Trong bài toán miêu tả phía trên, ta có bốn công việc cần hoàn thành (sản xuất bốn loại dầu gội) trên một dây chuyền gồm ba máy (ba bước sản xuất). Nhiệm vụ của xưởng sản xuất là sắp xếp thứ tự các sản phẩm để thời gian hoàn thành cuối cùng là nhanh nhất, hoăc để tổng thời gian hoàn thành tất cả sản phẩm là ngắn nhấn. Khi các nhóm người đẹp có vai trò khác nhau thì các sản phẩm yêu thích của các nhóm sẽ có trọng số khác nhau.
MƠ HÌNH HĨA BÀI TỐN SẮP LỊCH DẠNG FLOWSHOP BẰNG ĐẠI SỐ MAXPLUS Võ Nhật Vinh (Đại học Fran¸cois-Rabelais, Tours, Pháp) Chuyện kể vương quốc nọ, nhà vua có nhiều cung tần mỹ nữ họ để tóc dài Để chăm sóc cho mái tóc dài người đẹp, nhà vua lệnh cho xưởng sản xuất dầu gội tin cậy sản xuất loại sản phẩm khác để đáp ứng nhu cầu mỹ nữ Hiện tại, nhu cầu người đẹp bốn loại dầu gội mang hương bưởi, hương sen, hương lài hương chanh Trong xưởng sản xuất, ba giai đoạn cần lưu ý theo thứ tự tách mùi hương, pha trộn mùi đóng chai Mỗi loại dầu gội có thời gian đặc trưng để tách mùi hương, để pha trộn mùi để đóng chai khác Có thời điểm, xưởng sản xuất quan tâm đến thứ tự loại dầu gội cần sản xuất để hồn thành tất đơn hàng người đẹp thời gian sớm Có thời điểm, xưởng sản xuất cân nhắc thứ tự loại dầu gội để tổng thời gian chờ đợi quý bà Cũng có lúc, xưởng sản xuất phải lưu ý đến vai trị khác nhóm người đẹp Vì vậy, xưởng sản xuất phải suy nghĩ tìm lời giải tối ưu cho trường hợp Trong toán miêu tả phía trên, ta có bốn cơng việc cần hoàn thành (sản xuất bốn loại dầu gội) dây chuyền gồm ba máy (ba bước sản xuất) Nhiệm vụ xưởng sản xuất xếp thứ tự sản phẩm để thời gian hoàn thành cuối nhanh nhất, hoăc để tổng thời gian hoàn thành tất sản phẩm ngắn nhấn Khi nhóm người đẹp có vai trị khác sản phẩm u thích nhóm có trọng số khác Giới thiệu chung Câu hỏi mối liên hệ ngành Toán Học, Tin Học Kinh Doanh thúc đẩy nghiên cứu sâu lý thuyết lịch (scheduling theory) Thực tế, toán lịch nghiên cứu khoa Tin Học cần kỹ thuật Tin Học tài ngun máy tính để tìm kết số Tuy vậy, toán lịch lại trường hợp cụ thể tốn tối ưu hóa tổ hợp (Combinatorial Optimisation) mang đầy chất Tốn Học Vì mà lý thuyết lịch nghiên cứu đơn vị nghiên cứu Tốn Học Ngồi ra, lịch nói riêng vận trù học (Operations Research) nói chung giảng dạy nghiên cứu trường kinh doanh Anh Bắc Mỹ Thực vậy, viết Shah, tác giả kết luận lịch quan trọng hai lý Lý thứ liên quan đến rủi ro kinh tế quan trọng (ví dụ bồi thường chậm trễ tiến độ) lịch trình tồi tệ thực Lý thứ hai liên quan đến nắm bắt hội (trong kinh doanh) có kỹ thuật lịch hiệu Vì lẽ đó, ta nói lịch có mối quan hệ mật thiết với lĩnh vực kinh doanh, thương mại Nói cách khác, lịch khơng đơn ngành khoa học lý thuyết (Tốn