(Luận văn) về một lớp môđun tổng quát hóa của môđun mở rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM THỊ THÚY HẰNG lu an n va ie gh tn to VỀ MỘT LỚP MƠĐUN TỔNG QT HĨA p CỦA MÔĐUN MỞ RỘNG d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Bình Định - Năm 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM THỊ THÚY HẰNG lu an n va ie gh tn to VỀ MỘT LỚP MƠĐUN TỔNG QT HĨA p CỦA MƠĐUN MỞ RỘNG d oa nl w nf va an lu Đại số Lý thuyết số Mã số 46 01 04 lm ul Chuyên ngành : z at nh oi : z l gm @ m co Người hướng dẫn: TS Lê Đức Thoang an Lu n va ac th si i Lời Cam Đoan Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu khoa học hướng dẫn TS Lê Đức Thoang, nội dung không lu an chép chưa công bố hình thức nào, va n tài liệu tham khảo nêu rõ ràng to gh tn Quy Nhơn, ngày tháng năm 2019 p ie Học viên w d oa nl Phạm Thị Thúy Hằng nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Mục lục Lời Cam Đoan i lu an Bảng ký hiệu iii n va gh tn to MỞ ĐẦU Một số lớp môđun vành 5 1.1 w p ie KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một số lớp môđun oa nl 1.1.1 Môđun vành mở rộng 15 nf va an 1.2 lu 1.1.3 Một số lớp vành 12 d 1.1.2 Một số kết liên quan 17 lm ul 20 z at nh oi MÔĐUN NCS 2.1 Định nghĩa ví dụ 20 2.2 Một số tính chất 22 z @ 32 KẾT LUẬN co l gm TÍNH NCS CỦA MƠĐUN 43 m an Lu DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 n va ac th si iii Bảng ký hiệu MR (R M ) : Môđun phải (trái) vành R A⊆B : A môđun B A⊂B : A môđun thực B A ⊆ess M : A môđun cốt yếu môđun M A ⊆sm M : A môđun đối cốt yếu môđun M lu an va n L Mi : Tổng trực tiếp họ mơđun Mi Ri : Tích trực tiếp vành Ri n i=1 to ie gh tn Q : Đế môđun MR , Sr = Soc(RR ) p Soc(MR ) : Căn Jacobson môđun R oa nl w J = J(R) : Linh hóa tử phần tử m d : Linh hóa tử phải, (trái) X nf va r(X), (l(X)) an lu ann(m) lm ul : Vành tự đồng cấu môđun MR N ⊆⊕ M : N hạng tử trực tiếp M N∼ =M : N đẳng cấu với M z at nh oi End(MR ) z gm @ m co l Mod-R (R-Mod) : Phạm trù R-môđun phải (trái) an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU • Lí chọn đề tài: lu an Cùng với phát triển tốn học đại, lý thuyết mơđun va n nhà toán học quan tâm sâu sắc đạt to để người nghiên cứu thêm môđun CS vành nên p ie gh tn nhiều kết Những kết điều kiện CS tác động nhiều w chọn nghiên cứu đề tài “Về lớp mơđun tổng qt hóa oa nl mơđun mở rộng” d • Lịch sử vấn đề: an lu nf va Môđun nội xạ lớp môđun quan trọng lý thuyết môđun Trong lớp môđun mở rộng mơđun nội xạ có lớp lm ul môđun quan trọng môđun CS (mở rộng hay C1) Các định nghĩa z at nh oi CS khởi nguồn từ cơng trình nghiên cứu John von Neumann liên quan đến cố gắng ơng để mơ hình lượng tử học thơng qua z gm @ hình học liên tục Điều kiện CS trình bày [2] Tính chất mơđun thu hút nhiều nhà lý thuyết vành l m co hai mươi năm sau [5] [13] sách chuyên khảo môđun CS tính chất liên quan mơđun Trong [7] [8], hai an Lu giả thiết tiếng đặc