Tập iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa iđêan cạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG HÀ MY TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG HÀ MY TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH Ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 84 601 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS TS Nguyễn Thị Dung, kết nghiên cứu hồn tồn trung thực khơng trùng lặp với luận văn trước Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2019 Học viên HOÀNG HÀ MY Xác nhận Xác nhận khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học PGS TS NGUYỄN THỊ DUNG i Lời cảm ơn Luận văn "Tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh" thực Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy PGS TS Nguyễn Thị Dung Tơi xin bảy tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn thầy khoa Tốn tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên giúp đỡ nhiều trình học tập Thái Nguyên, tháng năm 2019 Học viên HOÀNG HÀ MY ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết 1.1.1 Iđêan đơn thức 1.1.2 Đồ thị iđêan cạnh Bao đóng nguyên 13 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh 16 2.1 Matching Factor-critical 16 2.2 Sự bảo toàn tập iđêan nguyên tố liên kết 20 2.3 Bao đóng nguyên tập ổn định 37 Tài liệu tham khảo 43 iii Mở đầu Cho R = K[x1 , , xn ] vành đa thức n biến trường K G = (V, E) đồ thị với tập đỉnh V = V (G) = {x1 , , xn } tập cạnh E = E(G) Ta giả thiết đồ thị G khơng có đỉnh lập, nghĩa tất đỉnh G nằm cạnh Iđêan cạnh G, kí hiệu I = IG , iđêan R sinh tập đơn thức khơng chứa bình phương xi x j cho {xi , x j } ∈ E Một vấn đề nhiều người quan tâm tìm tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh, nghĩa tập Ass(R/I k ) = {p ⊂ R | p iđêan nguyên tố p = (I k : c) với c ∈ R}, k ≥ Ta biết I iđêan đơn thức vành đa thức R nên iđêan nguyên tố liên kết iđêan đơn thức sinh tập tập biến Các iđêan nguyên tố liên kết với I tương ứng với tập phủ đỉnh tối thiểu đồ thị G Min(R/I) = Ass(R/I), Min(R/I) tập iđêan nguyên tố tối thiểu I Đối với iđêan cạnh, ta ln có Ass(R/I) ⊂ Ass(R/I k ) với số nguyên k Trong trường hợp dấu xảy với k I gọi xoắn tự chuẩn tắc Trong [1], M Brodmann chứng minh tập Ass(R/I k ) ổn định với k đủ lớn, nghĩa tồn số nguyên dương N1 cho Ass(R/I k ) = Ass(R/I N1 ), với k ≥ N1 , số N1 nhỏ thỏa mãn tính chất gọi số ổn định I Mặc dù người ta chứng minh Ass(R/I k ) ổn định với k đủ lớn, dáng điệu Ass(R/I k ) với k nhỏ lại thất thường Hơn việc tìm tập ổn định Ass(R/I N1 ) phức tạp điều iđêan nguyên tố p liên kết với lũy thừa nhỏ I lại không thiết liên kết với lũy thừa lớn I Đối với iđêan I, p ∈ Ass(R/I k ) kéo theo p ∈ Ass(R/I k+1 ) với k ≥ ta nói Ass(R/I k ) tạo thành dãy tăng Tuy nhiên, lớp iđêan thỏa mãn điều kiện Kí hiệu I k bao đóng ngun I k Iđêan I gọi chuẩn tắc I k = I k với k ≥ Theo trên, lớp iđêan I cho Ass(R/I k ) thỏa mãn điều kiện dãy tăng Tuy nhiên, điều kiện cho bao đóng nguyên, nghĩa I iđêan vành giao hốn Noether R, ta có Ass(R/I k ) ⊆ Ass(R/I k+1 ) với k đủ lớn (xem Ratliff [11]), nghĩa tồn số nguyên dương N2 cho Ass(R/I k ) ⊆ Ass(R/I N2 ) với k N2 Nhiều tính chất đẹp tập Ass(R/I N2 ) nghiên cứu [5] Mục đích luận văn trình bày lại số kết tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh viết J Martinez-Bernal, S Morey R Villarreal báo [9] Trong báo lý thuyết matching tối ưu tổ hợp, họ chứng minh hai kết chính: - Tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh tạo thành dãy