Học) mà cịn ngành khoa học ứng dụng (Kinh Doanh) Trong khuôn khổ viết này, quan tâm đến dạng toán cụ thể 47 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 lý thuyết lịch có liên quan mật thiết với sản xuất theo dây chuyền: Bài toán lịch dạng flowshop Từ năm 1950; toán dạng flowshop không ngừng tiến triển thu hút ngày nhiều quan tâm nhà nghiên cứu lợi ích độ khó chúng Thực tế, tốn dạng flowshop khơng đa dạng loại điều kiện ràng buộc mà mục tiêu tối ưu Chính đa dạng khiến toán dạng flowshop gần với toán thực tế Dù vậy, ta quan tâm viết phương pháp tiếp cận áp dụng cho lớp toán thay tốn riêng lẻ Trong luận án mình, Lenté giới thiệu đại số MaxPlus để mơ hình hóa số tốn lịch dạng flowshop Phương pháp tiếp cận sử dụng để làm xuất quan hệ tuyến tính toán máy (bài toán bản, toán với ràng buộc độ trễ cố định thời gian chuẩn bị tháo dỡ, tốn khơng có độ trễ) toán m máy với ràng buộc độ trễ cố định thời gian chuẩn bị tháo dỡ Lợi ích MaxPlus đơn giản hóa ký hiệu để dễ dàng làm bật tính chất phép tính Ngồi ra, MaxPlus cịn cho phép ta biến đổi tốn dạng flowshop thành tốn ma trận Nói cách khác, thực phép tính biến đổi ma trận Trong viết này, mơ hình hóa lớp tốn lịch cách sử dụng đại số MaxPlus Thật ra, nhận thấy độ trễ tác vụ (operations) thường xét đến toán dạng flowshop Các độ trễ gây nên thời gian sấy khô, thời gian làm nguội thời gian bình ổn Một cách ẩn ý, chúng liên quan đến loại ràng buộc khác thời gian chuẩn bị thời điểm nhàn rỗi Vì vậy, hy vọng mơ hình hóa lớp tốn dạng flowshop với điều kiện ràng buộc liên quan đến độ trễ Sau phần giới thiệu chung này, nhắc lại định nghĩa quy ước toán dạng flowshop, ký hiệu loại ràng buộc nghiên cứu đến viết Tiếp theo, sơ lược tính chất đại số MaxPlus trình bày Cuối cùng, với toán cụ thể, ma trận công việc (job associated matrix) thiết lập từ đó, tốn trọng tâm (hàm chứa nhiều toán khác) Bài toán dạng flowshop 2.1 Định nghĩa quy ước Một toán dạng flowshop m máy toán xếp thứ tự cho n-công việc (job) chúng xử lý m máy (machine) Mỗi công việc bao gồm m tác vụ (operation) theo thứ tự định trước hoàn toàn xác định: Tác vụ j công việc i xử lý máy j khoảng thời gian pij Thứ tự tác vụ công việc giống Mọi công việc quy ước trạng thái sẵn sàng để xử lý chúng xử lý xong hoàn toàn Tại thời điểm bất kỳ, máy xử lý công việc công việc xử lý máy Trong phạm vi này, xử lý, tác vụ xử lý liên tục hoàn tất Ngoài ra, xem xét tốn với thứ tự cơng việc xử lý máy Hình thể tốn dạng flowshop có máy cơng việc 48 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Hình 4.1: Bài tốn dạng flowshop máy 2.2 Ký hiệu Ở ta sử dụng loại ký hiệu đề xuất Graham đồng tác giả để mơ tả tốn lịch: ˛ jˇj : Trong loại ký