Về iđêan nguyên tố liên kết của một lũy thừa iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ ÁNH NGỌC VỀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA LŨY THỪA MỘT IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 06-2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ ÁNH NGỌC VỀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA LŨY THỪA MỘT IĐÊAN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Hùng Quý HÀ NỘI, 06-2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận án kết nghiên cứu cá nhân Các số liệu tài liệu trích dẫn luận án trung thực Kết nghiên cứu không trùng với công trình công bố trước Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả luận án Nguyễn Thị Ánh Ngọc Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội Trước trình bày nội dung luận văn, xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS Phạm Hùng Quý, thầy người trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo, giúp đỡ động viên suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo phản biện đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Sau Đại Học, quý thầy cô khoa Toán, bạn học viên lớp cao học Toán K25, người tận tình giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ, động viên suốt trình học tập nghiên cứu trường Qua đây, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình, bạn bè động viên khích lệ suốt trình hoàn thành khóa học Mặc dù có nhiều cố gắng kiến thức nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn bè để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả luận án Nguyễn Thị Ánh Ngọc Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn MỞ ĐẦU Phân tích nguyên sơ tập iđêan nguyên tố liên kết 1.1 1.2 1.3 1.4 Vành môđun Noether Iđêan nguyên tố liên kết Phân tích nguyên sơ Phân tích nguyên sơ iđêan đơn thức 10 12 1.5 1.4.1 Phân tích nguyên sơ iđêan đơn thức 1.4.2 Đồ thị hữu hạn iđêan cạnh Vành phân bậc 12 14 17 Tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết 2.1 2.2 Iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan Trường hợp iđêan cạnh 23 23 27 KẾT LUẬN 30 Tài liệu tham khảo 31 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Iđêan nguyên tố liên kết phân tích nguyên sơ kỹ thuật Đại số giao hoán Định lý phân tích nguyên sơ Emmy Noether khẳng định iđêan vành giao hoán Noether phân tích thành giao hữu hạn iđêan nguyên sơ có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết Việc nghiên cứu tập iđêan nguyên tố liên kết iđêan môđun vấn đề thời Năm 1979, Markus Brodmann chứng minh kết kinh điển khẳng định "tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan ổn định" Kết dẫn tới cảm hứng cho nhiều nghiên cứu tính chất lũy thừa iđêan vành Noether độ sâu R/I n hay số quy I n vành phân bậc Định lý Brodmann phát triển tiếp nghiên cứu Swanson tính tuyến tính phân tích nguyên sơ hay làm rõ trường hợp đặc biệt iđêan đơn thức, iđêan cạnh