giáo trình giải tích chương 10 ứng dụng vào kinh tế

Toán cao cấp : Giải tích 203 Chương X ỨNG DỤNG VÀO KINH TẾ 1. Ký hiệu : A C D E G I K L M P π Q R S T U W Y : : : : : : : : : : : : : : : : : : Advertising Cost, consumption Demand Elasticity Government Income, investment, investor Capital Labor, liquidity Money Price Profit Quantity Revenue, rate of interest Supply Tax Utility Wage Income 2. Các khái niệm cơ bản: a- Biên tế (biên)( marginal): Trong kinh tế, khái niệm biên tế dùng để chỉ sự thay đổi của một biến kinh tế này được gây ra bởi sự thay đổi của một biến kinh tế khác.Cho y = f(x) và f là hàm khả vi, ta có biên tế của y tại x là ( ) ( ) ' My x f x = Ví dụ: Gọi x là lượng sản phẩm của một xí nghiệp, y là tổng chi phí sản xuất. Giả sử y phụ thuộc vào x như sau : Toán cao cấp : Giải tích 204 ( ) y f x ax bx c = = + + 2 (a, b, c : hằng số dương) Khi đó, ta có chi phí biên tế của xí nghiệp là : ( ) ' MC f x ax b = = + 2 Chú ý: Khi ( ) y f x ax b = = + thì My = a. Như vậy, trong trường hợp hàm số là bậc nhất, giá trò biên tế chính là độ thay đổi của hàm số khi biến số tăng thêm 1 đơn vò. Ví dụ: Giả sử tổng chi phí của một nhà máy tính theo công thức o C WL rK = − Trong đó L chỉ số lượng lao động, W chỉ tiền lương cho mỗi lao động, K o chỉ tiền vốn, r là lãi suất của vốn. Ta có chi phí biên tế theo lao động là : MC = W. Đây là chi phí tăng thêm khi thêm một lao động. b- Độ co dãn (Elasticity): Trong nhiều ứng dụng kinh tế, tốc độ thay đổi của một hàm số thường phụ thuộc vào đơn vò tính của biến độc lập x và biến phụ thuộc y. Để tránh điều này, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm độ co dãn. Độ co dãn của biến y theo biến x được đònh nghóa như sau : ( ) / ( ) . ' . / yx dy y dy x x x y x dx x dx y y ε = = = Ví dụ: Tìm độ co dãn của y theo x, nếu : a) y = e x ; ( ) ' . . x x x y x e y y ε = = Khi x = 100 thì y = e 100 . Khi x = 101 thì y = e 101 Ta có dy/y = (e 101 – e 100 )/e 100 = e – 1 ≈ 1,7= % 170 Mặt khác : ( ) . / yx e dy y e ε = = ≠ 100 100 100 100 100 Toán cao cấp : Giải tích 205 b) y = 3x + 5 ; ( ) ' . x x y x y x ε = = + 3 3 5 Khi x = 100 thì y = 305. Khi x = 101 thì y = 308 Ta có dy/y = (308 – 305)/305 = 3/305 = % 300 305 Mặt khác ( ) . / . / dy y ε = + = = 300 3 100 3 100 5 305 Chú ý: Khi y = f(x) = ax + b thì độ co dãn của y theo x chính là sự thay đổi của y tính theo phần trăm khi x tăng thêm 1%. 