giáo trình giải tích chương tập hợp và ánh xạ

Toán cao cấp : Giải tích 3 Chương 0 TẬP HP VÀ ÁNH XẠ A. TẬP HP I. Khái niệm Tập hợp là một ý niệm nguyên thủy của toán học, không đònh nghóa. Ta mô tả: một số vật thể hợp thành tập hợp; mỗi vật thể là một phần tử. + Cho một tập hợp A và phần tử x . Nếu x là phần tử của A ta viết x A ∈ . Ngược lại, ta viết x A ∈ hay x A ∉ (x không thuộc A). Ví dụ: Tất cả học sinh của trường Đại học Kinh tế là một tập hợp, mỗi học sinh là một phần tử. + Hộp phấn là một tập hợp, mỗi viên phấn là một phần tử. II. Cách diễn tả Có nhiều cách: 1) Liệt kê: liệt kê tất cả các phần tử trong 2 dấu { } Ví dụ: Tập hợp các nguyên âm A = {a, e, i, u, o, y}. Ví dụ: T = {bàn, ghế, con mèo, con gái, ô mai}. 2) Trưng tính : (nêu tính chất đặc trưng) Nếu mọi phần tử x của tập A đều có tính chất b , ta viết: A = { x x có tính chất b }. Ví dụ: M = { x x là số nguyên dương nhỏ hơn 5} → M = {1, 2, 3, 4}. 3) Giản đồ Venn a A ∈ . b A ∈ , 2 A ∈ . , 3,5 c A − ∈ . III. Vài tập hợp thông dụng 1) ℕ = {0, 1, 2, 3, …}; ∗ ℕ = ℕ \ {0}. 2) ℤ = {0, ± 1, ± 2, …}. X a X b X 2 A X c X 5 X - 3 Toán cao cấp : Giải tích 4 3) * { , } m x m n n = = ∈ ∈ℚ Z Z là tập các số hữu tỷ. 4) ℝ là tập các số thực. ( ) { } , a b x a x b = ∈ < < ℝ . [ ] { } , a b x a x b = ∈ ≤ ≤ ℝ . ( { } 2,15 2 15 x x  − = ∈ − < ≤  ℝ . IV. Chính số, tập trống, tập hữu hạn, tập vô hạn 1. Tập hữu hạn: là tập hợp có số phần tử hữu hạn. 2. Chính số: Giả sử A có số phần tử hữu hạn. Số phần tử của tập A còn được gọi là chính số của A (hay card A ). Ký hiệu: ch.s A hay card A hay A . Ví dụ: { 3,5, , } A a b = − → card A = 4. 3.Tập trống: là tập hợp không có phần tử nào cả. Ký hiệu: ∅ hay { } . Ghi chú: { } ∅ ≠ ∅ . {0} ≠ ∅ . 4.Tập vô hạn: tập không hữu hạn được gọi là tập vô hạn. Ví dụ: ℕ , ℤ , ℚ , ℝ , ( ) 0,1 là những tập hợp vô hạn. V. Tập hợp con, tập hợp bằng nhau 1. Tập hợp con: A là tập hợp con của B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B . Ký hiệu: A B ⊂ ( A chứa trong B ). " , " A B x x A x B ⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ . Ví dụ: A = { 1, -5, 0 } ; B = { 2, 3, 1, 8, 0, -5 } ; C = { 1, -5, 0, 7, 3 } A B ⊂ và C B ⊄ ( 7 C ∈ và 7 B ∉ ). Nhận xét: A ∀ , ta có A ∅ ⊂ và A A ⊂ . 2. Tập hợp bằng nhau: A B A B = ⇔ ⊂ và B A ⊂ ⇔ " , " x x A x B ∀ ∈ ⇔ ∈ . 