Iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa iđêan cạnh (tt)

Tóm tắt Cho R = k[x1 , , xn ] vành đa thức n biến trường k tùy ý đồ thị Γ tập đỉnh V = {1, , n} Ta liên kết với Γ iđêan I(Γ) := xi xj | {i, j} ∈ Γ vành R Ta gọi I := I(Γ) iđêan cạnh Γ Vấn đề nghiên cứu luận án đặc trưng tập Ass(I t ) thông qua tính chất tổ hợp đồ thị Kết luận án số điều kiện cần đủ (hoàn toàn tổ hợp) để iđêan nguyên tố sinh tập tập biến iđêan nguyên tố liên kết I t Trong trường hợp t = 2, 3, đưa phân loại hoàn toàn dạng iđêan nguyên tố liên kết I t Qua đó, ta mô tả tường minh tập ổn định Ass∞ (I) ước lượng số ổn định astab(I) Các kết sử dụng để nghiên cứu tính giảm hàm depth Luận án chia thành bốn chương Trong Chương 1, giới thiệu số khái niệm kết iđêan đơn thức bão hòa Trong Chương 2, tìm cách mô tả iđêan nguyên tố liên kết nhúng lũy thừa iđêan cạnh Mục đích chương phân loại đồ thị t-bão hòa dạng iđêan nguyên tố nhúng I t với t nhỏ Mục đích chương nghiên cứu tính giảm hàm depth Cụ thể, trả lời câu hỏi: điều kiện depth R/I t = kéo theo depth R/I t+1 = cho trường hợp t = 1, Mở đầu Một hướng phát triển gần Đại số giao hoán Đại số giao hoán Tổ hợp Nền tảng cho hình thành phát triển hướng chứng minh Stanley năm 1975 cho giả thuyết chặn (Upper Bound Conjecture) đơn hình cầu Tuy đời gần Đại số giao hoán Tổ hợp phát triển tương đối nhanh đạt thành tựu đáng kể Một số vấn đề Tổ hợp chuyển thành vấn đề Đại số sau ta sử dụng kỹ thuật phương pháp Đại số để đưa lời giải cho toán ban đầu Tương tự, người ta nghiên cứu số cấu trúc đại số phương pháp tổ hợp Mục đích luận án nghiên cứu vấn đề sau Đại số giao hoán Tổ hợp Cho R vành Noether I iđêan R Năm 1979, Brodmann tập iđêan nguyên tố liên kết I t ổn định với t đủ lớn, tức tồn số nguyên dương t0 cho Ass(I t ) = Ass(I t0 ) với t ≥ t0 Tập Ass(I t0 ) gọi tập ổn định I ký hiệu Ass∞ (I) Số t0 nhỏ cho điều xảy gọi số ổn định Ass(I t ) ký hiệu astab(I) Vì người ta quan tâm đến vấn đề xác định tập Ass∞ (I) ước lượng giá trị astab(I) Nếu I iđêan tùy ý khó giải vấn đề Do người ta thường tập trung vào iđêan có thêm cấu trúc tổ hợp [3], [4], [5], [7] Ở xét lớp iđêan cạnh đồ thị tìm cách đặc trưng tập Ass(I t ) thông qua tính chất tổ hợp đồ thị Cho đồ thị Γ tập đỉnh V = {1, , n}, ta liên kết với Γ iđêan I(Γ) := xi xj | {i, j} ∈ Γ vành đa thức n biến R := k[x1 , , xn ] trường k tùy ý Ta gọi I(Γ) iđêan cạnh Γ Mọi iđêan nguyên tố liên kết iđêan đơn thức sinh tập tập biến Ta ký hiệu iđêan dạng PF := (xi | i ∈ F ), F ⊆ {1, , n} Đối với lũy thừa iđêan cạnh I F phải phủ đỉnh đồ thị Đặc biệt, iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu ứng với phủ tối tiểu Do ta cần quan tâm tới iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu Để thuận tiện ta gọi iđêan nguyên tố liên kết không tối tiểu I t iđêan nguyên tố nhúng I t ký hiệu Emb(I t ) tập tất iđêan Cho I = I(Γ) iđêan cạnh đồ thị Γ Simis, Vasconcelos Villarreal [13] Emb(I t ) = ∅ với t Γ chu trình lẻ Nếu Γ có chu trình lẻ Chen, S Morey A Sung [3] xây dựng thuật toán xác định iđêan nguyên tố nhúng I t với t đủ lớn Trong [12], Martinez-Bernal, Morey Villarreal Ass(I t ) ⊆ Ass(I t+1 ) với t Gần đây, tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan đơn thức không chứa bình phương nghiên cứu Ha Morey [7], Francisco, Ha A Van Tuyl [6] Tuy nhiên kết áp dụng cho iđêan cạnh đưa mô tả tường minh cho iđêan nhúng I t Với t = 2, Terai Trung [15] đưa đặc trưng tổ hợp cho tập iđêan nguyên tố nhúng Họ PF ∈ Emb(I ) F tối tiểu phủ chứa lân cận đóng tam giác Một kết yếu tìm thấy độc lập hai tác giả Herzog Hibi [8] cho trường hợp PF iđêan cực đại Luận án nghiên cứu vấn đề đặc trưng tổ hợp iđêan nguyên tố liên kết PF ∈ Emb(I t ) với giá trị t ≥ cố định Kết luận án số điều kiện cần đủ (hoàn toàn tổ hợp) để PF ∈ Emb(I t ) Trong trường hợp t = 2, 3, phân loại hoàn toàn dạng iđêan nguyên tố nhúng I t Qua đó, ta mô tả tường minh tập ổn định Ass∞ (I) ước lượng số ổn định astab(I) Các kết sử dụng để nghiên cứu tính giảm hàm depth Sử dụng kỹ thuật địa phương hóa chuyển vấn đề toán m := (x1 , , xn ) ∈ Emb(I t ) Ký hiệu I t bão hòa I t Để giải toán này, ta cần tìm điều kiện cho tồn đơn thức xa ∈ I t \ I t với a = (a1 , , an ) ∈ Nn Ý tưởng biểu diễn đơn thức xa đồ thị có trọng Γa thu từ đồ thị cảm sinh Γ tập Va := {i | > 0} cách gán cho đỉnh i ∈ Va trọng Kết thu điều kiện tổ hợp đồ thị có trọng Γa tương đương với điều kiện xa ∈ I t \ I t (Định lý 2.2.4) Từ điều kiện tổ hợp đó, ta đỉnh tập V \ Va kề với đỉnh Va , thành phần liên thông đồ thị cảm sinh Γa chứa chu trình lẻ có độ dài không vượt 2t − Đặc biệt nhận chặn cho bậc đơn thức xa , deg xa ≤ 3(t − 1) (Mệnh đề 2.3.9) Sử dụng mô tả nói đơn thức I t \ I t đặc trưng điều kiện PF ∈ Emb(I t ) thông qua tồn loại đồ thị có trọng gọi t-bão hòa (Định lý 2.4.1) Từ chứng minh PF ∈ Emb(I t ) F tối tiểu số phủ Γ chứa lân cận đóng tập U ⊆ V thỏa mãn điều kiện thành phần liên thông ΓU chứa chu trình lẻ có độ dài không 2t − (Định lý 2.4.2) Tuy nhiên điều kiện điều kiện đủ Với ý tưởng tương tự, đưa điều kiện đủ để PF iđêan nguyên tố nhúng I t (Định lý 2.4.7) Điều kiện phụ thuộc vào tồn loại đồ thị có trọng Γ mà gọi đồ thị t-bão hòa mạnh Hơn chứng tỏ điều kiện cần Định lý 2.4.2 đồng thời điều kiện đủ để PF ∈ Ass∞ (I) (Hệ 2.5.5) Phương pháp đưa đặc trưng đơn giản cho tập Ass∞ (I) chặn tốt cho astab(I) so với kết Chen, Morey Sung (Hệ 2.5.6) Đối với lũy thừa I t với t = 2, 3, 4, đưa phân loại đầy đủ cho đồ thị t-bão hòa Từ dễ dàng nhận lại kết Terai-Trung Herzog-Hibi tập Emb(I ) (Định lí 3.1.1) Với trường hợp t = 3, phân loại iđêan nguyên tố Emb(I ) sau: PF iđêan nguyên tố liên kết nhúng I F tối tiểu số phủ Γ chứa lân cận đóng tập đỉnh U thỏa mãn đồ thị cảm sinh ΓU Γ căng dạng: tam giác, hợp cạnh tam giác giao đỉnh, hợp hai tam giác không kề nhau, hợp hai tam giác giao đỉnh, ngũ giác Với trường hợp t = 4, đặc trưng cụ thể 21 dạng đồ thị tương ứng với iđêan nguyên tố liên kết Emb(I ) (Định lý 3.3.5) Cuối cùng, sử dụng kết nhận nghiên cứu tính giảm từ depth R/I t sang depth R/I t+1 Cụ thể, chứng minh Γ không đồ thị hai phần depth R/I = kéo theo depth R/I = (Định lí 4.2.1) Tuy nhiên, khẳng định tương tự với t ≥ không Với t = 2, chứng minh Γ không đồ thị hai phần depth R/I = depth R/I = (Định lý 4.3.1) Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận án chia làm bốn chương Trong Chương 1, giới thiệu số khái niệm kết iđêan đơn thức bão hòa Chương bao gồm ba mục Mục 1.1 giới thiệu khái niệm sử dụng luận án iđêan đơn thức, siêu đồ thị, phức đơn hình mối liên hệ chúng Mục 1.2 giới thiệu khái niệm đối đồng điều địa phương công thức Takayama tính đối đồng điều địa phương iđêan đơn thức theo phức đơn hình Mục 1.3 quy việc xét iđêan nguyên tố liên kết tùy ý việc xét iđêan cực đại Trong Chương 2, tìm cách mô tả iđêan nguyên tố liên kết nhúng lũy thừa iđêan cạnh Chương bao gồm năm mục Mục 2.1 giới thiệu khái niệm đồ thị có trọng nhằm biểu diễn đơn thức Mục 2.2 đưa tiêu chuẩn tổ hợp cho điều kiện xa ∈ I t \ I t theo Γa Mục 2.3 định nghĩa lớp đồ thị có trọng đặc biệt mà gọi đồ thị t-bão hòa dùng để nghiên cứu điều kiện xa ∈ I t \ I t Mục 2.4 đưa điều kiện cần đủ để PF iđêan nguyên tố liên kết nhúng I t Mục 2.5 đặc trưng tập ổn định Ass∞ (I) đưa chặn cho số ổn định astab(I) Mục đích Chương phân loại đồ thị t-bão hòa dạng iđêan nguyên tố liên kết nhúng I t với t nhỏ Các trường hợp t = 2, 3, chia cho mục 3.1, 3.2, 3.3 Chương nghiên cứu tính giảm hàm depth Mục 4.1 nghiên cứu tính chất trường hợp depth Rj /(I t )j = với j ∈ {1, , n} Mục 4.2 đưa điều kiện đồ thị để depth R/I = depth R/I = Mục 4.3 đưa giá trị q0 = f (t) nhỏ để depth R/I q = với q ≥ q0 trường hợp t = Các kết luận án trình bày hai báo tiền ấn phẩm Hai báo công bố, có đăng tạp chí quốc tế nằm danh mục ISI đăng Acta Mathematica Vietnamica Chương Bão hòa iđêan đơn thức Trong chương giới thiệu số khái niệm kết iđêan đơn thức bão hòa 1.1 Iđêan đơn thức Trong toàn luận án ta xét R := k[x1 , , xn ] vành đa thức n biến trường k tùy ý Iđêan I R gọi iđêan đơn thức I sinh đơn thức R Nếu