bậc tôpô của một số lớp ánh xạ

HỒ CHÍ MINH Dương Nguyễn Thành An BẬC TÔPÔ CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ... Bên cạnh đó, sự quan tâm của gia đình, bạn bè là nguồn động viên không thể thiếu để giúp tác giả hoàn thành luận văn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Dương Nguyễn Thành An

BẬC TÔPÔ CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ

Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Bích Huy người đã tận tình và nghiêm khắc dạy bảo để luận văn này được hoàn thành

Đồng thời, tác giả cũng xin chân thành cám ơn Khoa Toán-Tin Phòng Sau Đại Học, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu Cám ơn các thầy cô và đồng nghiệp

đã trao đổi cùng tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quý báu để giúp cho luận văn được hoàn thiện hơn

Bên cạnh đó, sự quan tâm của gia đình, bạn bè là nguồn động viên không thể thiếu để giúp tác giả hoàn thành luận văn này Xin chân thành cám ơn

Học viên: Dương Nguyễn Thành An Lớp: Toán giải tích K23

Trang phụ bìa

Lời cám ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 BẬC TÔ PÔ CỦA ÁNH XẠ CÔ ĐẶC 3

1.1 Độ đo phi compact 3

1.2 Ánh xạ cô đặc theo một độ đo phi compact 11

Chương 2 BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG 24

2.1 Không gian banach có thứ tự 24

2.2 Bậc tôpô của ánh xạ dương 25

2.3 Điểm bất động của ánh xạ dương 31

Chương 3 BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ A–RIÊNG 34

3.1 Ánh xạ a-riêng 34

3.2 Bậc tôpô của ánh xạ a-riêng 36

Chương 4 BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ 46

4.1 Ánh xạ đa trị 46

4.3 Lát cắt xấp xỉ của ánh xạ đa trị 53

KẾT LUẬN 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

MỞ ĐẦU

Bậc tôpô của ánh xạ (hay cũng còn gọi là số quay của trường vectơ) được xây dựng từ những năm 1910 và ban đầu được ứng dụng trong Giải tích phức, trong Lý thuyết đường và mặt Chỉ sau khi bậc tôpô tìm được ứng dụng trong chứng minh sự tồn tại điểm bất động thì nó mới được các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu một cách tập trung và có hệ thống Ngày nay, bậc tôpô là công cụ quan trọng bậc nhất trong nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và cấu trúc tập nghiệm của nhiều lớp phương trình

vi phân, tích phân xuất phát từ Khoa học Tự nhiên và Xã hội

Bậc tôpô ban đầu được xây dựng cho ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều, sau đó được Leray-Schauder mở rộng cho ánh xạ hoàn toàn liên tục tác động từ một tập mở, bị chặn trong không gian Banach vô hạn chiều và ứng dụng để nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng Tiếp theo, sự phát triển của khoa học và kĩ thuật đưa tới những lớp ánh xạ mới và nảy sinh nhu cầu xây dựng bậc tôpô cho các ánh xạ này Trong luận văn này, tác giả tập trung nghiên cứu phương pháp xây dựng bậc tôpô, xét các tính chất chung và riêng của bậc tôpô cho các lớp ánh xạ: ánh xạ dương trong không gian Banach có thứ tự, cho ánh xạ A-riêng, cho ánh xạ cô đặc theo một độ

đo phi compact, cho ánh xạ đa trị Đồng thời vận dụng phương pháp bậc tôpô để nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của các lớp ánh xạ này

Cấu trúc của luận văn gồm bốn chương:

- Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về định nghĩa cũng như các kết quả

về độ đo phi compact, ánh xạ cô đặc theo một độ đo phi compact và bậc tôpô của ánh

xạ cô đặc

- Chương 2: Trình bày các kiến thức cơ sở về định nghĩa cũng như các kết quả

về không gian Banach có thứ tự và bậc tôpô của ánh xạ dương

- Chương 3: Trình bày các kiến thức cơ sở về định nghĩa cũng như các kết quả

về ánh xạ A-riêng, bậc tôpô cho ánh xạ A-riêng và phương trình với ánh xạ Fredholm chỉ số 0

