Iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa iđêan cạnh

Tóm tắt Cho R = k[x1 , , xn ] vành đa thức n biến trường k tùy ý đồ thị Γ tập đỉnh V = {1, , n} Ta liên kết với Γ iđêan I(Γ) := xi xj | {i, j} ∈ Γ vành R gọi I := I(Γ) iđêan cạnh Γ Vấn đề nghiên cứu luận án đặc trưng tập Ass(I t ) thông qua tính chất tổ hợp đồ thị Kết luận án số điều kiện cần đủ (hoàn toàn tổ hợp) để iđêan nguyên tố sinh tập tập biến iđêan nguyên tố liên kết I t Trong trường hợp t = 2, 3, đưa phân loại hoàn toàn dạng iđêan nguyên tố liên kết I t Qua đó, ta mô tả tường minh tập ổn định Ass∞ (I) ước lượng số ổn định astab(I) Các kết sử dụng để nghiên cứu tính giảm hàm depth Luận án chia thành bốn chương Trong Chương 1, giới thiệu số khái niệm kết iđêan đơn thức bão hòa Trong Chương 2, tìm cách mô tả iđêan nguyên tố liên kết nhúng lũy thừa iđêan cạnh Mục đích chương phân loại đồ thị t-bão hòa dạng iđêan nguyên tố nhúng I t với t nhỏ Mục đích chương nghiên cứu tính giảm hàm depth Cụ thể, trả lời câu hỏi: điều kiện depth R/I t = kéo theo depth R/I t+1 = cho trường hợp t = 1, Abstract Let R = k[x1 , , xn ] be a polynomial ring in n variables over a field k Let Γ be a simple graph with vertex set {1, , n} The squarefree monomial ideal I = (xi xj | {i, j} ∈ Γ) ⊂ R is called the edge ideal of Γ The aim of this thesis is to present combinatorial characterizations for the associated primes of the tth power I t for some t To that, we first describe the monomials of the saturation of I t in terms of vertex weighted graphs associated with the monomials This description allows us to characterize the embedded associated primes of I t as covers of which contain certain types of subgraphs of Γ For some small powers of I, we completely classify the associated primes of I t in terms of Γ As an application, we study the decrease of depth function This thesis is divided in four chapters Chapter introduces some concepts, results of monomial ideals and the saturation of those In Chapter 2, we describe the embedded associated primes of powers of edge ideals In Chapter 3, we obtain a complete classification of the t-saturation graphs and the associated primes of I t in terms of Γ for t = 2, 3, Chapter shows when depth R/I t+1 = if depth R/I t = for t = 1, Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả Hà Thị Thu Hiền Lời cám ơn Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình Thầy tôi, GS TSKH Ngô Việt Trung Thầy dạy cho kiến thức, kinh nghiệm nghiên cứu quan tâm giúp đỡ mặt Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng sâu sắc đến Thầy Tác giả xin chân thành cám ơn TS Hà Minh Lam, người giúp đỡ cho tác giả nhiều nghiên cứu đặc biệt đóng góp ý kiến quý báu cho Luận án Tác giả trân trọng cảm ơn Viện Toán học, Trung tâm đào tạo sau đại học phòng chức tạo điều kiện tốt giúp tác giả học tập nghiên cứu Viện Toán học Đặc biệt, tác giả chân thành cảm ơn GS TSKH Lê Tuấn Hoa GS TSKH Nguyễn Tự Cường tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tham gia sinh hoạt khoa học phòng Đại số Viện Toán học Viện nghiên cứu cao cấp Toán Trong trình học tập, tác giả nhận giúp đỡ động viên nghiên cứu viên nghiên cứu sinh phòng Đại số Tác giả xin chân thành cám ơn Cuối tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến đại gia đình mình, người yêu thương mong mỏi tác giả ngày tiến Tác giả Hà Thị Thu Hiền Mục lục Mở đầu Bão 1.1 1.2 1.3 hòa iđêan đơn thức Iđêan đơn thức Đối đồng điều địa phương Iđêan nguyên tố liên kết địa phương hóa 8 12 15 Đặc 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 trưng Emb(I t ) Đồ thị có trọng Đơn thức bão hòa Đồ thị bão hòa Đặc trưng iđêan nguyên tố Đặc trưng tập ổn định 20 20 23 26 35 40 Trường hợp t = 2, 3, 3.1 Trường hợp t = 3.2 Trường hợp t = 3.3 Trường hợp t = 47 47 48 53 tính giảm depth R/I t Điều kiện để depth R/I t = Trường hợp depth R/I = Trường hợp depth R/I = 70 71 76 78 Về 4.1 4.2 4.3 liên kết Kết luận 82 Tài liệu tham khảo 84 Mở đầu Một hướng phát triển gần Đại số giao hoán Đại số giao hoán Tổ hợp Nền tảng cho hình thành phát triển hướng chứng minh Stanley năm 1975 cho giả thuyết chặn (Upper Bound Conjecture) đơn hình cầu Tuy đời gần Đại số giao hoán Tổ hợp phát triển tương đối nhanh đạt thành tựu đáng kể Một số vấn đề Tổ hợp chuyển thành vấn đề Đại số sau ta sử dụng kỹ thuật phương pháp Đại số để đưa lời giải cho toán ban đầu Tương tự, người ta nghiên cứu số cấu trúc đại số phương pháp tổ hợp Mục đích luận án nghiên cứu vấn đề sau Đại số giao hoán Tổ hợp Cho R vành Noether I iđêan R Trong [1] [2], Brodmann tập iđêan nguyên tố liên kết I t ổn định với t đủ lớn, tức tồn số nguyên dương t0 cho Ass(I t ) = Ass(I t0 ) với t ≥ t0 Tập Ass(I t0 ) gọi tập ổn định I ký hiệu Ass∞ (I) Số t0 nhỏ cho điều xảy gọi số ổn định Ass(I t ) ký hiệu astab(I) Vì người ta quan tâm đến vấn đề xác định tập Ass∞ (I) ước lượng giá trị astab(I) Nếu I iđêan tùy ý khó giải vấn đề Do người ta thường tập trung vào iđêan có thêm cấu trúc tổ hợp [5], [7], [8], [10], [11], [23], [29] Ở xét lớp iđêan cạnh đồ thị tìm cách đặc trưng tập Ass(I t ) thông qua tính chất tổ hợp đồ thị Cho đồ thị Γ tập đỉnh V = {1, , n}, ta liên kết với Γ iđêan I(Γ) := xi xj | {i, j} ∈ Γ vành đa thức n biến R := k[x1 , , xn ] trường k tùy ý Ta gọi I(Γ) iđêan cạnh Γ Mọi iđêan nguyên tố liên kết iđêan đơn thức sinh tập tập biến Ta ký hiệu iđêan dạng PF := (xi | i ∈ F ), F ⊆ {1, , n} Đối với lũy thừa iđêan cạnh I F phải phủ đỉnh đồ thị Đặc biệt, iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu ứng với phủ tối tiểu Do ta cần quan tâm tới iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu Để thuận tiện ta gọi iđêan nguyên tố liên kết không tối tiểu I t iđêan nguyên tố nhúng I t ký hiệu Emb(I t ) tập tất iđêan Cho I = I(Γ) iđêan cạnh đồ thị Γ Simis, Vasconcelos Villarreal [25] Emb(I t ) = ∅ với t Γ chu trình lẻ Nếu Γ có chu trình lẻ Chen, S Morey A Sung [5] xây dựng thuật toán xác định iđêan nguyên tố nhúng I t với t đủ lớn Trong [20], Martinez-Bernal, Morey Villarreal Ass(I t ) ⊆ Ass(I t+1 ) với t Gần đây, tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan đơn thức không chứa bình phương nghiên cứu Ha Morey [10], Francisco, Ha A Van Tuyl [9] Tuy nhiên kết áp dụng cho iđêan cạnh đưa mô tả tường minh cho iđêan nguyên tố nhúng I t Với t = 2, Terai Trung [28] đưa đặc trưng tổ hợp cho tập iđêan nguyên tố nhúng Họ PF ∈ Emb(I ) F tối tiểu phủ chứa lân cận đóng tam giác Một kết yếu tìm thấy độc lập hai tác giả Herzog Hibi [12] cho trường hợp PF iđêan cực đại Luận án nghiên cứu vấn đề đặc trưng tổ hợp iđêan nguyên tố liên kết PF ∈ Emb(I t ) với giá trị t ≥ cố định Kết luận án số điều kiện cần đủ (hoàn toàn tổ hợp) để PF ∈ Emb(I t ) Trong trường hợp t = 2, 3, phân loại hoàn toàn dạng iđêan