(Luận văn) tính chất minimax cho môđun mở rộng của môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– lu an NGUYỄN THỊ ÁNH n va p ie gh tn to TÍNH CHẤT MINIMAX CHO MƠĐUN MỞ RỘNG CỦA nl w d oa MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG oi lm ul nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2019 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ ÁNH lu an n va tn to TÍNH CHẤT MINIMAX CHO MƠĐUN MỞ RỘNG CỦA p ie gh MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG nl w Ngành: Đại số lý thuyết số d oa Mã số: 46 01 04 nf va an lu oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z Cán hướng dẫn khoa học: @ m co l gm PGS.TS Nguyễn Văn Hoàng an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2019 ac th i si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc lu Thái Nguyên, ngày 16 tháng 04 năm 2019 Tác giả an n va tn to p ie gh Nguyễn Thị Ánh d oa nl w lu Xác nhận cán hướng dẫn khoa học oi lm ul nf va an Xác nhận trưởng khoa chuyên môn z at nh z m co l gm @ an Lu n va ii ac th i si lu an n va p ie gh tn to Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành vào tháng 04/2018 hướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Hồng Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy, học quý giá từ trang giấy học sống thầy dạy giúp tự tin trưởng thành nhiều Tôi xin cảm ơn Phòng Đào Tạo - Đại học Sư Phạm Thái ngun tạo điều kiện để tơi hồn thành sớm khóa học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới tất thầy cô Đại học Thái Nguyên thầy Viện toán với giảng đầy nhiệt thành tâm huyết, xin cảm ơn thầy cô quan tâm giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, tạo điều kiện cho tham gia buổi seminar lớp học ngồi chương trình Tơi xin cảm ơn tất anh, em bạn bè động viên giúp đỡ tơi nhiệt tình q trình học làm luận văn Tôi xin gửi cảm ơn tới tất thành viên gia đình tạo điều kiện cho tơi học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th iiiii si Mục lục Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii lu an Chương Kiến thức chuẩn bị n va Mở đầu ie gh tn to 1.1 Môđun Noether môđun Artin p 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết nl w 1.3 Môđun Ext môđun Tor d oa 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 10 va an lu 1.5 Phức Koszul, đồng điều đối đồng điều Koszul ul nf Chương Tính chất minimax cho mơđun mở rộng môđun 12 oi lm đối đồng điều địa phương 2.1 Điều kiện cho tính chất minimax mơđun 13 z at nh 18 2.3 Nguyên lý đổi vành sở cho tính chất a-minimax 22 28 z 2.2 Tính chất a-minimax mơđun Ext Tor l gm @ Kết luận m co Tài liệu tham khảo 29 an Lu n va ac th iiiiv si Mở đầu Năm 1986, H Zoschinger (trong [6], [7]) giới thiệu lớp môđun minimax thú vị: Một R-môđun M gọi minimax tồn môđun hữu hạn sinh N M cho M/N R-môđun Artin; [6], ông đưa số điều kiện tương đương với tính chất minimax Các khái niệm môđun a-minimax môđun a-cominimax đưa R Naghipour lu an đồng nghiệp báo [1] khái quát hóa môđun minimax va n môđun