tăng - Nhìn chung vành giao hoán Noether, Ass(R/I N2 ) ⊂ Ass(R/I N1 ), với iđêan cạnh tập ổn định nhau, nghĩa Ass(R/I k ) = Ass(R/I k ) với k ≥ max{N1 , N2 } Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo nội dung luận văn gồm hai chương: Chương phần Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta nhắc lại số kiến thức tập iđêan nguyên tố liên kết, iđêan đơn thức, đồ thị iđêan cạnh bao đóng nguyên Chương phần nội dung luận văn, trình bày kết báo [9] iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh Ở chương này, ta tìm hiểu ba phần: Matching Factor-critical, bảo toàn tập iđêan nguyên tố liên kết, bao đóng nguyên tập ổn định Phần kết luận luận văn tổng kết số công việc thực Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết Cho R vành giao hoán, Noether, I iđêan R Các kiến thức mục viết dựa theo [8] [12] Định nghĩa 1.1.1 ([12, Định lý 3.52], [12, Định nghĩa 4.1], [12, Bổ đề 4.5]) (i) Giả sử I = R Khi tập Var(I) iđêan nguyên tố p R chứa I ln có phần tử tối thiểu theo quan hệ bao hàm gọi iđêan nguyên tố tối thiểu I Tập tất iđêan nguyên tố tối thiểu I ký hiệu Min(R/I) (ii) Cho q iđêan R Ta nói q nguyên sơ q = R ab ∈ q, a ∈ /q √ kéo theo b ∈ q với a, b ∈ R √ (iii) Giả sử q nguyên sơ Khi p := q iđêan nguyên tố R ta gọi q p-nguyên sơ Hơn p iđêan nguyên tố nhỏ R chứa q, nghĩa iđêan nguyên tố p R mà chứa q chứa p Vì p iđêan nguyên tố tối thiểu q Một phân tích I = q1 ∩ ∩ qn , qi pi -nguyên sơ, gọi phân tích nguyên sơ I Phân tích nguyên sơ I gọi phân tích nguyên sơ thu gọn qi không thừa (tức bỏ qi phân tích trên) pi đơi phân biệt Ví dụ 1.1.2 Trong vành số nguyên Z, iđêan nguyên sơ iđêan có dạng mZ với m lũy thừa số nguyên tố Nếu q1 , q2 hai iđêan p-nguyên sơ R q1 ∩ q2 iđêan p-nguyên sơ R Vì từ phân tích ngun sơ I ta đưa phân tích thu gọn cách bỏ thành phần nguyên sơ thừa ghép thành phần nguyên sơ có Hệ 1.1.3 ([12, Hệ 4.18], Định lý thứ nhất) Giả sử I = q1 ∩ ∩ qn = q1 ∩ ∩ qm hai phân tích nguyên sơ thu gọn I, qi pi -nguyên sơ qi pi -nguyên sơ Khi n = m {p1 , , pn } = {p1 , , pn } Giả sử I = q1 ∩ ∩ qn phân tích nguyên sơ thu gọn I, qi pi -nguyên sơ Theo hệ trên, tập {p1 , , pn } xác định (không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn I) gọi tập iđêan nguyên tố liên kết I, ký hiệu Ass(R/I) (xem [12, Định nghĩa 4.19]) Nhìn chung thành phần nguyên sơ qi không xác định nhất, pi tối thiểu qi Định lý 1.1.4 ([12, Định lý 4.29], Định lý thứ hai) Giả sử I = q1 ∩ ∩ qn = q1 ∩ ∩ qn hai phân tích ngun sơ thu gọn I, qi pi -nguyên sơ qi pi -nguyên sơ Khi pi tối thiểu tập {p1 , , pn } qi = qi Theo định lý trên, thành phần nguyên sơ qi ứng với iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu pi xác định nhất, ta gọi chúng thành phần ngun sơ lập, cịn lại gọi thành phần nguyên sơ nhúng I Nghĩa ta mơ tả lại phân tích nguyên sơ I sau: I = q1 ∩ ∩ qt ∩ Q1 ∩ ∩ Qs , √ √ qi ∈ Min(R/I), với i = 1, ,t xác định Q j với j = 1, , s iđêan nguyên tố nhúng Ví dụ 1.1.5 Cho vành R = K[x, y, z] I = (x2 , y2 , xyz) iđêan R Khi ta có phân tích nguyên sơ I I = (x2 , y2 , x) ∩ (x2 , y2 , y) ∩ (x2 , y2 , z) = (x, y2 ) ∩ (x2 , y) ∩ (x2 , y2 , z), √ đặt q1 = (x, y2 ), q2 = (x2 , y), q3 = (x2 , y2 , z) Ta có q1 = (x, y) = p1 , √ √ q2 = (x, y) = p2 , q3 = (x, y, z) = p3 qi pi -nguyên sơ, với i = 1, 2, √ Đặt q1 = q1 ∩ q2 = (x2 , xy, x2 y2 , y2 ) = (x2 , xy, y2 ) Khi q1 = (x, y) = p1 Suy I = q1 ∩ q3 phân tích nguyên sơ thu gọn I tập iđêan nguyên tố liên kết Ass(R/I) = {p1 , p3 } xác định Mặt khác, p1 ⊂ p3 nên