trưng vành QF giả thiết CF giả thiết n va ac th si F GF , chứng minh R vành CS phải Những kết khuyến khích nhiều quan tâm người để nghiên cứu thêm môđun CS vành Cho C (M ), D(M ) S (M ) tập tất mơđun đóng, tập tất hạng tử trực tiếp tập tất môđun đối cốt yếu R-mơđun M Khi M môđun CS nghĩa C (M ) = D(M ) Tính chất cho ta thấy C (M ) ∩ S (M ) = {0} tức môđun đóng khơng tầm thường M khơng lu an môđun đối cốt yếu Các môđun cịn gọi mơđun N CS va n Khái niệm lần trình bày [15] cho thấy giả to tên "N CS " GS.D.V.Huynh đưa tác giả đến thăm p ie gh tn thuyết Faith-Menal R môđun N CS Và w ông ta trung tâm lý thuyết vành năm 2009 2010 Trong oa nl Mathematical Review (MR2282113) [15], Faith khuyến khích d số cơng việc thực dựa theo điều kiện N CS Môđun N CS lu nf va an vành N CS vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nên đọc hiểu tiếp cận nghiên cứu lm ul • Mục đích nghiên cứu: z at nh oi Khảo sát môđun vành N CS mối liên quan với lớp môđun CS z m co l • Phương pháp nghiên cứu: gm Mơđun N CS vành N CS @ • Đối tượng nghiên cứu: an Lu Sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu, đọc sách, báo có nội dung liên n va ac th si quan đến đề tài nghiên cứu Sau tổng hợp, trao đổi, thảo luận với thầy hướng dẫn • Đóng góp luận văn: Luận văn góp phần làm phong phú tài liệu tham khảo cho lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết mơđun nói chung mơđun N CS nói riêng Ngồi ra, luận văn khảo sát số đặc trưng vành N CS qua khái niệm lu • Kết cấu luận văn: an n va Luận văn bao gồm chương: to Chương 2: Môđun N CS p ie gh tn Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị nl w Chương 3: Tính N CS mơđun d oa Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình an lu thầy giáo hướng dẫn TS Lê Đức Thoang, Trường Đại học Phú Yên Nhân nf va dịp xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến lm ul thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận z at nh oi văn Chúng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng sau đại học, Khoa Tốn - Thống kê học quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Đại số Lý thuyết số khóa 20 dày z @ cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho co l gm trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh m hoàn thành tốt khóa học luận văn an Lu thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để n va ac th si Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý quý thầy cô giáo đọc giả để luận văn hoàn thiện lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ lu an n va Trong luận văn này, vành R giả thiết vành có đơn vị 6= tn to tất R-môđun môđun unita Để thuận tiện, chúng tơi nói ie gh mơđun thay cho môđun phải ký hiệu M thay cho ký hiệu MR Khi cần p thiết, rõ M môđun phải hay trái Những khái niệm nl w môđun luận văn trình bày cho R-mơđun phải (hoặc d oa trái), khái niệm cho phía cịn lại hồn tồn tương tự an lu Trong