Về một số lớp ánh xạ co

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thị Ngọc Hân VỀ MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ CO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thị Ngọc Hân VỀ MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ CO Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Quốc Bình HÀ NỘI, 2016 i Lời cảm ơn Lời xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Quốc Bình tận tình hướng dẫn suốt trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy cô tổ môn giải tích, khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn, cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân đồng nghiệp thời gian làm luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng hoàn thiện luận văn tất nhiệt tình lực mình, nhiên luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp quý báu thầy cô bạn Hà Nội, tháng năm 2016 Người thực Nguyễn Thị Ngọc Hân ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Trần Quốc Bình, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: " Về lớp ánh xạ co " hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả, không trùng lặp với luận văn khác Trong trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Người thực Nguyễn Thị Ngọc Hân iii Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Các ánh xạ co 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Một số định lý ánh xạ co 1.3 Mở rộng định lý Meir Keeler 1.3.1 Giới thiệu 1.3.2 Một số ký hiệu khái niệm 1.3.3 Các kết i ii 4 11 11 12 13 Ánh xạ co địa phương 21 2.1 Định nghĩa 21 Ánh xạ co đa trị 32 3.1 Định nghĩa 32 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Mở đầu Lí chọn đề tài Năm 1922, nhà toán học người Ba Lan Stefan Banach phát biểu nguyên lý ánh xạ co kết khởi đầu cho lý thuyết điểm bất động dạng co Trong kể tới kết nhà toán học M A Krasnoselskii, E Rakotch, M Edelstein, D Boy - J Wong, F E Browder, A Meir - E Keeler, Những năm tiếp theo, kết điểm bất động chung cặp ánh xạ co, họ ánh xạ co nghiên cứu nhiều Các tác giả quen thuộc lĩnh vực kể đến G Juck, B Fisher, S S Chang, C S Wong, Đ T Tân, Năm 1979, Đ H Tân so sánh dạng ánh xạ co mà gọi co nói thu phát triển dạng co theo trình tự: Rakotch, Krasnoselskii, Boyd - Wong, Meir - Keeler Trong dạng co Meir - Keeler thực mở rộng dạng co Boyd - Wong Năm 1997, Jachymski chứng minh dạng co Krasnoselskii, dạng co Browder dạng co khác tương đương Hơn nữa, Jachymsski dạng co Boyd - Wong thực mở rộng dạng co Browder, dạng co Browder mở rộng dạng co Rackotch Các vấn đề nêu chương Cũng chương này, dành nhiều thời gian cho mở rộng định lý Meir - Keeler Song hành lý thuyết ánh xạ co ánh xạ co địa phương xuất từ sơm, cụ thể năm 1962 Tuy nhiên, ánh xạ co địa phương không phổ biến Người ta đặt tên cho ánh xạ co địa phương tương ứng với ánh xạ co bản, tên tương ứng với nhà toán học (đã nêu chương 1) Các vấn đề nêu chương Chương luận văn đề cập tới ánh xạ co đa trị, đề quan tâm ngày Trong chương này, trình bày vài kết tiêu biểu lý thuyết Vì tính thời vấn đề, chọn đề tài “Về số lớp ánh xạ co” hướng dẫn TS Trần Quốc Bình làm đề tài luận văn Mục đích nghiên cứu - Nắm dạng co - Tìm hiểu ánh xạ co địa phương, ánh xạ co đa trị mối tương quan chúng Nhiệm vụ nghiên cứu Làm rõ mối quan hệ ánh xạ co bản, ánh xạ co địa phương, ánh xạ co đa trị, mức độ tổng quát