đồ thị Chính ý nghĩa nói Định lý Brodmann, tác giả luận văn đặt mục tiêu trình bày lại chi tiết kết vài kết liên quan Vì vậy, đề tài nghiên cứu luận văn chọn "Về iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan" Định hướng nghiên cứu Trên sở tài liệu có sẵn phần tài liệu tham khảo, tác giả hệ thống lại lý thuyết phân tích nguyên sơ, iđêan nguyên tố liên kết iđêan Trên sở tác giả trình bày lại Định lý Brodmann làm rõ tập ổn định trường hợp iđêan cạnh Phương pháp nghiên cứu Đọc dịch tài liệu liên quan, phân tích, so sánh, tổng hợp nghiên cứu lý thuyết Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương sau: Chương Phân tích nguyên sơ tập iđêan nguyên tố liên kết, trình bày Định lý phân tích nguyên sơ iđêan nguyên tố liên kết Phân tích nguyên sơ iđêan nguyên tố liên kết iđêan mô tả rõ ràng trường hợp iđêan cạnh Chương Tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết, chứng minh lại Định lý Brodmann làm rõ tập ổn định trường hợp iđêan cạnh Chương Phân tích nguyên sơ tập iđêan nguyên tố liên kết Trong chương ta giả sử R vành giao hoán có đơn vị M R-môđun 1.1 Vành môđun Noether Định lý 1.1.1 Cho R vành giao hoán có đơn vị M R-môđun Khi điều kiện sau tương đương: i Mỗi tập khác rỗng môđun M có phần tử cực đại ii Mỗi dãy tăng môđun M : M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · · dừng, nghĩa Mk = Mk+1 với k đủ lớn iii Mỗi môđun M hữu hạn sinh Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · · dãy tăng môđun môđun M , theo điều kiện (i) tập {Mn }n≥0 có phần tử cực đại chẳng hạn Mt , Mk = Mk+1 với k ≥ t (ii) ⇒ (iii) Giả sử ngược lại tồn M môđun N không hữu hạn sinh Khi N tồn dãy vô hạn phần m tử x1 , x2 , , xn , cho Mn = Rxi với j Ta nhận i=1 dãy tăng vô hạn, không dừng M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · · môđun M , mâu thuẫn với (ii) (iii) ⇒ (i) Giả sử S tập khác rỗng môđun M mà phần tử cực đại S Vì S tập khác rỗng, nên ta chọn môđun M0 ∈ S Khi M0 phần tử cực đại S, tồn M1 ∈ S thực chứa M0 Như S phần tử cực đại, tồn dãy tăng vô hạn M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · · , không dừng Mi môđun môđun M Ta có N = i≥0 M , nên N môđun hữu hạn sinh Giả sử x1 , x2 , , xm hệ sinh N Vì dãy môđun tăng, nên tồn k để m x1 , x2 , , xm ∈ Mk Khi Mk = Rxi = N , dãy bị i=1 dừng bắt đầu vị trí thứ k (mâu thuẫn) Định nghĩa 1.1.2 Cho R vành giao hoán có đơn vị Khi Rmôđun M gọi R-môđun Noether thỏa mãn ba điều kiện Định lý 1.1.1 Vành R gọi vành Noether R-môđun Noether Ví dụ 1.1.3 i Mỗi trường, vành vành Noether ii Một không gian vectơ Noether có chiều hữu hạn Mệnh đề cho ta thấy lớp môđun Noether đóng kín với phép lấy môđun con, môđun thương mở rộng Mệnh đề 1.1.4 Cho dãy khớp ngắn R-môđun: −→ N −→ M −→ P −→ Khi M môđun Noether N P môđun Noether Chứng minh Từ dãy khớp ngắn cho, ta coi N môđun M P = M/N , theo nghĩa sai khác đẳng cấu Trước tiên, giả sử M môđun Noether, dãy