hiệu này, ˛ thể dạng toán, ˇ thể tập hợp điều kiện ràng buộc thể tiêu chí cần tối ưu Bài viết đề cập đến toán dạng flowshop nên trường ˛ chứa ký hiệu Fm ; m thể số lượng máy hệ thống trường mục tiêu Ngoài ra, ký hiệu sử dụng phần n W Số lượng công việc cần lịch J D fJ1 ; J2 ; : : : ; Jn g W Tập hợp công việc cần lịch M D fM1 ; M2 ; : : : ; Mm g W Tập hợp máy để xử lý công việc (quy ước máy theo thứ tự quy trình sản xuất) Ji W Cơng việc i i D 1; : : : ; n/ đánh số ngẫu nhiên (trừ có quy ước khác) Mj W Máy j j D 1; : : : ; m/ đánh số theo thứ tự quy trình sản xuất Oij W Tác vụ j công việc Ji : pij W Thời gian xử lý tác vụ Oij : ıj W Thời điểm nhàn rỗi máy Mj : ıE D fı1 ; ı2 ; : : : ; ım g W Véc-tơ thời điểm nhàn rỗi máy W Tập hợp có thứ tự công việc 1/; 2/; : : : ; n// i/ cơng việc vị trí thứ i tập hợp Cij / W Thời điểm hoàn thành tác vụ Oij : Ci / W Thời điểm hồn thành cơng việc Ji máy Mm : C i / W Thời điểm hoàn thành cơng việc thứ i tập có thứ tự vậy, C n/ hay C / hay Cmax / cịn gọi makespan (trên máy cuối cùng) Vì CEi D fCi1 ; Ci ; : : : ; Ci m g W Véc-tơ thời điểm hoàn thành công việc Ji máy Sij W Thời gian chuẩn bị cần thiết trước xử lý tác vụ Oij : 49 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Rij W Thời gian tháo dỡ cần thiết sau xử lý tác vụ Oij : ˛ij W Độ trễ tối thiểu hai tác vụ liên tiếp Oi.j 1/ ˇij W Độ trễ tối đa hai tác vụ liên tiếp Oi.j Oij : 1/ Oij : Dij / W Thời điểm giải phóng máy Mj khỏi công việc Ji : Di W Thời điểm giải phóng máy Mm khỏi cơng việc Ji : D i / W Thời điểm giải phóng máy Mm khỏi cơng việc thứ i tập có thứ tự : E i D fDi1 ; Di ; : : : ; Di m g W Véc-tơ thời điểm giải phóng máy khỏi cơng việc D Ji : 2.3 Các loại ràng buộc Những phần trình bày giới hạn loại ràng buộc sau: perm sử dụng toán dạng flowshop thể thứ tự (một hốn vị) cơng việc giống tất máy no wait xác định khơng có độ trễ thời điểm kết thúc thời điểm bắt đầu hai tác vụ liên tiếp công việc delay (max delay hay max / delay): xác định có độ trễ tối thiểu (tối đa hay tối thiểu lẫn tối đa) thời điểm kết thúc thời điểm bắt đầu hai tác vụ liên tiếp công việc Snsd thể tác vụ cần có khoảng thời gian chuẩn bị trước xử lý hồn tồn khơng bị chi phối thứ tự công việc Rnsd thể tác vụ cần có khoảng thời gian tháo dỡ sau xử lý xong hồn tồn khơng bị chi phối thứ tự công việc Đại số MaxPlus 3.1 Tổng quát Phần giới thiệu sơ lược đại số MaxPlus, chi tiết tham khảo tài liệu Gaubert 1992 Gunawardena 1998: Đại số MaxPlus xây dựng dựa tập hợp E D R [ f 1g trang bị hai luật ký hiệu ˚ ˝: Trong đại số này, toán tử cộng ˚ biểu diễn phép so sánh lớn toán tử nhân ˝ biểu diễn phép cộng thơng thường Tốn tử ˚ có tính lũy đẳng, giao hốn, kết hợp