tương đương chúng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ co, ánh xạ co địa phương, ánh xạ co đa trị, điểm bất động ánh xạ co - Phạm vi nghiên cứu: Các báo tài liệu liên quan đến đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Thu tập, tổng hợp báo, công trình nghiên cứu nước Đóng góp luận văn Luận văn tài liệu tổng quan lĩnh vực nghiên cứu điểm bất động dạng co Chương Các ánh xạ co 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp, ánh xạ d : X × X → R+ thỏa mãn điều kiện sau với x, y, z ∈ X : i) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y , ii) d(x, y) = d(y, x), iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), gọi mêtric X Tập X với mêtric d gọi không gian mêtric (X, d) Định nghĩa 1.1.2 Trong không gian mêtric (X, d), dãy {xn } ⊂ X gọi hội tụ đến điểm x ∈ X d(xn , x) → n → ∞ Khi đó, x gọi giới hạn dãy {xn } Định nghĩa 1.1.3 Trong không gian mêtric (X, d), dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy lim (xn , xm ) = 0, tức m,n→∞ ∀ε > 0, ∃N : ∀m, n > N : d(xn , xm ) < ε Định nghĩa 1.1.4 Không gian mêtric (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy dãy hội tụ Định nghĩa 1.1.5 Cho T ánh xạ từ X vào Khi đó, T gọi có điểm bất động tồn x∗ ∈ X cho T x∗ = x∗ Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ T từ không gian mêtric (X, d) vào gọi ánh xạ co tồn k ∈ [0, 1) cho d(T x, T y) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.7 Ánh xạ T từ không gian mêtric (X, d) vào gọi ánh xạ co yếu x = y d(T x, T y) < d(x, y), ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.8 Ánh xạ T từ không gian mêtric (X, d) vào gọi tựa co tồn số α ∈ [0, 1) thỏa mãn d(T x, T y) ≤ α max {d(x, y), d(x, T x), d(y, T y), d(x, T y), d(y, T x)} Định nghĩa 1.1.9 Ánh xạ T từ không gian mêtric (X, d) vào gọi φ-co φ thỏa mãn < φ(t) < 1, φ(t) < t với t > d(T x, T y) ≤ φ(d(x, y)), ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.10 Không gian X gọi T -quỹ đạo đầy đủ dãy Cauchy O(x, ∞) = {x, T x, T x, } hội tụ điểm X Định nghĩa 1.1.11 Với tập A nằm không gian mêtric X , đường kính tập A ký hiệu δ(A) xác định sau δ(A) = sup{d(a, b) : a, b ∈ A} Định nghĩa 1.1.12 Cho (X, d) không gian mêtric Hàm f : X → R∪{+∞} gọi hàm nửa liên tục x0 ∈ X f (x0 ) ≥ lim sup f (x), x→x0 gọi nửa liên tục điểm x0 ∈ X f (x0 ) ≤ lim inf f (x) x→x0 Trong đó, lim sup f (x) = inf sup{f (x) : x ∈ X, d(x, x0 ) ≤ ε}, x→x0 lim inf f (x) = sup inf{f (x) : x ∈ X, d(x, x0 ) ≤ ε} x→x0 1.2 Một số định lý ánh xạ co Định lý 1.2.1 (Ánh xạ co Banach) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T ánh xạ co X Khi đó, tồn x∗ ∈ X mà T x∗ → x∗ Ngoài ra, với x0 ∈ X , ta có T n x0 → x∗ n → ∞ Định lý 1.2.2 (Ánh xạ co Rakotch) Giả sử T ánh xạ liên tục từ không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào thỏa mãn d(T x, T y) ≤ λ(d(x, y))d(x, y), λ(d(x, y)) hàm đơn điệu giảm phụ thuộc vào d(x, y) ≤ λ(d) < với d > Khi đó, T có điểm bất động x∗ với x0 ∈ X T n x0 → x∗ Định lý 1.2.3 (Ánh xạ co Krasnoselskii) Giả sử T ánh xạ liên tục từ không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào thỏa mãn d(T x, T y) ≤ α(a, b)d(x, y), với x, y ∈ X , a ≤ d(x, y) ≤ b Ở đây, ≤ α(a, b) < < a ≤ b, a, b số Khi đó, T có điểm bất động x∗ với x0 ∈ X , ta có T n x0 → x∗ Định lý 1.2.4 (Ánh xạ co Browder) Cho T ánh xạ từ không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào cho với x, y ∈ X , ta có d(T x, T y) ≤ ψ(d(x, y)) Ở ψ : [0, ∞) → [0, ∞), ψ(t) < t với t > ánh xạ tăng liên tục phải Khi đó, T có điểm bất động x∗ T n x0 → x∗ , ∀x0 ∈ X Định lý 1.2.5 (Ánh xạ co Boyd - Wong) Cho T ánh xạ từ không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào cho với x, y ∈ X , ta có d(T x, T y) ≤ ϕ(d(x, y)), đây, ϕ : [0, ∞) → [0, ∞), ≤ ϕ(t) < t với t > 0, ánh xạ nửa liên tục phải Khi đó, T có điểm bất động x∗ với x0 ∈ X , ta có T n x0 → x∗ 23 Ta có d(xn , 0) = ε − , d(T xn , T 0) = 0; n ε ε d(xn , xm ) = + − < √ , d(T xn , T xm ) = 0; m ε d(yn , 0) = ε, d(T yn , T 0) = − ; n ε ε d(xn , yn ) = + , d(T xn , T yn ) = − ; n n ε ε − + ε2 , d(xn , T ym ) = − ; d(xn , ym ) = n m ε − n √ 2 2ε, d(T yn , T ym ) = + ε − m ε ε0 thích hợp, ánh xạ f a phép ε- co địa phương Edelstein từ Xα vào f (r, ϕ) = Tuy nhiên, f không phép ε-co địa phương Meir - Keeler, a = ε, không tồn δ > cho với x, y : a ≤ d(x, y) < a + δ , suy d(f x, f y) < a Nhắc lại định nghĩa [14]: ánh xạ T gọi phép ε-co địa phương Banach tồn số λ < cho < d(x, y) ≤ ε suy 24 d(T x, T y) < λd(x, y) Một cách hiển nhiên, phép ε-co địa phương Banach phép ε-co địa phương Rakotch Điều ngược lại không Biến đổi [[10], Ví dụ 3] cho thấy ánh xạ ε-co địa phương Rakotch không ánh xạ ε-co địa phương Banach Ví dụ 2.1.3 Cho X = [0, 1] ∪ {n}, n ≥ 2, d(x, y) = |x − y|, Tx = x − x2 /2 x ∈ [0, 1] x−1 x = 2, 3, Lấy ε tùy ý nhỏ Với x, y ∈ [0, 1], d(T x, T y) = |x − y|(1 − (x + y)/2) ≤ t(1 − t/2), t = |x − y| Do t ≤ ε với x, y ∈ [0, 1] α(t) = − t/2 hàm giảm nên T phép ε-co địa phương Rakotch Khi đó, T kiểu (b) − (g) (xem Định lý 2.1.3 bên dưới) Mặt khác, với x ∈ [0, 1], d(T x, T 0) = x − x2 /2 = x(1 − x2 /2) d(x, 0) = x Do vậy, T không phép ε-co địa phương Banach Hơn nữa, T toàn cục không giãn (tức là, d(T x, T y) ≤ d(x, y), ∀x, y ∈ X ) Vậy T không số dạng phép co toàn cục Rakotch, , Edelstein đề cập phần mở đầu Nhận xét 2.1 (d) ⇔ (e) Đặt α(t) = φ φ(t) α(t) nửa liên tục từ phải t Nhận xét 2.2 Sử dụng lập luận tương tự [[6], Định lý 3], thấy định nghĩa phép ε-co địa phương Boyd - Wong mở rộng định nghĩa phép ε-co địa phương Browder Tổng kết kết ta thu định lý sau Mệnh đề 2.1.3 Ta có phép suy dẫn sau • (a) ⇔ (b) ⇔ (c) ⇒ (d) ⇔ (e) ⇒ (f ) ⇒ (g), • (g) (f ), (f ) (e), (d) (c), (a) phép ε-co địa phương Banach 25 Theo hướng thảo luận tiếp theo, ta nhắc lại khái niệm η -xích không gian mêtric: không gian mêtric X gọi η -xích với x, y ∈ X , tồn η -xích từ x đến y , tức tồn n điểm x0 = x, x1 , , xn = yn (n phụ thuộc vào x y ) cho d(xi−1 , xi ) < n, i = 1, 2, , n Rõ ràng không gian liên thông dùng η -xích không gian với η > Sự suy rộng định lý điểm bất động Edelstein cho phép ε-co địa phương Banach sau hệ trực tiếp định lý Jachymski Mệnh đề 2.1.4 Phép ε-co địa phương Meir - Keeler ε-xích không gian mêtric đầy đủ có điểm bất động, giới hạn dãy {T n x0 } với x0 thuộc X Từ kết Định lý 2.1.3, ta có định lý sau Định lý 2.1.1 Giả sử tự ánh xạ T ε-xích không gian mêtric X dạng (a) − (f ) Định nghĩa ?? Khi đó, T có điểm bất động, giới hạn dãy {T n x0 } với x0 ∈ X Bổ đề 2.1.2 X không gian mêtric compact T phép ε-co địa phương Edelstein Khi đó, T phép ε-co địa phương Rakotch Chứng minh Ta có kết sau: T phép co Rakotch tồn hàm α(ξ) < cho d(T x, T y) ≤ α(ξ)d(x, y), (0 < ξ ≤ d(x, y)) (*) Giả sử T phép ε-co địa phương Edelstein không gian mêtric compact X , ta chứng minh T phép ε-co địa phương Rakotch, tức chứng minh tồn hàm α thỏa mãn điều kiện (*) Chọn α(ξ) = sup d(T x, T y) : x, y ∈ X, ξ ≤ d(x, y) ≤ ε , (ξ > 0) d(x, y) Từ cách chọn hàm α thấy α(ξ) < Thật vậy, α(ξ) = 1, tồn hai dãy xn , yn thỏa mãn d(T xn , T yn ) → d(xn , yn ) Vì X compact, {x, y : ξ ≤ d(x, y) ≤ ε}, ta giả sử xn → x∗ , yn → y ∗ d(T x∗ , T y ∗ ) = d(x∗ , y ∗ ) Điều trái với giả thiết ban đầu T phép ε-co địa phương Edelstein 26 Từ bổ đề Định lý 2.1.3, ta đến kết luận sau Định lý 2.1.2 Nếu X compact tất định nghĩa (a) - (g) tương đương Ví dụ 2.1.4 Cho X = [0, 1] tập compact, d(x, y) = |x − y|, T x = x − x2 /2 Như Ví dụ 2.1.3, T phép co Rakotch, đó, T dạng (b) − (g) với ε > Nhưng T không phép η -co địa phương Banach với η > Một không gian mêtric X gọi mêtric lồi với a, b ∈ X bất kỳ, tồn c ∈ X cho d(a, b) = d(a, c) + d(c, b) Edelstein [14] thích phép ε-co địa phương Banach không gian mêtric lồi trở thành phép co toàn cục Banach Trong kết sau đây, kết tương tự đưa cho ánh xạ dạng (a) − (g) Bổ đề 2.1.3 Nếu X không gian mêtric lồi đầy đủ với λ < λ < a, b ∈ X bất kỳ, tồn c ∈ X cho d(a, c) = λd(a, b) d(c, b) = (1 − λ)d(a, b) Mệnh đề 2.1.5 T phép ε-co địa phương Meir - Keeler không gian mêtric lồi đầy đủ X Khi đó, T phép co toàn cục Meir - Keeler Chứng minh Lấy a > Ta chứng minh tồn δ > cho a ≤ d(x, y) < a + δ ⇒ d(T x, T y) < a a a + b := < ε Do T phép ε-co địa phương Meir ε n Keeler nên tồn δ1 > với b + δ1 ≤ ε, suy Chọn n = b ≤ d(x, y) < b + δ1 ⇒ d(T x, T y) < b Đặt δ = nδ1 Lấy x, y ∈ X : a ≤ t < a + δ , đó, t = d(x, y), a t b = ≤ < b + δ1 Do X không gian mêtric lồi, theo Bổ đề 2.1.3, tồn n n t xích x0 = x, x1 , , xn = y với d(xi−1 , xi ) = , i = 1, 2, , n Khi đó, n d(T x, T y) ≤ d(T x0 , T x1 ) + d(xn−1 , T xn ) < nb = a Do đó, T phép co toàn cục Meir - Keeler 27 Mệnh đề 2.1.6 T phép ε-co địa phương Boyd - Wong (Rakotch) không gian mêtric lồi đầy đủ X Khi đó, T phép co toàn cục Boyd Wong (Rakotch) Chứng minh (i) Giả sử T phép ε-co địa phương Boyd - Wong Từ ý, ta cần đắn mệnh đề cho phép ε-co địa phương Boyd - Wong∗ (e) t t Lấy x, y ∈ X Đặt t = d(x, y), n = + 1, δ := < ε Giả sử ε n x0 = x, x1 , , xn = y xích từ x đến y với d(xi−1 , xi ) = δ < ε, n d(xi−1 , xi ) Khi đó, i = 1, 2, , n d(x, y) = i=1 n d(T x, T y) ≤ d(T xi−1 , T xi ) i=1 n ≤ α(d(xi−1 , xi ))d(xi−1 , xi ) i=1 n = α(δ) d(xi−1 , xi ) i=1 = α(δ)d(x, y) = α t d(x, y) n t , đó, β hoàn toàn xác định với [t/ε] + t t0 t > β(t) < Cho t → t+ → từ Dễ thấy, [t/ε] + [t0 /ε] + phải Do α nửa liên tục từ phải nên Đặt β(t) := α t n =α lim sup α t→t+ t [t/ε] + ≤α t0 [t0 /ε] + Do đó, lim sup β(t) ≤ β(t0 ) Hay β nửa liên tục từ phải Suy T t→t+ phép co toàn cục Boyd -Wong∗ (ii) Giả sử có hàm giảm α : [0, ε] → [0, 1) cho (2.1) thỏa mãn Khi đó, giống phần (i), ta có d(T x, T y) ≤ α t d(x, y), [t/ε] + 28 t = d(x, y) Do ε≥ t t ≥ , t/ε [t/ε] + t t/ε + t t , Chú ý tăng ngặt theo t Đặt β(t) := α t/ε + t/ε + đó, β hoàn toàn xác định (0, ∞), β hảm giảm β(t) < với t > Ngoài α giảm (0, ε] α t [t/ε] + d(T x, T y) ≤ β(d(x, y))d(x, y), ≤α ∀x, y ∈ X Suy T phép co toàn cục Rakotch Các kết tương tự cho phép ε-co địa phương Krasnoselskii (và theo ε-Browder) phép ε-co địa phương Edelstein không gian mêtric lồi đầy đủ (chứng minh tương tự Mệnh đề 2.1.5 2.1.6) 29 Chương Ánh xạ co đa trị Nadler [11](1969) mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cho ánh xạ co đa trị Để phát biểu kết này, cần định nghĩa sau 3.1 Định nghĩa Định nghĩa 3.1.1 Cho (X, d) không gian mêtric Ta ký hiệu CB(X) họ tập đóng, bị chặn, khác rỗng X Khi đó, khoảng cách Hausdorff hai tập A, B ∈ CB(X) định nghĩa sau H(A, B) = max sup inf d(x, y), sup inf d(x, y) x∈A y∈B y∈B x∈A Định nghĩa 3.1.2 Ánh xạ đa trị T từ tập hợp X vào tập hợp Y phép gán cho x ∈ X tập hợp T x Y Định nghĩa 3.1.3 Cho (X, d) không gian mêtric Ánh xạ (đa trị) T từ X vào CB(X) gọi ánh xạ co tồn số k ∈ [0, 1) cho với x, y ∈ X , ta có H(T x, T y) ≤ kd(x, y) Định lý 3.1.1 (Nadler, 1969) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ, T : X → CB(X) ánh xạ co Khi đó, tồn x∗ ∈ X mà x∗ ∈ T x∗ Chứng minh Lấy h ∈ (k, 1) x0 ∈ X cách tùy ý, lấy x1 ∈ T x0 Có thể giả thiết d(x0 , x1 ) > Vì d(x1 , T x1 ) ≤ H(T x0 , T x1 ) ≤ kd(x0 , x1 ) < dh(x0 , x1 ), 30 nên tồn x2 ∈ T x1 mà d(x1 , x2 ) < hd(x0 , x1 ) Tiếp tục trình trên, ta dãy {xn } thỏa mãn xn+1 ∈ T xn , d(xn , xn+1 ) ≤ hn d(x0 , x1 ), n = 0, 1, 2, Khi đó, {xn } dãy Cauchy hội tụ đến điểm x∗ ∈ X Với n, ta có d(xn+1 , T x∗ ) ≤ H(T xn , T x∗ ) ≤ kd(xn , x∗ ) Cho n → ∞, ta d(x∗ , T x∗ ) = T x∗ tập hợp đóng nên ta có x∗ ∈ T x∗ Định lý chứng minh Điểm x∗ ∈ T x∗ gọi điểm bất động ánh xạ (đa trị) T Chú ý trường hợp này, điểm bất động không Chẳng hạn, với T ánh xạ hằng, tức T x = A với x điểm A điểm bất động T T ánh xạ co với k = Một mở rộng khác ánh xạ co đa trị không gian mêtric thuộc Stefan Czerwik Cho (X, d) không gian mêtric Chúng ta ký hiệu CL(X) = {C : C tập không rỗng, đóng X} N (ε, C) = {x ∈ X : d(x, c) < ε với c ∈ C , ε > 0, C ∈ CL(X)} H(A, B) = inf{ε > : A ⊂ N (ε, B), B ⊂ n(ε, A)}nếu inf tồn ∞ ngược lại , A, B ∈ CL(X) Hàm số H gọi khoảng cách Hausdorff suy rộng CL(X) cảm sinh d Ký hiệu D(x, A) khoảng cách thông thường x ∈ X A ∈ CL(X) Một điểm x gọi điểm bất động ánh xạ đa trị F : X → CL(X) x ∈ F (x) Bây giờ, ta chứng minh Định lý Định lý 3.1.2 Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ, α < 1, cho F : X → CL(X) Nếu với cặp x, z ∈ X , có điều kiện sau thỏa mãn H[F (x), F (z)] ≤ αd(x, z) H[F (x), F (z)] ≤ αD[x, F (x)] H[F (x), F (z)] ≤ αD[z, F (z)] (3.1) (3.2) (3.3) 31 Khi đó, F có điểm bất động Phần chứng minh định lý có hướng giống với chứng minh định lý [11] Chứng minh Lấy x0 thuộc X chọn x1 ∈ F (x0 ) Cho A, B ∈ CL(X) a ∈ A Từ định nghĩa mêtric H , với r > 0, tồn b ∈ B cho d(a, b) ≤ H(A, B) + r Do đó, theo điều kiện F (x0 ), F (x1 ) ∈ CL(X), x1 ∈ F (x0 ), tồn điểm x2 ∈ F (x1 ) cho d(x1 , x2 ) ≤ H[F (x0 ), F (x1 )] + α (3.4) Tiếp theo, F (x1 ), F (x2 ) ∈ CL(X), x2 ∈ F (x1 ) tồn x3 ∈ F (x2 ) cho d(x2 , x3 ) ≤ H[F (x1 ), F (x2 )] + α2 Bằng phép quy nạp, ta dãy {xk }∞ k=1 điểm X cho xk ∈ F (xk−1 ), k = 1, 2, d(xk , xk+1 ) ≤ H[F (xk−1 ), F (xk )] + αk , k = 1, 2, (3.5) Từ (3.1), (3.2), (3.3) (3.4), ta phải có ba tình sau đây: d(x1 , x2 ) ≤ αd(x0 , x1 ) + α, d(x1 , x2 ) ≤ αD[x0 , F (x0 )] + α ≤ αd(x0 , x1 ) + αd(x0 , x1 ) + α d(x1 , x2 ) ≤ αD[x1 , F (x1 )] + α ≤ αd(x1 , x2 ) + α (3.6a) (3.6b) (3.6c) Do đó, d(x1 , x2 ) ≤ α(1 − α)−1 Không khó khăn để kiểm tra điều kiện d(xn , xn+1 ) ≤ sαn + nαn , n = 1, 2, , đây, s = max[(1 − α)−1 , d(x0 , x1 )] Bây