a-cofinite Một R-môđun M a-minimax chiều Goldie a-tương gh tn to quan môđun thương M hữu hạn Nhắc lại R-môđun M gọi có chiều Goldie hữu hạn (Gdim M ≤ ∞) M không chứa p ie tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không M , hay nói cách oa nl w khác, bao nội xạ E(M ) M phân tích thành tổng trực tiếp d hữu hạn môđun không phân tích Ngồi ra, R-mơđun M lu va an coi có chiều Goldie a-tương quan hữu hạn chiều Goldie môđun a-xoắn Γa (M ) hữu hạn Ta biết M mơđun a-xoắn, ul nf oi lm M a-minimax M minimax Ngoài ra, ta nói Rmơđun M a-cominimax giá M chứa V (a) ExtiR (R/a, M ) z at nh môđun a-minimax với i ≥ Năm 2015, M Sedghi-L Abdi (trong z báo [10]) chứng minh ExtiR (R/a, M ) a-minimax với @ gm i ≥ M/an M a-minimax với n ≥ Và nhiều áp dụng kết m co l nghiên cứu đưa Một số chứng minh tương đương tính a-minimax R-mơđun ExtiR (R/a, M ), TorR i (R/a, M ) an Lu H i (x1 , , xt ; M ) với i ≥ với x1 , , xt hệ sinh iđêan a Sử n va dụng kết đó, họ b ⊇ a cho M b-minimax ac th si cd(b, M ) = 1, R-mơđun ExtjR (L, Hai (M )) b-minimax với i ≥ j ≥ (trong L R-mơđun hữu hạn sinh có giá nằm V (b)) Do Hai (M )/bn Hai (M ) b-minimax với i ≥ n ≥ Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày chứng minh chi tiết lại kết báo [10] M Sedghi and L Abdi (2015), Minimaxness properties of extension functors of local cohomology modules, Inter Electronic J of Albegra, Vol 17, 94-104; phần báo [1] Azami J., Naghipour R and Vakili B (2009), Finiteness properties of local cohomology modules for lu an a - minimax modules, Proc Amer Math Soc 137, 439-448 Các nói va n môđun minimax iđêan cho trước Luận văn có bố cục gồm hai gh tn to chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị cần thiết tập Ass, p ie tập Supp, môđun Ext, Tor, môđun đối đồng điều địa phương, phức Koszul w Chương dành để trình bày kết luận văn tính chất minimax oa nl cho môđun mở rộng môđun đối đồng điều địa phương Cụ thể, Mục 2.1 d trình bày số khái niệm minimax, cominimax, chiều Goldie, chiều Goldie lu va an tương quan, sau trình bày số bổ đề phụ trợ dẫn đến kết ul nf mục điều kiện cho tính chất minimax môđun (xem Định lý 2.1.9) oi lm Mục 2.2 dành để trình bày áp dụng hiệu định lý mục trước, cụ thể ta chứng minh chi tiết Định lý 2.2.1 tương đương z at nh khảo sát tính chất a-minimax môđun ExtiR (R/a, M ), Tor(R/a, M ) z môđun đối đồng điều Koszul H i (x1 , , xt ; M ) với i ≥ Tiếp đến ta @ l gm trình bày kết mở rộng cho kết vừa nêu, cụ thể ta thu Định lý 2.2.2 Mục cuối trình bày kết nghiên cứu thay đổi m co tính chất a-cominimax môđun ta chuyển vành sở, cụ thể ta chứng an Lu minh chi tiết nguyên lý chuyển vành sở tính chất minimax (xem n va Định lý 2.3.2) Sau ta trình bày nhiều hệ áp dụng tính chất ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu an va n Ở chương ta giả thiết R vành giao hốn Noether có đơn vị Môđun Noether môđun Artin nl w 1.1 p ie gh tn to Các kiến thức chương trình bày dựa vào sách [9], [2], [12] d oa Môđun Noether lớp môđun Đại