có phần tử trung hòa ký hiệu 0k (tương ứng với 1/: Tốn tử ˝ có tính kết hợp, phân phối đối tốn tử ˚; có phần tử trung hịa ký hiệu 1k (tương ứng với 0) nhận 0k làm phần tử hấp thu Bổ đề 3.1 Với mi a Rmax v a Ô 0k ; tn nghịch đảo phần tử a ký hiệu cho: a ˝ a D a ˝ a D 1k (ta lưu ý với ký hiệu thông thường, a 1k a phần tử nghịch đảo phần tử đối a) 50 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Tồn mối liên hệ toán tử quan hệ thứ tự số thực với toán tử ˚ W Với a; b Rmax ; a b , a ˚ b D a: Chúng ta viết theo cách: a ˝ b D a b D ab: 3.2 Phép tính ma trận Trong đại số MaxPlus, ta định nghĩa tổng tích ma trận Định nghĩa Cho A ma trận kích cỡ m n; cho B ma trận kích cỡ m hiệu Œ:`; c phần tử dòng thứ ` cột thứ c: Ta định nghĩa A ˚ B bằng: ŒA ˚ B`;c D ŒA`;c ˚ ŒB`;c ` m; c n; ký n/: Dưới ví dụ tính tổng hai ma trận:  à  à ˚ D 2˚2 4˚2 !  à 3˚6 D : 5˚3 Định nghĩa Cho A ma trận kích thước m p; cho B ma trận kích thước p n; ký hiệu Œ:`;c phần tử dòng ` cột c: Ta định nghĩa A ˝ B bằng: ŒA ˝ B`;c D p M ŒA`;k ˝ ŒBk;c Ä ` Ä m; Ä c Ä n/: kD1 Tích hai ma trận minh họa ví dụ đưới đây: Â Ã Â Ã Ä ˝ 2/ ˚ ˝ 2/ ˝ 6/ ˚ ˝ 3/ ˝ D ˝ 2/ ˚ ˝ 2/ ˝ 6/ ˚ ˝ 3/  à  à 4˚5 8˚6 D D : ˚ 10 ˚ 10 Theo định nghĩa 2; hai bổ đề phát biểu sau: Bổ đề 3.2 Với j f1; : : : ; ng; ŒA ˝ B1j ŒA11 ˝ ŒB1j : Theo ví dụ bên trên, ta kết luận rằng: ŒA ˝ B11 D ˝ D ŒA11 ˝ ŒB11 D 4/; ŒA ˝ B12 D ˝ D ŒA11 ˝ ŒB12 D 8/: Bổ đề 3.3 Với f`; j g f1; : : : ; ng; ŒA ˝ B1j ŒA1` ˝ ŒB`j ; ŒA ˝ B`j ŒA`` ˝ ŒB`j : 51 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Vẫn theo ví dụ phía trên, ta có: ŒA ˝ B11 ŒA ˝ B12 ŒA ˝ B21 ŒA ˝ B21 ŒA ˝ B22 ŒA ˝ B22 D5 D8 D7 D7 D 10 D 10 ˝ D ŒA12 ˝ ŒB21 D 5/; ˝ D ŒA12 ˝ ŒB22 D 6/; ˝ D ŒA21 ˝ ŒB11 D 6/; ˝ D ŒA22 ˝ ŒB21 D 7/; ˝ D ŒA21 ˝ ŒB12 D 10/; ˝ D ŒA22 ˝ ŒB22 D 8/: 3.3 Tốn tử ngơi Định nghĩa Với a Rmax ; tốn tử ngơi định nghĩa: a D lim 1k ˚ a ˚ a2 ˚ q!1 ˚ aq /: Đây ví dụ tốn tử Rmax W D 1k ˚ ˚ ˚ ˚ D 1: Định nghĩa Cho A ma trận kích thước m m, tốn tử ngơi định nghĩa sau: A D lim 1k ˚ A ˚ A2 ˚ ˚ Aq /: q!1 Bổ đề 3.4 Với a; b Rmax ; ba nghiệm nhỏ bất phương trình x b ˚ xa a b nghiệm nhỏ bất phương trình x b ˚ ax: Ngoài ra, nghiệm làm thỏa mãn dấu đẳng thức, ba nghiệm nhỏ phương trình x D b ˚ xa a b nghiệm nhỏ phương trình phương trình x D b ˚ ax: Kết áp dụng vào phép tính ma trận (X B ˚ AX/: Đối với số thực, ví dụ sau thỏa mãn Bổ đề W 2/ D 1k ˚ 2/ ˚ 4/ ˚ 6/ ˚ D 1k : Vì vậy, nghiệm nhỏ phương trình x D b ˚ 2/x x D 2/ b D 1k b D b: Đối với ma trận gồm thành phần Rmax ; ta nhận nghiệm nhỏ phương trình X D B ˚ AX W  à  à  Ã à x1 12 0k x1 ˚ : D x2 15 0k x2 Bằng cách viết lại dạng X D B ˚ AX W  à  à  Ã Ã à x1;1 x1;2 12 0k 0k 12 0k x1;1 x1;2 D ˚ ; x2;1 