nguyên tố nhúng I t Qua đó, ta mô tả tường minh tập ổn định Ass∞ (I) ước lượng số ổn định astab(I) Các kết sử dụng để nghiên cứu tính giảm hàm depth Sử dụng kỹ thuật địa phương hóa chuyển vấn đề toán m := (x1 , , xn ) ∈ Emb(I t ) Ký hiệu I t bão hòa I t Để giải toán này, ta cần tìm điều kiện cho tồn đơn thức xa ∈ I t \ I t với a = (a1 , , an ) ∈ Nn Ý tưởng biểu diễn đơn thức xa đồ thị có trọng Γa thu từ đồ thị cảm sinh Γ tập đỉnh Va := {i | > 0} cách gán cho đỉnh i ∈ Va trọng Kết thu điều kiện tổ hợp đồ thị có trọng Γa tương đương với điều kiện xa ∈ I t \ I t (Định lý 2.2.4) Từ điều kiện tổ hợp đó, ta đỉnh tập V \ Va kề với đỉnh Va , thành phần liên thông đồ thị cảm sinh Γa chứa chu trình lẻ có độ dài không vượt 2t − Đặc biệt nhận chặn cho bậc đơn thức xa , deg xa ≤ 3(t − 1) (Mệnh đề 2.3.9) Sử dụng mô tả nói đơn thức I t \ I t đặc trưng điều kiện PF ∈ Emb(I t ) thông qua tồn loại đồ thị có trọng gọi t-bão hòa (Định lý 2.4.1) Từ chứng minh PF ∈ Emb(I t ) F tối tiểu số phủ Γ chứa lân cận đóng tập U ⊆ V thỏa mãn điều kiện thành phần liên thông ΓU chứa chu trình lẻ có độ dài không 2t − (Định lý 2.4.2) Tuy nhiên điều kiện điều kiện đủ Với ý tưởng tương tự, đưa điều kiện đủ để PF iđêan nguyên tố nhúng I t (Định lý 2.4.7) Điều kiện phụ thuộc vào tồn loại đồ thị có trọng Γ mà gọi đồ thị t-bão hòa mạnh Hơn chứng tỏ điều kiện cần Định lý 2.4.2 đồng thời điều kiện đủ để PF ∈ Ass∞ (I) (Hệ 2.5.5) Phương pháp đưa đặc trưng đơn giản cho tập Ass∞ (I) chặn tốt cho astab(I) so với kết Chen, Morey Sung [5] (Hệ 2.5.6) Đối với lũy thừa I t với t = 2, 3, 4, đưa phân loại đầy đủ cho đồ thị t-bão hòa Từ dễ dàng nhận lại kết Terai-Trung [28] Herzog-Hibi [12] tập Emb(I ) (Định lí 3.1.1) Với trường hợp t = 3, phân loại iđêan nguyên tố Emb(I ) sau: PF iđêan nguyên tố nhúng I F tối tiểu số phủ Γ chứa lân cận đóng tập đỉnh U thỏa mãn đồ thị cảm sinh ΓU Γ căng dạng: tam giác, hợp cạnh tam giác giao đỉnh, hợp hai tam giác không kề nhau, hợp hai tam giác giao đỉnh, ngũ giác Với trường hợp t = 4, đặc trưng cụ thể 21 dạng đồ thị tương ứng với iđêan nguyên tố liên kết Emb(I ) (Định lý 3.3.5) Cuối cùng, sử dụng kết nhận nghiên cứu tính giảm từ depth R/I t sang depth R/I t+1 Cụ thể, chứng minh Γ không đồ thị hai phần depth R/I = kéo theo depth R/I = (Định lí 4.2.1) Tuy nhiên, khẳng định tương tự với t ≥ không Với t = 2, chứng minh Γ không đồ thị hai phần depth R/I = depth R/I = (Định lý 4.3.1) Mặt khác, depth R/I = Γ không chứa tam giác Γ đồ thị hai phần (Định lí 4.3.3) Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận án chia làm bốn chương Trong Chương 1, giới thiệu số khái niệm kết iđêan đơn thức bão hòa Chương bao gồm ba mục Mục 1.1 giới thiệu khái niệm sử dụng luận án iđêan đơn thức, siêu đồ thị, phức đơn hình mối liên hệ chúng Mục 1.2 giới thiệu khái niệm đối đồng điều địa phương công thức Takayama tính đối đồng điều địa phương iđêan đơn thức theo phức đơn hình Mục 1.3 quy việc xét iđêan nguyên tố liên kết tùy ý việc xét iđêan cực đại Trong Chương 2, tìm cách mô tả iđêan nguyên tố nhúng lũy thừa iđêan cạnh Chương bao gồm năm mục Mục 2.1 Chứng minh Ta có depth Rj /(I t )j = (I t )j = (I t )j Mặt khác từ Nhận xét 4.1.2, tồn véctơ a với Ga = {j} cho Hm1 (R/I t )a = Do depth R/I t ≤ Vì I iđêan cạnh đồ thị đơn đỉnh cô lập nên depth R/I ≥ Ta nhận depth R/I = (i) Ta chứng tỏ depth R/I = Vì Ij = n nên tập đỉnh Γ N [j] Vì Γ không đồ thị hai phần nên tồn cạnh {j1 , j2 } với j1 , j2 ∈ N (j) Ta nhận tam giác thống trị Γ {j, j1 , j2 } Do theo Hệ 3.2.4, depth R/I = (ii) Đối với Ij = n trước hết ta chứng tỏ depth R/I t+3 = Theo Mệnh đề 1.3.4, (I t )j = (I t )j J s = J s J = I(Γc(V \{j}) ) ≤ s ≤ t Rõ ràng c(V \ {j}) = V \ N [j] Ta gọi p iđêan cực đại vành T := k[xi | i ∈ V \ N [j]] Khi J s = J s p ∈ Ass(J s ) điều thứ hai xảy (J s : p) \ J s = ∅ Vì s ≥ nên theo [18, Proposition 1.4] ta chọn đơn thức xa ∈ (J s : p) \ J s thỏa mãn ν(Γa ) = s − ν(Γa−ei ) = ν(Γa ) với i ∈ Va ⊆ (V \ N [j]) Hơn nữa, với đỉnh i ∈ V \ N [j] ta có ν(Γa+ei ) ≥ s > ν(Γa ) Từ đây, ta suy đỉnh tập (V \ N [j]) \ Va kề với đỉnh tập Va Như i ∈ V \ Va i kề với đỉnh Va i kề với j Ta ký hiệu d(j, Va ) độ dài đường dẫn ngắn từ j tới đỉnh Va Dễ thấy d(j, Va ) có hai giá trị Bây ta xét đồ thị phân cực p(Γa ) Γa Theo Bổ đề 2.1.3, ta có ν(p(Γa )) = ν(Γa ) < s Hơn nữa, với i ∈ V r = 1, , ta có đồ thị p(Γa−ei ) p(Γa ) − ir đẳng cấu, ν(p(Γa ) − ir ) = ν(p(Γa−ei )) = ν(Γa−ei ) = ν(Γa ) = s − Ta nhận ν(p(Γa ) − ir ) + = s Chú ý đỉnh p(Γa ) có trọng Theo định nghĩa p(Γa ) s-bão hòa mạnh, Γa s-bão hòa mạnh Ta xét hai trường hợp sau: 72 Trường hợp 1: d(j, Va ) = Khi tồn đỉnh i ∈ V \ Va , i kề với j với đỉnh q ∈ Va Ta đặt b := a + 2ei + eq + ej Theo Bổ đề 2.5.1, Γb (s + 2)-bão hòa mạnh Hơn nữa, đỉnh tập V \ Vb kề với đỉnh tập Vb Vì vậy, theo Định lý 2.4.8, m ∈ Ass(I s+2 ) hay depth R/I s+2 = Trường hợp 2: d(j, Va ) = Khi tồn hai đỉnh i1 , i2 ∈ V \ Va cho i1 kề với hai đỉnh i2 q ∈ Va ; i2 kề với j Ta đặt b := a + 2ei1 + 2ei2 + eq + ej Theo Bổ đề 2.5.1, Γb (s + 3)-bão hòa mạnh đỉnh tập V \ Vb kề với đỉnh tập Vb Vì vậy, theo Định lý 2.4.8, m ∈ Ass(I s+3 ) hay depth R/I s+3 = Vì s ≤ t, depth R/I t+3 = Bây ta chứng tỏ depth R/I t+1 , depth R/I t+2 ≤ Theo lập luận trên, ta có depth Rj /(I t )j = depth T /J s = Vì J iđêan cạnh đồ thị đơn, đỉnh cô lập nên depth T /J s+1 = Do depth Rj /(I t+1 )j = Lại sử dụng Nhận xét 4.1.2, ta suy depth R/I t+1 ≤ Tương tự ta có depth R/I t+2 ≤ Nếu depth R/I t = depth R/I t+1 = = depth R/I t+2 = Tương tự, depth R/I t+1 = depth R/I t+2 = Vậy ≥ depth R/I t ≥ depth R/I t+1 ≥ depth R/I t+2 ≥ depth R/I t+3 = Ví dụ 4.1.4 Đồ thị cho ta thấy q = t + giá trị nhỏ mà độ sâu R/I q triệt tiêu Γ= Hình 4.1 73 Ta có depth Rj /(I )j = với j = 6, depth R/I = depth R/I = = depth R/I = depth R/I Tiếp theo ta xét tính liên thông ∆a (I t ) với véctơ a ∈ Nn có tọa độ < t, i = 1, , n Nếu |Va | ≤ ∆a (I t ) = ∆(I t ) Hơn nữa, dễ thấy ∆(I t ) = ∆(I) với t ≥ Do ngắn gọn, kể từ ta ký hiệu ∆ phức dấu iđêan xét Bây ta miêu tả ∆a (I t ) |Va | = xét tính giảm hàm độ sâu ∆a (I t ) không liên thông Bổ đề 4.1.5 Cho véctơ a = ei + aj ej ≤ , aj ≤ t − (t ≥ 2) ký hiệu st∆ (i) = {F ∈ ∆ | i ∈ F } Khi ∆a (I t ) ∆ st∆ (i) ∪ st∆ (j) Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.4, F mặt cực đại ∆a (I t ) xaF ∈ IFt \ IFt Ta ký hiệu q iđêan cực đại vành T := k[xi | i ∈ V \ F ] Nếu IF = q đơn thức IFt \ IFt chứa ba biến Do từ điều kiện xaF ∈ IFt \ IFt xaF chứa tối đa hai biến ta suy IF = q Từ F ∈ F(∆) Nếu ≤ + aj ≤ t − ta có xaF ∈ IFt \ IFt với F ∈ F(∆) Do ∆a (I t ) = ∆ Nếu + aj ≥ t điều kiện xaF ∈ IFt \ IFt xảy F chứa hai đỉnh i, j Khi ∆a (I t ) = st∆ (i) ∪ st∆ (j) Nếu i không kề với j tồn mặt cực đại ∆ chứa hai đỉnh i, j Từ st∆ (i) ∪ st∆ (j) liên thông Do để