số va an lu giao hoán Sau ta nhắc lại định nghĩa số tính chất ul nf Bổ đề 1.1.1 Cho R vành giao hoán M R-mơđun Khi oi lm mệnh đề sau tương đương z at nh i) (Điều kiện hữu hạn sinh) Mọi môđun M hữu hạn sinh ii) (Điều kiện dãy tăng) Nếu N1 ⊆ N2 ⊆ N3 ⊆ ⊆ Ni ⊆ dãy z gm @ môđun M , tồn n ≥ cho Ni = Nn với i ≥ n; m co l iii) (Điều kiện tối đại) Mọi tập khác rỗng mơđun M có phần tử tối đại an Lu Định nghĩa 1.1.2 Một R-môđun M thỏa mãn điều kiện tương n va đương Bổ đề 1.1.1 gọi môđun Noether Một vành giao hoán R gọi ac th si vành Noether R-mơđun Noether Mệnh đề 1.1.3 i) Cho dãy khớp ngắn R-môđun → M → M → M ” → Khi M R-mơđun Noether M M ” R-môđun Noether ii) Mỗi R-môđun hữu hạn sinh vành Noether R R-môđun Noether lu iii) Nếu M R-mơđun Noether S tập đóng nhân R an n va S −1 M S −1 R-môđun Noether tn to Tiếp theo ta xét khái niệm mơđun Artin khái niệm đối ngẫu p ie gh môđun Noether w Bổ đề 1.1.4 Cho M R-mơđun Khi mệnh đề sau tương đương: oa nl i) (Điều kiện dãy giảm) Nếu N1 ⊇ N2 ⊇ N3 ⊇ ⊇ Ni ⊇ dãy d mơđun M , tồn n ≥ cho Ni = Nn với i ≥ n; an lu oi lm ul phần tử cực tiểu nf va ii) (Điều kiện cực tiểu) Mọi tập khác rỗng môđun M có Định nghĩa 1.1.5 Một R-mơđun M thỏa mãn điều kiện tương z at nh đương Bổ đề 1.1.4 gọi môđun Artin Một vành giao hốn R gọi vành Artin R-môđun Artin z @ l gm Ta xét số tính chất mơđun Artin m co Mệnh đề 1.1.6 i) Cho dãy khớp ngắn R-môđun an Lu → M → M → M ” → n va Khi M R-mơđun Artin M M ” R-môđun Artin ac th si ii) Mỗi R-môđun hữu hạn sinh vành Artin R R-môđun Artin iii) Mỗi iđêan nguyên tố vành Artin R iđêan cực đại 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 1.2.1 Cho M R-môđun p ∈ Spec R Khi p gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn 6= x ∈ M cho (0 :R x) = p Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu lu an Ass M AssR M va n Cho a iđêan R, ta kí hiệu V (a) tập xác định tn to p ie gh V (a) = {p ∈ Spec R | a ⊆ p} nl w Sau vài tính chất tập Ass d oa Mệnh đề 1.2.2 Cho M R-môđun, N môđun M , p ∈ Spec R, an lu a iđêan R Khi ta có ul nf va i) Ass(0 :M a) = Ass M ∩ V (a) oi lm ii) Ass N ⊆ Ass M ⊆ Ass N ∪ Ass M/N z at nh iii) p ∈ Ass M R/ p đẳng cấu với mơđun M Định nghĩa 1.2.3 Cho M R-môđun Tập giá M , kí hiệu z gm @ SuppR M Supp M , xác định m co l SuppR M = {p ∈ Spec R | Mp 6= 0} Mệnh đề 1.2.4 i) Cho dãy khớp môđun → M → M → M ” → Khi an Lu Supp M = Supp M ∪ Supp M ” n va ac th si Theo [1, Hệ 2.4] giả thiết quy nạp, ta có (M/an−1 M )k a-minimax, với số nguyên k ≥ Xét dãy khớp f g (M/an−1 M )t → − M/an M → − M/aM → 0, a = (a1 , , at ) f (m1 + an−1 M, , mt + an−1 M ) = a1 m1 + + at mt + an M Do đó, áp dụng giả thiết quy nạp Bổ đề 2.1.6, ta suy M/an M R-môđun a-minimax lu an n va Tiếp theo ta trình bày kết mục tn to Định lý 2.1.9 Cho M R-môđun cho ExtiR (R/a, M ) R- p ie gh mơđun a-minimax với i ≥ Khi M/an M a-minimax với n ≥ w Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.8, ta cần M/aM a-minimax d oa nl Cho a = (x1 , , xn ) Khi đó, ta biết an lu M/aM ' H