Mô hình hóa bài toán điện từ bằng phương pháp miền nhỏ hữu hạn ứng dụng cho mô hình từ có cấu trúc vỏ mỏng

Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học tập lớp Cao học Kỹ thuật điện khóa 2013-2015, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tơi đào tạo tích lũy nhiều kiến thức cho thân phục vụ công việc Đặc biệt khoảng thời gian thực đề tài: “Mơ hình hóa bái tốn điện từ phƣơng pháp miển nhỏ hữu hạn - Ứng dụng cho mô hình từ có cáu trúc vỏ mỏng’’ Tơi xin bày tỏ lịng tri ân tới Thầy, Cơ Bộ mơn Thiết Bị Điện – Điện Tử – Viện Điện - Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội tận tình hướng dẫn giúp đỡ học tập, nghiên cứu làm luận văn Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Đặng Quốc Vương dành nhiều thời gian công sức hướng dẫn tơi thực hồn thành luận văn Mặc dù thân cố gắng, song với kiến thức hạn chế thời gian có hạn, luận văn chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý thầy, cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2016 Học viên Nguyễn Văn Thiện HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu thân tơi Các nội dung luận văn thực chưa công bố luận văn tác giả khác Tôi xin chịu trách nhiệm nội dung cam đoan Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Văn Thiện HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội MỤC LỤC MỤC LỤC DANH MỤC HÌNH ẢNH .6 DANH MỤC BẢNG .9 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT 10 MỞ ĐẦU 12 Đặt vấn đề 12 Phương pháp toán/miền nhỏ hữu hạn 15 Mục tiêu luận văn 16 Nội dung luận văn 17 Chƣơng MƠ HÌNH CHO BÀI TỐN TRƢ ỜNG ĐIỆN TỪ 18 1.1 Mở đầu 18 1.2 Hệ phương trình Maxwell 18 1.2.1 Các đặc tính vật liệu 19 1.2.2 Điều kiện bờ điều kiện biên 20 1.2.3 Điều kiện biên 22 1.3 Cấu trúc toán học liên tục không gian hàm 23 1.3.1 Không gian hàm Helmhotz 23 1.3.2 Sơ đồ Tonti 25 1.4 Hệ phương trình Maxwell miền tần số 27 1.5 Mô hình tốn điện tĩnh từ tĩnh 28 1.5.1 Mô hình tốn điện tĩnh 28 1.5.2 Mơ hình toán từ tĩnh 29 1.6 Mơ hình tốn từ động 31 Chƣơng PHƢƠNG PHÁP MIỀN NHỎ HỮU HẠN VÀ PHƢƠNG TRÌNH YẾU NHẬN 34 2.1 Mở đầu 34 2.2 Phương pháp miền nhỏ hữu hạn 34 2.2.1 Bài toán từ động (hoặc từ tĩnh) 34 2.2.2 Phương pháp kết nối toán nhỏ với 35 2.2.3 Phương pháp ánh xạ cho kết nối toán nhỏ 36 2.3 Kết nối toán nhỏ mơ hình cấu trúc vỏ mỏng 37 2.3.1 Nguyên tắc chung 37 HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội 2.3.2 Bài toán nhỏ: “Mơ hình cuộn dây –SPu” 38 2.3.3 Bài tốn nhỏ: “Mơ hình miền mỏng dẫn từ -SPp” 38 2.4 Phương trình yếu nhận viết cho véctơ từ a 39 2.4.1 Phương trình yếu nhận cho tốn từ động 39 2.4.2 Phương trình yếu nhận cho toán từ tĩnh 40 2.4.3 Phương trình yếu nhận cho toán nhỏ 41 2.4.3.1 Mơ hình cuộn dây –SP 41 2.4.2.2 Mơ hình miền mỏng dẫn từ –SP 41 2.5 Phương trình yếu nhận viết cho cường độ từ trường h 42 2.5.1 Phương trình yếu nhận cho tốn từ động 42 2.5.2 Phương trình yếu nhận cho toán từ tĩnh 44 2.5.3 Phương trình yếu nhận cho toán nhỏ 45 2.5.3.1 Mơ hình cuộn dây –SP1 45 2.5.3.2 Mô hình miền mỏng dẫn từ - SP 45 Chƣơng BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 47 3.1 Giới thiệu 47 3.2 Bài tốn ứng dụng 1: Mơ hình 2D 3D (thanh dẫn – chắn điện từ) [35] 48 3.3 Bài tốn 2: Mơ hình 3D (cuộn dây –mặt bích máy biến áp) [34] 55 KẾT LUẬN 65 HƢỚNG