x2;2 15 0k 0k 15 0k x2;1 x2;2 52 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 nghiệm nhỏ X D A B: Ta có  A D à 1k 0k : 0k 1k Thế nên  XD Ã à  à 1k 12 0k 13 0k D ; 1k 15 0k 15 0k  à 13 nghiệm nhỏ phương trình ban đầu X D : 15 3.4 Ứng dụng đại số MaxPlus toán lịch Đại số MaxPlus dùng hệ thống điều khiển, hệ thống có liên hệ với mạng Petri sử dụng lý thuyết lịch Tuy nhiên, tham khảo vài nghiên cứu có liên quan Giffler toán lịch dự án, Hanen Munier toán máy song song có chu kỳ, Gaubert Mairesses, Cohen đồng tác giả Cohen toán dạng flowshop có chu kỳ, Gaubert Houssin tốn dạng jobshop có chu kỳ Trong luận án mình, Lenté chứng minh toán dạng flowshop m máy với ràng buộc hốn vị perm/ mơ hình hóa đại số MaxPlus Cụ thể hơn, công việc Ji đặc trưng hồn tồn ma trận Ti tương ứng Ma trận Ti hoàn toàn đặc trưng ràng buộc toán Cũng nghiên cứu này, tác giả chứng minh đại số MaxPlus cho phép ta biểu diễn tập có thứ tự cơng việc dạng tích ma trận Trong Bouquard and Lenté, tác giả sử dụng đại số MaxPlus để mơ hình hóa tốn dạng flowshop máy với độ trễ tối đa tối thiểu F2 j permI max /delay j Cmax /; sau chặn chặn cách giảm nhẹ ma trận MaxPlus Kết sau mở rộng cho trường hợp m máy Augusto et al 2006: Trong Vo and Lenté 2013; đại số lại lần cho phép ta chứng minh tương đương hai toán: Bài toán với ràng buộc độ trễ (tối đa tối thiểu) Fm j permI max /delay j toán với ràng buộc gồm độ trễ (tối đa tối thiểu) thời gian chuẩn bị tháo dỡ Fm j permI max /delayI Snsd I Rnsd j ; làm xuất tốn trọng tâm Ngồi ra, Voo et al 2014; cách sử dụng ma trận MaxPlus, P tác giả tìm chặn cho tổng thời điểm hoàn thành (Fm j permI ˇ j Ci / từ chặn thời điểm hồn thành cơng việc Một kết quảPtương tự tìm với tổng trọng số thời điểm hoàn thành (Fm j permI ˇ j wi Ci / nhờ vào đại số MaxPlus Vo and Lenté 2014 Những chi tiết ứng dụng đại số MaxPlus toán dạng flowshop kết trình bày cụ thể Vo and Lenté 2015: 53 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Mơ hình hóa đại số MaxPlus Phần tập trung trình bày việc sử dụng đại số MaxPlus để mơ hình hóa tốn dạng flowshop, cụ thể giới thiệu ma trận MaxPlus tương ứng với công việc Các kết giới thiệu, phép tính chi tiết tham khảo Vo and Lenté 2015: 4.1 Ngun tắc chung Các mơ hình thực lúc Lenté 2011 đưa đến kết luận: Với công việc Ji ; tồn ma trận MaxPlus tương ứng Ti kích thước m m định nghĩa hồn tồn liệu công việc Ji điều kiện ràng buộc toán Ma trận biểu diễn mối quan hệ tuyến tính MaxPlus kết nối thời điểm nhàn rỗi máy trước sau thực thi công việc Các kết này, chứng minh nghiên cứu lúc này, tóm tắt mệnh đề sau Mệnh đề 4.1 Cho công việc Ji ; tồn ma trận MaxPlus Ti kích thước m m cho E i D ıE ˝ Ti ; D (4.1) Ei