tăng N dãy tăng M , phải dừng, N Noether Ta thấy dãy tăng P ảnh dãy tăng M qua toàn cấu tắc Vì dãy tăng M dừng, nên dãy tăng P phải dừng Vậy P Noether Ngược lại, giả sử N P môđun Noether Cho M1 môđun M Từ kết biết: Nếu M1 N hai môđun môđun M ta có: (M1 + N )/N ∼ = M1 /(M1 ∩ N ) môđun P = M/N Vì P Noether, nên M1 /M1 ∩ N hữu hạn sinh Mặt khác, M1 ∩ N hữu hạn sinh N Noether Từ suy M1 môđun hữu hạn sinh Vậy M môđun Noether Hệ 1.1.5 Tổng trực tiếp họ hữu hạn R-môđun Noether R-môđun Noether Hệ 1.1.6 Mỗi R-môđun hữu hạn sinh vành Noether R R-môđun Noether Ngược lại ta có kết sau Mệnh đề 1.1.7 Cho M R-môđun Noether Khi R/Ann(M ) vành Noether Chứng minh Vì M R-môđun Noether nên hữu hạn sinh Giả sử M sinh x1 , , xt Xét ánh xạ đồng cấu t ϕ : R −→ Mi i=1 a −→ (ax1 , , axt ) 1.5 Vành phân bậc Trong phần ta xét iđêan nguyên tố liên kết trường hợp vành N-phân bậc Định nghĩa 1.5.1 Một vành giao hoán có đơn vị R gọi vành N-phân bậc, tồn họ nhóm cộng giao hoán {Ri }i∈N R thỏa mãn điều kiện sau: i R = Ri i∈N ii Ri Rj ⊂ Ri+j với i, j ∈ N Người ta thường gọi Ri thành phần bậc i R Nhận xét 1.5.2 Cho vành N-phân bậc: R = Ri Khi i∈N đối tượng nhất: i Mỗi phần tử x ∈ Ri gọi phần tử bậc i kí hiệu bậc x deg(x) = i Quy ước: Phần tử coi phần tử bậc tùy ý ii Một iđêan I R gọi iđêan phân bậc hay iđêan I = (I ∩ Ri ) i∈N Định nghĩa 1.5.3 Cho R = Ri vành N-phân bậc Một i∈N R-môđun M gọi R-môđun N-phân bậc tồn họ {Mj }j∈Z nhóm cộng M thỏa mãn điều kiện sau: i M = Mj j∈Z ii Ri Mj ⊂ Mi+j với i ∈ N, j ∈ Z Người ta thường gọi Mj thành phần bậc j M 17 Nhận xét 1.5.4 Cho vành R = Ri M = i∈N Mj R-môđun j∈Z phân bậc Khi đó: i M họ {Mj }j∈Z R0 -môđun ii Phần tử x ∈ Mj gọi phần tử bậc j kí hiệu: deg(x) = j Quy ước: Phần tử coi phần tử bậc tùy ý iii Một R - môđun N M gọi môđun phân bậc hay môđun nhất, N = (N ∩ Mj ) j∈Z Cho vành N-phân bậc R = Rn , kí hiệu R+ = n≥0 Rn Khi n∈N R+ iđêan R R/R+ ∼ = R0 Ta có đặc trưng tính Noether vành phân bậc sau Định lý 1.5.5 Cho R = Rn vành N-phân bậc Khi n∈N mệnh đề sau tương đương: i Mọi iđêan phân bậc R hữu hạn sinh ii R vành Noether iii R0 vành Noether R R0 -đại số hữu hạn sinh Chứng minh (iii) ⇒ (ii) Vì R R0 -đại số hữu hạn sinh nên R = R0 [x1 , , xn ] R0 Noether Ta thấy R ảnh đồng cấu vành đa thức n biến R0 : A = R0 [X1 , , Xn ] Bởi Định lý Hilbert, A vành Noether, R Noether (ii) ⇒ (i) Hiển nhiên (i) ⇒ (iii) Ta có R+ = Rn iđêan R Vì R vành n>0 Noether nên R0 ∼ = R/R+ vành Noether 18 Đặt R = R0 [x1 , , xn ] R0 -đại số sinh x1 , x2 , , xn , (x1 , x2 , , xn ) hệ sinh R+ Khi R vành R Ta chứng minh R = R cách Rn ⊆ R , với n ≥ phương pháp quy nạp theo n Nếu n = R0 ⊂ R (điều đúng) Giả sử n > Rd ⊆ R với d ≤ n−1 Ta chứng minh Rn ⊆ R Lấy y ∈ An , y ∈ R+ Do y biểu n diễn thành tổ hợp tuyến tính xi tức y = xi i=1 ∈ R với i = 1, 2, , n Vì y có bậc n nên giả thiết có bậc degai = n − di Tức ∈ Rn−di Vì di > nên n − di < n Theo giả thiết quy