3. Bài toán cực đại, cực tiểu hóa: a.Hàm lồi, hàm lõm: i) Tập lồi: Cho D n ⊂ ℝ . D được gọi là tập lồi nếu ( ) ( ) , ' , , ' ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ + − ∈ 0 1 1 x x D x x D λ λ λ ii) Hàm số y = f(x) gọi là lồi ngặt trên tập lồi D n ⊂ ℝ nếu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' , + − < + − 1 1 f x x f x f x λ λ λ λ ( ) , ' , , ∀ ∈ ∀ ∈ 0 1 x x D λ . iii) Hàm số y = f(x) gọi là lõm ngặt trên tập lồi D n ⊂ ℝ nếu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' , , 'f x x f x f x x x λ λ λ λ + − > + − ∀ ∈ ℝ 1 1 , ( ) , λ ∀ ∈ 0 1 . b- Cực trò đòa phương, cực trò toàn cục của hàm số thực theo một biến số thực Xét hàm số : y = f(x), x D ∈ ⊂ ℝ • Hàm số f gọi là đạt cực đại đòa phương tại o x D ∈ nếu : ( ) ( ) ( ) : , : o o o x x x D f x f x ε ε ε ∃ > ∀ ∈ − + ∩ ≤ 0 • Hàm số f gọi là đạt cực tiểu đòa phương tại o x nếu : ( ) ( ) ( ) : , : o o o x x x D f x f x ε ε ε ∃ > ∀ ∈ − + ∩ ≥ 0 • Hàm số f gọi là đạt cực đại toàn cục trên D tại x o nếu : ( ) ( ) ,∀ ∈ ≤ o x D f x f x Toán cao cấp : Giải tích 206 • Hàm số f gọi là đạt cực tiểu toàn cục trên D tại x o nếu : ( ) ( ) ,∀ ∈ ≥ o x D f x f x Chú ý: - Một cực trò đòa phương không chắc là cực trò toàn cục. - Không phải hàm số nào cũng có cực trò toàn cục. - Trong các ứng dụng kinh tế, hầu hết các hàm số chỉ có một cực trò đòa phương duy nhất và đó cũng là cực trò toàn cục. - Trên tập lồi D ⊂ ℝ , đối với các bài toán kinh tế thường gặp ta có: + Nếu f”(x) > 0, x D ∀ ∈ thì f lồi ngặt toàn cục trên D. Khi đó, một điểm cực tiểu đòa phương cũng là cực tiểu toàn cục trên D. + Nếu f”(x) < 0, x D ∀ ∈ thì f lõm ngặt toàn cục trên D. Khi đó, một điểm cực đại đòa phương cũng là cực đại toàn cục trên D. c- Cực trò đòa phương, cực trò toàn cục của hàm số thực theo hai biến số thực Xét hàm số ( ) ( ) , , ,z f x y x y D= ∈ ⊂ 2 ℝ Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) { } / ( , ), , / , o o o o B x y x y x x y y ε ε ε   = − + − < >   1 2 2 2 0 • Hàm số f gọi là đạt cực đại đòa phương tại ( ) , o o x y D ∈ nếu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : , , , : , , o o o o x y B x y D f x y f x y ε ε ∃ > ∀ ∈ ≤ 0 ∩ • Hàm số f gọi là đạt cực tiểu đòa phương tại ( ) , o o x y nếu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : , , , : , , o o o o x y B x y D f x y f x y ε ε ∃ > ∀ ∈ ≥ 0 ∩ • Hàm số f gọi là đạt cực đại toàn cục tại ( ) , o o x y D ∈ nếu ( ) ( ) ( ) , , , , o o x y D f x y f x y ∀ ∈ ≤ • Hàm số f gọi là đạt cực tiểu toàn cục tại ( ) , o o x y D ∈ nếu ( ) ( ) ( ) , , , , o o x y D f x y f x y ∀ ∈ ≥ Toán cao cấp : Giải tích 207 Các chú ý ở trường hợp hàm một biến vẫn đúng cho trường hợp hai biến.  