chương này, hệ thống lại kiến thức cần thiết nf va cho việc chứng minh chương sau lm ul Trước hết, chúng tơi trình bày khái niệm số kết quen thuộc lý thuyết vành môđun z at nh oi 1.1 Một số lớp môđun vành z l gm Một số lớp môđun @ 1.1.1 m co Định nghĩa 1.1.1 Cho môđun M N ⊆ M Môđun N gọi an Lu cốt yếu M N ∩ K 6= với môđun khác không K M , ký hiệu N ⊆ess M Môđun N M gọi hạng tử trực n va ac th si 31 Phần cuối chương, chứng minh M mơđun nâng M N CS M CS Định lý 2.2.18 Cho R vành cho M R-môđun Nếu M môđun nâng môđun N CS M mơđun CS Chứng minh Giả sử K môđun khác không M Vì M mơđun nâng nên tồn khai triển M = M1 ⊕ M2 cho M1 ⊆ K K ∩ M2 ⊆ess M Như vậy, lu an K = M1 ⊕ (K ∩ M2 ) n va tn to Với K ∩ M2 mơđun đóng K , theo Bổ đề 2.2.4, K ∩ M2 ie gh mơđun đóng M Vì M N CS K ∩ M2 ⊆ess M p nên K ∩ M2 = Vì K = M1 hạng tử trực tiếp M Như oa nl w M môđun CS d Theo Mệnh đề 1.2.3, R vành nửa hồn chỉnh RR (R R) lu nf va an mơđun nâng Vì chúng tơi có hệ sau Hệ 2.2.19 Nếu R vành nửa hồn chỉnh R N CS phải lm ul R CS phải z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va ac th si 32 Chương TÍNH NCS CỦA MƠĐUN lu an n va Chương trình bày số kết đặc trưng vành N CS tn to tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [3], [4], [5], [11] [14] ie gh Theo Ví dụ 2.1.2, chúng tơi có ví dụ sau p Ví dụ 3.0.1 Mọi vành nửa nguyên thủy vành N CS Vì oa nl w vành qui von Neumann N CS d Nhắc lại rằng, vành R gọi Kasch phải R-môđun phải lu nf va an đơn nhúng RR , tương tự, iđêan phải cực đại R linh hóa tử phải Phía bên trái định nghĩa tương tự lm ul Bổ đề 3.0.2 Cho R vành nửa hoàn chỉnh, Kasch trái Min-CS trái z at nh oi Khi điều sau đúng: (a) Sl ⊆ess R R Soc(Re) đơn cốt yếu Re với lũy đẳng z (b) R Kasch phải Sl ⊆ Sr ; m co l gm @ địa phương e ∈ R; n va {Soc(Re1 ), , Soc(Ren )} an Lu (c) Nếu {e1 , , en } sở lũy đẳng địa phương R ac th si 33 tập đầy đủ biểu diễn phân biệt R-môđun trái đơn Định lý 3.0.3 R vành CS trái Kasch phải R vành liên tục nửa hoàn chỉnh với Sr ⊆ess R R Bổ đề 3.0.4 Cho R vành nửa hoàn chỉnh, vành liên tục trái giả sử Sl ⊆ess R R Khi điều sau đúng: (a) Zr ⊆ J = Zl ; lu an n va (b) Sl ⊆ Sr ; gh tn to (c) Soc(Re) đơn cốt yếu Re với địa phương e2 = e ∈ R; p ie (d) R vành Kasch trái phải; oa nl w (e) Soc(Re) 6= với địa phương e2 = e ∈ R d Hệ 3.0.5 Cho R vành điều sau tương đương: an lu (a) R CS trái, vành Kasch trái phải; nf va lm ul (b) R vành liên tục nửa hoàn chỉnh trái với đế trái cốt yếu z at nh oi Chứng minh (a) ⇒ (b): Cho trước (a),theo Định lý 3.0.3 R nửa hồn chỉnh liên tục trái Vì R Kasch trái nên từ Bổ đề 3.0.2 ta z có Sl ⊆ess R R l gm @ (b) ⇒ (a): Có từ (d) Bổ đề 3.0.4 an Lu vành C2 phải Zr ⊆ J m co Mệnh đề 3.0.6 Cho R vành Khi R Kasch trái R n va ac th si 34 Chứng minh Giả sử R Kasch trái Nếu aR đẳng cấu với hạng tử trực R, a ∈ R, điều cho thấy Ra ⊆⊕ R R (khi a phần tử qui, aR ⊆⊕ RR ) Ta có aR xạ ảnh, đặt r(a) = (1 − e)R