st∆ (i) ∪ st∆ (j) không liên thông ta phải có i kề với j Bổ đề 4.1.6 Nếu tồn cạnh {i, j} ∈ Γ cho st∆ (i) ∪ st∆ (j) không liên thông depth R/I = Chứng minh Gọi u đỉnh tùy ý Γ Dễ thấy st∆ (u) chứa tất đỉnh v Γ cho {u, v} mặt ∆ Do đó, với đỉnh tùy ý w ∈ / st∆ (u) ta có {u, w} ∈ / ∆ hay {u, w} ∈ Γ 74 Ta ký hiệu ∆ij := st∆ (i) ∪ st∆ (j) Vi , Vj tương ứng tập đỉnh st∆ (i), st∆ (j) Dễ thấy ∆ij không liên thông có hai thành phần liên thông st∆ (i) st∆ (j) Khi Vi ∩ Vj = ∅ tập đỉnh ∆ij Vi Vj Hơn nữa, đỉnh Vi kề với j đỉnh Vj kề với i Trường hợp 1: V = Vi Vj Vì đỉnh Vi kề với j đỉnh Vj kề với i nên {i, j} tập thống trị Γ Vì Γ không đồ thị hai phần nên tồn cạnh nối hai đỉnh thuộc tập Vi Vj Không tổng quát, ta giả sử {u, v} ∈ Γ u, v ∈ Vi Vì {u, j} {v, j} hai cạnh Γ, ta suy {u, v, j} tam giác Γ Ta nhận tập thống trị Γ gồm tam giác cạnh {i, j} Theo Hệ 3.2.4, ta có depth R/I = Trường hợp 2: V = Vi Vj Gọi u đỉnh tùy ý V \ (Vi Vj ) Ta thấy {u, i} {u, j} hai cạnh Γ Do đó, tương tự trường hợp 1, {i, j} tập thống trị Γ Ta chọn đỉnh cố định q ∈ V \ (Vi Vj ) Khi {i, j, q} tam giác Γ đồng thời đồ thị thống trị Γ Theo Hệ 3.1.2, ta có depth R/I = Do depth R/I = Ví dụ 4.1.7 Đồ thị cho ta trường hợp st∆ (i) ∪ st∆ (j) không liên thông Hình 4.2 Rõ ràng depth R/I = 0, depth R/I = ∆ = {1, 4, 6}, {2, 4, 7}, {2, 5, 7}, {2, 5, 8}, {2, 4, 6, 8}, {3, 5, 7}, {3, 5, 8}, {3, 6, 8} 75 st∆ (1) = {1, 4, 6} , st∆ (5) = {2, 5, 7}, {2, 5, 8}, {3, 5, 7}, {3, 5, 8} Với a = e1 + e5 , ta có ∆a (I ) = st∆ (1) ∪ st∆ (5) không liên thông, depth R/I = 4.2 Trường hợp depth R/I = Với t = 1, Định lý cho ta thấy điều kiện đồ thị Γ chứa chu trình lẻ đủ để suy depth R/I = depth R/I = Không điều lớp iđêan rộng hơn, iđêan cạnh siêu đồ thị Chúng sử dụng số khái niệm [28] Để thuận tiện nêu lại Cho H siêu đồ thị Ký hiệu H(i) siêu đồ thị gồm cạnh F \ {i} F cạnh H Tập đỉnh U ⊆ V gọi 2-bão hòa H U không chứa hai cạnh rời H với i ∈ V U \ {i} chứa hai cạnh rời H(i) Nếu H đồ thị ứng với tập 2-bão hòa ta có đồ thị 2-bão hòa ngược lại Định lý 4.2.1 Cho H siêu đồ thị không đồ thị hai phần, I := I(H) iđêan cạnh H Khi depth R/I = depth R/I = Chứng minh Vì depth R/I = nên Hm1 (R/I) = Do tồn véctơ a ∈ Zn thỏa mãn Hm1 (R/I)a = Nếu a ∈ Nn cho Hm1 (R/I)a = từ Nhận xét 4.1.2 ta có a = Do Hm1 (R/I)0 = ∆0 (I) = ∆ không liên thông Rõ ràng tập đỉnh ∆ tập đỉnh H Hơn không mặt tối tiểu ∆ cạnh H ngược lại Do ∆ không liên thông nên với cặp đỉnh i, j thuộc hai thành phần liên thông khác ta có {i, j} không mặt tối tiểu ∆ Điều dẫn tới H có cạnh hai phần tử nối hai đỉnh hai thành phần liên thông khác ∆ 76 Nếu ∆ có ba thành phần liên thông trở lên H chứa tập 2-bão hòa gồm ba đỉnh tam giác đỉnh thuộc thành phần liên thông Do từ [28, Theorem 2.2] ta có depth R/I = Bây ta xét trường hợp ∆ có hai thành phần liên thông ký hiệu thành phần ∆1 , ∆2 Ta gọi hai tập đỉnh ∆1 , ∆2 tương ứng V1 , V2 Vì H không đồ thị hai phần nên tập đỉnh có nhiều phần tử thành phần liên thông có hai mặt cực đại trở lên Giả sử |V2 | ≥ 2, |F(∆2 )| ≥ F1 , F2 ∈ F(∆2 ) Ta chọn i ∈ V1 , j ∈ F1 \ F2 Vì F2 mặt cực đại ∆ nên F2 phủ tối tiểu H Mặt khác j ∈ / F2 nên F2 ∪ {j} không phủ H Do tồn cạnh e ∈ H cho F2 ∪ {j} ∩ e = ∅ Suy ra, e ⊆ F2 ∪ {j} Hơn |e| ≥ nên U := {i} ∪ e tập 2-bão hòa H Áp dụng [28, Theorem 2.2] ta nhận depth R/I = Nếu a ∈ / Nn cho Hm1 (R/I)a = từ Nhận xét 4.1.2 ta cần xét Ga = {i} với i ∈ V Theo