nạp ∈ Rn−di ⊂ R Vì y ∈ R Suy y ∈ R, nên Rn ⊆ R vói n ≥ Vậy R = R R0 -đại số hữu hạn sinh Mệnh đề 1.5.6 Cho R = Rn vành N-phân bậc, P n∈N iđêan R Khi hai mệnh đề sau tương đương: i P iđêan nguyên tố ii Với a, b phần tử R ab ∈ P , a ∈ I b ∈ P Chứng minh (i) ⇒ (ii) : Hiển nhiên (ii) ⇒ (i) : Giả sử ab ∈ P b ∈ P Giả sử a biểu diễn thành tổng phần tử nhất: a = ae + ae+1 + + ad với aj ∈ Rj ae = Vì b ∈ P , nên b = b + c, b ∈ P , c = br + br+1 + + bs với tất bj ∈ Rj \ I Như ta ac = ae br + (ae+1 br + ae br+1 ) + + ad bs ∈ P Bởi P iđêan nhất, nên ta có   ae br ∈ P     a b +a b e+1 r e r+1 ∈ P     a b ∈P d s 19 Vì br ∈ P giả thiết P , nên từ ae br ∈ P ta suy ae ∈ P Kết hợp kết vừa thu với ae+1 br + ae br+1 ∈ P , ta suy ae+1 br ∈ P Lại giả thiết P br ∈ P , nên ae+1 ∈ P Tiếp tục trình ta thu tất aj ∈ P Do a ∈ P Vậy P iđêan nguyên tố Định nghĩa 1.5.7 Cho I iđêan vành phân bậc R= Rn Kí hiệu I ∗ iđêan cực đại chứa I n∈N ∗ Tức I iđêan sinh phần tử I Bổ đề 1.5.8 Cho R = Rn vành phân bậc Khi n∈N ∗ P iđêan nguyên tố P iđêan nguyên tố Chứng minh Giả sử a b phần tử R ab ∈ P ∗ Khi đương nhiên ab ∈ P Bởi P nguyên tố, nên a ∈ P b ∈ P Vì P ∗ iđêan sinh tập tất phần tử P nên a ∈ P ∗ b ∈ P ∗ Do theo mệnh đề 1.5.6, ta có P ∗ iđêan nguyên tố Kết sau cho ta tính chất iđêan nguyên tố liên kết môđun phân bậc Mệnh đề 1.5.9 Cho R vành phân bậc Noether M R-môđun phân bậc Khi iđêan nguyên tố liên kết M iđêan phân bậc Hơn nữa, với P ∈ AssR M ta tìm phần tử x ∈ M cho P = :M x Mệnh đề 1.5.10 Cho R = Rn vành Noether phân bậc n≥0 M R-môđun phân bậc Cho p ∈ AssR0 Mn , tồn P ∈ AssR M cho p = P R0 Chứng minh Vì p ∈ AssR0 Mn nên tồn = m ∈ Mn cho p = :Mn m Vì m phần tử nên I = :M m 20 iđêan R I ∩ R0 = p Hơn nữa, đặt R+ = Ri , ta có I + R+ = p + R+ Do i>0 pR ⊆ I ⊆ p + R+ Xét môđun phân bậc Rm M , ta có AnnR Rm = I Chú ý R/p+R+ ∼ = R0 /p miền nguyên nên p + R+ iđêan nguyên tố R Theo mệnh đề 1.2.8 ta có iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu P Rm cho I ⊆ P ⊆ p + R+ Do ta có P ∈ AssR M , P ∩ R0 = p Mệnh đề chứng minh Định lý đóng vai trò quan trọng chứng minh tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan Định lý 1.5.11 Cho R = Rn vành Noether N-phân bậc n≥0 R0 sinh phần tử bậc Cho M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi tồn số m cho với n ≥ m ta có AssR0 Mn = AssR0 Mm Chứng minh Ta có M Noether nên AssR M tập hữu hạn Do theo mệnh đề 1.5.10, ta có AssR0 Mn tập hữu hạn Ta cần chứng minh với p ∈ Spec(R0 ), tồn N cho với n ≥ N p ∈ AssR0 Mn p ∈ AssR0 MN Thật vậy, xét p ∈ Spec(R0 ), không tính tổng quát coi R0 vành địa phương với p iđêan tối đại Giả sử tồn i ≥ cho (0 :M p) ⊆ (0 :M R1i ) Xét N bậc cao phần tử hệ sinh tối tiểu :M p đặt N = N + i Nếu có n ≥ N p ∈ AssR0 Mn , viết p = (0 :R0 b), với b ∈ Mn Nên b ∈ :Mn p ⊆ :M p nên b ∈ Rn−N (0 :M p) Mặt khác ta có Rn−N = R1n−N , R R0 -đại số sinh phần tử bậc Hơn nữa, :M p ⊆ :M R1i , nên