đơn thức không chứa số mũ bội ta nói I iđêan đơn thức không chứa bình phương Ta biết iđêan đơn thức I Nn -phân bậc Do iđêan nguyên tố liên kết I Nn -phân bậc, iđêan đơn thức sinh biến Nếu I iđêan đơn thức không chứa bình phương I giao iđêan Lớp iđêan đơn thức không chứa bình phương đóng vai trò then chốt Đại số giao hoán Tổ hợp việc nghiên cứu iđêan đơn thức tùy ý đưa việc nghiên cứu iđêan đơn thức không chứa bình phương kỹ thuật phân cực Chúng ta mô tả iđêan đơn thức không chứa bình phương công cụ tổ hợp khác thông qua khái niệm iđêan cạnh siêu đồ thị iđêan Stanley-Reisner phức đơn hình Khi iđêan nguyên tố liên kết I mô tả thông qua khái niệm tổ hợp phủ đỉnh siêu đồ thị mặt cực đại phức đơn hình 1.2 Đối đồng điều địa phương Cho I iđêan đơn thức Do R/I có cấu trúc Nn -phân bậc nên Hmi (R/I) môđun Zn -phân bậc Với phần tử a ∈ Zn , ta ký hiệu Hmi (R/I)a thành phần bậc a Hmi (R/I) Theo Takayama [14], ta mô tả Hmi (R/I)a thông qua phức đơn hình: ∆a (I) := {F \Ga | Ga ⊆ F ⊆ V, xa ∈ / IF }, Ga := {i| < 0}, IF := k[xi | i ∈ V \F ] ∩ IR[x−1 | i ∈ F ] i Phức ∆a (I) gọi phức bậc I ứng với a Theo Terai, Trung [15], ∆a (I) phụ thuộc vào tập iđêan nguyên tố liên kết I 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết địa phương hóa Cho I := I(Γ) iđêan cạnh đồ thị Γ Mỗi iđêan nguyên tố liên kết thừa I t mô tả qua phủ đồ thị Γ Hơn iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu tương ứng 1-1 với phủ tối tiểu Do ta cần miêu tả tổ hợp iđêan nguyên tố liên kết nhúng I t Để làm điều đưa khái niệm lõi tập đỉnh Cho F ⊆ V , ta gọi tập đỉnh F mà không kề với đỉnh tập V \ F lõi F , ký hiệu c(F ) Mệnh đề cho ta thấy lõi phủ F dùng để đặc trưng cho việc PF có iđêan nguyên tố liên kết I t hay không Hơn nữa, toán quy trường hợp iđêan cực đại iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh Mệnh đề 1.3.3 Cho F phủ đồ thị Γ đặt S = k[xi | i ∈ c(F )], J = I(Γc(F ) ) Gọi n iđêan cực đại S Khi PF iđêan nguyên tố liên kết I t n iđêan nguyên tố liên kết J t Chương Đặc trưng Emb(I t) Bão hòa iđêan I iđêan I˜ := ∪m≥1 (I : mm ) Trong chương này, trước hết tìm cách đặc trưng bão hòa lũy thừa iđêan cạnh Cụ thể cho trước đơn thức xa đặc trưng điều kiện xa ∈ I t \ I t công cụ tổ hợp Tiếp theo, tìm cách mô tả iđêan nguyên tố liên kết nhúng I t 2.1 Đồ thị có trọng Cho trước đồ thị Γ tập đỉnh V = {1, , n} Nếu ta gán cho đỉnh i Γ số nguyên dương wi ta gọi cặp Ω := (Γ, w) đồ thị có trọng, w := (w1 , , wn ) Ta gọi Γ đế Ω w véctơ trọng Hai đỉnh gọi kề Ω chúng kề đồ thị đế Chú ý đồ thị Γ thông thường xem đồ thị có trọng cách gán cho đỉnh trọng Ví dụ 2.1.1 Cho Ω đồ thị có trọng với đế hợp tam giác tập đỉnh {1, 2, 3} với cạnh {3, 