tập Ass(R/I) p1 iđêan ngun tố lập, p3 iđêan nguyên tố nhúng Do q1 xác định q3 chưa xác định Thật vậy, tồn iđêan √ q3 = (x2 , y2 , z2 , xyz) cho q1 ∩ q3 = I mà q3 = (x, y, z) = p3 Rõ ràng q3 p3 -nguyên sơ q3 q3 Kết sau cho ta thấy iđêan nguyên tố liên kết bảo toàn qua địa phương hóa Định lý 1.1.6 [8, Định lý 6.2] Giả sử S ⊂ R tập nhân đóng N RS môđun Xem Spec(RS ) tập Spec(R), ta có AssR (N) = AssRS (N) Nếu R Noether với R-mơđun M ta có Ass(MS ) = Ass(M) ∩ Spec(RS ) Từ kết trên, ta thấy iđêan nguyên tố p R iđêan nguyên tố liên kết I tồn phần tử c ∈ R cho p = (I : c) = {r ∈ R | rc ∈ I} (xem [12, Định lý 4.17]) Vì Ass(R/I k ) = {p ⊆ R | p ∈ Spec R tồn c ∈ R cho p = (I k : c)} Nhìn chung, ta ln có Min(R/I) ⊆ Ass(R/I k ) Nếu trường hợp dấu xảy với k I xoắn tự chuẩn tắc Trong [1], Brodmann R vành Noether I iđêan R tập Ass(R/I k ) ổn định k đủ lớn Nghĩa tồn số nguyên dương N1 cho Ass(R/I k ) = Ass(R/I N1 ) với k N1 Số N1 nhỏ thỏa mãn tính chất số ổn định I Mặc dù biết tập Ass(R/I k ) ổn định k đủ lớn, dáng điệu k đủ nhỏ biết đến Việc tìm số N1 xác định tập ổn định Ass(R/I N1 ) phức tạp iđêan nguyên tố p liên kết với lũy thừa nhỏ I khơng thiết lại liên kết với lũy thừa lớn I Khi iđêan I cho p ∈ Ass(R/I k ) kéo theo p ∈ Ass(R/I k+1 ) với k tập Ass(R/I k ) thỏa mãn điều kiện dãy tăng Mặc dù coi đẹp lớp iđêan thỏa tất đơn thức khơng chứa bình phương bậc hai xi x j mà ảnh ánh xạ tắc R → Rp phần tử sinh tối thiểu Ip , I1 iđêan nguyên tố R sinh tất biến xi mà ảnh phần tử sinh tối thiểu Ip , mà tương ứng với đỉnh cô lập đồ thị liên kết với Ip Các phần tử sinh tối thiểu I2 I1 nằm S = K[x1 , , xr ], hai tập biến tương ứng xuất tập phần tử sinh tối thiểu I1 I2 rời hợp chúng tập C = {x1 , , xr } Nếu I2 = (0) p iđêan nguyên tố tối thiểu I iđêan nguyên tố liên kết R/I k+1 (vì theo giả thiết p iđêan nguyên tố liên kết R/I k ) Vì thế, ta giả sử I2 = (0) Ta biết địa phương hóa bảo tồn iđêan nguyên tố liên kết, nghĩa p ∈ Ass(R/I k ), pRp ∈ Ass(Rp /(Ip Rp )k ) (xem Định lý 1.1.6) Vì thế, p ∈ Ass(R/I k ), p ∈ Ass(R/(I1 , I2 )k ) p ∈ Ass(S/(I1 , I2 )k ) Theo Mệnh đề 2.2.12 Bổ đề 2.2.13, p iđêan nguyên tố liên kết S/(I1 , I2 )k+1 Vì vậy, ta lập luận ngược trở lại để kết luận p iđêan nguyên tố liên kết R/I k+1 Hệ 2.2.15 Cho I iđêan đơn thức khơng chứa bình phương (I k+1 : I) = I k với k ≥ Khi tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa I có dạng dãy tăng Chứng minh Như Mệnh đề 2.2.12, ta chứng minh m ∈ Ass(R/I k ) suy m ∈ Ass(R/I k+1 ) Giả sử m ∈ Ass(R/I k ), tồn đơn thức xa ∈ / I k cho xi xa ∈ I k+1 với i Theo giả thiết, xa ∈ / (I k+1 : I), tồn đơn thức sinh khơng chứa bình phương e I với exa ∈ / I k+1 Nhưng xi exa = e(xi xa) ∈ I k+1 với i, m ∈ Ass(R/I k+1 ) Nhắc lại I hữu hạn sinh nên ta có (I k+1 : I)p = (Ipk+1 : Ip ) Do (Ipk+1 : Ip ) = Ipk Lấy p ∈ Ass(R/I k ) Ta chứng minh phương pháp địa phương hóa, chứng minh Định lý 2.2.14, áp dụng Bổ đề 2.2.13 cho iđêan khơng chứa bình phương ta p ∈ Ass(R/I k+1 ) Vậy tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa I có dạng dãy tăng Một câu hỏi đặt liệu tập Ass(R/I k ) có dạng dãy tăng với iđêan khơng chứa bình phương I không? Hệ 2.2.15 đưa câu trả lời cho 31 câu hỏi với số lớp iđêan khơng chứa bình phương Tuy nhiên câu trả lời khơng thỏa mãn với iđêan khơng chứa bình phương Xét ví dụ sau Ví dụ 2.2.16 Cho R = Q[a, b, c, d, e, f ] I iđêan đơn thức khơng chứa bình phương I = (abe, acd, ab f , ac f , ade, bcd, bce, bd f , ce f , de f ) Khi Ass(R/I k ) tạo thành dãy tăng