n (x1 , , xn ; M ), nf va H n (x1 , , xn ; M ) kí hiệu cho môđun đối đồng điều Koszul thứ n oi lm ul Ta xét đối phức Koszul K • (x, M ) = HomR (K• (x), M ) sau: → HomR (K0 (x), M ) → HomR (K1 (x), M ) → → HomR (Kn (x), M ) → z at nh z gm @ K• (x) : → Kn (x) → → K2 (x) → K1 (x) → K0 (x) → l phức Koszul R ứng với dãy x = x1 , , xn Khi H i (x1 , , xn ; M ) = m co Z i /B i B i Z i kí hiệu cho mơđun đối bờ đối xích an Lu phức K • (x, M ) Đặt n va C = {N | ExtiR (R/a, N ) a-minimax với i ≥ 0} ac th 16 si Rõ ràng ta có M ∈ C theo giả thiết Bằng quy nạp ta B j ∈ C với j ≥ Ta có B = Im(0 → HomR (K0 (x), M )) = ∈ C Bây giờ, cho B t ∈ C với t ≥ Đặt C i = HomR (Ki (x), M )/B i Vì Kt (x) R-mơđun tự hữu hạn sinh M ∈ C , nên ta suy từ Bổ đề 2.1.6 HomR (Kt (x), M ) ∈ C Bây giờ, B t ∈ C HomR (Kt (x), M ) ∈ C , nên ta có C t ∈ C theo Bổ đề 2.1.6 Do ExtiR (R/a, C t ) a-minimax với lu i ≥ 0; đặc biệt với i = ta suy (0 :C t a) ∼ = HomR (R/a, C t ) a-minimax an n va Theo tính chất phức Koszul ta có aH t (x1 , , xn ; M ) = 0, to gh tn H t (x1 , , xn ; M ) ⊆ (0 :C t a) p ie Do H t (x1 , , xn ; M ) a-minimax Kết là, từ dãy khớp ngắn oa nl w → H t (x1 , , xn ; M ) → C t → B t+1 → d Bổ đề 2.1.6, ta suy B t+1 ∈ C Do ta chứng minh lu va an B j ∈ C với j ≥ ul nf Bây B n ∈ C HomR (Kn (x), M ) ∈ C , nên C n ∈ C oi lm theo Bổ đề 2.1.6 Do (0 :C n a) ∼ = HomR (R/a, C n ) = Ext0R (R/a, C n ) z at nh a−minimax Vì H n (x1 , , xn ; M ) a-minimax theo Bổ đề 2.1.6 (lưu ý H n (x1 , , xn ; M ) ⊆ (0 :C n a)) Mặt khác, M/aM = H n (x1 , , xn ; M ), z gm @ nên ta suy M/aM R-môđun a-minimax m co l Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm môđun cominimax iđêan định nghĩa R Naghipour đồng nghiệp báo [1], an Lu tổng qt hóa mơđun minimax mơđun cofinite n va Định nghĩa 2.1.10 Cho a iđêan vành giao hoán Noether R, ac th 17 si cho M R-mơđun Ta nói M R-môđun a-cominimax SuppR M ⊆ V (a) ExtiR (R/a, M ) a-minimax với i ≥ Chú ý 2.1.11 Nếu dim R = 0, R-mơđun a-cominimax M aminimax Thật vậy, Supp M ⊆ V (a) R Artin, nên ta suy M = (0 :M an ), M a-minimax theo Bổ đề 2.1.7 Trường hợp tổng quát, ta có kết sau Hệ 2.1.12 Cho M R-mơđun a-cominimax Khi M/an M lu an a-minimax với n ≥ va n Chứng minh Khẳng định suy từ định nghĩa Định lý 2.1.9 tn to gh Hệ 2.1.13 Cho a iđêan R, M R-môđun cho p ie Hai (M ) a-cominimax với i Khi M/an M a-minimax với n ≥ nl w Chứng minh Vì Hai (M ) a-cominimax với i, nên theo [1, Mệnh đề 3.7] d oa ta có R-mơđun ExtiR (R/a, M ) a-minimax với mọii Do kết hệ lu Tính chất a-minimax môđun Ext Tor oi lm 2.2 ul nf va an suy từ áp dụng Định lý 2.1.9 z at nh Như áp dụng hiệu Định lý 2.1.9 mục trước, mục ta chứng minh kết tương đương tính chất a-minimax z gm @ i R-môđun ExtiR (R/a, M ), TorR i (R/a, M ) H (x1 , , xt ; M ), với i ≥ 0; m co l cụ thể định lý sau Định lý 2.2.1 Cho a = (x1 , , xt ) iđêan R, cho M an Lu R-môđun Khi khẳng định sau tương đương: n va i) ExtiR (R/a, M ) R-môđun a-minimax với i ≥ ac th 18 si ii) TorR i (R/a, M ) R-môđun