PHÁT TRIỂN TIẾP THEO 66 PHỤ LỤC 67 A Rời rạc hóa phần tử 67 A.1 Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) 67 A.2 Định luật Green 67 A.3 Các biểu thức yếu nhận 68 A.4 Phần tử hữu hạn 70 A.4.1 Định nghĩa phần tử hữu hạn 70 A.4.2 Ánh xạ phần tử hữu hạn 71 A.4.3 Bậc tự 72 A.4.4 Không gian hữu hạn 72 B Mơ hình phần tử hữu hạn 74 B.1 Các hàm nội suy 75 B.1.1 Hàm nút 75 B.1.2 Hàm cạnh 75 HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội B.1.3 Hàm mặt 76 B.1.4 Hàm khối 76 B.1.5 Đặc điểm hàm 76 B.2 Các phần tử tham chiếu 79 B.2.1 Tứ diện 79 B.2.2 Khối sáu mặt 79 B.2.3 Khối lăng trụ 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 0.1: Mơ hình máy biến áp 13 Hình 0.2: Mơ hình mạch từ cuộn dây máy biến áp 14 Hình 0.3: Mơ hình chắn điện từ 14 Hình 0.4: Mơ hình chia tốn đ ầy đủ thành bái tốn nhỏ 16 Hình 1.1: Điều kiện chuyển tiếp bề mặt hai miền khác Ω Ω2 21 Hình 1.2: De Rham complex khơng gian chiều xác định Ω [9] 24 Hình 1.3: Mặt cắt miền đa liên 30 Hình 2.1: Từ toán nhỏ SP u sang toán nhỏ SP p 38 Hình 3.1: Sơ đồ thuật toán áp dụng phần mềm Gmsh GetDP 48 Hình 3.2: Mơ hình 2D-3D máng cáp chắn (các kích thước cho bảng 3.1) Error! Bookmark not defined Hình 3.3: Mơ hình chia lưới 3D dẫn GTS - CPS 50 Hình 3.4: Sự phân bố mật độ từ trường SP1 (bài tốn 1, trường hợp khơng có GTS+CPS) 50 Hình 3.5: Sự phân bố véctơ từ với lưới khác toán nhỏ a1 dẫn alone, a2 – GTS- CPS, aprojection – nguồn VS ánh xạ từ a1 đến a2, a= a1 + a2 nghiệm xếp chồng toán toán ( = 6.48.10 MS/m, r = 256, f = 50Hz) 51 Hình 3.6: So sánh kết phân bố mật độ từ thông theo trục x y = 0.5m (xem hình 3.2) kết đo kết tính tốn phương pháp SPM (trường hợp không GTS+CPS), với = 6.48.10 MS/m, r = 256, f = 50Hz 52 Hình 3.7: So sánh phân bố mật độ từ thông theo trục x y = 0.5m (xem hình 4.2) kết đo kết tính tốn phương pháp SPM (trường hợp GTS+CPS) ( = 6.48.10 MS/m, r = 256, f = 50Hz) 52 Hình 3.8: So sánh kết phân bố mật độ từ thông theo trục x y = 1.0m (xem hình 3.2) kết đo kết tính tốn phương pháp SPM (trường hợp không GTS+CPS) ( = 6.48.10 MS/m, r = 256, f = 50Hz) 53 HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội Hình 3.9: So sánh phân bố mật độ từ thông theo trục x y = 1.0m (xem hình 3.2) kết đo kết tính tốn phương pháp SPM (trường hợp GTS+CPS), với = 6.48.10 MS/m, r = 256, f = 50Hz 54 Hình 3.10: Sự phân bố mật độ dịng điện xốy GTS CPS, với MS/m, r = 6.48.106 = 256, f = 50Hz 54 Hình 3.11: Sự phân bố mật độ dịng điện xốy dọc theo GTS CPS, với = 6.48.10 MS/m, r = 256, giá trị khác tần số 55 Hình 3.12: Kích thước hình học mặt bích MBA (trên cùng) mơ hình thí nghiệm (dưới) [21] (tồn kích thước tính mm) 56 Hình 3.13: Mơ hình chia lưới 3D mặt bích dẫn 57 Hình 3.14: Sự phân bố mật độ dòng điện pha dẫn với ia = Imax sin( t), i b = Imax sin( t-2 /3) ic = Imax sin( t+2 /3) 57 Hình 3.15: Sự phân bố mật độ từ thơng khơng khí (trên-SP1) (trong mặt cắt) sinh hệ thống dòng điện pha (trên, SP1); phân bố mật độ từ thông (giữa, SP2) dịng điện xốy mặt bích (giữa, SP2); (chiều dày mặt bích d = 6mm, ( r1 = r2 = 300, 1= =4.07 MS/m, f = 50Hz) 58 Hình 3.16: Sự phân bố mật độ tổn thất công suất dọc theo phía mặt bích với r1 = r2 = 300, 1= =4.07 MS/m, d =6mm, f = 50 Hz 59 Hình 3.17: Sự phân bố từ trường với trường hợp hai vùng vật liệu có