với số ổn định I 3, (I : I) = I (I : I) = I Sử dụng CoCoA, ta kết sau R::=QQ[a,b,c,d,e,f]; I := Ideal(abe,acd,abf,acf,ade,bcd,bce,bdf,cef,def); IrreducibleDecom_Frobby5(I); CoCoAServer: computing Cpu Time = [Ideal(c, e, f), Ideal(d, e, f), Ideal(b, d, f), Ideal(b, c, d), Ideal(b, c, e), Ideal(a, d, e), Ideal(a, c, d), Ideal(a, c, f), Ideal(a, b, e), Ideal(a, b, f)] L:=I^2:I; L; Ideal(abe, acd, abf, acf, ade, bcd, bce, bdf, cef, def) M:= I^3:I; M; Ideal(a^2b^2e^2, a^2bcde, a^2b^2ef, a^2bcef, a^2bde^2, ab^2cde, ab^2ce^2, ab^2def, abce^2f, abde^2f, a^2c^2d^2, a^2bcdf, a^2c^2df, a^2cd^2e, abc^2d^2, abc^2de, abcd^2f, ac^2def, acd^2ef, a^2b^2f^2, a^2bcf^2, a^2bdef, ab^2cdf, ab^2cef, ab^2df^2, abcef^2, abdef^2, a^2c^2f^2, a^2cdef, abc^2df, abc^2ef, abcdf^2, ac^2ef^2, acdef^2, a^2d^2e^2, abcd^2e, abcde^2, abd^2ef, acde^2f, ad^2e^2f, b^2c^2d^2, b^2c^2de, b^2cd^2f, bc^2def, bcd^2ef, b^2c^2e^2, b^2cdef, bc^2e^2f, bcde^2f, b^2d^2f^2, bcdef^2, bd^2ef^2, c^2e^2f^2, cde^2f^2, d^2e^2f^2, abcdef) M:I^2; 32 Ideal(1) I^2:M; Ideal(f, e, d, c, b, a) J:=I*I; IrreducibleDecom_Frobby5(J); CoCoAServer: computing Cpu Time = 0.062 [Ideal(a, b, e^2), Ideal(a, b, f^2), Ideal(a, c, d^2), Ideal(a, c, f^2), Ideal(a, c^2, d), Ideal(a, d, e^2), Ideal(a, b^2, f), Ideal(a, c^2, f), Ideal(a, b^2, e), Ideal(a, d^2, e), Ideal(a^2, b^2, c^2, d^2, e^2, f^2), Ideal(b^2, d, f), Ideal(d, e^2, f), Ideal(a^2, c, f), Ideal(c, e^2, f), Ideal(a^2, c, d), Ideal(b^2, c, d), Ideal(c^2, e, f), Ideal(d^2, e, f), Ideal(a^2, d, e), Ideal(d, e, f^2), Ideal(b^2, c, e), Ideal(c, e, f^2), Ideal(b, c, d^2), Ideal(b, c, e^2), Ideal(b, c^2, d), Ideal(b, d, f^2), Ideal(a^2, b, f), Ideal(b, d^2, f), Ideal(a^2, b, e), Ideal(b, c^2, e)] K:=J*I; IrreducibleDecom_Frobby5(K); CoCoAServer: computing Cpu Time = 0.281 [Ideal(a^3,b^3,c^2,d^2,e^3,f),Ideal(a^3,b^3,c^2,d,e^3,f^2), Ideal(b^3,d,f),Ideal(d,e^3,f),Ideal(a^3,b^3,c,d^2,e^3,f^2), Ideal(a^3,c,f),Ideal(c,e^3,f),Ideal(a^3,c,d),Ideal(b^3,c,d), Ideal(a^3,b^3,c^2,d^2,e,f^3),Ideal(a^3,b^3,c^2,d,e^2,f^3), Ideal(a^3,d,e),Ideal(d,e,f^3),Ideal(a^3,b^3,c,d^2,e^2,f^3), Ideal(b^3,c,e),Ideal(c,e,f^3),Ideal(c^3,e,f),Ideal(d^3,e,f), Ideal(c^2,e,f^2),Ideal(d^2,e,f^2),Ideal(c^2,e^2,f), Ideal(d^2,e^2,f),Ideal(c,e^2,f^2),Ideal(d,e^2,f^2), Ideal(a^3,b^3,c^2,d^2,e^2,f^2),Ideal(a^3,b^2,c^3,d^3,e^2,f), Ideal(a^3,b,c^3,d^3,e^2,f^2),Ideal(a^3,b,f),Ideal(b,d^3,f), Ideal(b,d^3,f), Ideal(a^3, b^2, c^3, d^3, e, f^2), 33 Ideal(a^3, b, e), Ideal(b, c^3, e), Ideal(b^2, d, f^2), Ideal(b^2, d^2, f), Ideal(b, d^2, f^2), Ideal(a^3,b^2,c^3,d^2,e^2,f^2),Ideal(a^3,b^2,c^3,d,e^2,f^3), Ideal(a^3,b,c^3,d^2,e^2,f^3),Ideal(b,c^3,d), Ideal(b,d,f^3),Ideal(a^3,b^2,c^3,d^2,e,f^3), Ideal(b,c^2,d^2),Ideal(b^2,c,d^2),Ideal(b^2,c^2,d), Ideal(b^2,c^2,d^2,e^2,f^2),Ideal(a^3,b^2,c^2,d^2,e^2,f^3), Ideal(a^3,b^2,c^2,d^2,e^3,f^2),Ideal(b^2,c,e^2), Ideal(b^2, c^2, e), Ideal(b, c^2, e^2), Ideal(a^3,b^2,c^2,d^3,e^2,f^2),Ideal(a^3,b^2,c,d^3,e^3,f^2), Ideal(a^3, b, c^2, d^3, e^3, f^2), Ideal(b, c, d^3), Ideal(b, c, e^3), Ideal(a^3, b^2, c^2, d^3, e^3, f), Ideal(a^2,b^3,c^3,d^3,e^2,f),Ideal(a,b^3,c^3,d^3,e^2,f^2), Ideal(a, b^3, f), Ideal(a, c^3, f), Ideal(a^2, b^3, c^3, d^3, e, f^2), Ideal(a, b^3, e), Ideal(a, d^3, e), Ideal(a^2, d, e^2), Ideal(a^2, d^2, e), Ideal(a, d^2, e^2), Ideal(a^2, b^3, c^3, d^2, e^2, f^2), Ideal(a^2,b^3,c^3,d,e^3,f^2),Ideal(a,b^3,c^3,d^2,e^3,f^2), Ideal(a,c^3,d),Ideal(a,d,e^3),Ideal(a^2,b^3,c^3,d^2,e^3,f), Ideal(a, c^2, d^2), Ideal(a^2, c, d^2), Ideal(