a-minimax với i ≥ iii) Các môđun đối đồng điều Koszul H i (x1 , , xt ; M ) R-môđun a-minimax với i ≥ Chứng minh (i)⇒(ii) Cho d d d F• : − → F2 − → F1 − → F0 → R/a → dải tự gồm R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun R/a Ta xét phức sau đây: lu an d∗ d∗ d∗ d∗ n va F• ⊗R M : − → F2 ⊗R M − → F1 ⊗R M − → F0 ⊗R M − → tn to ∗ ∼ Khi TorR i (R/a) = Zi /Bi Zi = Ker(di ) mơđun xích, Bi = p ie gh Im(d∗i+1 ) mơđun bờ phức F• ⊗R M Đặt w C = {N | ExtiR (R/a, N ) a − minimax với i ≥ 0} oa nl Bằng quy nạp ta chứng minh Zj ∈ C với j ≥ Vì d M ∈ C (theo giả thiết) F0 R-mơđun tự hữu hạn sinh, nên ta có lu va an Z0 = F0 ⊗R M ∈ C Bây giả sử Zt ∈ C với t ≥ Xét dãy khớp sau → Ci+1 → Zi → TorR i (R/a) → 0, oi lm ul nf (2.1) Ci = (Fi ⊗R M )/Zi Do ta nhận dãy khớp z at nh Zi /aZi → TorR i (R/a, M ) → z Do TorR t (R/a, M ) ảnh đồng cấu Zt /aZt Vì Zt ∈ C , nên từ Định lý @ l gm 2.1.9 ta suy Zt /aZt a-minimax, TorR t (R/a, M ) a-minimax Do từ (2.1) ta suy Ct+1 ∈ C , Ct+1 ∈ C Theo quy nạp ta m co chứng minh Zj ∈ C với j ≥ Từ áp dụng Định lý 2.1.9 an Lu ta suy Zi /aZi a-minimax với i ≥ 0, TorR i (R/a, M ) n va a-minimax với i ≥ ac th 19 si (ii)⇒(iii) Vì H i (x1 , , xt ; M ) ' Hn−i (x1 , , xt ; M ), nên để chứng minh kết (iii), ta cần Hi (x1 , , xt ; M ) a-minimax với i ≥ Đặt x = x1 , , xn Xét dãy phức Koszul dn−1 d dn−1 d d n K• (x) : → Kn (x) −→ Kn−1 (x) −−→ −−→ K1 (x) − → K0 (x) − → Khi Hi (x1 , , xt ; M ) = Zi0 /Bi0 , với Bi0 Zi0 mơđun bờ xích phức K• (x) ⊗R M Đặt lu an C = {N | ToriR (R/a, N ) a-minimax với i ≥ 0} va n Xét dãy khớp sau to gh tn 0 → Ci+1 → Zi0 → Hi (x1 , , xt ; M ) → 0, p ie với Ci0 = (Ki (x) ⊗R M )/Zi0 Do ta nhận dãy khớp oa nl w Zi0 /aZi0 → Hi (x1 , , xt ; M ) → d Bây lập luận tương tự chứng minh (i)⇒(ii), ta suy Zi0 ∈ C với lu va an i ≥ Do Zi0 /aZi0 = TorR (R/a, Zi ) a-minimax với i ≥ 0, ul nf Hi (x1 , , xt ; M ) a-minimax với i ≥ oi lm (iii)⇒(i) Cho z at nh F• : → F2 → F1 → F0 → R/a → dải tự gồm R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun R/a Khi z ta suy ExtiR (R/a, M ) = Z i /B i , với B i Z i môđun đối bờ l gm @ đối xích phức HomR (F• , M ) Đặt m co C 00 = {N | H i (x1 , , xt ; N ) a-minimax với i ≥ 0} an Lu Xét dãy khớp ngắn n va → ExtiR (R/a, M ) → C i → B i+1 → 0, ac th 20 si với C i = HomR (Fi , M )/B i Thì theo chứng minh Định lý 2.1.9, ta có B i ∈ C 00 với i ≥ Do C i ∈ C 00 với i ≥ Bây giờ, ExtiR (R/a, M ) ⊆ (0 :C i a) ∼ = H (x1 , , xt ; C i ) = HomR (R/a, C i ) ∼ H (x1 , , xt ; C i ) a-minimax, nên ta thấy ExtiR (R/a, M ) aminimax với i ≥ Định lý sau mở rộng Định lý 2.1.9 lu Định lý 2.2.2 Cho M R-môđun cho ExtiR (R/a, M ) R- an môđun a-minimax với i ≥ Khi với R-mơđun hữu hạn sinh L va n có SuppR (L) ⊆ V (a), ta ln có ExtiR (L, M ) TorR i (L, M ) R-môđun ie gh tn to a-minimax với i ≥ √ p Chứng minh Vì V (AnnR L) ⊆ V (a), nên AnnR L ⊇ √ a ⊇ a; tồn nl w n ∈ N cho aL = Do an ExtiR (L, M ) = an TorR i (L, M ) = với d oa i ≥ Cho an lu F• : → F → F → F → L → nf va giải tự gồm R-môđun