độ thử thẩm khác ( r1 = 300, r2 = 1, 1= =4.07 MS/m, d =6mm, f = 50 Hz, Imax =200A) 60 Hình 3.18: Sự phân bố từ trường với trường hợp hai vùng vật liệu có độ thử thầm khác ( r1 = 300, r2 = 1, 1= =4.07 MS/m, d =6mm, f = 50 Hz, Imax =200A) 61 Hình 3.19: Sự phân bố dịng điện xốy dọc theo phía mặt bích với r1 =300, r2= 1, 1= =4.07 MS/m, d =6mm, f= 50 Hz 61 Hình 3.20: Sự phân bố tổn thất cơng dọc theo phía mặt bích với r1 = 300, r2= 1, 1= =4.07 MS/m, d =6mm, f= 50 Hz 62 Hình 3.21: Sự phân bố tổn thất công suất với trường hợp hai vùng vật liệu có độ thử thầm khác ( r1 = 300, r2 = 1, 1= =4.07 MS/m, d =6mm, f = 50 Hz, Imax =200A) 62 Hình A 1: Miền không gian áp dụng phần tử hữu hạn (K, P K, HV: Nguyễn Văn Thiện K) 70 KTĐ 2013 - 2015 Viện Điện Hình A.2: Một phần lưới 2D miền ` ĐHBK Hà Nội 73 Hình B.1: Tập hợp phần tử hình học khác 74 Hình B.2: Các dạng hình học: nút, cạnh mặt (i, j, k, l N) 74 Hình B.3: Định nghĩa miền phẳng xác định biểu thị ký hiệu N _ 75 F , j,i Hình B.4: Mơ tả hìnhhọc hàm cạnh seij 78 Hình B.5: Véctơ b hàm s f 78 Hình B.6: Mơ tả hình học hàm mặt phẳng sf 78 Hình B.7: Khối tứ diện tham chiếu T 79 Hình B.8: Khối sáu mặt tham chiếu H 80 Hình B.9: Khối lăng trụ tham chiếu P 80 HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội DANH MỤC BẢNG Bảng 3.1: Kích thước hình học GTS CPS 49 Bảng 3.2: Sự so sánh kết tính tốn tổn hao công suất (Joule losses) từ phương pháp SPM từ phương pháp PTHH [25], với hai vùng vật liệu giống ( r1 = r2 = 300, 1= =4.07 MS/m) 60 Bảng 3.3: Sự so sánh kết tính tốn tổn hao cơng suất (Joule losses) từ phương pháp PTHH từ phương pháp toán nhỏ (subproblem) [25], với hai vùng vật liệu giống ( r1 = r2 = 300, 1= =4.07 MS/m) 63 Bảng 3.4: Sự so sánh thời gian tính tốn phương pháp FEM phương pháp SPM Lưới M, M1, M2 hình 3.13 hình 3.18, dẫn tới nghiệm hệ thơng tuyến tính với n, n 1, n phương trình………… …………………………… 63 HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT a b c d e E2 E3 f H(Curl; Ω) H(div; Ω) h i j L2(Ω) ; L2(Ω) m p t X=(x,y) X=(x,y,z) γ vector (Wb/m) T (m/s) Cảm ứng điện (C/m ) (Hz) ) ) Hệ số điện dẫn suất o r Bước sóng ánh sáng λ o / r o ) ( 1/ ) ϕ e ) Mật độ điện dẫn (S/m) Từ vô hướng (V) phân cực m từ hóa (độ từ cảm) HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 10 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội f phụ thuộc vào biến hàm u Biểu thức (A.10) gọi biểu thức kinh điển biểu thức mạnh Một hàm u U( ) dùng để xác định toán gọi nghiệm kinh điển, hàm nghiệm mạnh Cụ thể, tốn tử L có bậc n, hàm u có bậc n – sai phân liên tục, tức u n– C ( ) Biểu thức yếu nhận toán (A.10) định nghĩa tổng quát sau: (u,L*v) - (f , v ) + Q g ( v) ds = , v V( ) (A.11) Trong L* song tốn tử, xác định biểu thức tổng quát (A.9), Qg biểu thức tuyến tính với v phụ thuộc vào g, không gian V( ) không gian hàm thử định nghĩa theo toán tửL* cụ thể theo điều kiện biên (A.10b) Một hàm u coi thỏa mãn phương trình với hàm thử v V( ) gọi nghiệm yếu nhận “weaksolution” Định luật tổng quát Green (A.9) ứng dụng cho biểu thức (A.11) để có tốn tử L thay tốn tử L* Nó tìm ngược lại, cách chọn hàm thử thích hợp, phương trình ràng buộc biểu thức kinh điển tốn, tức phương trình (A.10a) điều kiện biên (A.10b) Ta dễ dàng kiểm tra nghiệm kinh điển nghiệm yếu nhận Tuy