a^2, c^2, d), Ideal(a^2,c^2,d^2,e^2,f^2),Ideal(a^2,b^3,c^2,d^2,e^2,f^3), Ideal(a^2, b^3, c^2, d^2, e^3, f^2), Ideal(a^2, c, f^2), Ideal(a^2, c^2, f), Ideal(a, c^2, f^2), Ideal(a^2,b^3,c^2,d^3,e^2,f^2),Ideal(a^2,b^3,c,d^3,e^2,f^3), Ideal(a, b^3, c^2, d^3, e^2, f^3), Ideal(a, c, d^3), Ideal(a, c, f^3), Ideal(a^2, b^3, c^2, d^3, e, f^3), Ideal(a, b^2, e^2), Ideal(a^2, b, e^2), Ideal(a^2, b^2, e), Ideal(a^2,b^2,d^2,e^2,f^2),Ideal(a^2,b^2,c^3,d^2,e^2,f^3), Ideal(a^2,b^2,c^3,d^3,e^2,f^2),Ideal(a^2,b^2,c^2,d^3,e^2,f^3), Ideal(a^2,b^2,c^2,d^2,e^2),Ideal(a^2,b^2,c^2,e^2,f^2), Ideal(a^2, b^2, f), Ideal(a, b^2, f^2), Ideal(a^2, b, f^2), 34 Ideal(a^2,b^2,c^3,d^2,e^3,f^2),Ideal(a^2,b^2,c^2,d^2,f^2), Ideal(a^2,b^2,c^2,d^3,e^3,f^2),Ideal(a^2,b,c^3,d^2,e^3,f^3), Ideal(a, b^2, c^3, d^2, e^3, f^3), Ideal(a, b, e^3), Ideal(a, b, f^3), Ideal(a^2, b^2, c^3, d, e^3, f^3), Ideal(a^2,b^2,c,d^3,e^3,f^3),Ideal(a,b^2,c^2,d^3,e^3,f^3), Ideal(a^2,b,c^2,d^3,e^3,f^3), Ideal(a^2,b^2,c^2,d^2,e^3,f^3)] Nhìn vào kết trên, ta có số kết luận sau Iđêan I thỏa mãn (I : I) = I Ta đặt M := (I : I) ta thấy (M : I ) = (1), (I : M) = (a, b, c, d, e, f ) = (1) Do (I : I) = I Các tập iđêan nguyên tố liên kết Ass(R/I) ={p1 , , p10 } với p1 = (c, e, f ), p2 = (d, e, f ), p3 = (b, d, f ), p4 = (b, c, d), p5 = (b, c, e), p6 = (a, d, e), p7 = (a, c, d), p8 = (a, c, f ), p9 = (a, b, e), p10 = (a, b, f ) Ass(R/I ) ={p1 , , p10 } ∪ (a, b, c, d, e, f ) Ass(R/I ) ={p1 , , p10 } ∪ (a, b, c, d, e, f ) ∪ (b, c, d, e, f ) ∪ (a, c, d, e, f ) ∪ (a, b, d, e, f ) ∪ (a, b, c, e, f ) ∪ (a, b, c, d, f ) ∪ (a, b, c, d, e) Từ dễ thấy Ass(R/I) ⊂ Ass(R/I ) ⊂ Ass(R/I ) Vậy tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa I có dạng dãy tăng Ta chứng minh số ổn định I 3, nghĩa Ass(R/I ) = Ass(R/I k ) với k Thật vậy, tập iđêan nguyên tố liên kết tạo thành dãy tăng nên dễ thấy Ass(R/I ) ⊆ Ass(R/I k ) Bao hàm thức ngược lại, ta lấy iđêan nguyên tố liên kết p ∈ Ass(R/I k ) chứng minh thuộc Ass(R/I ) Rõ ràng Ass(R/I ) chứa tất iđêan nguyên tố liên kết p1 , , p10 sinh 3, phần tử Ta cần chứng minh iđêan sinh phần tử không thuộc Ass(R/I k ) với k ≥ Thật vậy, chẳng hạn ta lấy p = (c, d, e, f ) giả sử p ∈ Ass(R/I k ) với k ≥ 4, nghĩa p iđêan bất khả quy irr(I k ) Theo Định lý 1.1.20 Hệ 1.1.21, ma+1U ∈ irr(I k ) < k với i = 1, , n xa xm1Z phần tử góc I k + m(m+1)1V , 35 (1) xa xm1Z ∈ / I k (2) với u ∈ U ta có uxa xm1Z ∈ I k , m ≥ k, supp(xa ) ∈ U = {c, d, e, f } Z = {a, b} tập phần bù U V Vì với u ∈ U ta có uxa ∈ I k nên ta có uxa = g1 gk N, gi cạnh N đơn thức Nếu u chia hết N ta giản ước u hai vế ta có xa ∈ I k , mâu thuẫn với định nghĩa phần tử góc Do u chia hết gi ta lại giản ước hai vế cho u để có xa ∈ I k−1 Vì phần tử sinh I chứa {c, d, e, f } ce f de f , ta viết xa = M(ce f )l (de f )m với l + m = k − 1, M đơn thức có support thuộc U Nhưng lại có uxa = uM(ce f )l (de f )m ∈ I k với u ∈ U, nên uxa = uM(ce f )l (de f )m = h1 hk N , hi cạnh có support thuộc U N đơn thức có support thuộc U Do hi = ce f hi = de f Vì uM(ce f )l (de f )m = (ce f )h (de f ) j N với h + j = k Do uMcl d m (e f )k−1 = ch d j (e f )k N , suy e f chia hết uM Nếu ta lấy u = c M chia hết cho e f Nếu lấy u = e eMcl d m (e f )k−1 = ch d j (e f )k N Nếu l < h ta có eMd m (e f )k−1 = ch−l d j (e f )k N Do c chia hết M Vì ce f chia hết M, kéo theo M(ce f )l (de f )m ∈ I k , mâu thuẫn Lập luận tương tự cho m < j ta có mâu thuẫn Vậy cuối ta có l ≥ h m ≥ j, dẫn đến k − = l + m ≥ h + j = k, mâu thuẫn Vậy iđêan