4} trọng đỉnh theo thứ tự 1, 1, 2, 10 3(2×) Hình 2.1 Đồ thị có trọng Một ghép cặp đồ thị có trọng Ω họ M cạnh Ω không thiết khác cho đỉnh Ω có số lần xuất M không lớn trọng Tương tự với đồ thị thông thường, số cạnh lớn ghép cặp Ω gọi số ghép cặp Ω ký hiệu ν(Ω) 2.2 Đơn thức bão hòa Trong phần xác định đồ thị có trọng tương ứng với véctơ a Đồ thị định nghĩa sau Cho Ω đồ thị có trọng tập đỉnh V Γ đế Ω Với a ∈ Nn ta ký hiệu Va := {i ∈ V | > 0} Gán cho đỉnh i ∈ Va trọng ta thu đồ thị có trọng tập đỉnh Va với đế đồ thị cảm sinh ΓVa Ta ký hiệu đồ thị Γa Bây giờ, việc đơn thức xa nằm lũy thừa I = I(Γ) đặc trưng tổ hợp bổ đề Bổ đề 2.2.1 Cho a véctơ có tọa độ không âm Khi xa ∈ I t ν(Γa ) ≥ t Với đỉnh i ∈ V , ta ký hiệu Na (i) tập đỉnh Γa kề với i đặt dega (i) := aj j∈Na (i) Tương tự Bổ đề 2.2.1, đơn thức xa nằm bão hòa lũy thừa I = I(Γ) đặc trưng qua số ghép cặp đồ thị có trọng thu từ Γa Từ ta nhận tiêu chuẩn tổ hợp mô tả điều kiện xa ∈ I t \ I t 11 Định lý 2.2.4 xa ∈ I t \ I t điều kiện sau thỏa mãn: (i) ν(Γa ) < t, (ii) ν(Γa − Na (i)) ≥ t − dega (i) với i ∈ V Γa −Na (i) đồ thị cảm sinh Γa tập đỉnh Va \Na (i) 2.3 Đồ thị bão hòa Để nghiên cứu điều kiện liên quan đến tính chất nội đồ thị Γa đưa khái niệm khái niệm đồ thị bão hòa, cụ thể sau wj Cho đồ thị có trọng Ω tập đỉnh U Số nguyên dương j∈NΩ (i) gọi bậc đỉnh i ∈ U Ω, ký hiệu degΩ (i) Nếu Ω thỏa mãn điều kiện: (i) ν(Ω) < t, (ii) ν(Ω − NΩ (i)) ≥ t − degΩ (i) với i ∈ U, Ω gọi đồ thị t-bão hòa Ví dụ 2.3.1 Mỗi chu trình lẻ độ dài 2t − mà đỉnh có trọng đồ thị t-bão hòa 2.4 Đặc trưng iđêan nguyên tố liên kết Bằng công cụ tổ hợp, chứng tỏ số tính chất đồ thị t-bão hòa Từ tính chất ta thu điều kiện cần để PF iđêan nguyên tố liên kết nhúng I t Định lý 2.4.2 Cho PF iđêan nguyên tố nhúng I t Khi F tối tiểu số phủ Γ chứa N [U ] với tập U ⊆ V mà thành phần liên thông ΓU chứa chu trình lẻ có độ dài ≤ 2t − Điều kiện không đủ để PF iđêan nguyên tố liên kết nhúng t I Trong phần sau giới thiệu lớp đồ thị mà tồn 12 đồ thị Γ cho ta iđêan nguyên tố nhúng I t Cho Ω đồ thị có trọng tập đỉnh U với véctơ trọng a Ta ký hiệu Ω − i đồ thị cảm sinh Ω tập đỉnh U \ {i} Nếu điều kiện sau thỏa mãn: (i) ν(Ω) < t, (ii) ν(Ω − i) ≥ t − với i ∈ U , Ω gọi đồ thị t-bão hòa mạnh Ví dụ 2.4.4 Hợp t − tam giác giao đỉnh đồ thị t-bão hòa mạnh Điều kiện đủ cho iđêan nguyên tố liên kết nhúng I t tồn đồ thị t-bão hòa mạnh tập V ta xây dựng iđêan Định lý 2.4.7 PF iđêan nguyên tố liên kết nhúng I t F tối tiểu số phủ Γ chứa lân cận đóng N [U ] tập đỉnh U ⊆ V cho tồn đồ thị t-bão hòa mạnh U 2.5 Đặc trưng tập ổn định Một chu trình lẻ có độ dài 2s − hiển nhiên đồ thị s-bão hòa mạnh 2s − đỉnh Vì sử dụng Định lý 2.4.7 