e2 = e Khi a = ae, Ra ⊆ Re ta khẳng định Ra = Re Ngược lại aR không đẳng cấu với hạng tử R, cho Ra ⊆ M ⊆max Re Theo giả thiết R Kasch trái nên có σ : Re/M → R R đơn ánh viết c = (e + M )σ Khi ec = c (vì ae = a ∈ M ) c ∈ r(a) = (1 − e)R Vì σ đơn ánh nên c = ec = lu an e ∈ M Điều mâu thuẫn nên Ra = Re va n Bây giả sử R vành C2 phải cho a ∈ Zr Ta có r(a) ∩ tn to r(1 − a) = nên r(1 − a) = (1 − a)R ∼ = R Theo giả thiết ie gh (1 − a)R ⊆⊕ R nên R(1 − a) ⊆⊕ R, ta có R(1 − a) = Rg, g = g p Vì − g ∈ r(1 − a) = 0, R(1 − a) = R, a ∈ Zr Vậy Zr ⊆ J w oa nl Ví dụ 3.0.7 Một vành N CS trái khơng thiết N CS phải, N CS d phải liên tục trái artin hai bên an lu nf va Chứng minh Theo [[5], Ví dụ 18.27 (2)], vành liên tục trái artin lm ul hai bên không liên tục phải Dễ hiểu R N CS trái Ta chứng tỏ z at nh oi R không N CS phải Giả sử R N CS phải, theo Hệ 2.2.19 R CS phải Như vậy, theo Hệ 3.0.5, R Kasch hai bên Vì vành Kasch trái C2 phải (thấy Mệnh đề 3.0.6) nên R C2 phải Do z co l phải gm @ R liên tục phải Điều không xảy Vậy R không N CS m Mệnh đề 3.0.8 Một tích trực tiếp vành R = i∈I Ri N CS an Lu phải Ri N CS phải với i ∈ I Q n va ac th si 35 Chứng minh Cho πi ιi (i ∈ I ), phép chiếu lên thành phần thứ i phép nhúng tắc lên thành phần thứ i (Z⇒) Với Ri , giả sử Ti iđêan phải đóng khác không Ri Đầu tiên, ta chứng tỏ T = ιi (Ti ) iđêan phải đóng R Ngược lại, có iđêan K R cho T chứa thực K T ⊆ess K Nếu j 6= i T ⊆ess K dẫn đến πj (K) = Như vậy, K = ιi πi (K) Từ T chứa thực K T ⊆ess K nên Ti chứa thực πi (K) Ti ⊆ess πi (K) Điều khơng xảy ra, Ti lu an iđêan phải đóng Ri Vì T iđêan phải đóng khác khơng va R Vì R N CS phải nên T khơng đối cốt yếu Vì tồn n tn to iđêan phải thực L R cho T + L = R Điều dễ thấy ie gh πi (L) iđêan phải thực Ri cho Ti + πi (L) = Ri Như vậy, p Ti không iđêan đối cốt yếu Ri Do đó, Ri N CS phải d oa nl w (⇐\) Giả sử T iđêan phải đóng khác khơng R Tập Q Ti = πi (T ), i ∈ I Điều dễ thấy T = i∈I Ti Vì T iđêan phải an lu đóng khác khơng R, dễ hiểu với i ∈ I , Ti iđêan phải nf va đóng Ri Với T 6= 0, tồn i ∈ I cho Ti iđêan phải đóng z at nh oi lm ul khác khơng Ri Vì Ri N CS phải nên có iđêan phải riêng Ki Q Ri cho Ti + Ki = Ri Tập Ki = Ri với i 6= j K = i∈I Ki Khi K iđêan phải thực R cho T = K + R Do đó, T z khơng iđêan phải đối cốt yếu R Vì R N CS phải @ l gm Bổ đề 3.0.9 Cho R vành cho e2 = e ∈ R cho ReR = R m iđêan phải đóng khác khơng R co Nếu T iđêan phải đóng khác khơng eRe T R an Lu Chứng minh Cho K iđêan phải đóng R cho T R ⊆ess K Ta n va ac th si 36 cần chứng tỏ K = T R Vì T ⊆ eRe nên T R ⊆ess eK Đầu tiên, ta chứng tỏ T ⊆ess eKeRe = eKReRe = eKRe = eKe Vì ReR = R, tồn , bi ∈ R, i = 1, 2, , n, cho n X ebi = i=1 Giả sử 6= eke ∈ eKe, k ∈ K Vì T R ⊆ess eK , tồn r ∈ R lu cho 6= eker ∈ T R Khi tồn i0 cho an n va 6= ekerai0 e ∈ T Re = T gh tn to Như vậy, T ⊆ess eKeRe Từ T iđêan phải đóng eRe, ta có p ie T = eKeRe = eKe T R = eKeR = eKReR = eKR = eK d oa nl w Do đó, lu nf va an Với eK = T R, chứa K , ta có K = eK ⊕ (1 − e)K lm ul z at nh oi Vì eK = T R ⊆ess K nên (1 − e)K = Vậy K = eK = T R Trước đến với Định lí 3.0.11 chúng tơi trình bày định lí sau z @ Định lý 3.0.10 Cho e lũy đẳng R J = radR Khi m co e¯ ảnh e R = R/J l gm rad(eRe) = J ∩ (eRe) = eJe Ngồi ra, eRe/rad(eRe) ∼ e, = e¯R¯ sau đây: an Lu Chứng minh Với kết luận đầu tiên, đủ để chứng minh ba kéo theo n va ac th si 37 (a) r ∈ rad(eRe) ⇒ r ∈ J (b) r ∈ J ∩ (eRe) ⇒ r ∈ eJe (c) r ∈ eJe ⇒ rad(eRe) Với (a), đủ thấy với y ∈ R, − yr có nghịch đảo trái R Đầu tiên, eRe, ta tìm b ∈ eRe, cho b(e − eye · r) = e, b(1 − yr) = e Như vậy, lu an n va yrb(1 − yr) = yre = yr gh tn to Thêm vào (1 − yr), ta (1 + yrb)(1 − yr) = Vậy khẳng định (a) chứng minh ie p Với (b), cần ý với r ∈ J ∩ eRe, ta có r = ere ∈ eJe oa nl w Với (c), đủ thấy với y ∈ eRe, e − yr có nghịch đảo d trái eRe Vì r ∈ eJe ⊆ J , tồn lại x ∈ R cho x(1 − yr) = nf va an lu Nhưng đó, e = ex(1 − yr)e = ex(e − yr) = exe · (e − yr), lm ul z at nh oi exe ∈ eRe nghịch đảo trái với e − yr Để hồn thành chứng minh, ta cần tính eRe/eJe Xét ánh xạ tự nhiên z eRe → e¯R¯ e từ ere đến e¯r¯e¯ Ánh xạ xác định đồng cấu vành @ gm triệt tiêu eJe, cảm sinh tồn cấu eRe/eJe → e¯R¯ e Đó co l đẳng cấu, e¯r¯e¯ = ere ∈ J ∩ eRe = eJe m Định lý 3.0.11 Cho R vành cho e2 = e ∈ R cho ReR = R an Lu Nếu R N CS phải eRe N CS phải n va ac th si 38 Chứng minh Cho S = eRe cho T iđêan phải đóng khác khơng S Theo Bổ đề 3.0.9, T R iđêan phải đóng khác khơng R Vì R N CS phải nên T R không iđêan phải đối cốt yếu R Tiếp theo, ta chứng tỏ T không iđêan phải đối cốt yếu S Nếu T iđêan phải đối cốt yếu S T ⊆ J(S) = eJ(R)e (thấy Định lí 3.0.10) Vì J(R) iđêan R nên T R ⊆ J(R) Điều lu an cho thấy T R iđêan phải đối cốt yếu R Điều n va mâu thuẫn Vì T iđêan phải đối cốt yếu R Như gh tn to vậy, S N CS phải p ie Hệ 3.0.12 Nếu R vành Kasch trái R vành C2 phải nl w mạnh d oa Ví dụ 3.0.13 Cho F trường giả sử a 7→ a ¯ phép an lu đẳng cấu F → F ⊆ F , trường F 6= F Cho R không gian nf va véctơ trái với sở {1, t}, ta định nghĩa t2 = ta = a ¯t với lm ul a ∈ F Khi R F -đại số Do điều sau đúng: z at nh oi (a) R địa phương, R/J ∼ = F J = 0; (b) J = Rt = F t iđêan trái thực R; z l gm @ (c) R nội xạ đơn phải không nội xạ đơn trái; (d) X 7→ Xt đẳng cấu dàn từ F -không gian phải X F đến m co dàn iđêan phải Xt R chứa J ; an Lu (e) R artin trái điều sau tương đương: n va ac th si 39 (1) R artin phải; (2) R noether; (3) R phải hữu hạn chiều; (4) FF hữu hạn chiều Hơn nữa, p số nguyên tố F = Zp x trường dạng hữu tỷ Zp ánh xạ ω 7→ ω p đẳng cấu F → F , F = {ω p | ω ∈ F } dim(F F ) = p lu an Ví dụ sau cho thấy vành ma trận vành N CS va n trái N CS trái, N CS trái vành artin trái CS gh tn to trái p ie Ví d 3.0.14 (Bjăork) Cho F l mt trng v gi sử a 7→ a ¯ phép đẳng cấu F → F ⊆ F , trường F 6= F Cho R không w oa nl