nguyên tố liên kết sinh phần tử không thuộc tập Ass(R/I k ) với k ≥ hay tập số dừng tập Ass(R/I k ) Hệ 2.2.17 Cho I = IG iđêan cạnh đồ thị G, Ass(I k−1 /I k ) có dạng dãy tăng với k ≥ Chứng minh Giả sử p ∈ Ass(R/I k ) Khi p = (I k : c) với đơn thức c ∈ R Vì p iđêan đơn thức nguyên tố sinh tập tập biến, nên xc ∈ I k với x ∈ p c ∈ I k−1 p ∈ Ass(I k−1 /I k ) Suy Ass(I k−1 /I k ) = Ass(R/I k ) Tương tự Ass(I k /I k+1 ) = Ass(R/I k+1 ) Mà Ass(R/I k ) có dạng dãy tăng, tức Ass(R/I k ) ⊂ Ass(R/I k+1 ), theo Định lý 2.2.14 Vậy Ass(I k−1 /I k ) ⊂ Ass(I k /I k+1 ) 36 2.3 Bao đóng nguyên tập ổn định Cho R vành giao hoán, Noether I iđêan R Như đề cập Chương 1, tập iđêan liên kết bao đóng nguyên lũy thừa I có dạng dãy tăng ổn định Để so sánh tập ổn định hai chuỗi Ass(R/I k ) Ass(R/I k ), ta nhắc lại định nghĩa bổ đề sau Định nghĩa 2.3.1 Cho I = (xv1 , , xvq ) iđêan đơn thức R Đại số Rees I, kí hiệu R[It], vành đơn thức R[It] = R[xv1 t, , xvq t] ⊂ R[t] Vành F(I) = R[It]/mR[It] gọi vành thớ đặc biệt I Chiều Krull F(I), kí hiệu (I), gọi độ trải giải tích I Bổ đề 2.3.2 [14, Mệnh đề 7.1.17, Bài tập 7.4.10] Cho I = (xv1 , , xvq ) iđêan đơn thức A ma trận với vectơ cột v1 , , vq Nếu deg(xvi ) = d với i F(I) K[xv1 t, , xvq t] K[xv1 , , xvq ] (I) = dim K[xv1 , , xvq ] = rank(A) Địa phương hóa cho phép ta quy trường hợp iđêan cực đại, nghĩa ta chứng minh kết mà đặc trưng cho trường hợp m nằm tập ổn định Ass(R/I k ) Ass(R/I k ) Mệnh đề 2.3.3 Cho G đồ thị Các điều kiện sau tương đương: (a) m ∈ Ass(R/IGk ) với k (b) Thành phần liên thông G đồ thị không rẽ nhánh (c) m ∈ Ass(R/IGt ) với t (d) rank(A) = n, A ma trận tới G n = |V | Chứng minh (c) ⇔ (d) Theo [5, Định lý 3], ta có m ∈ Ass(R/IGt ) (I) = ht(m) = n (vì độ trải giải tích m rank A) Từ Bổ đề 2.3.2 ta lại có rank(A) = (I) Vậy m ∈ Ass(R/IGt ) rank(A) = n 37 (b) ⇔ (d) Theo [14, Bổ đề 8.3.2], rank(A) = n − c0 (trong c0 số thành phần liên thơng rẽ nhánh) Ta có G đồ thị không rẽ nhánh c0 = 0, tương đương rank(A) = n (a) ⇔ (b) Giả sử G1 , , Gr thành phần liên thông G Ta đặt Si = K[V (Gi )] mi = (V (Gi )) Giả sử m = (m1 , , mr ) iđêan nguyên tố liên kết R/IGk với k Khi đó, theo Bổ đề 2.2.13, có số nguyên dương ki cho mi iđêan nguyên tố liên kết Si /IGkii Do vậy, Gi không rẽ nhánh với i iđêan cạnh đồ thị rẽ nhánh xoắn tự chuẩn tắc Do ta chứng minh (a) suy (b) Cuối ta chứng minh (b) suy (a) Giả sử Gi khơng rẽ nhánh với i Khi theo [2, Hệ 3.4], mi ∈ Ass(Si /IGkii ) với ki Khi lại theo Bổ đề 2.2.13 ta có m iđêan nguyên tố liên kết R/I k với k Bổ đề 2.3.4 Cho L1 , L2 iđêan đơn thức với tập biến rời Nếu L1 , L2 sinh đơn thức có bậc tương ứng d1 d2 (L1 + L2 ) = (L1 ) + (L2 ) Chứng minh Ta đặt L = L1 +L2 Giả sử g1 , , gr h1 , , hs tập sinh tối thiểu tương ứng L1 L2 gồm đơn thức Theo giả thiết, L1 L2 vành đa thức tương ứng K[x] K[y], x = {x1 , , xq } y = {y1 , , ym } Ta đặt R = K[x, y] Vành sợi đặc biệt L viết F(L) K[x, y, u1 , , ur , z1 , , zs ]/(x, y, J), J iđêan biểu diễn đại số Rees R[Lt] u1 , , ur , z1 , , zs tập biến Iđêan J hạt nhân ánh xạ K[x, y, u1 , , ur , z1 , , zs ] → R[Lt], xi → xi , y j → y j , ui → git, z j → h jt Vì J iđêan toric, nên tập sinh J gồm nhị thức có dạng xα yβ uγ zδ − xα yβ uγ zδ cho xα yβ gγ hδ t |γ|+|δ | = xα yβ gγ hδ t |γ |+|δ | Từ phương trình này, ta xα gγ = xα gγ , yβ hδ = yβ hδ t |γ|+|δ | = t |γ |+|δ | Do |α| + d1 |γ| = |α | + d1 |γ |, |β | + d2 |δ | = |β | + d2 |δ |, |γ| + |δ | = |γ | + |δ | 38 Ta khẳng định deg(xα yβ ) = deg(xα yβ ) = Giả sử deg(xα