b ∈ Rn−N (0 :M p) ⊆ R1n−N (0 :M R1i ) = n−N ≥ i Điều mâu thuẫn với điều kiện b = Vậy p ∈ AssR0 Mn với n ≥ N 21 Bây giả sử với i ≥ 0, (0 :M p) ⊆ (0 :M R1i ) Do tính Noether M nên có số nguyên i cho :M R1n ⊆ :M R1i với n ≥ Xét m ∈ M phần tử cho pm = R1i m = Khi với n ta có R1n m = Đặt N = deg(m) Ta có n−deg(m) p = (0 :R0 R1 m), với n ≥ N Vậy p ∈ AssR0 Mn , vói n ≥ N 22 Chương Tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết 2.1 Iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan Định nghĩa 2.1.1 Cho R vành Noether, I iđêan R Khi đó, ta định nghĩa đại số Rees I R[It] = I n tn vành n phân bậc liên kết I grR (I) = (I /I n+1 n≥0 n )t , t n≥0 biến R Không khó để kiểm tra R[It] grR (I) vành N-phân bậc Chú ý 2.1.2 Vì R Noether nên I = (a1 , , an ) Ta dễ thấy R[It] = R[a1 t, , an t] đại số hữu hạn sinh R Do đó, R[It] vành phân bậc Noether Tương tự, xét = +I ∈ I/I với i = 1, 2, , n, ta có grR (I) = R/I[a1 t, , an t] Nên grR (I) vành phân bậc Noether Hơn nữa, ta coi grR (I) vành thương R[It] modulo iđêan phân bậc I n+1 tn n≥0 23 Áp dụng Định lý 1.5.11 cho vành phân bậc Noether grR (I), ta có kết đẹp sau Mệnh đề 2.1.3 Cho R vành Noether I iđêan R Khi tồn số nguyên k cho với n ≥ k, ta có AssR (I n /I n+1 ) = AssR (I k /I k+1 ) Dưới ta chứng minh kết kinh điển Brodmann tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan Định lý 2.1.4 Cho R vành Noether, I iđêan Khi tồn m cho với n ≥ m: AssR (R/I n ) = AssR (R/I m ) Chứng minh Với n, xét dãy khớp ngắn sau: −→ In I n+1 −→ R I n+1 −→ R −→ In Theo Mệnh đề 1.2.5, ta có AssR (I n /I n+1 ) ⊆ AssR (R/I n+1 ) ⊆ AssR (R/I n ) ∪ AssR (I n /I n+1 ) Theo Mệnh đề 2.1.3, tồn k cho với n ≥ k AssR (I n /I n+1 ) = AssR (I k /I k+1 ) Nên với n ≥ k, ta có AssR (I k /I k+1 ) ⊆ AssR (R/I n+1 ) ⊆ AssR (R/I n ) ∪ AssR (I k /I k+1 ).( ) AssR (R/I n ) tập hữu hạn Giả sử p ∈ Ta có n AssR (R/I n ) n Ta xét hai trường hợp sau Trường hợp : p ∈ AssR (R/I n ) với vô hạn n Ta chứng minh p ∈ AssR (R/I n ), với n ≥ k + Thật vậy, giả sử có n0 để p ∈ AssR (R/I n0 ) với n0 > k Chọn n1 giá trị nhỏ cho 24 n1 > n0 p ∈ AssR (R/I n1 ) Nên p ∈ AssR (R/I n1 −1 ) Từ ( ) ta có p ∈ (I n1 −1 /I n1 ), với n1 − ≥ k suy p ∈ AssR (I n /I n+1 ), với n ≥ k Nên p ∈ AssR (I n0 −1 /I n0 ) ⊆ AssR (R/I n0 ), vô lý Vậy p ∈ AssR (R/I n ) với n > k + Trường hợp : p ∈ AssR (R/I n ) với hữu hạn n Khi đó, ta đặt kp = max{n | p ∈ AssR (R/I n )} Chú ý rằng, ta có hữu hạn kp với n ≥ kp + ta có p ∈ AssR (R/I n ) Xét m = max{k + 1, kp + 1} Từ hai trường hợp ta có AssR (R/I n ) = AssR (R/I m ) với n ≥ m Định lý chứng minh Từ Mệnh đề 2.1.3 Định lý 2.1.4, ta có hai tập iđêan nguyên tố đặc biệt sau Định nghĩa 2.1.5 Cho I iđêan vành Noether R Khi ta có hai tập hợp A(I), B(I) ⊆ Spec(R) thỏa mãn A(I) = AssR (R/I n ) B(I) = AssR (I n /I n+1 ) với n Hiển nhiên, ta có B(I) ⊆ A(I) Ví dụ sau cho ta thấy hai tập hợp A(I) B(I) phân biệt Ví dụ 2.1.6 