nhiên, lúc thấy nghiệm yếu nhận nghiệm kinh điển tốn, nghiệm điều chỉnh đủ để xác định toán kinh điển Một ưu điểm tính tốn biểu thức yếu nhận chúng thường cho phép chứng minh dễ dàng tìm nghiệm biểu thức kinh điển Các nghiệm sau tìm điều chỉnh đủ để nghiệm kinh điển Một ưu điểm khác biểu thức yếu nhận phù hợp với rời rạc hóa phần tử hữu hạn sau đưa nghiệm rời rạc, phương pháp khác với trường hợp biểu thức kinh điển Trong nhiều trường hợp, ta xác định tốn thơng qua biểu thức yếu nhận (A.11) HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 69 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội A.4 Phần tử hữu hạn A.4.1 Định nghĩa phần tử hữu hạn Phần tử hữu hạn định nghĩa ba phần tử (K, P K, ), đó: K • K không gian miền gọi phần tử hình học “geometric element” (thường hình khối đơn giản, ví dụ tứ diện, lục diện lăng trụ); • P K khơng gian hàm với nK chiều, định nghĩa không gian K với hàm bản; • i K tập hợp nK chiều tự tương ứng nK phiếm hàm tính tốn n K, định nghĩa khơng gian hàm P K; Hơn nữa, hàm u K, i, P K phải định nghĩa với bậc tự xác định ánh xạ PTHH (K, P K, K) Vai trò phần tử hữu hạn q trình nội suy trường khơng gian hàm với chiều hữu hạn Một số phần tử hữu hạn định nghĩa phần tử hình học tương tự sau với điều kiện định tạo thành PTHH Hình A.1 cho thấy không gian khác định nghĩa PTHH; điểm K xác định không gian miền áp dụng quy đổi sang phiếm hàm tính tốn Hình A 1: Miền khơng gian áp dụng phần tử hữu hạn (K, PK, K) Đối với phần tử hữu hạn sử dụng phổ biến, bậc tự kết hợp với số nút K hàm chuyển vị i làm giảm hàm K, phần tử gọi phần tử nút Tuy nhiên, khái niệm khái niệm tổng quát trình chọn hàm chuyển vị HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 70 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội Chúng cần bổ sung giá trị nút, tích phân theo phần, mặt hay khối, miền điểm K (hình A.1) tương ứng với điểm, phần xéc măng, mặt khối A.4.2 Ánh xạ phần tử hữu hạn Phần tử (K, P K, K) gọi ánh xạ “unisolvant” nếu: p PK , j(p) = ; j K p (A.12) Trong trường hợp này, với hàm điều chỉnh u, có hàm nội suy xác định u K, gọi P K - nội suy, vậy: j(u – u K) = , Tập hợp K j K; uK PK (A.13) gọi P K - ánh xạ Chứng minh: Mỗi hàm số p P K viết thành hàm sở thành phần tuyến tính thuộc P K, ký hiệu {pi, i nK}, tức là: nK p (A.14) a i pi i Trong p i, j(1 j i nK, gọi hàm sở Vì hàm chuyển vị nK) tuyến tính, nên ta có: nK j ( p) j ( p i ) với j nK (A.15) i Khi j(p) = 0, j nK, dẫn đến p 0, ma trận ( ji = j(pi), khác 0; nghiệm hệ tương ứng phải không (tức = 0, i, j nK) i n K) Do đó, hệ trở thành: nK j ( u) j (u K ) j ( u) j (p i ) i nK) , j nK (A.16) i có nghiệm (ai, HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 71 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội A.4.3 Bậc tự Hàm nội suy u, không gian P K K, xác định sau: nK a i p i , u K PK uK (A.17) i Trong có nK hệ số kết hợp với hàm p i P K tính thơng qua ràng buộc (A.13), tức đưa nghiệm hệ phương trình tuyến tính có dạng: nK j ( u) j (p i ) , j nK (A.18) i Điều cho thấy rằng, hàm số u xác định với hàm j(u), j nK,tồn Nghiệm đơn giản hóa đến mức tối đa, ta định nghĩa hàm chuyển vị sau: j ( pi ) ij , i, j nK (A.19) Trong đó, ij ký hiệu Kronecker, tức là: ij si i j si i j Ma trận hệ gồm nhiều ma trận đơn vị có nghiệm