giờ, ta kiểm tra {xn }∞ n=1 dãy Cauchy Rõ ràng từ (3.7), ta d(xk , xk+m ) ≤ d(xk , xk+1 ) + · · · + d(xk+m−1 , xk+m ) ≤ sαk + kαk + · · · + sαk+m−1 + (k + m − 1)αk+m−1 ∞ ≤ sα k αi + i=0 iαi i=k (3.7) 32 Vì vậy, {xn }∞ n=1 dãy Cauchy Vì (X, d) không gian mêtric đầy đủ, xn → u ∈ X n → ∞ Bây ta chứng minh u điểm bất động F Thật vậy, từ (3.1), (3.2), (3.3) ta có D[u, F (u)] ≤ d(u, xn+1 ) + D[xn+1 , F (u)] ≤ d(u, xn+1 ) + H[F (x), F (u)] ≤ d(u, xn+1 ) + αd(xn , u) → n → ∞, D[u, F (u)] ≤ d(u, xn+1 )D[xn+1 , F (u)] ≤ d(u, xn+1 ) + H[F (xn ), F (u)] ≤ d(u, xn+1 ) + αD[xn , F (xn )] ≤ d(u, xn+1 ) + αd(xn , xn+1 ) → n → ∞, D[u, F (u)] ≤ d(xn+1 , u) + αD[u, F (u)] Vì vậy, D[u, F (u)] ≤ (1−α)−1 d(u, xn+1 ) → n → ∞ Do đó, D[u, F (u)] = 0, F (u) đóng, ta u ∈ F (u) dẫn đến định lý chứng minh Từ Định lý 3.1.2 ta có kết sau Mệnh đề 3.1.1 Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ, α < F : X → CL(X) hàm đa trị cho với cặp x, z ∈ X điều kiện (3.1) thỏa mãn Khi đó, F có điểm bất động Mệnh đề 3.1.2 [Reich, [15]] Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ cho F : X → CL(X) hàm đa trị với tính chất sau H[F (x), F (z)] ≤ αd(x, z) + bD[x, F (x)] + cD[z, F (z)], x, z ∈ X, (3.8) đây, a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c < Khi đó, F có điểm bất động Phần chứng minh không trình bày Mệnh đề 3.1.2 nằm Định lý 3.1.2 Thật vậy, cho x, z ∈ X từ (3.8) ta H[F (x), F (z)] ≤ (a + b + c) max[d(x, z), D[x, F (x)], D[z, F (z)]] theo Định lý 3.1.2, hàm F có điểm bất động Nhận xét 3.1 Rõ ràng Mệnh đề 3.1.2 kết tổng quát Reich [15] (định lý 5) 33 Định lý 3.1.3 Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ cho F : X → CL(X) ánh xạ đa trị với tính chất sau H[F (x), F (z)] ≤ ad(x, z)+bD[x, F (x)]+cD[x, F (z)]+cD[z, F (x)], (3.9) đây, a, b, c không âm, thỏa mãn a + 2b + 2c < Khi đó, F có điểm bất động Chứng minh Lấy x0 ∈ X chọn x1 ∈ F (x0 ) Vì F (x0 ), F (x1 ) ∈ CL(X), tồn x2 ∈ F (x1 ) cho d(x1 , x2 ) < H[F (x0 ), F (x1 )] + α, (3.10) α = a + b + c Bằng quy nạp, ta dãy {xn }∞ n=1 điểm thuộc X cho xk ∈ F (xk−1 ), k = 1, 2, αk d(xk , xk+1 ) ≤ H[F (xk−1 ), F (xk )] + , k = 1, 2, (3.11) (1 − b − c)k−1 Từ (3.10) (3.9) ta d(x1 , x2 ) ≤ ad(x0 , x1 ) + bD[x0 , F (x0 )] + bD[x1 , F (x1 )] + cD[x0 , F (x1 )] + cD[x1 , F (x0 )] + α ≤ (a + b + c)d(x0 , x1 ) + (b + c)d(x1 , x2 ) + α Do đó, d(x1 , x2 ) ≤ α(1 − b − c)−1 d(x0 , x1 ) + α(1 − b − c)−1 Ta ký hiệu q = (1 − b − c)−1 , s = max[1, d(x0 , x1 )] Khi đó, d(x1 , x2 ) ≤ 2qs Nhắc lại (3.10) (3.11) sử dụng nguyên lý quy nạp ta d(xk , xk+1 ) ≤ (k + 1)q k s, k = 1, 2, Từ (3.12), ta có d(xk , xk+m ) ≤ d(xk , xk+1 ) + · · · + d(xk+m−1 , xk+m ) ≤ (k + 1)q k s + · · · + (k + m)q k+m−1 s ∞ (i + 1)q i s ≤ (k + 2)q k (1 − q)−2 , k, m ≥ ≤ i=k (3.12) 34 Vì q < X đầy đủ, dãy {xk }∞ k=0 dãy Cauchy xk → u ∈ X k → ∞ Bây giờ, ta chứng minh u điểm bất động F Rõ ràng, ta D[u, F (u)] ≤ d(u, xn+1 ) + D[xn+1 , F (u)] ≤ d(u, xn+1 ) + H[F (xn ), F (u)] ≤ d(u, xn+1 ) + ad(xn , u) + bD[xn , F (xn )] + bD[u, F (u)] + cd[xn , F (u)] + cD[u, F (xn )] ≤ (1 + c)d(u, xn+1 ) + (a + c)d(xn , u) + bd(xn , xn+1 ) + (b + c)D[u, F (u)] Do đó, D[u, F (u)] ≤ (1 − b − c)−1 [(1 + c)d(u, xn+1 ) + (a + c)d(xn , u) + bd(xn , xn+1 )] → 0, n → ∞ Vì F (u) đóng nên u ∈ F (u), định lý chứng minh 35 Kết luận Luận văn trình bày số định lý điểm bất động