- Chương 4: Trình bày các kiến thức cơ sở về định nghĩa cũng như các kết quả

về ánh xạ đa trị, ánh xạ đa trị nửa liên tục, lát cắt xấp xỉ của ánh xạ đa trị và bậc tôpô của ánh xạ đa trị trong n

 Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn chắc chắn cũng còn nhiều thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Tp Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 09 năm 2014

Chương 1 BẬC TÔ PÔ CỦA ÁNH XẠ CÔ ĐẶC

1.1 Độ đo phi compact

( )1 diam(λB)= λ diam B( );

( )2 diam x( +B)=diam B( );

( )3 diam A( +B)≤diam A( )+diam B( );

( )4 diam conv A( ( ))=diam A( ).

Do đó diam A( +B)≤diam A( )+diam B( )

(4) Lấy x y, ∈conv A( ) Khi đó, tồn tại s i∈( )0;1 ,x i∈A i, = 1, 2, k ,

1

1

k i i

Khi đó ta gọi β( )A là độ đo phi compact Hausdorff

Mối quan hệ giữa α và β được thể hiện qua bất đẳng thức sau

Lấy bất kỳ δ β> ( )A , tồn tại hữu hạn quả cầu B y( 1,δ) (,B y2,δ), ,B y( m,δ) sao

(1) Đặt B={δ >0 : A được phủ bởi hữu hạn tập hợp có đường kính nhỏ hơn hoặc bằng δ },

=

C {δ >0 :A được phủ bởi hữu hạn tập hợp có đường kính nhỏ hơn hoặc bằng

δ }

Lấy δ∈C ⇒ A được phủ bởi hữu hạn tập hợp có đường kính nhỏ hơn hoặc bằng

δ ⇒ A được phủ bởi hữu hạn tập hợp có đường kính nhỏ hơn hoặc bằng δ ⇒ ∈ Bδ

Vậy B C= ⇒α( )A =infC=infB=α( )A

(2) Giả sử A compact tương đối suy ra A compact

 Do A compact nên tồn tại số k

hữu hạn sao cho

1

1,2

k i i

Lấy δ ∈ ⇒D B được phủ bởi hữu hạn tập hợp có đường kính nhỏ hơn hoặc bằng

δ ⇒ A được phủ bởi hữu hạn tập hợp có đường kính nhỏ hơn hoặc bằng

x ∈A i ∈ k sao cho d x y( 0, 0)<η Giả sử ngược lại: không tồn tại x0∈A i0

sao cho d x y( 0, 0)<η nghĩa là d x y( , 0)≥ ∀ ∈η, x A (do

1

k i i

=

Điều này kéo theo

( )

(conv A ) ( ) 3 A

Cho ε →0+ , ta có α(conv A( ))≤α( )A Vì vậy α(conv A( ))=α( ).A

1.2 Ánh xạ cô đặc theo một độ đo phi compact

1.2.1 Định nghĩa

Cho X là không gian định chuẩn thực, D⊂ X , T D: →X là một ánh xạ và α là

độ đo phi compact

(1) T được gọi là một k- cô đặc nếu α(TB)≤kα( )B với mọi tập con bị chặn

giảm nghiêm ngặt, B( )0,1 là quả cầu đơn vị của X và T B: ( )0,1 →B( )0,1 được xác định bởi

Cho X là một không gian Banach thực, D X⊂ , T D: →X là một ánh xạ và α là

độ đo phi compact

(1) T được gọi là một k – cô đặc đếm được nếu α(TB)≤kα( )B với mọi tập con

bị chặn đếm đượcB⊂D ,k > 0 hằng số;

(2) T được gọi là ánh xạ cô đặc đếm được nếu α(TB)<α( )B với mọi tập con bị chặn đếm đượcB⊂D,α( )B >0.