hữu hạn sinh cho R-mơđun L Khi oi lm ul ExtiR (L, M ) = Z i /B i , với B i Z i môđun đối bờ đối xích phức HomR (F• , M ) Đặt z at nh C = {N | ExtiR (R/a, N ) a-minimax với i ≥ 0}, z gm @ xét dãy khớp ngắn m co l → ExtiR (L, M ) → C i → B i+1 → 0, với C i = HomR (Fi , M )/B i Khi theo chứng minh Định lý 2.1.9 Bổ an Lu đề 2.1.7, ta có B i ∈ C với i ≥ (Chú ý ExtiR (L, M ) ⊆ (0 :C i an )) n va Do C i ∈ C với i ≥ Vì (0 :C i a) a-minimax với i ≥ 0, ac th 21 si từ kết hợp với Bổ đề 2.1.7 ta suy (0 :C i an ) a-minimax với i ≥ n ≥ Bây ExtiR (L, M ) ⊆ (0 :C i an ), suy ExtiR (L, M ) a-minimax với i ≥ Ta có TorR i (L, M ) = Zi /Bi , với Bi Zi mơđun bờ xích phức F• ⊗R M Đặt C = {N | TorR i (R/a, N ) a-minimax với i ≥ 0} Theo Định lý 2.2.1 giả thiết, ta có M ∈ C Xét dãy khớp sau lu an → Ci+1 → Zi → TorR i (L, M ) → 0, n va tn to với Ci = (Fi ⊗R M/Zi ) Vì an TorR i (L, M ) = với i ≥ 0, nên ta có dãy gh khớp p ie Zi /an Zi → TorR i (L, M ) → nl w Bây giờ, ta sử dụng lập luận chứng minh Định lý 2.2.1 phần d oa ((i)⇒(ii)) áp dụng Bổ đề 2.1.8, ta thu Zi ∈ C với i ≥ an lu Do đó, từ Bổ đề 2.1.8, ta có Zi /an Zi a-minimax với i ≥ 0, 2.3 oi lm ul nf va TorR i (L, M ) a-minimax với i ≥ Nguyên lý đổi vành sở cho tính chất a-minimax z at nh Mục trình bày nguyên lý thay đổi vành sở tính chất z gm @ a-cominimax, trước hết ta cần thiết lập bổ đề sau m co l Bổ đề 2.3.1 Cho vành giao hoán T ảnh đồng cấu R, cho M T -mơđun Khi GdimaT M = Gdima M Đặc biệt, M T -môđun an Lu aT -minimax M R-môđun a-minimax n va ac th 22 si Chứng minh Giả sử T = R/I với iđêan I R Khi AssT M ∩ V (aT ) = {p/I | p ∈ AssR M ∩ V (a)} Mặt khác, với p ∈ AssR M ∩ V (a) ta có HomTp (k(p), Mp ) ∼ = HomRp (k(p), Mp ) k(p)-khơng gian véc tơ, p = p/I k(p) = Rp /pRp Do µ0 (p, M ) = µ0 (p/I, M ) điều hồn thành chứng minh lu Bây ta sẵn sàng để phát biểu chứng minh nguyên lý chuyển an vành sở cho tính chất cominimax mơđun n va tn to Định lý 2.3.2 Cho vành T ảnh đồng cấu R, cho M gh T -mơđun Khi M T -môđun aT -cominimax M p ie R-mơđun a-cominimax có d oa nl w Chứng minh Giả sử T = R/I với iđêan I R Khi ta va an lu SuppT M = {p/I | p ∈ SuppR M } nf Do SuppT M ⊆ V (aT ) SuppR M ⊆ V (a) Cho a = oi lm ul (x1 , , xt ) lấy ϕ : R → T tồn cấu tự nhiên Vì aT = (ϕ(x1 ), , ϕ(xt )), nên từ Định lý 2.2.1 ta suy ExtiT (T /aT, M ) T -môđun z at nh aT -minimax với i môđun đối đồng điều Koszul z H i (ϕ(x1 ), , ϕ(xt ); M ) T -môđun aT -minimax với i Nhưng, theo @ gm Bổ đề 2.3.1, ta có H i (ϕ(x1 ), , ϕ(xt ); M ) aT -minimax m co l H i (ϕ(x1 ), , ϕ(xt ); M ) a-minimax Bây kết suy từ đẳng cấu an Lu H i (ϕ(x1 ), , ϕ(xt ); M ) ∼ = H i (x1 , , xt ; M ) n va Định lý 2.2.1 ac th 23 si Định lý 2.3.3 Cho f : M → N R-đồng cấu cho ExtiR (R/a, Ker f ) ExtiR (R/a, Coker f ) R-môđun a-minimax với i ≥ Khi Ker ExtiR (idR/a , f ) Coker ExtiR (idR/a , f ) R-môđun a-minimax với i ≥ Chứng minh Các dãy khớp g ι → Ker f → M → − Im f → → Im f → − → N → Coker f → 0, lu (với ι ◦ g = f ) cho ta hai dãy khớp sau an n