ánh xạ co mối liên hệ, tương đương dạng co Luận văn trình bày chi tiết ánh xạ co địa phương, tồn điểm bất động mức độ tổng quát ánh xạ co địa phương Ngoài ra, luận văn trình bày vài định lý mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cho ánh xạ co đa trị Mặc dù tác giả cố gắng, song khả kiến thức có hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn 36 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] T Q Binh (2006), “Some results on locally contractive mappings”, Nonlinear Funct Anal & Appl, Vol 11 3, 371-383 [B] Tài liệu Tiếng Anh [2] D W Boyd and J S Wong (1969), “On nonlinear contractions”, Proc Amer Math Soc 20, 458-464 [3] F E Browder (1976), Nonlinear Operators and Nonlinear Equation of Evolution in Banach Spaces, Proc Symp Pure Math, Vol 18, Part 2, Providence RI [4] S Czerwik (1977), “Multi-valued contraction mappings in metric spaces”, Aequationes Mathematicae 16, 297-302 [5] M Edelstein (1962), “On fixed and periodic points under contractive mappings”, J London Math Soc 37, 74-79 [6] M Heged¨us (1980), “New generalization of Banach’s contraction principle”, Acta Sci Math 42 , 87-89 [7] M Heged¨us and T Szilágyi(1980), “Equivalent conditions and a new fixed point theorem in the theory of contracrive type mappings”, Math Japon 25 , 147-157 [8] J R Jachymski (1997), “Equivalence of some contractivity properties over metrical structures”, Proc Amer Math Soc 125(8), 2327-2335 [9] Z Liu, “On contractive mappings with diminishing orbital diameters”, Pure Appl Math Sci 43 (1996), 101-104 37 [10] A Meir and E Keeler (1969), “A theorem on contractive mappings”, J Math Anal Appl 28, 326-329 [11] Nadler, S B., Jr (1969), “Multi-valued contraction mappings”, Pacific J Math 30, 475-488 [12] S Park (1980), “On general contractive type conditions”, J Korean Math Soc 17 , 131-140 [13] S Park and B E Rhoades (1980), “Some general fixed point theorems”, Acta Sci Math 42 , 299-304 [14] E Rakotch (1962), “A note on contractive mappings”, Proc Ameir Math Soc 13, 475-465 [15] Reich, S., “Kannan’s fixed point theorem”, Boll Un Mat Ital (1971), 1-11 [16] D H Tan (1979), “On the contraction principle”, Acta Math Vietnamica 4(2), 88-102 [17] W Walter(1981), “Remarks on a paper by F Browder about contraction”, Non Anal 5, 21-25 [18] Zamfiescu(1972), “Fixed point theorems in metric space”, Arch Math Sasel 23 , 292-298 [...]... 1.3.4 Cho X = ω∪ 19 Chương 2 Ánh xạ co địa phương Trước tiên, ta đưa ra một vài định nghĩa Gọi T là một phép tự ánh xạ trong không gian mêtric X, φ : R+ → R+ , (R+ = [0, ∞)) là một hàm Khi đó, ánh xạ T được gọi là φ -co nếu φ(t) < t với mọi t > 0 và d(T x, T y) ≤ φ(d(x, y)), ∀x, y ∈ X 2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1.1 Một ánh xạ T được gọi là (a) ε -co địa phương Rakotch nếu tồn tại một hàm giảm α : (0, ε]... các số nguyên cố định Mặt khác, Belluce và Kink giới thiệu đường kính quỹ đạo thu hẹp và chứng minh cho các ánh xạ có đường kính quỹ đạo thu hẹp bao gồm cả ánh xạ co Banach Roger, Hardy và Liu đã chứng tỏ rằng nhiều kiểu ánh xạ co có đường kính quỹ đạo thu hẹp 1.3.2 Một số ký hiệu và khái niệm Trong suốt phần này, ký hiệu ω và N tương ứng với tập các số không âm và tập các số nguyên dương Cho f là một. .. nghĩa trong [14]: một ánh xạ T được gọi là phép ε -co địa phương Banach nếu