiR (R/ p R) dim(R/P)=dim(R/ p) Suy e (q, R/ p) = RP Rp RP e(q R, R/P) P∈PsuppiR (R/ p R) dim(R/P)=dim(R/ p) Do Hmi (M ) có cấu trúc R-mơđun nên Hmi (M ) ∼ = Hmi R (M ) Vì đa thức Hilbert-Samuel Hmi (M ) Hmi R (M ) trùng Suy e (q, Hmi (M )) = e (q R, Hmi R (M )) Chú ý N-dimR (Hmi (M )) = N-dimR (Hmi R (M )) Do R ảnh đồng cấu vành quy địa phương nên áp dụng Mệnh đề 2.4.2 ta e (q R,Hmi R (M )) i−dim(R/P) = RP P∈PsuppiR (M ) i (M )) dim(R/P)=N-dimR (Hm R 43 HPR P (MP ) e(q R, R/P) Với p ∈ PsuppiR (M ) thoả mãn dim(R/ p) = N-dim(Hmi (M )) ta có i−dim(R/P) (MP ))e(q R, R/P) RP (HPRP P∈PsuppiR (M ) i (M )),P∩R=p dim(R/P)=N-dimR (Hm i−dim(R/ p) (Mp )) RP (RP / p RP )e(q R, R/P) Rp (Hp Rp = P∈PsuppiR (M ) i (M )) dim(R/P)=N-dimR (Hm P∩R=p = i−dim(R/ p) (Mp )) Rp (Hp Rp RP (RP / p RP )e(q R, R/P) P∈PsuppiR (M ) i (M )) dim(R/P)=N-dimR (Hm P∩R=p = i−dim(R/ p) (Mp ))e(q, R/ p) Rp (Hp Rp Vì ta có i−dim(R/ p) e (q, Hmi (M )) = Rp Hp Rp (Mp ) e(q, R/ p) p∈PsuppiR (M ) i (M )) dim(R/ p)=N-dim(Hm Định lý 2.4.8 (Xem [3, Định lý 2.4]) Giả sử R catenary phổ dụng với thớ hình thức Cohen-Macaulay q iđêan m-nguyên sơ Cho i ≥ số nguyên Nếu Hmi (M ) = i−dim(R/ p) e (q, Hmi (M )) = Rp Hp Rp (Mp ))e(q, R/ p p∈PsuppiR (M ) i (M )) dim(R/ p)=N-dim(Hm Chứng minh Vì R catenary phổ dụng với thớ hình thức CohenMacaulay nên theo Mệnh đề 2.2.6 ta có Hmi (M ) thoả mãn (∗) với i Vì thế, áp dụng Định lý 2.4.7 ta có cơng thức bội liên kết Hmi (M ) ứng với q i−dim(R/ p) e (q, Hmi (M )) = Rp p∈PsuppiR (M ) i (M )) dim(R/ p)=N-dim(Hm 44 Hp Rp (Mp ))e(q, R/ p KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết chiều, tập iđêan nguyên tố gắn kết công thức liên kết cho số bội môđun đối đồng điều địa phương, gồm: • Mối liên hệ chiều Krull chiều Noether Hmi (M ) Đặc trưng vành sở để hai chiều • Đặc trưng vành sở để công thức chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết Hmi (M ) qua đầy đủ qua địa phương hoá • Chứng minh công thức liên kết cho số bội Hmi (M ) hai trường hợp vành sở thương vành Cohen-Macaulay môđun Hmi (M ) thoả mãn tính chất (∗) 45 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] T Đ M Châu (2014), Về tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương, Luận án tiến sĩ, Đại học Sư phạm Huế Tiếng Anh [2] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [3] M Brodmann and R Y Sharp (2002), "On the dimension and multiplicity of local cohomology modules", Nagoya Math J., 167, 217-233 [4] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [5] T D M Chau, L T Nhan (2014), "Attached primes of local cohomology modules and structure of Noetherian local rings", J Algebra, 403, 459469 [6] N T Cuong, N T Dung, L T Nhan (2007), "Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module", Comm Algebra, 35 (5), 1691-1701 46 [7] N T Cuong and L T Nhan (1999), "Dimension, Multiplicity and Hilbert function of Artinian modules", East-West J Math., 1(2) , 179196 [8] N T Cuong, L T Nhan (2002), "On the Noetherian dimension of Artinian modules", Vietnam J Math., 30(2) , 121-130 [9] N T Cuong, L T Nhan, N T K Nga (2010), "On pseudo supports and non Cohen-Macaulay locus of a finitely generated module", J Algebra, 323, 3029-3038 [10] M T Dibaei, R Jafari (2011), "Cohen-Macaulay loci of modules", Comm Algebra, 39(10), 3681-3697 [11] D Kirby (1971), "Artinian modules and Hilbert polynomial", Quart J Math Oxford, 2(23), 197-204 [12] I G Macdonald (1973), "Secondary representation of modules over a commutative ring", Symposia Mathematica, 11, 23-43 [13] I G Macdonald and R Y Sharp (1972), "An elementary proof of the non-vanishing of certawin local cohomology modules", Quart J Math Oxford, (2)23, 197-204 [14] H Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press [15] S McAdam, L J Ratliff (1977), "Semi-local taut rings", Indiana Univ Math J 26,73-79 47 [16] M Nagata (1962), Local Rings, Interscience, New York [17] L T Nhan, T N An (2009), "On the unmixedness an the universal catenaricity of local rings and local cohomology modules", J Algebra, 321, 303-311 [18] L T Nhan and T D M Chau (2014), "Noetherian dimension and colocalization of Artinian modules over local rings", Algebra Colloquium, (4)21, 663-670 [19] L T Nhan, P H Quy (2014), "Attached primes of local cohomology modules under localization and completion", J Algebra, 420, 475-485 [20] R Y Sharp (1975), "Some results on the vanishing of local cohomology modules", Proc Londol Math Soc., 30, 177-195 [21] R N Roberts (1974), "Krull dimension for Artinian modules over quasi local commutative rings", Quart J Math Oxford, 26, 269-273 Tiếng Pháp [22] D Ferrand and M Raynaud (1970), "Fibres formelles d’un anneau local Noetherian", Ann Sci E’cole Norm Sup., (4)3, 295-311 Tiếng Đức [23] P Schenzel (1982), "Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra und Buchsbaum Ringe", Lecture Notes in Math., vol 907, Springer, Berlin, Heidelberg, New York 48 ... bày kết biết tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Trước hết kết I G Macdonald R Y Sharp [13] mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương. .. bày kết tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều số bội cho môđun Artin Chương 2, chương luận văn trình bày số kết chiều, tập iđêan nguyên tố gắn kết công thức liên kết cho số bội môđun đối đồng địa phương. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH MAI CHIỀU, SỐ BỘI VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VỚI GIÁ CỰC ĐẠI Ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