3. Tập hợp tất cả tập hợp con của E gọi là tập hợp các phần của E Toán cao cấp : Giải tích 5 Ký hiệu: ( ) { } P E A A E = ⊂ . Ví dụ: { , , } E a b c = ( ) { ,{ },{ },{ },{ , },{ , },{ , },{ , , }} P E a b c a b b c c a a b c = ∅ . Hệ quả: Nếu card E n = → card ( ) 2 n P E = (chứng minh bằng truy chứng). VI. Các phép toán trên tập hợp 1. Phép giao { A B x x A ∩ = ∈ và } x B ∈ . Ví dụ: A = { -3, 5, - 2 } , B = { 0, -3, 8, - 2 } , C = { 1, 2, 3 } . → A B ∩ = { -3, - 2 } và { } A C ∩ = ∅ . Tính chất: A A ∩∅ = ∅ ∩ = ∅ A A A ∩ = A B B A ∩ = ∩ ( ) ( ) A B C A B C ∩ ∩ = ∩ ∩ A B A ∩ ⊂ ; A B B ∩ ⊂ 2. Phép hội { A B x x A ∪ = ∈ hay } x B ∈ . Ví dụ: { , , , } A a b c d = ; { , , , } B a c e f = → { , , , , , } A B a b c d e f ∪ = . Tính chất : A B B A ∪ = ∪ ( ) ( ) A B C A B C ∪ ∪ = ∪ ∪ A A A ∪∅ = ∅ ∪ = A A A ∪ = ; A A B ⊂ ∪ ; B A B ⊂ ∪ . Tính phân bố của phép giao và phép hội ( ) ( ) ( ) A B C A B A C ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ ( ) ( ) ( ) A B C A B A C ∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ 3. Phép hiệu: \ { A B x x A = ∈ và } x B ∉ . Toán cao cấp : Giải tích 6 Ví dụ: { , , , } A a b c d = ; {5, , , , 3} B a c f = − ; { , ,7, } C a f d = \ { , } A B b d = ; \ {5, , 3} B A f = − . ( \ )\ { } \ ( \ ) { , , } A B C b A B C a b d = ≠ = . Tính chất: Nếu A B ≠ thì \ \ A B B A ≠ . Thông thường ( \ )\ \ ( \ ) A B C A B C ≠ . \ A A ∅ = ; \ A A = ∅ ; \ A B A ⊂ . Bài tập : Chứng minh \ ( ) ( \ ) ( \ ) A B C A B A C ∪ = ∩ \ ( ) ( \ ) ( \ ) A B C A B A C ∩ = ∪ 4. Phần bù: Cho A E ⊂ , phần bù của A đối với E là: \ { c E A A C A E A x x E = = = = ∈ và } x A ∉ . Tính chất : E C E ∅ = ; E C E = ∅ ; E C A A E ∪ = E C A A ∩ = ∅ ( ) E E C C A A = ( A A = ) ( ) E E E C A B C A C B ∪ = ∩ ( ) E E E C A B C A C B ∩ = ∪ Ví dụ: { , , , , , } E a b c d e f = ; { , } A a d = ; { , , } B a e f = { , , , } E C A b c e f = ; E C B={b,c,d} E C (A B)={b,c} ∪ ; E C (A )={b,c,d,e,f} B ∩ 5. Tập hợp tích: ( ) { , A B x y x A × = ∈ và } y B ∈ . Ví dụ: {1,2,3} A = ; { , } B a b = → {(1, ),(1, ),(2, ),(2, ),(3, ),(3, )} A B a b a b a b × = và {( ,1),( ,1),( ,2),( ,2),( ,3),( ,3)} B A a b a b a b × = . Ghi chú: Nếu A B ≠ và A , B ≠ ∅ thì A B B A × ≠ × . Ví dụ: (1, 4) ≠ (4, 1) - A A ×∅ = ∅× = ∅ . - Nếu A , B hữu hạn, ta có Card ( ) A B × = Card A .Card B Nếu A B = ta viết: 2 A B A A A × = × = . Ví dụ: Mặt phẳng tọa độ là ( ) 2 { , , } x y x y= × = ∈ ℝ ℝ ℝ ℝ . A E Toán cao cấp : Giải tích 7 Tương tự ta có : 1 2 1 2 {( , , , ) , 1, } n n i i A A A x x x x A i n × × × = ∈ ∀ = 1 2 1 1 2 2 {( , , , ) , , , } n n n x x x x A x A x A = ∈ ∈ ∈ 1 2 {( , , , ) , 1, } n n i A A A A x x x x A i n nlần × × × = = ∈ ∀ =  Ví dụ: 1 2 {( , , , ) , 1, } n n i x x x x i n = ∈ ∀ = ℝ ℝ (-5, 2, 7 , -8) ∈ 4 ℝ (-2, 1, 0, 3, 7) ∈ 5 5 5 ⊂ ⊂ ℤ ℚ ℝ B. ÁNH XẠ I. Đònh nghóa: Cho 2 tập hợp X , Y khác trống, một phép liên kết f tương ứng mỗi phần tử x X ∈ với duy nhất phần tử y Y ∈ được gọi là một ánh xạ từ X vào Y . Ký hiệu: : f X Y → ( ) x y f x = ֏ Khi đó, X : tập hợp nguồn (miền xác đònh) Y : tập hợp đích (miền ảnh) Nhận xét: : f X Y → là một ánh xạ nếu mọi phần tử của X đều có ảnh duy nhất ( Y ∈ ). Ánh xạ : f X → ℝ với X ⊂ ℝ được gọi là m ột hàm số thực với biến số thực. Ví dụ : : f → ℝ ℝ 2 ( ) 5 3 f x x x = − là một ánh xạ và là một hàm số thực với biến số thực. II. Nghòch ảnh: (ảnh ngược, tiền ảnh) Cho ánh xạ: : f X Y → A X ⊂ , ảnh của tập A là ( ) { ( ) } f A f x Y x A = ∈ ∈ . nh ngược của B Y ⊂ là 1 ( ) { ( ) } f B x X f x B − = ∈ ∈ Đặc biệt khi { } B y Y = ⊂ ta viết 1 1 ({ }) ( ) { ( ) } f y f y x X f x y − − = = ∈ = . Toán cao cấp : Giải tích 8 1 ( ) x f y − ∈ được gọi là ảnh ngược của y . Ví dụ: : f → ℝ ℝ f(x) = x 2 B = {-5, 2, 4, 9, 0} 1 ( ) f B − = {± 2 , ± 2, ± 3, 0} 1 (169) f − = {±13}; 1 ( 3) f − − = ∅ 1 (2) f − = {± 2 } ; 1 ( 5) f − − = ∅ III. Toàn ánh: Cho ánh xạ : f X Y → , ta nói f là toàn ánh khi và chỉ khi ( ) f X Y = . Ta có: ( ) , : ( ) f X Y y Y x X f x y = ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ = y Y ⇔ ∀ ∈ , phương trình ( ) y f x = có ít nhất 1 nghiệm 1 , ( )y Y f y − ⇔ ∀ ∈ ≠ ∅ . Ví dụ : i) : f → ℝ ℝ 2 ( ) f x x = không là toàn ánh vì 1 ( 2)f − − = ∅ (phương trình 2 2 x = − vô nghiệm). ii) f : ℝ → ℝ + 2 ( ) f x x = là toàn ánh vì y + ∀ ∈ ℝ , ta có phương trình 2 ( ) f x y x y = ⇔ = luôn có nghiệm x = ± y Nhận xét: Giả sử : f X Y → là toàn ánh và X , Y là tập hợp hữu hạn thì card X ≥ card Y . Ghi chú: Để chứng minh f là toàn ánh ta chứng minh y Y ∀ ∈ phương trình ( ) f x y = có nghiệm. IV. Đơn ánh: Cho ánh xạ : f X Y → f là đơn ánh 1 2 , x x X ⇔ ∀ ∈ và 1 2 1 2 ( ) ( ) x x f x f x ≠ ⇒ ≠ 1 2 , x x X ⇔ ∀ ∈ và 1 2 1 2 ( ) ( ) f x f x x x = ⇒ = ⇔ y Y ∀ ∈ , phương trình ( ) y f x = có nhiều nhất là một