(3) H t x( ), : 0;1[ ]× →D X được gọi là một đồng luân của ánh xạ cô đặc đếm được nếu α(H( [ ]0;1 ×B) )<α( )B với mọi tập con bị chặn đếm đượcB⊂D,α( ) 0.B >

Ta thấy một ánh xạ cô đặc là một ánh xạ cô đặc đếm được

1.2.5 Mệnh đề [2, trang 63]

Cho E là không gian Banach, Ω ⊂E là một tập con bị chặn và T:Ω →E là ánh

xạ cô đặc đếm được Đặt F ={x∈Ω:Tx=x} Thì tồn tại một tập con (của E) lồi,

compact C sao cho:

Ta chứng minh C compact Giả sử điều này không đúng Thì tồn tại

1 1 2

C = x x, , ⊂C không có dãy con Cauchy

Do C=conv T C( ( ∩ Ω )) nên tồn tại một tập con đếm được A1 ⊂ ∩ ΩC sao cho

Đặt F là họ tất cả các tập con M E⊂ sao cho M C\ n hữu hạn với mọi n =1,2,

và FBlà họ tất cả các tập con đếm đượcM ∈ F thỏa M B⊂

Bước 1: Ta chứng minh tồn tại B ∈* FB sao cho α( )K ≤α( )B* , với mọi K ∈ FB

Thật vậy, từ α( )K ≤α( )B (với mọi K ∈ FB), ta có s=sup{α( )K K, ∈ FB }< +∞ ,

và lấy K ∈ n FB sao cho α( )K n →s khi n → ∞ Đặt *

Với n bất kỳ, lấy kn đủ lớn sao cho x n∈C k n Nếu không tồn tại số tự nhiên kn như thế, ta đặt k n =n Với số tự nhiên k bất kỳ, M C\ k hữu hạn, do đó {n x: n∉C k} là hữu hạn Ta có:

I k ={n k: n ≤k}⊂I k+1∪{1,2, ,k}

vì C1 ⊃C2 ⊃ do đó Ik hữu hạn với mọi k Ta có:

x n∈C k n =conv T C( ( k n−1∩B) ), với mọi n ≥1

Do đó, tồn tại y n∈conv T C( ( k n−1 ∩B) ) sao cho 1

 hữu hạn nên A∈ FB

Bước 3: Ta chứng minh bất kỳ K ∈ FB hữu hạn Giả sử K vô hạn Thay K bởi

*

K B∪ , ta được α( )K =s Vì K đếm được nên ta giả sử K={x n n: ≥1}

Theo bước 2, tồn tại A∈ FB và y n∈conv T A( ( )) sao cho x n−y n →0 khi n → ∞ Khi đó, K A∪ ∈ FB do đó α(A K∪ )=α( )K =s Đặt:

ta lấy yn và A như trong bước 2 Theo bước 3, A compact tương đối, vì vậy conv TA( )

compact tương đối Do đó {y i ≥ i: 1} compact tương đối nên F compact tương đối

Cho E là không gian Banach, C⊂E là một tập con lồi đóng bị chặn khác rỗng,

và T C: →C là ánh xạ cô đặc đếm được liên tục Khi đó T có điểm bất động trong C

Vì vậy α( {T x i i 0, ≥0} )=0 Do đó, ( 0) 1

i i

T x hội tụ đến một điểm x trong K nên K ≠ ∅ Thật vậy:

Sx=kTx+ −k x với mọi x∈C Thì S là k - cô đặc đếm được Thật vậy:

Với mọi tập con bị chặn đếm đượcB⊂D, ta có:

Nên ( )x n ∞n=1 có một dãy con x n j → ∈y C Do tính liên tục của T, ta có Ty= y

1.3 Bậc tô pô của ánh xạ cô đặc đếm được

1.3.1 Xây dựng định nghĩa

Cho E là không gian Banach và Ω ⊂E là một tập mở và bị chặn Cho T: Ω →E

là một ánh xạ cô đặc đếm được, liên tục và 0 ∉ −(I T)(∂Ω) Nếu 0∉ −(I T)( )Ω , ta

định nghĩa deg(I− ΩT, , 0)=0 Nếu không, đặt F ={x∈Ω:Tx=x} và cho C là một

tập con lồi compact thỏa mãn mệnh đề 1.2.5 Ta có C khác rỗng do F ⊂C và

Để thấy định nghĩa này hợp lý, ta cần chỉ ra rằng, nếu r r1, 2:E→C là hai ánh xạ

t x ∈ × ∂ r− Ω ∩r− Ω ∩ Ω Do đó, theo tính chất bất biến đồng luân của bậc

tô pô Leray Schauder, chúng ta có:

Bậc tô pô được định nghĩa trong 1.3.1 có các tính chất sau:

(1) (Chuẩn tắc) deg(I, , 0Ω )=1 nếu và chỉ nếu 0 ∈Ω

(2) (Giải được) Nếu deg(I− ΩT, , 0)≠0, thì Tx=x có nghiệm thuộc Ω

(3) (Bất biến đồng luân) Cho H t x( ), : 0;1[ ]× Ω →E là một ánh xạ cô đặc đếm được, liên tục, nghĩa là, α(H( [ ]0;1 ×B) )<α( )B với mọi tập con đếm được B của Ω

với α( )B >0và H t x( ), ≠x với mọi ( )t x, ∈[ ]0;1 × ∂Ω Thì deg(I−H t( ), , , 0 Ω ) không phụ thuộc vào t∈[ ]0;1

(4) (Cộng tính) Cho Ω Ω1, 2 là hai tập con mở rời nhau của Ω và

( )( 1 2 )

deg I−H t, ,r r− C∩ Ω ∩ Ω, 0 không phụ thuộc vào t Vì vậy, kết luận

có được từ định nghĩa của bậc và tính chất khoét của bậc Leray Schauder

1.3.3 Định lý [2, trang 66]

Cho E là không gian Banach, Ω ⊂E là một tập mở bị chặn, θ ∈Ω, :T Ω →E là ánh xạ cô đặc đếm được liên tục Giả sử x≠λTx với mọi λ∈ [0;1),x ∈∂Ω Khi đó T có điểm bất động trong Ω

Chứng minh

Giả sử Tx≠ ∀ ∈∂Ωx, x . (vì nếu ∃ ∈∂Ωx :Tx=x thì ta có ngay điều cần chứng minh)

Đặt H t x( ), =tTx, ∀( )t x, ∈[ ]0;1 × Ω Khi đó {H t( ),.}t∈[ ]0;1 là một đồng luân của ánh

xạ cô đặc đếm được liên tục Thật vậy: với mọi tập con đếm được B của Ω với

deg I− ΩT, , 0 =deg I, , 0Ω =1 (do 0∈Ω )

Vì vậy Tx=x có nghiệm trong Ω

1.3.4 Hệ quả [2, trang 67]

Cho E là không gian Banach, Ω ⊂E là một tập mở bị chặn, 0∈Ω, :T Ω →E là ánh xạ cô đặc đếm được liên tục Giả sử Tx ≤ x với mọi x∈∂Ω Khi đó T có điểm bất động trongΩ

Chứng minh

Giả sử Tx≠ ∀ ∈∂Ωx, x Khi đó Tx≠λx với mọix∈∂Ω vàλ> 1. Thật vậy:

Giả sử: ∃ ∈∂Ω >x ,λ 1 sao cho: Tx=λx Khi đó:

Theo định lý 1.3.3 T có điểm bất động trong Ω

1.3.5 Định lý [2, trang 67] Cho E là không gian Banach và T E: →E là ánh xạ cô đặc đếm được liên tục Thì một trong các kết luận sau đúng:

(1) T có điểm bất động trong E;

(2) I = {x: tồn tại λ> 1 để Tx=λx} không bị chặn

Chứng minh:

Giả sử I bị chặn Lấy r> 0 sao cho I ⊂B( )0,r Nếu tồn tại x∈∂B( )0,r sao cho

Tx=x thì (1) đúng Vì vậy, ta có thể giả sử Tx≠ ∀ ∈∂x, x B(0, r) Khi đó

Vì vậy deg(I−T B, ( )0,r , 0)=deg(I B, ( )0,r , 0)=1 và T có điểm bất động trong

( )0,

1.3.6 Định lý [2, trang 67]

Cho E là không gian Banach vô hạn chiều, Ω ⊂E là một tập mở bị chặn,

0∈Ω, :T Ω →E là ánh xạ cô đặc đếm được liên tục và S:∂Ω →E là ánh xạ compact liên tục Giả sử tTx+ −(1 t Sx) ≠x và Sx > x ,∀ ∈∂Ω ∈x ,t [ ]0;1 Khi đó

Ta có deg(I− ΩL, , 0)=0 và vì vậy deg(I− ΩT, , 0)=0

+ Nếu t =0 : Sx x x≠ ∀ ∈∂Ω, (do Sx=x0 và 0 sup

Hay tTx≠ + −x (t 1)x0 với mọi x∈∂Ω và t∈( )0,1

Mặt khác: Sx > x với mọi x∈∂Ω (do Sx=x0 và 0 sup

1.3.8 Định lý [2, trang 68] Cho E là không gian Banach vô hạn chiều, Ω ⊂i E i, =1, 2,

là hai tập mở bị chặn, 0∈Ω ⊂ Ω1 2, x0∈E sao cho

+ Nếu t ∈( )0,1 : giả sử tồn tại t ∈0 ( )0,1 và x ∈∂Ω0 1 sao cho: x0 −t Tx0 0 =0 Suy ra

Chương 2 BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG

2.1 Không gian banach có thứ tự

2.1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón

2.1.1.1 Định nghĩa

1) Tập K trong không gian Banach thực X được gọi là nón nếu:

i) K là tập đóng, ii) K K K K K+ ⊂ ,λ ⊂ ,∀ ≥λ 0, iii) K∩ −( K)={ }θ

2) Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi:

x y≤ ⇔ − ∈y x K Mỗi x K∈ \{ }θ gọi là dương

Nón K gọi là nón chuẩn nếu ∃ >N 0 :θ ≤ ≤ ⇒x y x ≤N y

2.1.2.2 Mệnh đề

Giả sử " "≤ là thứ tự sinh bởi nón chuẩn Khi đó:

1) Nếu u v≤ thì đoạn u v, :={x X u x v∈ : ≤ ≤ } bị chặn theo chuẩn

2) Nếu x n ≤y n ≤z n, ∀ ∈ n * và limx n =a,limz n =a thì limy n =a

3) Nếu { }x n đơn điệu và có dãy con hội tụ về a thì limx n =a

2.1.3 Nón chính qui

Định nghĩa Nón K gọi là nón chính qui nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên thì hội tụ

2.2 Bậc tôpô của ánh xạ dương

Nếu A tuyến tính, dương thì nó cũng có tính đơn điệu:

x y≤ ⇒ A x( )≤A y( )

2.2.2 Bổ đề [2,trang 44]

Cho không gian Banach X, tập đóng M⊂X và ánh xạ compact A M: →X Khi

đó tồn tại ánh xạ compact  :A X→X , sao cho:

A K∩ ∂ →G K là ánh xạ compact sao cho Ax x, x K≠ ∀ ∈ ∩ ∂G

Gọi  :A X→X là ánh xạ compact sao cho:

(do A X( )⊂conv A K( ( ∩ ∂G)) mà K lồi, đóng nên A X( )⊂K)

Khi đó x A x−( )≠ ∀ ∈∂θ, x G (do nếu ∃ ∈∂x G x A x: =( ) thì x K∈ do

( )

A X ⊂K ⇒ ∈ ∩ ∂ ⇒x K G Ax x= (!) ) nên bậc tôpô deg , ,(A Gθ) xác định

Ta định nghĩa i A G K( , )=deg , ,(A Gθ) và gọi i A G K( , ) là bậc tôpô theo nón K của ánh xạ A trên tập mở G

* Kiểm tra định nghĩa trên có nghĩa

Giả sử A là một mở rộng khác của A thỏa mãn

a) Giả sử A A0, 1 compact và đồng luân dương trên K∩ ∂G theo nghĩa: tồn tại ánh

xạ compact F K:( ∩ ∂G)×[ ]0,1 →K sao cho:

a) A đồng luân dương với A x0( )≡θ (Xét F x t( ), =tAx )

= (mâu thuẫn giả thiết)

+ nếu t =0 0 thì x0 =θ (mẫu thuẫn do x0∈∂G mà G mở, chứa θ )

Có thể coi (nếu không ta xét dãy con)

limt n nλ = ≥λ 0 (do x n∈∂G nên { }x n bị chặn, mà A compact nên { }Ax n b chặn nên vế trái của (1) bị chặn )

a) i B G = K( , ) 1 nếu B không có trong K vectơ riêng với giá trị riêng λ> 1

b) i B G = K( , ) 0 nếu B có trong K vectơ riêng với giá trị riêng λ >1

1) Tập D X⊂ gọi là một K – lân cận của x nếu ∃ >r 0 :x K+ r ⊂D

2) Cho D là một K – lân cận của điểm x0 Ánh xạ F D: →X gọi là khả vi Frechet theo nón K tại x0 nếu tồn tại ánh xạ A L X∈ ( ) (nghĩa là A tuyến tính, liên tục)(kí hiệu /0

a) Giả sử A K: r →K compact (với K r = ∩K B( )θ,r ), A( )θ =θ , có đạo hàm theo nón K tại θ là Aθ/ và Aθ/ không có trong K vectơ riêng với giá trị riêng bằng 1 Khi đó:

i A B θ ρ =i A Bθ θ ρ với ρ >0 đủ nhỏ

b) Giả sử A K K: \ r →K compact, có đạo hàm theo nón K tại ∞ là A∞/ và A∞/

không có trong K vectơ riêng với giá trị riêng bằng 1 Khi đó:

x y x

Từ (1) và (2) suy ra { }y n có dãy con hội tụ về y0∈K

trong giả thiết b)

Giả sử trái lại ∃ → ∞ ∃ ∈ ∩t n , x n K S r2, ∃ ≥λn 0 :x n −t Ax n n =λn x0 (**)

Có thể coi limAx n =y (do A compact, { }x n bị chặn) (***) Khi đó: y K∈ \{ }θ (do inf{ A x( ) :x K S∈ ∩ r2}>0

Vậy (*) đúng hay i tA B K( , r2)= ∀ ≥0, t t0 (theo định lý 2.2.5.2b))

Do đó i A B = K( , r2) 0

Suy luận tương tự phần chứng minh trong định lý 2.3.1, ta có định lý 2.3.2 được chứng minh

2.3.3 Định lý

Giả sử A K: →K compact, A( )θ =θ , A khả vi theo nón tại θ, ∞ và:

a) A Aθ/, ∞/ không có trong K vectơ riêng với giá trị riêng bằng 1

b) Aθ/ không có,A∞/ có trong K vectơ riêng với giá trị riêng lớn hơn 1

Khi đó, A có điểm bất động trong K\{ }θ