Định lý 1.2.3 ta suy ∆a (I) = {∅} Theo định nghĩa phức bậc, ∆a (I) = {∅} khi: (i) Với t ∈ N : xb xti ∈ / I b = a − ei , (ii) Với j = i tồn t ∈ N∗ cho xb (xi xj )t ∈ I Nếu Vb = ∅ tồn q ∈ Vb , q = i Từ (i) ta có Vb ∪ {i} ∈ ∆ Do xb (xi xq )t ∈ / I với t ∈ N Điều mâu thuẫn với (ii) Do Vb = ∅ hay b = Khi đó, từ (i) (ii) ta suy với j = i {i, j} không mặt tối tiểu ∆ cạnh H Như V (H) = N [i] Nếu H không chứa thêm cạnh H đồ thị hai phần, mâu thuẫn với giả thiết Do có cạnh e H chứa N (i) Bằng cách lấy U := {i} ∪ e ta tập 2-bão hòa H Lại sử dụng [28, Theorem 2.2] ta depth R/I = 77 4.3 Trường hợp depth R/I = Khi ∆a (I t ) không liên thông với a ∈ Nn |Va | ≥ 3, liệu depth R/I t+3 = depth R/I t = Chúng trả lời câu hỏi với t = Cụ thể sử dụng Bổ đề 4.1.3, Bổ đề 4.1.6, [28, Lemma 4.6] Terai, Trung, chứng minh định lý Định lý 4.3.1 Giả sử depth R/I = Khi đó: depth R/I ≥ depth R/I ≥ depth R/I ≥ depth R/I = Chứng minh Từ giả thiết depth R/I = 1, theo Mệnh đề 4.1.1, ta có depth Rj /(I )j = với j ∈ {1, , n} tồn véctơ a ∈ Nn cho ∆a (I ) không liên thông Với trường hợp theo Bổ đề 4.1.3 (i), ta có Ij = n Khi theo Bổ đề 4.1.3 (ii), ta nhận depth R/I ≥ depth R/I ≥ depth R/I ≥ depth R/I = Với trường hợp thứ hai, |Va | ≤ ∆a (I t ) = ∆ Hơn nữa, theo chứng minh Định lý 4.2.1, depth R/I = ∆ không liên thông Do với trường hợp này, véctơ a cần thỏa mãn thêm điều kiện |Va | ≥ Nếu |Va | = theo Bổ đề 4.1.6, ta có depth R/I = Do đó, depth R/I = = depth R/I Ta có điều cần chứng minh Ta xét véctơ a cho |Va | ≥ ∆a (I ) không liên thông Theo [28, Lemma 4.6], ta có a = ei + ej + ek đồ thị cảm sinh ΓVa tam giác Ta ký hiệu tam giác C Theo [28, Lemma 4.7], ta có ∆a (I ) phức cảm sinh ∆ tập đỉnh W := N [C], tức phức gồm mặt ∆ chứa W N [C] phần bù lân cận đóng N [C] C Bây ta xét điều kiện không liên thông ∆a (I ) Ta khẳng định {i, j} cạnh Γ với cặp đỉnh i, j thuộc hai thành phần liên thông khác ∆a (I ) Thật vậy, {i, j} không mặt ∆a (I ) nên theo định nghĩa phức bậc, 78 tồn số nguyên dương l cho ( p∈C xp )(xi xj )l ∈ I Do i, j ∈ / N [C] nên điều xảy {i, j} cạnh Γ Do khẳng định chứng minh Ta gọi m số thành phần liên thông ∆a (I ) xét trường hợp tùy theo m Trường hợp 1: m ≥ Ta ký hiệu C tập gồm ba đỉnh thuộc ba thành phần liên thông khác ∆a (I ) Từ khẳng định ta thấy đồ thị cảm sinh Γ C tam giác Hơn nữa, từ khẳng định ta có C tập thống trị W Do Γ có tập thống trị hợp rời C C Theo Hệ 3.2.4, ta có depth R/I = Tương tự trường hợp |Va | = 2, ta có điều cần chứng minh Trường hợp 2: m = Giả sử V1 , V2 hai tập đỉnh hai thành phần liên thông ∆a (I ) Ta có W = V1 V2 Từ khẳng định ta có đỉnh V1 kề với đỉnh V2 ngược lại Vì W = N [C] Γ liên thông nên tồn cạnh nối đỉnh N (C) \ C với đỉnh W Không tổng quát, ta giả sử {u, v} cạnh vậy, u ∈ N (C) \ C v ∈ V1 Vì u ∈ N (C) \ C nên u kề với đỉnh i ∈ C u ∈ / C Giả sử w đỉnh tùy ý V2 , ta có {v, w} ∈ Γ Vì Γa = C 2-bão hòa mạnh nên theo Bổ đề 2.5.1, hợp C cạnh {i, u}, {u, v}, {v, w} cho ta đồ thị 5-bão hòa mạnh Γ Hơn nữa, đồ thị thống trị Γ Do theo Định lý 2.4.8, m ∈ Ass(I ) Điều tương đương với depth R/I = Ta đặt b = a + ei + ej Rõ ràng Vb = C = Va Với lập luận tương tự trên, ta suy Γb 3-bão hòa mạnh Điều dẫn tới xb := x2i x2j xk ∈ J \ J , J iđêan cạnh đồ thị cảm sinh ΓN [C] Với ký hiệu ∆W phức cảm sinh ∆ tập đỉnh W (= N [Vb ]), ta chứng tỏ ∆b (I ) = ∆W Ta biết mặt cực đại F ∆b (I ) mặt 79 ∆ nên F