yβ ) = nghĩa α = β = Từ đẳng thức đầu tiên, ta có |α | = d1 (|γ| − |γ |) Từ đẳng thức thứ hai thứ ba ta |β | + d2 |δ | = d2 |δ | = d2 (|γ | + |δ | − |γ|) ⇒ |β | = d2 (|γ | − |γ|) Với |α | ≥ |β | ≥ 0, ta γ − γ = Do α = β = hay khẳng định chứng minh Vì ta có biểu diễn đơn giản cho vành sợi đặc biệt L F(L) K[u1 , , ur , z1 , , zs ]/P K[g1t, , grt, h1t, , hst], (2.3.1) P iđêan toric K[g1t, , grt, h1t, , hst] Giả sử A1 , A2 ma trận mà cột vectơ lũy thừa đơn thức tương ứng g1t, , grt h1t, , hst A ma trận mà cột vectơ lũy thừa đơn thức g1t, , grt, h1t, , hst Tập biến x y rời Do rank(A) = rank(A1 ) + rank(A2 ) Vì F(L1 ) = K[g1t, , grt], F(L2 ) = K[h1t, , hst], F(L) K[g1t, , grt, h1t, , hst], nên theo Bổ đề 2.3.2 ta có (L1 ) = rank(A1 ), (L2 ) = rank(A2 ), (L) = rank(A) Vì theo Cơng thức 2.3.1 ta (L) = (L1 ) + (L2 ) Để phục vụ cho việc chứng minh định lý mục này, ta nhắc lại kết sau [6, Mệnh đề 3.4] [11, Định lý 2.8] Mệnh đề 2.3.5 Cho I iđêan vành Noether R Khi (a) Ass(R/I k ) ⊆ Ass(R/I k+1 ), tức tập Ass(R/I k ) có dạng dãy tăng (b) Ass(R/I) ⊆ Ass(R/I) Ta thấy tập Ass(R/I i ) Ass(R/I i ) ổn định với i đủ lớn Kết iđêan cạnh, tập ổn định tương ứng chúng 39 Định lý 2.3.6 Cho IG iđêan cạnh đồ thị G Khi tồn số nguyên dương N cho Ass(R/IGk ) = Ass(R/IGk ) với k ≥ N Chứng minh Theo Mệnh đề 2.3.5(b), ta ln có Ass(R/IGk ) ⊆ Ass(R/IGk ) Bây ta chứng minh bao hàm thức ngược lại Ass(R/IGk ) ⊆ Ass(R/IGk ) Theo [1], tồn số nguyên dương N1 cho Ass(R/IGN1 ) = Ass(R/IGk ) với k ≥ N1 theo [11], tồn số nguyên dương N2 cho Ass(R/IGN2 ) = Ass(R/IGk ) với k ≥ N2 Đặt N = max{N1 , N2 } giả sử k ≥ N Lấy p ∈ Ass(R/IGk ) Trường hợp 1: p = m Theo Mệnh đề 2.3.3, p ∈ Ass(R/IGi ) với số i Do p ∈ Ass(R/IGk ) tập Ass(R/IGj ) có dạng dãy tăng (theo Mệnh đề 2.3.5(a)) Trường hợp 2: p = (x1 , , xr ) m Giả sử I1 , I2 S chứng minh Định lý 2.2.14 Xi tập biến xuất tập sinh tối thiểu Ii Chú ý p = (X1 , X2 ) Vì p iđêan nguyên tố liên kết S/(I1 + I2 )k nên áp dụng Bổ đề 2.2.13 với I1 S + I2 S, ta coi Ii iđêan Si = K[Xi ], ta viết p = p1 S + p2 S, p1 ∈ Ass(S1 /I1k1 ) p2 ∈ Ass(S2 /I2k2 ) với (k1 − 1) + (k2 − 1) = k − Chú ý pi = (Xi ) Do đó, áp dụng Mệnh đề 2.3.3 với đồ thị G2 liên kết với I2 , ta hạng ma trận liên thông AG2 G2 |X2 | Mặt khác độ trải giải tích I2 chiều Krull vành cạnh K[G2 ] hạng AG2 (theo Bổ đề 2.3.2) nên (I2 ) = dim K[G2 ] = rank(AG2 ) = |X2 | Vì I1 sinh |X1 | biến, nên ta có (I1 ) = |X1 | Theo Bổ đề 2.3.4, (I1 + I2 ) = (I1 ) + (I2 ) = |X1 | + |X2 | = ht(p) Vì vậy, sử dụng [5, Định lý 3], (I1 + I2 ) = ht(p) nên ta kết luận p ∈ S/(I1 + I2 )i với i Vì ta có pRp ∈ Rp /(I1 + I2 )ip = Rp /Ipi Vì vậy, theo [8, Hệ quả, trang 38] tính chất bao đóng ngun iđêan giao hốn với địa phương hóa, ta p ∈ R/I k Suy p ∈ Ass(R/IGk ) Vậy Ass(R/IGk ) ⊆ Ass(R/IGk ) Hệ 2.3.7 Cho G đồ thị IG iđêan cạnh Khi IG xoắn tự chuẩn tắc Ass(R/IGi ) = Ass(R/IG ) với i ≥ 40 Chứng minh ⇒) Chiều suy từ ý IG chuẩn tắc, nghĩa IGi = IGi với i ≥ ⇐) Theo Định lý 2.2.14, Ass(R/IG ) ⊆ Ass(R/IGi ) với i ≥ nên ta cần chứng minh Ass(R/IGi ) ⊆ Ass(R/IG ) với i ≥ Giả sử p iđêan nguyên tố liên kết R/IGi N số ổn định IG Khi đó, theo Định lý 2.2.14, p iđêan nguyên tố liên kết R/IGN Vì vậy, theo Định lý 2.3.6, p iđêan nguyên tố liên kết R/IGk với k Do theo giả thiết p iđêan nguyên tố liên kết I Ví dụ tính tốn sử dụng phiên 1.4 Macaulay2 Phiên cho phép sử dụng Normaliz bên Macaulay2 để tính tốn bao đóng ngun iđêan đơn thức chuẩn hóa đại số Rees iđêan đơn thức Ví dụ 2.3.8 tập ổn định