tồn tại một hằng số λ < 1 sao cho 0 < d(x, y) ≤ ε suy 24 ra d(T x, T y) < λd(x, y) Một cách hiển nhiên, phép ε -co địa phương Banach cũng là phép ε -co địa phương Rakotch Điều ngược lại không đúng Biến đổi [[10], Ví dụ 3] cho thấy một ánh xạ ε -co địa phương Rakotch không là ánh xạ ε -co địa phương Banach Ví dụ 2.1.3 Cho X = [0, 1]... y))d(x, y), ≤α ∀x, y ∈ X Suy ra T là một phép co toàn cục Rakotch Các kết quả tương tự cũng đúng cho phép ε -co địa phương Krasnoselskii (và theo đó ε-Browder) và phép ε -co địa phương Edelstein trong không gian mêtric lồi đầy đủ (chứng minh tương tự như Mệnh đề 2.1.5 và 2.1.6) 29 Chương 3 Ánh xạ co đa trị Nadler [11](1969) đã mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cho ánh xạ co đa trị Để phát biểu kết quả này,... 3.1.3 Cho (X, d) là một không gian mêtric Ánh xạ (đa trị) T từ X vào CB(X) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số k ∈ [0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X , ta có H(T x, T y) ≤ kd(x, y) Định lý 3.1.1 (Nadler, 1969) Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ, T : X → CB(X) là một ánh xạ co Khi đó, tồn tại x∗ ∈ X mà x∗ ∈ T x∗ Chứng minh Lấy h ∈ (k, 1) và x0 ∈ X một cách tùy ý, rồi lấy x1 ∈ T x0 Có thể... T là ánh xạ co yếu, với mọi n ta có d(x∗ , T x∗ ) ≤ d(x∗ , xn+1 ) + d(xn+1 , T x∗ ) = d(x∗ , xn+1 ) + d(T xn , T x∗ ) ≤ d(x∗ , xn+1 ) + d(xn , x∗ ) Cho n → ∞ ta được d(x∗ , T x∗ ) = 0, tức là x∗ = T x∗ Vì T là co yếu nên x∗ là duy nhất Định lý 1.2.7 (Ánh xạ co Edelstein) Cho T là ánh xạ co yếu đi từ không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào chính nó Hơn nữa, với mọi x0 ∈ X , dãy {T n x0 } có một dãy con... r cos ϕ, y = r sin ϕ, 1 ≤ r ≤ 2, ϕ = ± −α , 6 d(yn , ym ) = ε 1 − 2 n r+1 , −ϕ Dễ thấy rằng, với ε > ε0 thích hợp, ánh xạ f là a một phép ε- co địa phương Edelstein từ Xα vào chính nó và f (r, ϕ) = Tuy nhiên, f không là phép ε -co địa phương Meir - Keeler, do a = ε, không tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y : a ≤ d(x, y) < a + δ , suy ra d(f x, f y) < a Nhắc lại một định nghĩa trong [14]: một ánh xạ. .. cho việc chỉ ra một ánh xạ T là phép 2ε -co địa phương Meir - Keeler nhưng không là phép 2ε -co địa phương Boyd - Wong* Ví dụ 2.1.1 Cho H là một không gian Hilbert khả ly Bằng cách ánh số lại ta có thể giả thiết rằng {en }n≤n0 là một cơ sở trực chuẩn của H Ở đây, n0 được 1 ε chọn sao cho < , ε > 0 lấy tùy ý n0 2 ε 1 − en , yn = εen (n ≥ n0 ) và X = {xn } ∪ {yn } ∪ {0} 2 n Khi đó, X là một không gian... động của ánh xạ (đa trị) T Chú ý rằng trong trường hợp này, điểm bất động có thể không duy nhất Chẳng hạn, với T là ánh xạ hằng, tức là T x = A với mọi x thì mọi điểm A đều là điểm bất động của T và T là ánh xạ co với k = 0 Một mở rộng khác của ánh xạ co đa trị trên không gian mêtric thuộc về Stefan Czerwik Cho (X, d) là không gian mêtric Chúng ta ký hiệu 1 CL(X) = {C : C là tập không rỗng, đóng của X}... nhất một điểm bất động, là giới hạn của dãy {T n x0 } với x0 bất kỳ thuộc X Từ kết quả đó và Định lý 2.1.3, ta có định lý sau đây Định lý 2.1.1 Giả sử một tự ánh xạ T của ε-xích không gian mêtric X là một trong các dạng (a) − (f ) trong Định nghĩa ?? Khi đó, T có duy nhất một điểm bất động, là giới hạn của dãy {T n x0 } với x0 ∈ X bất kỳ Bổ đề 2.1.2 X là không gian mêtric compact và T là một phép ε-co