chứa nhiều đỉnh Vb Hơn theo Bổ đề 1.2.4, ta có xbF ∈ (I )F \ (I )F Nếu F chứa đỉnh l ∈ Vb hai đỉnh lại nằm lân cận F deg xbF = deg(xb : xbl l ) ≥ Do xbF ∈ (I )F , mâu thuẫn Nếu F chứa đỉnh N [Vb ] \ Vb ta nhận mâu thuẫn với xbF ∈ / (I )F Do F ⊆ W Ngược lại, với mặt cực đại F ∆W , ta có xbF = xb Vì xb ∈ J \ J N (F ) ∩ Vb = ∅ nên theo Mệnh đề 1.3.4, xbF ∈ (I )F \ (I )F Do F mặt cực đại ∆b (I ) Ta nhận F(∆b (I )) = F(∆W ), từ ∆b (I ) = ∆W Do ∆W không liên thông nên Hm1 (R/I )b = Vì depth R/I ≤ Tương tự với c = a + 2ei + 2ej ta có Hm1 (R/I )c = depth R/I ≤ Nếu depth R/I = depth R/I = Do ta có điều cần chứng minh Ví dụ 4.3.2 Đồ thị cho ta thấy giá trị nhỏ Định lý 4.3.1 đạt ∆a (I ) không liên thông Γ= Hình 4.3 Với đỉnh j ∈ {1, , 8} ta có depth Rj /(I t )j > Tuy nhiên với a = e1 + e2 + e3 , ta có ∆a (I ) = {5, 7}, {6, 8} không liên thông depth R/I = = depth R/I = depth R/I , depth R/I = Trong phần trên, ta xét điều kiện để depth R/I = Thực tế, từ chứng minh Bổ đề 4.1.6 chứng minh Định lý 4.3.1, ta thu Định lý sau Định lý 4.3.3 Nếu depth R/I = Γ không chứa tam giác Γ đồ thị hai phần 80 Chứng minh Như chứng minh Định lý 4.3.1, depth R/I = kéo theo depth Rj /(I )i = với i ∈ {1, , n} tồn véctơ a ∈ Nn cho |Va | ≥ ∆a (I ) không liên thông Đối với trường hợp đầu tiên, theo Bổ đề 4.1.3, ta có Γ chứa tam giác Γ đồ thị hai phần Đối với trường hợp thứ hai Γ không chứa tam giác nên từ [28, Lemma 4.6], ta có |Va | < Nhưng đó, chứng minh Bổ đề 4.1.6, Γ chứa tam giác Γ đồ thị hai phần 81 Kết luận Tóm lại luận án thu kết sau đây: (1) Đưa số điều kiện cần đủ (hoàn toàn tổ hợp) để iđêan nguyên tố sinh tập tập biến iđêan nguyên tố liên kết I t (2) Đưa phân loại hoàn toàn dạng iđêan nguyên tố liên kết I t với t = 2, 3, (3) Mô tả tường minh tập ổn định Ass∞ (I) ước lượng số ổn định astab(I) (4) Sử dụng kết nghiên cứu tính giảm từ depth R/I t sang depth R/I t+1 với t = 1, 82 Các công trình liên quan đến luận án H.T.T Hien, H.M Lam and N.V Trung, Saturation and associated primes of powers of edge ideals, J Algebra 439 (2015), 225–244 H.T.T Hien, H.M Lam, On the associated primes of the fourth power of edge ideals, Acta Math Vietnam 40 (2015), no 3, 511– 526 H.T.T Hien, H.M Lam and N.V Trung, On the decrease of depth function for powers of edge ideals, preprint Các kết luận án báo cáo Xêmina phòng Đại số - Viện Toán học Hà nội, 1/2015, 4/2016 Xêmina Viện nghiên cứu cao cấp Toán, 4/2016 Hội nghị Nghiên cứu sinh Viện Toán học, 10/2014, 10/2015 Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô, Tuần Châu, 12/2014 83 Tài liệu tham khảo [1] M Brodmann, Asymptotic stability of Ass(M/I n M ), Proc Amer Math Soc 74 (1979), 16–18 [2] M Brodmann, The asymptotic nature of the analytic spread, Math Proc Cambridge Philos Soc 86 (1979), 35–39 [3] M Brodmann and R.Y Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 60, Cambridge University Press, Cambridge, 1998 [4] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 39, Cambridge University Press, Cambridge, 1993 [5] J Chen, S Morey and A Sung, The stable set of associated primes of the ideal of a graph, Rocky Mountain J Math 32 (2002), 71–89 [6] R Diestel, Graph theory, 2nd Edition, Springer: Berlin/Heidelberg/New York/Tokyo, 2000 [7] C Francisco, H.T Ha and A Van Tuyl, A conjecture on critical graphs and connections to the persistence of associated primes, Discrete