Xét R = k[X, Y, Z]/(X , XY, XZ) = k[x, y, z] I = (y) Ta có R/I n ∼ = k[X, Y, Z]/(X , XY, Y n , XZ) Phân tích nguyên sơ (X , XY, Y n , XZ) (X , XY, Y n , XZ) = (X, Y ) ∩ (X , Y, Z) Nên AssR (R/I n ) = {(x, y), (x, y, z)} 25 với n ≥ Vậy A(I) = {(x, y), (x, y, z)} Chú ý rằng, = N1 ∩ · · · ∩ Ns phân tích nguyên sơ môđun 0M M N môđun M ta có 0N = (N1 ∩ N ) ∩ · · · ∩ (Ns ∩ N ) phân tích nguyên sơ môđun 0N N Với n ≥ I n /I n+1 ∼ = (X , XY, Y n , XZ)/(X , XY, Y n+1 , XZ) Ta có (X, Y n+1 ) ∩ (X , XY, Y n , XZ) = (X , XY, XZ, Y n+1 ) (X , Y, Z) ∩ (X , XY, Y n , XZ) = (X , XY, Y n , XZ) Cho nên I n+1 môđun nguyên sơ I n Ta có AssR (I n /I n+1 ) = {(x, y)} với n ≥ Vậy B(I) = {(x, y)} = A(I) Trong phần lại này, xét điều kiện đủ để A(I) = B(I) Bổ đề 2.1.7 Cho I iđêan vành Noether R Giả sử, I chứa phần tử không ước R Khi đó, tồn số nguyên n0 cho với n ≥ n0 , ta có I n+1 : I = I n Chứng minh Cho S = grI (R) = R/I ⊕ I/I ⊕ I /I ⊕ · · · Khi S vành Noether N-phân bậc Iđêan :S I/I iđêan hữu hạn sinh, bậc cao số nguyên l Khi với n > l, (0 :S I/I ) ∩ I n /I n+1 = Suy với n > l, (I n+1 : I) ∩ I l = I n Cho phần tử r không ước I Khi với n, I n : I ⊆ I n : r Theo bổ để Artin-Rees, tồn số nguyên k cho với n ≥ k, I n ∩ (r) = I n−k (I k ∩ (r)) ⊆ rI n−k Vì I n ∩ (r)n = r(I n : r) r không ước Với n ≥ k, I n : r ⊆ I n−k Hiển nhiên với n > k + l, I n+1 : I ⊆ I n+1 : r ⊆ I n+1−k ⊆ I l Từ đó, ta có I n+1 : I = (I n+1 : I) ∩ I l = I n 26 Mệnh đề 2.1.8 Cho I iđêan vành Noether R Giả sử, I chứa phần tử không ước R Khi A(I) = B(I) Chứng minh Do B(I) ⊆ A(I) nên ta cần chứng minh, p ∈ A(I) có p ∈ B(I) Thật vậy, theo Mệnh đề 2.1.3, Định lý 2.1.4 Bổ đề 2.1.7, tồn số nguyên n0 cho với n ≥ n0 , ta có AssR (R/I n+1 ) = A(I) AssR (I n /I n+1 ) = B(I) I n+1 : I = I n Vì p ∈ AssR (R/I n+1 ) ta có phần tử x ∈ I n+1 cho I n+1 : x = p Do đó, x ∈ I n+1 : p Mặt khác, I ⊆ p nên x ∈ I n+1 : I = I n Theo định nghĩa iđêan nguyên tố liên kết, ta có p ∈ AssR (I n /I n+1 ) Mệnh đề chứng minh Chú ý 2.1.9 Với iđêan I tùy ý vành Noether R, ta chứng minh đẳng thức sau A(I) = B(I) {p | p ∈ AssR I ⊆ p} 2.2 Trường hợp iđêan cạnh Trong mục này, ta nghiên cứu iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh Khi I iđêan cạnh đồ thị G, Martinez-Bernal, Morey Villarred[4] chứng minh kết mịn Bổ đề 2.1.7 sau Bổ đề 2.2.1 Cho I iđêan cạnh đồ thị G Khi với n ≥ ta có I n+1 : I = I n Bổ đề 2.2.2 Cho I J hai iđêan vành Noether R Khi AssR (R/I : J) ⊆ AssR (R/I) 27 Chứng minh Vì J iđêan hữu hạn sinh nên J = (a1 , , as ) Xét đồng cấu s ϕ : R/I −→ R/I i=1 r −→ (a1 r, , as r) Ta có ker(ϕ) = I : J/I Vậy ta có đơn cấu s ϕ : R/I : J −→ (R/I) i=1 Theo Mệnh đề 1.2.5, ta có AssR (R/I : J) ⊆ AssR (R/I) Định lý 2.2.3 Với I iđêan cạnh đồ thị G Khi đó, ta có AssR (R/I) ⊆ AssR (R/I ) ⊆ AssR (R/I ) ⊆ · · · ⊆ · · · Tính chất không I iđêan đơn thức Ví dụ 2.2.4 Cho R = K[X, Y, U, V ] I = (X , X Y, X Y U, XY , Y ) ∩ (V, X ) Khi đó, ta có AssR (R/I) = {(X, Y ), (X, Y, U ), (V, X)} AssR (R/I ) = {(X, Y ), (V, X), (X, Y, U, V )} Định nghĩa 2.2.5 Một đồ thị G gọi phân đôi ta chia tập đỉnh đồ thị thành hai phần trái phải, cho cạnh đồ thị nối đỉnh bên trái với đỉnh bên phải Ví dụ 2.2.6 Đồ thị vòng C4 phân đôi Trong đồ thị C3 C5 đồ thị phân đôi Chú ý 2.2.7 Một đồ thị phân không chứa đồ thị Cn với n lẻ Trong trường hợp iđêan cạnh đồ thị phân đôi, có kết đẹp sau 28 Định lý 2.2.8 Nếu I iđêan cạnh đồ thị G Khi G đồ thị phân AssR (R/I n ) = AssR (R/I) với n ≥ Ví dụ 2.2.9 Cho I = (xy, yz, zx) iđêan đồ thị C3 Ta có I = (x2 y , y z , z x2 , xy z, x2 yz, xyz ) Khi đó, ta có AssR (R/I) = {(x, y), (y, z), (z, x)} AssR (R/I ) = {(x, y), (y, z), (z, x), (x, y, z)} Từ Định lý 2.2.3, ta có AssR (R/I n ) = {(x, y), (y, z), (z, x), (x, y, z)}, với n ≥ Ví dụ 2.2.10 Cho I = (ab, bc, cd, da) iđêan đồ thị C4 Ta có I = (a2 b2 , b2 c2 , c2 d2 , d2 a2 , ab2 c, acbd, a2 bd, bc2 d, abcd, acd2 ) Khi đó, ta có AssR (R/I) = {(a, c), (b, d)} AssR (R/I ) = {(a, c), (b, d)} Theo Định lý 2.2.8, ta có AssR (R/I n ) = {(a, c), (b, d)}, với n ≥ Chú ý 2.2.11 Cho I ⊆ k[X1 , , Xn ] iđêan cạnh đồ thị n đỉnh liên thông không phân đôi đỉnh cô lập G Khi ta có (X1 , , Xn ) ∈ A(I), A(I) tập iđêan nguyên tố liên kết ổn định I n , n 29 KẾT LUẬN Trong luận văn này, thu số kết sau: • Trình bày Định lý phân tích nguyên sơ iđêan nguyên tố liên kết Phân tích nguyên sơ iđêan nguyên tố liên kết trường hợp iđêan cạnh • Phần trọng tâm luận văn chứng minh lại Định lý Brodmann đưa số ví dụ để làm rõ tập ổn định trường hợp iđêan cạnh 30 Tài liệu tham khảo [1] D.Q Việt, "Lý thuyết chiều",NXB ĐHSP HN, 2015 [2] M Brodmann, Asymptotic stability of M/I n M , Proceedings of the American Mathematical Society,74(1979), 16–18 [3] W Bruns, J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, Cambridge, 1998 [4] J Martinez-Bernal, Y.Pitones, R.H Villarreal, Associated primes of powers of edge ideals, Collectanea Mathematica,(2012), 1–14 [5] A Simis, WV Vasconcelos, RH Villarreal, On the ideal theory of graphs, Journal of Algebra 167(1994), 389–416 [6] I Swanson, Primary decompositions, Lecture notes, 42 pages, 2006 31 ... kết M Một iđêan nguyên tố liên kết M nhỏ theo nghĩa bao hàm gọi iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu M Tập iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu M kí hiệu minAssR M Iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu... Các thành phần nguyên sơ xuất phân tích nguyên sơ N M tương ứng với iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu iđêan nguyên tố liên kết nhúng gọi thành phần nguyên sơ tối tiểu thành phần nguyên sơ nhúng... tập iđêan nguyên tố liên kết 2.1 Iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan Định nghĩa 2.1.1 Cho R vành Noether, I iđêan R Khi đó, ta định nghĩa đại số Rees I R[It] = I n tn vành n phân bậc liên kết