Ass(R/I i ) Ass(R/I i ) chúng không thiết đạt lũy thừa Ví dụ 2.3.8 Cho R = Q[x1 , , x9 ] I iđêan cạnh đồ thị Hình 2.18 Chú ý ví dụ tính mà khơng sử dụng Định lý 2.3.6 Hình 2.18: Đồ thị G với iđêan cạnh I không chuẩn tắc Sử dụng Macaulay2 với kết tính [2, Hệ 4.3] số ổn định I lớn tập ổn định Ass(R/I i ) chứa tập ổn định Ass(R/I i ), ta I i = I i , i = 1, 2, 3, I = I + (xa ), I = I + I(xa ), xa = x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 , Ass(R/I i ) = Ass(R/I i ) với i = Ass(R/I ) 41 Ass(R/I ), Ass(R/I) Ass(R/I ) Ass(R/I ) Ass(R/I ) Ass(R/I ) Ass(R/I ) = Ass(R/I i ) với i ≥ 4, Ass(R/I ) = Ass(R/I i ) với i ≥ 42 KẾT LUẬN Luận văn trình bày chứng minh chi tiết kết báo Associated primes of powers of edge ideals J Martinez-Bernal, S Morey R Villarreal Các vấn đề trình bày sau: Trình bày lại số kiến thức tập iđêan nguyên tố liên kết, iđêan đơn thức, đồ thị iđêan cạnh Nhắc lại số tính chất bao đóng ngun Nhắc lại định nghĩa lấy số ví dụ Matching Factor-critical Trình bày lại chứng minh kết thứ báo tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh tạo thành dãy tăng Trình bày lại chứng minh kết thứ hai báo nói iđêan cạnh tập Ass(R/I k ) = Ass(R/I k ) với k đủ lớn 43 Tài liệu tham khảo [1] M Brodmann (1979), "Asymptotic Stability of Ass(M/I n M)", Pro Amer Math Soc., 74, 16-18 [2] J Chen, S Morey and A Sung (2002), "The stable set of associated primes of the ideal of a graph", Rocky Mountain J Math, 32, 71-89 [3] C Huneke and I Swanson (2006), Integral Closure of Ideals, Rings, and Modules, London Math Soc., Lecture Note Series 336 , Cambridge University Press, Cambridge [4] L Lovasz and M D Plummer (1986), Matching theory, Annals of Discrete Mathematics 29, Elsevier Science B.V., Amsterdam [5] S McAdam (1980), Asymptotic prime divisors and analytic spreads , Proc Amer Math Soc (80), 555–559 [6] S McAdam (1983), Asymptotic prime divisors , Lecture Notes in Mathematics 103, Springer-Verlag, New York [7] M Morales and N T Dung, "Irreducible decomposition of powers of edge ideals", preprint [8] H Matsumura (1986), Commutative Ring Theory , Cambridge University Press [9] J Martinez-Bernal, S Morey and R Villarreal (2012), "Associated primes of powers of edge ideals", Collect Math (63) , 361-374 44 [10] W F Moore, M Rogers and S Sather-Wagstaff (2018), Monomial ideals and their decompositions, Springer [11] L J Ratliff, Jr (1984), "On asymptotic prime divisors", Pacific J Math (111), no 2, 395–413 [12] R Y Sharp (1990), Step in Commutative Algebra, Cambridge University Press [13] A Simis, W V Vasconcelos and R H Villarreal (1994), "On the ideal theory of graphs", J Algebra, 167, 389–416 [14] R Villarreal (2001), Monomial Algebras, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 238, Marcel Dekker, Inc., New York [15] Q R Yu and G Liu (2010), Graph Factors and Matching Extensions, Springer 45 ... kiến thức tập iđêan nguyên tố liên kết, iđêan đơn thức, đồ thị iđêan cạnh bao đóng nguyên Chương phần nội dung luận văn, trình bày kết báo [9] iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh Ở chương... IGk Rõ ràng I = IG iđêan cạnh ta có: iđêan ngun tố liên kết I iđêan đơn thức nguyên tố sinh tập tập biến; iđêan nguyên tố liên kết tập Ass(R/I) tương ứng với tập phủ đỉnh tối thiểu đồ thị G;... tìm tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh, nghĩa tập Ass(R/I k ) = {p ⊂ R | p iđêan nguyên tố p = (I k : c) với c ∈ R}, k ≥ Ta biết I iđêan đơn thức vành đa thức R nên iđêan nguyên tố