gian véctơ trái với sở {1, t}, ta định nghĩa t2 = ta = a ¯t với d a ∈ F Khi R F -đại số Do R N CS trái, Mn (R) an lu nf va không N CS trái với n > lm ul Chứng minh Theo Ví dụ 3.0.13, R có ba iđêan trái R nội xạ đơn z at nh oi phải không nội xạ đơn trái Nó dễ hiểu R N CS trái Vì R artin trái nội xạ đơn phải, R tối tiểu đầy đủ phải Nhắc lại rằng, vành R gọi tối tiểu đầy đủ phải nửa hồn chỉnh, z @ nội xạ đơn phải Soc(eR) 6= với lũy đẳng địa phương e ∈ R Theo gm co l Định lí 1.2.2, R Kasch trái phải Giả sử Mn (R) N CS trái m với n > Vì R nửa hoàn chỉnh nên theo Mệnh đề 3.0.17 bên ta an Lu có Mn (R) CS trái Khi R Kasch phải, theo Hệ 3.0.12 ta có R n va vành C2 trái mạnh Điều nghĩa Mk (R) C2 trái, k > ac th si 40 Vì Mn (R) liên tục trái Theo Định lý 1.2.1 R tự nội xạ trái Điều không xảy Vậy Mn (R) không N CS trái với n > Chúng tơi sử dụng kí hiệu Mn×1 (R) tập tất ma trận cột cỡ n × R Mệnh đề 3.0.15 Cho R vành cho n > Khi Mn (R) N CS phải Mn×1 (R) N CS R-mơđun phải Chứng minh Ta chứng minh kết với n = 2, khác lu an chứng minh tương tự Với iđêan phải T M2 (R), T có từ va n {[αβ] | α, β ∈ K}, K mơđun M2×1 (R) T gh tn to iđêan phải đóng (đối cốt yếu) M2 (R) K R- p ie mơđun đóng (đối cốt yếu) M2×1 (R) Vì M2 (R) N CS phải w M2×1 (R) N CS R-mơđun phải oa nl Mệnh đề 3.0.16 Cho R vành cho Λ tập vô hạn Khi (Λ) d CFMΛ (R) N CS phải (tương ứng, CS ) RR N CS nf va an lu (tương ứng, CS ) lm ul Mệnh đề 3.0.17 Cho R vành nửa hoàn chỉnh cho n > Khi z at nh oi Mn (R) N CS phải Mn (R) CS phải Chứng minh R nửa hồn chỉnh, theo Mệnh đề 1.2.3, RR mơđun z nâng Vì tính chất nửa hồn chỉnh bất biến Morita vành nên @ l gm Mn (R) nửa hoàn chỉnh với n > Khi đó, theo Hệ 2.2.19 Mn (R) N CS phải Mn (R) CS phải m co Goldie (hay chiều đều) hữu hạn an Lu Hệ 3.0.18 Nếu R nửa hồn chỉnh N CS phải RR có chiều n va ac th si 41 Chứng minh Theo Mệnh đề 3.0.17, R CS phải Vì R nửa hoàn chỉnh nên tồn lũy đẳng địa phương e1 , e2 , , en R cho R= n M ei R i=1 Ta chứng tỏ với lũy đẳng địa phương e R eR Khi số chiều Goldie (hay chiều đều) RR n Nếu eR không có mơđun khác khơng T1 , T2 khơng phụ thuộc Vì R CS phải nên T1 cốt yếu hạng tử trực tiếp eR Khi e địa phương lu an T1 cốt yếu eR Điều mâu thuẫn Vậy eR va n Mệnh đề 3.0.19 Cho R vành hoàn chỉnh phải cho Λ gh tn to tập vô hạn Khi phát biểu sau tương đương: (Λ) p ie (a) RR N CS ; (Λ) oa nl w (b) RR CS ; d (c) CFMΛ (R) N CS phải; an lu nf va (d) CFMΛ (R) CS phải (Λ) lm ul Chứng minh Vì R hồn chỉnh phải nên theo Mệnh đề 1.2.4 ta có RR (a) ⇔ (c) (b) ⇔ (d) z at nh oi môđun nâng Theo Định lí 2.2.18, (a) ⇔ (b) Theo Mệnh đề 3.0.16, z Cuối cùng, chúng tơi có mô tả vành P −CS phải gm @ Bổ đề 3.0.20 Một vành R nửa hoàn chỉnh đếm CS phải, l (N) P P đếm N CS phải an Lu Nhắc lại rằng, vành R gọi m co R hoàn chỉnh phải RR CS -đều tổng trực tiếp đếm R môđun N CS n va ac th si 42 R gọi P −CS tổng trực tiếp RR môđun CS Định lý 3.0.21 Một vành