là: aj = j(u) , j nK (A.20) Trong trường hợp này, hàm nội suy uK P K xác định: nK uK j (A.21) (u ) p j j Trong đó, hệ số hàm j(u) = j(u K), j nK, gọi bậc tự A.4.4 Không gian hữu hạn Một không gian hữu hạn Xh xây dựng từ tập hợp phần tử hình học kết hợp với phần tử hữu hạn Xây dựng không gian phụ thuộc vào lưới Mh miền K khả phần tử hữu hạn (K, P K, K) kết hợp với nút Mh HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 72 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội Để đưa hàm u nằm miền • Giới hạn uh K, , hàm nội suy uh Xh thì: tức biểu thức uh ứng với số phần tử hình học K, nằm khơng gian P K; • Giới hạn uh K(u) K hoàn toàn xác định khả tập giá bậc tự hàm u; • Một số điều kiện liên tục đảm bảo cho tính liên kết mặt phần tử hình học, Điều phù hợp với đặc tính miền Lưới Mh miền nghiên cứu định nghĩa tập hợp phần tử hình học mà có mặt, cạnh, nút (hình A.2) Các phần tử khơng trùng lên Hình A.2:Một phần lưới 2D miền Khơng gian hữu hạn Xh có số chiều hữu hạn, ký hiệu Dh Số chiều mô tả tập hợp bậc tự h kết hợp với tập hợp bậc K, K Mh , tức là: h ={ h,j , j Dh} (A.22) Với hàm điều chỉnh u có bậc tự với hàm h,j(u), j Dh, đưa hàm u h, gọi Xh- nội suy, xác định sau: Dh uh h, j (A.23) (u ) ph, j j HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 73 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội B Mơ hình phần tử hữu hạn Chia lưới miền nghiên cứu xây dựng tập hợp phần tử hình học, chúng tứ diện (4 nút), khối mặt (8 nút) hình lăng trụ (6 nút) (hình B.1) Các phần tử gọi khối đỉnh khối coi nút Trong toán PTHH, cạnh, nút, mặt khối ký hiệu tương ứng N, E, F V tính tốn kích thước trị số kích thước tương ứng #N, #E, #F #V Nút thứ i chia lưới gọi ni {i} cạnh, mặt khối coi tập hợp gồm nhiều nút Mỗi cạnh ký hiệu e ij {i, j}, mặt hình tam giác ký hiệu fijk {i, j, k} mặt tứ giác ký hiệu fijkl {i, j, k, l} Kích thước hình học hình mơ tả hìnhB.2 Hình B.1: Tập hợp phần tử hình học khác Hình B.2: Các dạng hình học: nút, cạnh mặt (i, j, k, l HV: Nguyễn Văn Thiện N) KTĐ 2013 - 2015 74 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội B.1 Các hàm nội suy B.1.1 Hàm nút Với nút i ϵ N, có hàm số pi(x) tương ứng hệ trục với biến số x mối ràng buộc nút thứ ni Giá trị hàm số nút giá trị hình học thay đổi liên tục nút nút giá trị bị gián đoạn Các hàm xác định không gian hàm nút phần tử thơng qua dạng hình học Với nút thứ ni = {i}, hàm xác định: sni ( x ) pi ( x ) (B.1) o n N tạo không gian ký hiệu S Tập hợp hàm s n với B.1.2 Hàm cạnh Với cạnh eij = (i, j) định nghĩa trường véctơ, xác định [31]: seij p j grad pr r N _ (B.2) pr r N _ F , j,i Trong biểu thức trên, N pi grad _ F ,i , j số nút thiết lập mặt F bao gồm phần tử F ,m ,n ước lượng với điểm x bao gồm nút thứ m khơng tính nút thứ n (như hình B.3) Trường véctơ cho tất phần tử không sát cạnh ei,j Không gian trường véctơ tạo thành hàm s ei,j, e E ký hiệu S1 Hình B.3: Định nghĩa miền phẳng xác định biểu thị ký hiệu N _ F , j,i HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 75 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội B.1.3 Hàm mặt Với mặt phẳng tam giác f = f ijk = {i, j, k} = {q1, q2, q3} hay mặt phẳng tứ giác f = fijkl = {i, j, k, l} = {q1, q2, q3, q4}được định nghĩa trường véctơ [8]: Nf sf af pqc grad c pr r