nghiệm. ⇔ 1 , ( )y Y f Y − ∀ ∈ = ∅ hay 1 ( ) f y − có đúng 1 phần tử . Ví dụ: * f : ℝ → ℝ Toán cao cấp : Giải tích 9 2 ( ) f x x = không là đơn ánh vì ( 2) (2) 4 f f − = = . * f : + ℝ → ℝ hay − ℝ → ℝ 2 ( ) f x x = là đơn ánh * f : ℝ → ℝ 3 5 ( ) 7 x f x − = là đơn ánh vì 1 2 , x x ∀ ∈ ℝ và 1 2 ( ) ( ) f x f x = ⇔ 1 3 5 7 x − = 2 3 5 7 x − ⇔ 1 2 x x = . V. Song ánh : Cho ánh xạ : f X Y → . f là song ánh ⇔ f là đơn ánh và f là toàn ánh ⇔ ∀ y Y ∈ , phương trình ( ) f x y = có duy nhất nghiệm ⇔ ∀ y Y ∈ , 1 ( ) f y − có duy nhất một phần tử. Ví dụ : f : ℝ → ℝ ; 3 5 ( ) 7 x f x − = là song ánh Vì y ∀ ∈ ℝ , phương trình 3 5 7 x y − = có duy nhất nghiệm 7 5 3 y x + = f : ℝ → ℝ , 2 ( ) f x x = không là đơn ánh, không là toàn ánh f : ℝ + → ℝ , 2 ( ) f x x = là đơn ánh, không là toàn ánh f : ℝ → + ℝ , 2 ( ) f x x = không là đơn ánh, là toàn ánh ⇒ không song ánh f : + ℝ → + ℝ , 2 ( ) f x x = là song ánh f : − ℝ → + ℝ , 2 ( ) f x x = là song ánh VI. Ánh xạ ngược: Nếu : f X Y → ( ) x f x ֏ là song ánh thì ánh xạï 1 : f Y X − → Toán cao cấp : Giải tích 10 ( ) y f x = ֏ 1 ( ) x f y − = được gọi là ánh xạ ngược của f . Ví dụ: f : ℝ + → ℝ + 2 ( ) f x x = ( 2 y x x y = ⇔ = , , 0 ≥ x y ) 1 ( ) f y y − = ( , 0) x y ≥ hay 1 ( ) f x − = x f : − ℝ → + ℝ ; 2 ( ) f x x = 1 ( ) f y y − = − ; 1 ( ) f x x − = − f : ℝ → { } \ 0 + ℝ ; ( ) 3 x f x = 1 f − : { } \ 0 + ℝ → ℝ ; 1 3 ( ) log f x x − = * f : , 2 2 π π   −     → [-1, 1]; ( ) sin f x x = 1 f − : [-1, 1] → , 2 2 π π   −     ; 1 ( ) arcsin f x x − = * f : [ ] 0, π → [-1, 1]; f(x) = cosx 1 f − : [-1, 1] → [ ] 0, π ; 1 ( ) arccos f x x − = * f : , 2 2 π π   −     → ℝ ; ( ) tg f x x = 1 f − : ℝ → , 2 2 π π   −     ; 1 ( ) arctg f x x − = * f : ( ) 0, π → ℝ ; ( ) cotg f x x = 1 f − : ℝ → ( ) 0, π ; 1 ( ) cotg f x arc x − = * f : ℝ → ℝ ; 3 7 ( ) 5 x f x + = 3 7 5 x y + = ⇔ ⇔⇔ ⇔ 5 7 3 y x − = 1 f − : ℝ → ℝ 1 5 7 ( ) 3 x f x − − = Toán cao cấp : Giải tích 11 * Cho X ⊂ ℝ , Y ⊂ ℝ , xác đònh X , Y để f là song ánh với : f X Y → ; 5 3 ( ) 2 1 x f x x − = + ; X = \ ℝ 1 2 −       5 3 2 1 x y x − = ⇔ + (2 1) 5 3 y x x + = − ⇔ 2 5 3 (2 5) 3 xy y x x y y + = − ⇔ − = − − (*) Phương trình (*) có duy nhất nghiệm ⇔ y ≠ 5 2 . Ta có (*) ⇔ 3 5 2 y x y + = − Vậy với X = \ ℝ 1 2 −       và Y \ = ℝ 5 2       thì : f X Y → 5 3 ( ) 2 1 x f x x − = + là m ột song ánh và 1 : f Y X − → 