Bổ đề kỹ thuật ta xác định giá trị t cho PF iđêan nguyên tố nhúng I t Định lý 2.5.4 Giả sử F tối tiểu số phủ Γ chứa lân cận đóng N [U ] tập đỉnh U ⊆ V thỏa mãn thành phần liên thông ΓU chứa chu trình lẻ Ta gọi m số thành phần liên thông ΓU si số lớn cho thành phần liên thông thứ i ΓU (theo thứ tự đó) có đồ thị si -bão hòa mạnh 2si − đỉnh, i = 1, , m Khi PF iđêan nguyên tố nhúng I t với t ≥ |U | − m i=1 si + Ta biết tập iđêan nguyên tố liên kết I t ký hiệu 13 Ass(I t ) Trong [1], Brodmann tồn số t0 thỏa mãn Ass(I t ) = Ass(I t0 ) với t ≥ t0 Tập Ass(I t0 ) gọi tập ổn định I ký hiệu Ass∞ (I) Trong [3, Theorem 4.1], Chen, Morey Sung đưa thuật toán xác định iđêan nằm tập Ass∞ (I) Γ đồ thị liên thông Tuy nhiên thuật toán đệ quy phức tạp Ở đây, từ Định lý 2.4.2 Định lý 2.5.4 thu mô tả tường minh cho tập Ass∞ (I) Hệ 2.5.5 Cho F phủ Γ Khi PF thuộc Ass∞ (I) F phủ tối tiểu tối tiểu số phủ Γ chứa N [U ] với tập U V thỏa mãn thành phần liên thông đồ thị cảm sinh ΓU chứa chu trình lẻ Số t0 nhỏ cho Ass(I t ) = Ass(I t0 ) với t ≥ t0 gọi số ổn định Ass(I t ) ký hiệu astab(I) Ngoài miêu tả tập Ass∞ (I) Hệ 2.5.5 đưa chặn cho số astab(I) Cho U tập đỉnh cho thành phần liên thông ΓU chứa chu trình lẻ Ta đặt s(U ) := |U | − m i=1 si + m số thành phần liên thông ΓU si số lớn cho thành phần liên thông thứ i ΓU có đồ thị si -bão hòa mạnh 2si − đỉnh Ta gọi s(Γ) số lớn s(U ) (nếu Γ đồ thị hai phần ta đặt s(Γ) = 1), ta có hệ sau Hệ 2.5.6 Cho I iđêan cạnh đồ thị Γ Khi astab(I) ≤ s(Γ) 14 Chương Trường hợp t = 2, 3, Trong chương này, phân loại đồ thị t-bão hòa dạng iđêan nguyên tố liên kết I t với t = 2, 3, Kết chương trình bày báo [9] [10] 3.1 Trường hợp t = Tập iđêan nguyên tố liên kết I miêu tả HerzogHibi [8] Terai-Trung [15] Với phương pháp tổng quát kết suy hệ trực tiếp Định lý 3.1.1 [15, Theorem 3.8] Gọi F phủ Γ Khi PF iđêan nguyên tố liên kết I F phủ tối tiểu tối tiểu số phủ Γ chứa lân cận đóng tam giác 3.2 Trường hợp t = Ta miêu tả cách túy tổ hợp tập iđêan nguyên tố liên kết I nhờ vào miêu tả tất đơn thức xa ∈ I \ I Định lý 3.2.3 Gọi F phủ Γ Khi PF iđêan nguyên tố liên kết I F phủ tối tiểu tối tiểu số 15 phủ Γ chứa lân cận đóng tập đỉnh U mà đồ thị cảm sinh ΓU Γ căng dạng sau: tam giác, hợp cạnh tam giác giao đỉnh, hợp hai tam giác không kề nhau, hợp hai tam giác giao đỉnh, ngũ giác 3.3 Trường hợp t = Trường hợp phức tạp nên trước hết tìm đồ thị 4-bão hòa Sau miêu tả tất đơn thức xa ∈ I \ I Từ nhận miêu tả cách túy tổ hợp iđêan nguyên tố liên kết I sau Định lý 3.3.5 Gọi F phủ Γ Khi PF iđêan nguyên tố liên kết I F phủ tối tiểu tối tiểu số phủ Γ chứa lân cận đóng tập đỉnh U mà đồ thị cảm sinh ΓU Γ căng dạng Bảng 3.4 Dạng Hình Dạng