N F ,qc ,qc grad pr r N F ,qc ,qc (B.3) Trong đó: Nf tổng số nút mặt phẳng f, Nf = af = 2; Nếu Nf = af = với qNf = qo qNf+1 = q1 Véctơ với tất mặt không kề với mặt phẳng f Trường không gian véctơ tạo thành sfijk(l), f F ký hiệu S B.1.4 Hàm khối Hàm chia lưới hình học, định nghĩa hàm vô hướng sv sau [31]: sv vol (v ) (B.4) Hàm với phần tử khác phần tử v Trường không gian véctơ tạo thành sv, v F ký hiệu S3 B.1.5 Đặc điểm hàm Dựa vào hàm trên, kết xây dựng theo là: s ni vị trí nút ni nút khác; kết tính tốn s eij theo chiều dài cạnh eij với cạnh khác; giá trị sfijk(l) thông qua mặt fijk(l) qua mặt khác tích phân khối sv thể tích khối đó, thể tích khác Tức là: si (x j )=δij , i,j N (B.5a) s dl=δij , i,j (B.5b) j i s nds=δij , i,j j i s dv=δij , i,j j i E F (B.5c) V (B.5d) Trong δ ij i = j δij i j Các đặc điểm tạo hàm ràng buộc sni, seij, sfijk(l), sv từ không gian sở chúng Các hàm gọi hàm nút, cạnh, mặt khối Các giải thích hình minh họa HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 76 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội cạnh mặt đưa số đặc điểm chúng Véctơ xác định: pr (B.6) gradPF,m,n = grad r N F,m, n Trường vô hướng liên tục là: PF,m,n = pr (B.7) r N F,m, n Giá trị điểm mặt với NF,m,n Đây đặc điểm nút Vì véctơ (B.6) trực giao với mặt phẳng điểm (như hình B.4) Trường véctơ nhân với pm: pm grad (B.8) pr r N F,m, n Hàm pm tất cạnh phần tử hình học theo biến x, ngoại trừ điểm liên quan đến m Do đó, giá trị (B.8) với tất cạnh trừ cạnh e{m,n} Véctơ (B.8) đơn giản véctơ có hướng trực giao với chúng (hìnhB.4) Tích có hướng hai véctơ (B.8) với cạnh {j, i} {i, j} phương trình (B.3) véctơ có đặc tính giống véctơ (B.8) có thuộc tính hàm seij Véctơ xác định: pc grad PF ,q ,q c c grad PF ,q ,q c (B.9) c Cả hai véctơ (B.9) minh họa hình B.5dưới Mỗi véctơ véctơ pháp tuyến mặt phẳng tích có hướng chúng (tức b hình B.5) song song với hai mặt phẳng Giá trị véctơ kết (B.9) qua mặt phẳng Số hạng pc (B.9) làm cho giá trị (B.9) qua tất mặt phẳng trừ mặt phẳng f Tóm lại hàm (B.4) có đặc điểm (xem hình B.6) HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 77 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội Hình B.4: Mơ tả hình học hàm cạnh seij Hình B.5: Véctơ b hàm sf Hình B.6: Mơ tả hình học hàm mặt phẳng sf HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 78 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội B.2 Các phần tử tham chiếu Dưới số phần tử tham chiếu chia lưới 3D B.2.1 Tứ diện Tứ diện tham chiếu T phần tử gồm nút, cạnh, mặt khối hình B.7 Với {i ϵ N} pi(u, v, w) = s i(u, v, w), hàm sở pi [31]: p1 = – u – v – w; p2 = u; p3 = v; p2 = w (B.10) Hình B.7: Khối tứ diện tham chiếu T B.2.2 Khối sáu mặt Khối mặt H phần tử gồm nút, 12 cạnh, mặt khối (hình B.8) Hàm sở khối xác định: p1 = 1/8.(1 – u) (1 – v) (1 – w) p2 = 1/8.(1 + u) (1 – v) (1 – w) p3 = 1/8.(1 + u) (1 + v) (1 – w) p4 = 1/8.(1 – u) (1 +v) (1 – w) p5 = 1/8.(1 – u) (1 - v) (1 + w) p6 = 1/8.(1 + u) (1 – v) (1 + w) p7 = 1/8.(1 + u) (1 + v) (1 + w) p8 = 1/8.(1 – u) (1 + v) (1 + w) (B.11) HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 79 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội Hình B.8: Khối sáu mặt tham chiếu H B.2.3 Khối lăng trụ Khối hình lăng trụ P phần tử gồm nút, cạnh, mặt khối (hình B.9) Hàm sở pi khối xác định: p1 = 1/2.(1 – u – v) (1 – w) p2 = 1/2.u (1 – v) p3 = 1/2.v (1 – w) p4 = 1/2.(1 – u – v) (1 + w) p5 = 1/2.u (1 + w) p6 = 1/2.v (1 + w) (B.12) Hình B.9: Khối lăng trụ tham chiếu P HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 80 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO A Kameari (1990), Calculation of transient 3D eddy current using edgeelements, IEEE Transactions on Magnetics C Geuzaine, P Dular, and W Legros (1999), Dual formulations for the modeling of thin conducting magnetic shells, COMPEL 18, no 3, 385-397 C Geuzaine P Dular, B Meys, and W Legros (2000), Dual formulations for themodeling of thin electromagnetic shells using edge elements , IEEE Transactions on Magnetics 36, no 4, 799-803 C Herault (1999), Boundary and interface conditions meshless methods for EM field analysis, IEEE Transactions on Magnetics 35, no 3, 1450-1453 C L Holloway (2000), Impedance-type boundary conditions for a periodic interface between a dielectric and a highly conducting medium, IEEE Transactions on Antennas and Propagation 48, no 10, 1660-1672 Christophe Geuzaine (2001), High order hybrid finite element schemes for Maxwell’s equations taking thin structures and global quantities into account , University of Liege, Belgium C Geuzaine, O Bruno, and F Reitich (2005), On the 0(1) solution of multiplescattering problems, IEEE Transactions on Magnetics 41, no 5, 14881491 Đặng Đình Đào, Lê Văn Doanh (2000), Các phương pháp đại nghiên cứu tính tốn thiết kế kỹ thuật điện, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật F Olvslager (2001), Field decomposition and factorization of the helmholtzdeterminant operator for bi-anisotropic media, IEEE Transactions on Antennas and Propagation 49, no 4, 660-665 10 G Geuzaine, B Meys, P Dular, F Henrotte, and W Legros (1999), A galerkin projection method for mixed finite elements, IEEE Transactions on Magnetics 35, no 3, 1438-1441 11 J Gyselinck, P Dular, C Geuzaine, and W Legros (2002), Harmonic balance finite element modelling of electromagnetic devices: a novel approach , IEEE Trans actions on Magnetics 38, no 2, 521-524 HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 81 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội 12 K Preis, I Bardi, O Biro, C Magele, G Vrisk, and K R Richter (1992), Different finite element formulations of 3D magnetostatic fields , IEEE Transactions on Magnetics 28, no 2, 1056-1059 13 L Krahenbiihl and D Muller (1993), Thin layers in electrical engineering Example of shell models in analyzing eddy currents by boundary and finite element methods, IEEE Transactions on Magnetics 29, no 2, 1450-1455 14 M S Sarto (1999), A new model for- the FDTD analysis of the shielding performances of thin composite structures, IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility 41, no 4, 298-306 15 M Hafner, F Henrotte, M H Gracia, and K Hameyer (2008), An energybased harmonic constitutive law for magnetic cores with hysteresis , IEEE Transactions on Magnetics 44, no 6, 922-925 16 P Dular, W Legros, and A Nicolet (1998), Coupling of local and global quantities in various finite element formulations and its application to electrostatics, magnetostatics, and