ıE véc-tơ thời điểm nhàn rỗi máy trước thực thi công việc Ji D véc-tơ ngày nhàn rỗi máy sau thực thi Tất hệ số ma trận Ti tính trực tiếp từ công việc Ji điều kiện ràng buộc tốn, ngược lại, ma trận hồn tồn đặc trưng cho cơng việc Ji điều kiện ràng buộc toán flowshop i Các hệ số ma trận Ti ký hiệu t`c : 1 t11 t12 1 Bt t22 21 Ti D B @ 1 tm1 tm2 1 t1m C t2m C: A tmm Cần lưu ý thời điểm máy giải phóng sau thực cơng việc khơng thiết trùng với thời điểm kết thúc tác vụ Điều nhiều lý do, ví dụ thời gian tháo dỡ (xem hình dưới) điều kiện ràng buộc tắc nghẽn Ngay ta thiết lập ma trận Ti , ta định nghĩa ma trận tương ứng với tập có thứ tự cơng việc Định nghĩa (Ma trận tương ứng với tập có thứ tự cơng việc) Cho tập có thứ tự -cơng việc: Ma trận tương ứng T định nghĩa T D O T i / : i D1 Giống ma trận Ti ; ma trận T định nghĩa quan hệ tuyến tính MaxPlus thời điểm nhàn rỗi máy trước sau thực tập có thứ tự công việc E véc-tơ thời điểm máy giải phóng tập có thứ tự Mệnh đề 4.2 Cho D công việc ; ta có quan hệ sau: E D ıE ˝ T : D 54 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Hình 4.2: Bài toán flowshop với ràng buộc độ trễ, thời gian thiết lập, tháo dỡ 4.2 Ma trận tương ứng với cơng việc 4.2.1 Bài tốn Ta gọi toán dạng flowshop toán dạng flowshop hốn vị khơng có thêm điều kiện ràng buộc khác Bài toán ký hiệu Fm j perm j tiêu chí Mệnh đề sau thiết lập Lenté 2001: Mệnh đề 4.3 Với công việc Ji ; ma trận Ti thể mối liên hệ thời điểm nhàn rỗi kết thúc sớm công việc định nghĩa bởi: pi1 pi1 pi pi1 pi pi m B 0k pi pi pi pi m C C Ti D B (4.2) @ A 0k 0k pi m Lời giải Với công việc Ji ; thời điểm kết thúc m bất phương trình sau: Ci1 Ci Cij tác vụ m máy thể ı1 C pi1 maxfCi1 C pi ; ı2 C pi g maxfCi.j 1/ C pij ; ıj C pij g < j Ä m/ (4.3) (4.4) (4.5) ı1 pi1 Ci1 pi ˚ ı2 pi Ci.j 1/ pij ˚ ıj pij < j Ä m/ (4.6) (4.7) (4.8) Bằng ký hiệu MaxPlus ta có Ci1 Ci Cij E i ma trận Ti Vì vậy, viết lại hệ bất phương trình dạng ma trận, ta có CEi ıT định nghĩa đẳng thức (4.2) Nghiệm nhỏ bất phương trình tương ứng E i : Mối quan hệ thể liên hệ thời điểm nhàn rỗi với dấu đẳng thức CEi D ıT kết thúc sớm công việc Ji : Chi tiết xem thêm Lenté 2001: Lưu ý trường hợp này, thời điểm kết thúc tác vụ thời điểm E i: E i D ıT giải phóng máy khỏi tác vụ Vì vậy, nghiệm viết lại D 55 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 4.2.2 Bài tốn với ràng buộc độ trễ tối thiểu Với toán với ràng buộc độ trễ tối thiểu Fm j perm; delay j tiêu chí bất kỳ), cách thức, ta có ma trận tương ứng với công việc Ji Lenté 2001: pi1 pi1 ˛i pi pi1 ˛i pi ˛i m pi m B 0k pi pi ˛i pi ˛i m pi m C C Ti D B (4.9) @ A 0k 0k pi m E i E i D CEi D ıT ta thấy trường hợp D 4.2.3 Bài