Hình Dạng 15 16 10 17 11 18 12 19 13 20 14 21 Hình + + + + + + Bảng 3.4 Các đồ thị ứng với Ass(I ) 16 Chương Về tính giảm depth R/I t Mục đích chương ứng dụng kết chương trước để nghiên cứu hàm độ sâu Cho I iđêan vành Noether R, M Brodmann [2] depth R/I t ổn định với t đủ lớn Giá trị gọi độ sâu giới hạn ký hiệu lim depth R/I t Đối với iđêan cạnh đồ thị người ta đặt t→∞ giả thuyết depth R/I t ≥ depth R/I t+1 với t ≥ Giả thuyết đến chưa giải Khi đồ thị liên thông có chứa chu trình lẻ lim depth R/I t = Vấn đề t→∞ depth R/I t = kéo theo depth R/I t+1 = 4.1 Điều kiện để depth R/I t = Ta biết depth R/I t số tự nhiên i nhỏ cho Hmi (R/I t ) = Do depth R/I t = Hm0 (R/I t ) = Hm1 (R/I t ) = Điều kiện Hm0 (R/I t ) = m ∈ / Ass(I t ) xét chương Còn điều kiện Hm1 (R/I t ) = Terai Trung nghiên cứu [15, Proposition 1.6] Trong mục này, luận án nghiên cứu tính giảm hàm độ sâu depth Rj /(I t )j = với j ∈ {1, , n}, Rj = k[xi | i = j] Ij = IR[x−1 j ] ∩ Rj 17 Ta ký hiệu n iđêan cực đại Rj Bổ đề 4.1.3 Cho đỉnh j ∈ V số nguyên dương t ≥ cho depth Rj /(I t )j = Khi đó: (i) Nếu Ij = n = depth R/I > depth R/I = 0, (ii) Nếu Ij = n ≥ depth R/I t ≥ depth R/I t+1 ≥ depth R/I t+2 ≥ depth R/I t+3 = Ví dụ 4.1.4 Đồ thị cho ta thấy q = t + giá trị nhỏ mà độ sâu R/I q triệt tiêu Γ= Hình 4.1 Ta có depth Rj /(I )j = với j = 6, depth R/I = depth R/I = = depth R/I = depth R/I 4.2 Trường hợp depth R/I = Với t = 1, Định lý cho ta thấy điều kiện đồ thị Γ chứa chu trình lẻ đủ để suy depth R/I = depth R/I = Không điều lớp iđêan rộng hơn, iđêan cạnh siêu đồ thị Định lý 4.2.1 Cho H siêu đồ thị không đồ thị hai phần, I := I(H) iđêan cạnh H Khi depth R/I = depth R/I = Nếu depth R/I t = với giá trị cố định t ≥ điều kiện Γ liên thông có chứa chu trình lẻ không đủ để depth R/I t+1 = 18 4.3 Trường hợp depth R/I = Khi ∆a (I t ) không liên thông với a ∈ Nn |Va | ≥ 3, liệu depth R/I t+3 = depth R/I t = Chúng trả lời câu hỏi với t = Định lý 4.3.1 Giả sử depth R/I = Khi đó: depth R/I ≥ depth R/I ≥ depth R/I ≥ depth R/I = 19 Các công trình liên quan đến luận án H.T.T Hien, H.M Lam and N.V Trung, Saturation and associated primes of powers of edge ideals, J Algebra 439 (2015), 225–244 H.T.T Hien, H.M Lam, On the associated primes of the fourth power of edge ideals, Acta Math Vietnam 40 (2015), no 3, 511– 526 H.T.T Hien, H.M Lam and N.V Trung, On the decrease of depth function for powers of edge ideals, preprint Các kết luận án báo cáo Xêmina phòng Đại số - Viện Toán học Hà nội, 1/2015, 4/2016 Xêmina Viện nghiên cứu cao cấp Toán, 4/2016 Hội nghị Nghiên cứu sinh Viện Toán học, 10/2014, 10/2015 Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô, Tuần Châu, 12/2014 