magnetodynamics, IEEE Transactions on Magnetics 34, no 5, 3078-3081 17 Patrick Dular, Christophe Geuzaine (2014), GetDP Reference Manual, University of Liege, Belgium 18 P Dular (1994), Modelisation du champ magnet.ique etdes courants induits dans dessystemes tridimensionnels non lineaires, Ph.D thesis 152, University of Liege Belgium, Faculty of Applied Sciences 19 P Dular and P Kuo-Peng (2006), Dual finite element formulation for the threedimensional modeling of both inductive and capacitive effects in massive inductors, IEEE Transactions on Magnetics 42, no 4, 743-746 20 P Dular, C Geuzaine, and W Legros (1999), A natural method for coupling magnetodynamic h-formulations and circuit equations, IEEE Transactions on Magnetics 35, no 3, 1626-1629 21 S.V Kulkarni, J.C Olivares, R Escarela-perez, V.K Lakhiani and J Turowski(2004),Evaluation of eddy current losses in the cover plates of distribution transformers, Measurement and Technology, IEE Proceedings, no 5, pp 313-318 HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 82 Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội 22 S Koroglu P Sergeant, R.V Sabariego V.Q Dang M De Wulf (2011), Influence of contact resistance on shielding efficiency of shielding gutters for high-voltage cables, Electric Power Applications, IET, 5(9), 715-720 23 T Nakata, N Takahashi, K Fnjiwara, and Y Okada (1988), Improvements of the T-U method for 3-D eddy current analysis, IEEE Transactions on Magnetics 24, no 1, 94-97 24 Nguyễn Bình Thành, Nguyễn Trần Quân, Lê Văn Bảng (1969), Cơ sở lý thuyết trường điện từ, Nhà xuất Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 25 Vuong Q Dang, Patrick Dular, Ruth V.Sabariego, Laurent Krahenbuhl, and Christophe Geuzaine (2012), Subproblem approach for thin shell dual finite element formulations.Magnetics, IEEE Transactions on, 48(2), 407-410 26 Vuong Q Dang, P Dular, R V Sabariego, and C Geuzaine (2012), Accurate h-conform finite element of multiply connected thin regions via sub-problem method, Proceedings of 5th Biennial IEEE Conference on the Elec-tromagnetic Field Computation (Oita, Japan) 27 Vuong Q Dang, P Dular, R V Sabariego, M V Ferreira da Luz, P KuoPeng, L Krahenbuhl, and C Geuzaine (2011), Subproblem method with dual finite element formulations for accurate thin shell models , Proceedings of the XV, International Symposium on Electromagnetic Field in Mechatronics, Electrical Engineering (Madeira, Portugal) 28 X Brunotte and G Meunier (1990), Line element for efficient computation of themagnetic field created by thin iron plates, IEEE Transactions on Magnetics 26, no 5, 2196–2198 HV: Nguyễn Văn Thiện KTĐ 2013 - 2015 83 ... trúc vỏ mỏng hình 2.1b Khơng có vỏ mỏng Vỏ mỏng p Ωu Ωp Cuộn dây khơng có cuộn dây (a) (b) Hình 2.1: Từ toán nhỏ SP u sang toán nhỏ SP p 2.3.3 Bài tốn nhỏ: “Mơ hình miền mỏng dẫn từ -SPp” Từ toán. .. µ, …) miền Bài tốn đầy đủ Bài toán nhỏ Bài toán nhỏ Bài tốn nhỏ … Hình 0.4: Mơ hình chia toán đầy đủ thành bái toán nhỏ Phương pháp SPM sử dụng hiệu cho tốn tính tốn phân bố trường điện từ hệ... biến áp (Hình 0.2); Hình 0.2: Mơ hình mạch từ cuộn dây máy biến áp Hình 0.3: Mơ hình chắn điện từ chắn điện từ (Hình 0.3) Trong toán từ động, cấu trúc vỏ mỏng dẫn điện, áp dụng phương pháp PTHH