toán với ràng buộc độ trễ tối thiểu tối đa Một toán dạng flowshop với ràng buộc độ trễ toán dạng flowshop với có mặt độ trễ hai tác vụ liên tiếp công việc Mỗi độ trễ phải bị chặn giới hạn (độ trễ tối thiểu) giới hạn (độ trễ tối đa) Loại toán ký hiệu Fm j perm; max /delay j tiêu chí Mệnh đề giới thiệu ma trận tương ứng với công việc dạng toán flowshop Kết trình bày Bouquard and Lenté 2006 cho trường hợp máy Augusto et al 2006 cho trường hợp máy Phần chứng minh kết cho trường hợp tổng quát m máy Mệnh đề 4.4 Ma trận Ti tương ứng với công việc Ji c O ˆ ˆ ˆ pi ` pi k ˛i k ˆ ˆ ˆ ˆ kD`C1 ˆ ˆ ˆ < pi ` ` ŒTi `;c D 1k 1k O ˆ ˆ ˆ ˆ ˇi ` pi k ˇi k ˆ ˆ kDcC1 ˆ ˆ ˆ 1k ˆ : ˇi ` định nghĩa bởi: si ` < c si ` D c (4.10) si c < ` si c D ` Trong trường hợp cụ thể 3-máy, ma trận biểu diễn sau: pi1 pi1 ˛i pi pi1 ˛i pi ˛i pi B 1k B pi pi ˛i pi Ti D B ˇi B @ 1k 1k pi ˇi pi ˇi3 ˇi C C C C A (4.11) Lời giải Phần chứng minh thực theo hai bước: Đầu tiên, ta thiết lập công thức ma trận để định nghĩa Ti sau đó, ta tính tốn hệ số Bước thứ nhất: Cơng thức tính Ti : Các mối liên hệ thời điểm nhàn rỗi máy, độ trễ, thời gian xử lý tác vụ thời điểm giải phóng máy minh họa hình Chúng thể cụ thể bất phương trình sau Lưu ý trường hợp này, thời điểm giải phóng máy thời điểm hoàn thành tác vụ 56 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Hình 4.3: Mối liên hệ thời điểm giải phóng khỏi tác vụ ba máy liên tiếp Di k Di k Di k Ä k Ä m/; 1k Ä k Ä m Di.kC1/ pi.kC1/ ˇi.kC1/ ık pi k Ä k Ä m/: Di.k 1/ ˛i k pi k (4.12) 1/; (4.13) (4.14) Nhắc lại mối quan hệ tuyến tính mà kỳ vọng viết dạng: E i; E i D ıT D (4.15) Ti ma trận tương ứng với công việc Ji : Bằng cách đặt ma trận Ai Bi đây, ta thiết lập cơng thức Ti (xem Mệnh đề 4.5) Định nghĩa k D ˛i.kC1/ pi.kC1/ Ä k Ä m 1/ 1k Ä k Ä m/ bi k D ˇi k pi k pi1 0k 0k C B 0k pi C Pi D B @ 0k A 0k 0k pi m 0k ai1 0k 0k Bbi 0k C B C C 0k b 0k Ai D B i B C @ ai.m 1/ A 0k 0k bi m 0k Mệnh đề 4.5 Ma trận Ti tương ứng với công việc Ji định nghĩa bởi: Ti D Pi Ai 57 (4.16) Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Ai D lim ˚ Ai ˚ A2i ˚ : : : ˚ Aqi / q!1 (4.17) Lời giải (của Mệnh đề 4.5) Các bất phương trình (4.12), (4.13) (4.14) viết lại dạng ma trận sau: Ei D E i E i Ai ˚ ıP D (4.18) E i thỏa mãn bất phương trình (4.18) xác Sử dụng Bổ đề ?? (trang ??), véc-tơ nhỏ D định bởi: E i Ai E i D ıP D (4.19) So sánh kết với mối quan hệ tuyến tính kỳ vọng đẳng thức (4.15), ta rút được: Ti D Pi Ai , kết chứng minh Mệnh đề 4.5 Giai đoạn : ta tiếp tục tính hệ số ma trận Ai tiết phần trình bày [14] Các hệ số ma trận Ai xác định bởi: c ˆ O ˆ ˆ ˆ k si ˆ ˆ ˆ < kD` si Ai `;c D ˆ ` ˆ O ˆ ˆ ˆ ˆ bi k si ˆ : đến hệ số ma trận Ti Chi `