20 Tài liệu tham khảo [1] M Brodmann, Asymptotic stability of Ass(M/I n M ), Proc Amer Math Soc 74 (1979), 16–18 [2] M Brodmann, The asymptotic nature of the analytic spread, Math Proc Cambridge Philos Soc 86 (1979), 35–39 [3] J Chen, S Morey and A Sung, The stable set of associated primes of the ideal of a graph, Rocky Mountain J Math 32 (2002), 71–89 [4] C Francisco, H.T Ha and A Van Tuyl, A conjecture on critical graphs and connections to the persistence of associated primes, Discrete Math 310 (2010), 2176–2182 [5] C.A Francisco, H.T Ha and A Van Tuyl, Colorings of hypergraphs, perfect graphs, and associated primes of powers of monomial ideals, J Algebra 331 (2011), 224–242 [6] C.A Francisco, H.T Ha and A Van Tuyl, Associated primes of monomial ideals and odd holes in graphs, J Alg Comb 32 (2010), 287–301 [7] H.T Ha and S Morey, Embedded associated primes of powers of squarefree monomial ideals, J Pure Appl Algebra 214 (2010), 301– 308 [8] J Herzog and T Hibi, Bounding the socles of powers of squarefree monomial ideals, MSRI Book Series 68 (2015), 223-229 [9] H.T.T Hien, H.M Lam, On the associated primes of the fourth power of edge ideals, Acta Math Vietnam 40 (2015), no 3, 511–526 [10] H.T.T Hien, H.M Lam, N.V Trung, Saturation and associated primes of powers of edge ideals, J Algebra 439 (2015), 225–244 21 [11] H.T.T Hien, H.M Lam and N.V Trung, On the decrease of depth function for powers of edge ideals, preprint [12] J Martinez-Bernal, S Morey and R Villarreal, Associated primes of powers of edge ideals, Collect Math 63 (2012), 361–374 [13] A Simis, W Vasconcelos and R Villarreal, On the ideal theory of graphs, J Algebra 167 (1994), no 2, 389–416 [14] Y Takayama, Combinatorial characterizations of generalized CohenMacaulay monomial ideals, Bull Math Soc Sci Math Roumanie (N.S.) 48 (2005), 327–344 [15] N Terai and N.V Trung, On the associated primes and the depth of the second power of squarefree monomial ideals, J Pure Appl Algebra 218 (2014), 1117–1129 22 ... tập iđêan nguyên tố liên kết I 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết địa phương hóa Cho I := I(Γ) iđêan cạnh đồ thị Γ Mỗi iđêan nguyên tố liên kết thừa I t mô tả qua phủ đồ thị Γ Hơn iđêan nguyên tố liên. .. tới iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu Để thuận tiện ta gọi iđêan nguyên tố liên kết không tối tiểu I t iđêan nguyên tố nhúng I t ký hiệu Emb(I t ) tập tất iđêan Cho I = I(Γ) iđêan cạnh đồ thị... F dùng để đặc trưng cho việc PF có iđêan nguyên tố liên kết I t hay không Hơn nữa, toán quy trường hợp iđêan cực đại iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh Mệnh đề 1.3.3 Cho F phủ đồ thị