va → ExtiR (R/a, Ker f ) → ExtiR (R/a, M ) → ExtiR (R/a, Im f ) → (2.2) gh tn to p ie → ExtiR (R/a, Im f ) → ExtiR (R/a, N ) → ExtiR (R/a, Coker f ) → w (2.3) oa nl Bây Exti+1 R (R/a, Ker f ) a-minimax, nên từ dãy khớp (2.2) ta suy d Coker ExtiR (idR/a , g) Ker Exti+1 R (id R/a, g) a-minimax với lu va an i ≥ Ngoài ra, ExtiR (R/a, Coker f ) a-minimax, nên từ dãy khớp oi lm a-minimax với i ≥ ul nf (2.3) ta suy R-môđun Coker ExtiR (idR/a , ι) Ker Exti+1 R (idR/a , ι) z at nh Bây điều khẳng định định lý suy từ dãy khớp sau z → Ker ExtiR (idR/a , g) → Ker ExtiR (idR/a , f ) → Ker ExtiR (idR/a , ι) @ l gm m co Coker ExtiR (idR/a , g) → Coker ExtiR (idR/a , f ) → Coker ExtiR (idR/a , ι) → an Lu n va ac th 24 si Hệ 2.3.4 Cho M R-môđun với SuppR M ⊆ V (a) Giả sử x ∈ a cho (0 :M x) M/xM a-cominimax Khi M a-cominimax Chứng minh Đặt f = x1M Thì Ker f = (0 :M x) Coker f = M/xM Do theo Định lý 2.3.3, ta có R-môđun Ker ExtiR (1R/a , f ) a-minimax Bây giờ, ExtiR (1R/a , f ) = nên ta có Ker ExtiR (1R/a , f ) = ExtiR (R/a, M ) Hệ chứng minh lu an Hệ 2.3.5 Cho M R-môđun Giả sử x ∈ √ a cho (0 :M x) n va M/xM a-minimax Khi ExtiR (R/a, ΓRx (M )) a-minimax gh tn to với i ≥ có p ie Chứng minh Ta có xn ∈ a với số n Đặt f = xn 1ΓRx (M ) Khi ta oa nl w Ker f = (0 :ΓRx (M ) xn ) = (0 :M xn ), d Coker f = Γx (M )/xn Γx (M ) Bây giờ, từ dãy khớp ul nf va an lu → Coker f → M/xn M, oi lm Bổ đề 2.1.8 ta suy M/xn M a-minimax Do vậy, Coker f z ExtiR (1R/a , f ) = 0, nên z at nh a-minimax Vì theo [1, Hệ 2.5] Định lý 2.3.3, ta thu √ Ker ExtiR (1R/a , f ) a-minimax Nhưng x ∈ a kéo theo gm @ Ker ExtiR (1R/a , f ) = ExtiR (R/a, ΓRx (M )), m co l chứng minh hoàn thành an Lu Hệ 2.3.6 Cho M R-mơđun có SuppR M ⊆ V (a) Giả sử x ∈ √ a n va cho (0 :M x) M/xM a-minimax Khi M a-cominimax ac th 25 si Chứng minh Kết suy từ Hệ 2.3.5 Trước làm rõ kết tiếp theo, ta cần nhắc lại rằng, với Rmôđun M , chiều đối đồng điều M iđêean a định nghĩa cd(a, M ) = sup{i ∈ Z | Hai (M ) 6= 0} Bổ đề 2.3.7 Cho cd(a, R) = 1, cho M R-môđun a-minimax Khi Hai (M ) a-cominimax với i ≥ lu an Chứng minh Vì Ha0 (M ) môđun M , nên ta suy Ha0 (M ) a- va n cominimax Ngồi ra, cd(a, R) = kéo theo Hai (M ) = với i > Do gh tn to đó, kết suy từ [1, Hệ 3.9] p ie Bổ đề 2.3.8 Cho b iđêan R với b ⊇ a, cd(b, R) = 1, cho M d oa nl w R-mơđun với Γa (M ) = Khi       Hb1 (M ) j = 0, i = j Hb (Hai (M )) ∼ =      trường hợp lại ul nf va an lu oi lm Chứng minh Khẳng định suy từ chứng minh [5, Mệnh đề 3.15] z at nh Hệ 2.3.9 Cho b iđêan R với b ⊇ a, cd(b, R) = 1, M R-mơđun b-minimax Khi Hbj (Hai (M )) b-cominimax với i ≥ z gm @ j ≥ l Chứng minh Vì cd(b, R) = 1, nên từ Bổ đề 2.3.7 ta có Hbj (Γa (M )) b- m co cominimax với j ≥ Bây cho i > Vì Hai (M ) ∼ = Hai (M/Γa (M )), an Lu nên ta giả sử Γa (M ) = Vì thế, kết suy từ Bổ đề 2.3.7 n va 2.3.8 ac th 26 si Hệ 2.3.10 Cho b iđêan R với b ⊇ a, cd(b, R) = 1, M R-mơđun b-minimax Khi với R-mơđun hữu hạn sinh L với SuppR L ⊆ V (b), ta có R-mơđun ExtjR (L, Hai (M )) b-minimax với i ≥ j ≥ Đặc biệt là, R-môđun Hai (M )/bn Hai (M ) b-minimax với i ≥ n ≥ Chứng minh Từ Hệ 2.3.9, ta có Hbj (Hai (M )) b-cominimax với i ≥ j ≥ Do từ [1, Mệnh đề 3.7] ta suy ExtjR (R/b, Hai (M )) lu b-minimax với i ≥ j ≥ Do đó, kết suy từ Định lý an n va 2.2.1 2.1.9 p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th 27 si Kết luận Luận văn trình bày chứng minh chi tiết kết sau đây: lu an Nhắc lại kiến thức có liên quan đến luận văn: Mơđun Nother, mơđun va Artin, tập giá, tập iđêan nguyên tố liên kết, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, n môđun Ext, môđun Tor, môđun đối đồng điều địa phương, phức Koszul tn to gh Chứng minh được: Nếu a iđêan vành giao hoán Noether R M p ie mơđun a-cominimax R, R-mơđun M/aM a-minimax với w n ∈ N oa nl Chứng minh được: Cho a = (x1 , , xt ) iđêan R, cho M d R-mơđun Khi khẳng định sau tương đương: lu va an • i) ExtiR (R/a, M ) R-môđun a-minimax với i ≥ oi lm ul nf • ii) TorRi (R/a, M ) R-môđun a-minimax với i ≥ • iii) Các mơđun đối đồng điều Koszul H i (x1 , , xt ; M ) R-môđun a- z at nh minimax với i ≥ Chứng minh được: Cho f : M → N R-đồng cấu cho z @ ExtiR (R/a, Ker f ) ExtiR (R/a, Coker f ) R-môđun a-minimax R-môđun a-minimax với i ≥ m co l gm với i ≥ Khi Ker ExtiR (idR/a , f ) Coker ExtiR (idR/a , f ) an Lu n va ac th 28 si Tài liệu tham khảo [1] Azami J., Naghipour R and Vakili B (2009), "Finiteness properties of local lu cohomology modules for a - minimax modules", Proc Amer Math Soc 137, an 439-448 va n [2] Brodman M P and Sharp R Y (1998), Local cohomology ; an algebraic gh tn to introduction with geometric applications, Cambridge University Press p ie [3] K Divaani-Aazar and M A Esmkhani (2005), "Artinianness of local coho- w mology modules of ZD-modules", Comm Algebra, 33(8) (2005), 2857-2863 oa nl [4] Grothendieck A (1967), Local cohomology, Lecture Notes in Mathematics, d Springer, Berlin lu ul nf 285, 649-668 va an [5] Melkersson L (2005), "Modules cofinite with respect to an ideal", J Algebra, oi lm [6] Zoăschinger H (1986), "Minimax modules", J Algebra, 102,1-32 z at nh [7] Zoăschinger H (1988), "Uber die Maximalbedingung fur radikalvolle Untermoduln", Hokkaido Math J., 17(1), 101-116 z @ [8] Abazari R and Bahmanour K (2011), "Cofiniteness of extension functors of l gm cofinite modules", J Algebra 330, 507-516 m co [9] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press an Lu [10] M Sedghi and L Abdi (2015), "Minimaxness properties of extension functors of local cohomology modules”, Inter Electronic J of Albegra, Vol 17, 94-104 n va ac th 29 si [11] S Goto, “Introduction to homological methods in commutative algebra”, The note for the lectures at Thai Nguyen Uni from March 17 till March 19, 2016 [12] W Bruns and J Herzog, “Cohen-Macaulay Rings”, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Vol 39, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK, 1998 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th 30 si