R hoàn chỉnh phải P phải R −CS phải P đếm N CS Chứng minh Theo Bổ đề 3.0.20, ta cần chứng minh điều kiện cần Vì P R hồn chỉnh phải đếm N CS phải, Theo Mệnh đề 3.0.19, R P P đếm CS phải Khi theo Bổ đề 3.0.20, R −CS phải lu an Nhận xét 3.0.22 Một vành P −N CS phải không thiết P −CS n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 43 KẾT LUẬN Trong luận văn thực công việc sau lu an n va Trình bày kiến thức số lớp môđun số gh tn to lớp vành quan trọng Đọc hiểu trình bày lại cách chi tiết, có hệ thống kết ie p liên quan đến môđun N CS tài liệu tham khảo w oa nl Đọc hiểu trình bày lại cách chi tiết, có hệ thống kết d đặc trưng vành N CS nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 44 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Anderson F W, Fuller K R Rings and Categories Modules Grad Texts in Math, Vol 13 New York: Springer-Verlag, 1992 lu an [2] Chatters A W, Hajarnavis C R Rings in which every complement right va n ideal is a direct summand Q J Math, 1997, 28: 61-80 tn to ie gh [3] Chen J L, Li W X On artiness of right CF rings Comm Algebra, 2002, p 32(11): 4485-4494 oa nl w [4] Clark J, Lomp C, Vanaja N, Wisbauer R Lifing Modules: Supplements and Projectivity in Modules Theory Font Math Basel: Birkhăauser - d nf va an lu Verlag, 2006 [5] Dung N V, Huynh D V, Smith P F, Wisbauer R Extending Mod- lm ul ules Pitman Research Notes Math Ser, 313 Essex: Longman Scientific z at nh oi Technical, 1994 [6] Faith C, Huynh D V When self-injective rings are QF: a report on a z l gm @ problem J Algebra Appl, 2002, 1(1): 75-105 [7] Gómez Pardo J L, Guil Asensio P A Essential embedding of cyclic co m modules in projectivers Trans Amer math Soc, 1997, 349(11): 4343- an Lu 4353 n va ac th si 45 [8] Gómez Pardo J L, Guil Asensio P A Torsionless modules and rings with finite essential socle In: Dikranjan D, Salce L, eds Abelian Groups, Module Theory, and Topology Lect Notes Pure Appl Math, Vol 201 New York: Marcel Dekker, 1998, 261-278 [9] Goodearl K R Ring Theory: Nonsingular Rings and Modules Monogr Pure Appl Math, Vol 33 New York: Dekker, 1976 [10] Lam T Y Lectures on Modules and Rings Grad Texts in Math, Vol lu an 189 New York: Springer - Verlag, 1998 va n [11] Lam T Y A First Course in Noncommutative Rings Grad Texts in gh tn to Math, Vol 131 New York: Springer - Verlag, 2001 p ie [12] Liang SHEN, Wenxi LI, Generalization of CS condition, Front Math China 2017, 12 (1): 199- 208 nl w d oa [13] Mohamd S H, Mă uller B J Continuous and Discrete Modules Lon- nf va Press, 1990 an lu don Math Soc Lecture Note Ser, Vol 147 Cambridge: Cambridge Univ lm ul [14] Nicholson W K, Yousif M F Quasi - Frobenius rings Cambridge z at nh oi Tracts in Math, Vol 158 Cambridge: Cambridge Univ Press, 2003 [15] Shen L An approach to the Faith - Menal conjecture Int Electron J z m co l gm @ Algebra, 2007, 1(1): 46-50 an Lu n va ac th si