Math 310 (2010), 2176–2182 [8] C.A Francisco, H.T Ha and A Van Tuyl, Colorings of hypergraphs, perfect graphs, and associated primes of powers of monomial ideals, J Algebra 331 (2011), 224–242 [9] C.A Francisco, H.T Ha and A Van Tuyl, Associated primes of monomial ideals and odd holes in graphs, J Alg Comb 32 (2010), 287–301 84 [10] H.T Ha and S Morey, Embedded associated primes of powers of squarefree monomial ideals, J Pure Appl Algebra 214 (2010), 301– 308 [11] J Herzog and T Hibi, The depth of powers of an ideal, J Algebra 291 (2005), no 2, 534–550 [12] J Herzog and T Hibi, Bounding the socles of powers of squarefree monomial ideals, MSRI Book Series 68 (2015), 223-229 [13] J Herzog, T Hibi and N.V Trung, Symbolic power of monomial ideals and vertex cover algebras, Adv Math 210 (2007), 304-322 [14] J Herzog and A Qureshi, Persistence and stability properties of powers of ideals, J Pure Appl Algebra 219 (2015), no 3, 530-542 [15] H.T.T Hien, H.M Lam, On the associated primes of the fourth power of edge ideals, Acta Math Vietnam 40 (2015), no 3, 511–526 [16] H.T.T Hien, H.M Lam, N.V Trung, Saturation and associated primes of powers of edge ideals, J Algebra 439 (2015), 225–244 [17] H.T.T Hien, H.M Lam and N.V Trung, On the decrease of depth function for powers of edge ideals, preprint [18] H.M Lam, N.V Trung, Associated primes of powers of edge ideals and ear decompositions of graphs, preprint, arXiv:1506.01483, 2015 [19] L Lovasz, M D Plummer, Matching Theory, AMS Chelsea Publishing, 2009 [20] J Martinez-Bernal, S Morey and R Villarreal, Associated primes of powers of edge ideals, Collect Math 63 (2012), 361–374 [21] E Miller and B Sturmfels, Combinatorial commutative algebra, Springer, 2005 85 [22] N C Minh and N V Trung, Cohen-Macaulayness of powers of twodimensional squarefree monomial ideals, J Algebra 322 (2009), 42194227 [23] S Morey, Depth of powers of the edge ideal of a tree, Comm Algebra 38 (2010) 4042–4055 [24] G Rinaldo, N Terai, and K Yoshida, Cohen–Macaulayness for symbolic power ideals of edge ideals, J Algebra 347 (2011), 405–430 [25] A Simis, W Vasconcelos and R Villarreal, On the ideal theory of graphs, J Algebra 167 (1994), no 2, 389–416 [26] R Stanley, Combinatorics and Commutative Algebra, Edition, Birkh¨auser, 1996 [27] Y Takayama, Combinatorial characterizations of generalized CohenMacaulay monomial ideals, Bull Math Soc Sci Math Roumanie (N.S.) 48 (2005), 327–344 [28] N Terai and N.V Trung, On the associated primes and the depth of the second power of squarefree monomial ideals, J Pure Appl Algebra 218 (2014), 1117–1129 [29] T.N Trung, Stability of depth of power of edge ideals, J Algebra 452 (2016), 157–187 86 ... PG B iđêan nguyên tố liên kết IF B PG iđêan nguyên tố liên kết I Ta có điều cần chứng minh 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết địa phương hóa Từ Bổ đề 1.1.1 ta biết iđêan nguyên tố liên kết iđêan cạnh. .. tới iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu Để thuận tiện ta gọi iđêan nguyên tố liên kết không tối tiểu I t iđêan nguyên tố nhúng I t ký hiệu Emb(I t ) tập tất iđêan Cho I = I(Γ) iđêan cạnh đồ thị... đại iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh Mệnh đề 1.3.3 Cho F phủ đồ thị Γ đặt S = k[xi | i ∈ c(F )], J = I(Γc(F ) ) Gọi n iđêan cực đại S Khi PF iđêan nguyên tố liên kết I t n iđêan nguyên