1 : f − ℝ \ 5 2       → ℝ \ 1 2   −     1 ( ) f x − = 3 5 2 x x + − Ghi chú: i) : f X Y → là đơn ánh và X , Y là 2 tập hữu hạn thì card X ≤ card Y . ii) : f X Y → là song ánh và X , Y là hữu hạn thì X Y = . iii) Ánh xạ ngược 1 f − của f chỉ tồn tại khi f là song ánh. VII. Ánh xạ hợp: (Ánh xạ tích) Cho 2 ánh xạ : f X Y → , và : g Y Z → . Ánh xạ : h X Z → được đònh nghóa: ( ) ( ) h x g f x =     , x X ∀ ∈ . Toán cao cấp : Giải tích 12 Ký hiệu: h g f =  được gọi là ánh xạ hợp (ánh xạ tích) của f và g . Ví dụ 1: [ ) : 5,f → +∞ ℝ 2 ( ) 5 f x x = + [ ) : 5,g − +∞ → ℝ ( ) 2 g x x = − + ( ) ( ) 2 5 g f x g x = +  = - 2 5 2 x + + = - 2 7 x + Ví du 2ï: , : f g ℝ → ℝ ; 2 ( ) 3 f x x x = − ; 2 5 ( ) 4 x g x + = ( ) 2 (3 ) g f x g x x = − =  2 2 2(3 ) 5 6 2 5 4 4 x x x x − + − + = ( ) f g x =  2 5 4 x f +       = 2 2 2 5 2 5 12 52 55 3 4 4 16 x x x x + + + +   − =     Nhận xét : i) Thông thường, f g g f ≠   . ii) ( ) 1 g f −  = 1 1 f g − −  (giả sử f , g là song ánh). iii) 1 ( ) f f y y − =  , ∀ y Y ∈ ( : f X Y → là song ánh). 1 ( ) f f x x − =  , ∀ x X ∈ ( : f X Y → là song ánh). iv) Giả sử ( ) f g h   tồn tại, ta có ( ) ( ) f g h f g h =     . VIII Đònh nghóa : 1) Một tập A được nói là hữu hạn và có n phần tử nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập con { } 1,2,3, , n của ℕ . Khi đó, ta viết Card A n = hay A n = . 2) Nếu tập A không hữu hạn, ta nói A vô hạn. [...]...Toán cao cấp : Giải tích 13 3) Hai tập A và B được nói là đồng lực lượng nếu tồn tại một song ánh từ A vào B 4) Một tập A được nói là đếm được nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập con N của ℕ Khi đó, nếu N = ℕ thì ta nói A là tập vô hạn đếm được Nói cách khác, ta nói A là tập vô hạn đếm được nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập ℕ . ánh và X , Y là hữu hạn thì X Y = . iii) Ánh xạ ngược 1 f − của f chỉ tồn tại khi f là song ánh. VII. Ánh xạ hợp: (Ánh xạ tích) Cho 2 ánh xạ : f X Y → , và : g Y Z → . Ánh. cao cấp : Giải tích 3 Chương 0 TẬP HP VÀ ÁNH XẠ A. TẬP HP I. Khái niệm Tập hợp là một ý niệm nguyên thủy của toán học, không đònh nghóa. Ta mô tả: một số vật thể hợp thành tập hợp; mỗi. vô hạn. Ví dụ: ℕ , ℤ , ℚ , ℝ , ( ) 0,1 là những tập hợp vô hạn. V. Tập hợp con, tập hợp bằng nhau 1. Tập hợp con: A là tập hợp con của B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của