Điều kiện cần của cực trò đòa phương (điều kiện cấp 1) Nếu hàm f đạt cực trò đòa phương tại (x o , y o ) và f có các đạo hàm riêng tại (x o , y o ) thì ( ) ( ) ' , ' , x y f x y f x y = = 0 0 0 0 0  Điều kiện đủ của cực trò đòa phương (điều kiện cấp 2) Nhắc lại: Cho z = f (x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục, ta có vi phân cấp 1 và vi phân cấp 2 của f lần lượt như sau : ' ' x y dz f dx f dy = + ; " " " xx xy yy d z f dx f dxdy f dy = + + 2 2 2 2 Ta có : " " " " " " " xy xx yy xy xx xx xx f dy f f f d z f dx dy f f     − = + +             2 2 2 2 ( giả sử '' xx f ≠ 0 ) Suy ra: + Nếu " xx f < 0 và " xx f " yy f - " xy f 2 > 0 thì d z < 2 0 + Nếu " xx f >0 và " xx f " yy f - " xy f 2 > 0 thì d z > 2 0 Bây giờ, ta có điều kiện đủ của cực trò đòa phương như sau : • Nếu df(x o ,y o ) = 0 và d 2 f(x o ,y o ) < 0 thì f đạt cực đại đòa phương tại (x o ,y o ). • Nếu df(x o ,y o ) = 0 và d 2 f(x o ,y o ) > 0 thì f đạt cực tiểu đòa phương tại (x o ,y o ). Ta đặt: " " " " xy xx yx yy f f H f f   =       (H gọi là ma trận Hesse); // , xx H f H H = = 1 2 Ta có : i) ,H H thì d f < > < 2 1 2 0 0 0 (cực đại đòa phương) ii) ,H H thì d f > > > 2 1 2 0 0 0 (cực tiểu đòa phương) Toán cao cấp : Giải tích 208 + Nếu ( ) ( ) , , , d z x y x y D > ∀ ∈ 2 0 thì f lồi ngặt toàn cục trên D. Khi đó, một điểm cực tiểu đòa phương cũng là cực tiểu toàn cục trên D. + Nếu ( ) ( , ) , , d z x y x y D < ∀ ∈ 2 0 thì f lõm ngặt toàn cục trên D. Khi đó, một điểm cực đại đòa phương cũng là cực đại toàn cục trên D. d- Đònh lý: Cho z = f (x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trên tập mở và lồi D ⊂ ℝ 2 . Giả sử , tại ( ) , x y D ∈ 0 0 ta có ( ) ( ) ' , ' , x y f x y f x y = = 0 0 0 0 0 .Khi đó i) Nếu ( , ) , ( , ) , ( , ) H x y H x y x y D > > ∀ ∈ 1 2 0 0 thì f đạt cực tiểu toàn cục trên D tại ( ) , x y 0 0 ii ) Nếu ( , ) , ( , ) , ( , ) H x y H x y x y D < > ∀ ∈ 1 2 0 0 thì f đạt cực đại toàn cục trên D tại ( ) , x y 0 0 3. Các ví dụ về kinh tế: Ví dụ 1: Giả sử hàm lợi nhuận của một xí nghiệp đối với một loại sản phẩm có dạng : R C T PQ cQ tQ f ∏ = − − = − − − trong đó ∏ là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí gồm đònh phí f (độc lập với sản lượng) và biến phí cQ (c : biến phí đơn vò trên 1 sản phẩm, Q : sản lượng), t là thuế trên một đơn vò sản phẩm, T là tổng thuế. Giả sử: P = a – bQ (a, b > 0) Khi đó, ta có : ( ) aQ bQ c t Q f ∏ = − − + − 2 Để đơn giản, ta giả sử : a = 10, b = 1, c = 2, f = 1. ta có : Toán cao cấp : Giải tích 209 ( ) Q Q t Q ∏ = − − + − 2 10 2 1 Bài toán đặt ra là xí nghiệp muốn xác đònh mức sản lượng Q để lợi nhuận đạt cực đại. Đồng thời nhà nước cũng muốn xác đònh mức thuế t trên một đơn vò sản phẩm để tổng thuế T đạt cực đại. Trước tiên, ta đứng trên cương vò của xí nghiệp, xem t như là tham số thì π là hàm số thực theo một biến số thực Q. Điều kiện cấp 1 : ( ) / Q t Q t Q t − ∏ = − + − = ⇔ = < < 8 2 8 0 0 8 2 Điều kiện cấp 2 : // QQ ∏ = − < 2 0 Vậy hàm π lõm ngặt toàn cục nên đạt cực đại toàn cục khi : ( ) * t Q Q t − = = < < 8 0 8 2 Với Q = Q * , ta có : * t t T tQ − = = 2 8 2 Điều kiện cấp 1 : ' " t tt t T t T − = = ⇔ = = − < 8 2 0 4 2 1 0 Vậy hàm T lõm ngặt toàn cục nên đạt cực đại toàn cục khi : t = t * = 4 (thỏa điều kiện 0 < t < 8) Khi đó, ta có : Q = Q * = 2 P = P * = a – bQ * = 10 – 2 = 8 Và * . ∏ = ∏ = − − − = 20 4 6 2 1 3 Ví dụ 2: Giả sử hàm lợi nhuận của một công ty đối với một sản phẩm là : R C PQ wL rK ∏ = − = − − Toán cao cấp : Giải tích 210 trong đó ∏ là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là lượng lao động, w là tiền lương của một lao động, K là tiền vốn, r là lãi suất của tiền vốn, P là đơn giá bán. Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb-Douglas dạng / / Q L K = 1 3 1 3 Giả sử w = 1, r = 0,02, P = 3 Khi đó, ta có : / / , L K L K Π = − − 1 3 1 3 3 0 02 / / / / / / ; , L K L K L K − − ∏ = − ∏ = − 2 3 1 3 1 3 2 3 1 0 02 Ta có điều kiện cần để Π đạt cực trò tại (L,K) là: / / / / / / , L K L K L K − − ∏ = − = ∏ = − = ⇔ và 2 3 1 3 1 3 2 3 1 0 0 02 0 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) K K K L L L vì L L L K L K  =  =   =    ⇔ ⇔    = > = =      =   2 2 3 2 3 4 3 2 1 2500 50 0 0 02 0 02 0 02 Ta có ma trận Hesse : / / / / // // // // / / / / LL LK KL KK L K L K H L K L K − − − − − −   −     ∏ ∏ = =     ∏ ∏       −     5 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 5 3 2 1 3 3 1 2 3 3 Điều kiện cấp 2 : / / H L K − = − < 5 3 1 3 1 2 0 3 / / / / / / ,H L K L K L K do L K − − − − − − = − = > > > 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 2 4 1 1 0 0 0 9 9 3 Suy ra Π lõm ngặt toàn cục. Do đó, Π đạt cực đại toàn cục tại : K v L = = à 2500 50 Ví dụ 3: Giả sử một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm và bán tại hai thò trường tách biệt. Giả sử đơn giá bán tại thò trường 1 là P 1 cao hơn đơn giá bán tại thò trường 2 là P 2 : P 1 > P 2 Toán cao cấp : Giải tích 211 Giả sử tổng chi phí là : C = C(Q) + tq 2 trong đó Q = q 1 + q 2 là lượng hàng bán được ở cả hai thò trường. q 1 , q 2 lần lượt là lượng hàng bán được ở thò trường 1 và thò trường 2, t là chi phí tăng thêm trên một đơn vò sản phẩm ở thò trường 2. Ta có hàm lợi nhuận : ( ) Pq P q C Q tq ∏ = + − − 1 1 2 2 2 Để đơn giản, ta giả sử , , ( ) , p p C Q q q q q t = = = + + + = 2 2 1 2 1 1 2 2 7 6 3 1 Khi đó ta có : q q q q q q q ∏ = + − − − − − 2 2 1 2 1 1 2 2 2 7 6 3 q q q q q q = − − − + + − 2 2 1 2 1 2 1 2 7 5 3 Điều kiện cấp 1 : / / q q q q q q q q q q  ∏ = − − + = + =    ⇔ ⇔    − − + = + = ∏ =     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 7 0 2 7 2 5 0 2 4 10 0 q q =  ⇔  =  1 2 3 1 Điều kiện cấp 2 : Ma trận Hesse // // // // q q q q q q q q H   ∏ Π − −   = =    − − ∏ Π       1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 , H H H = − = − < = = > 1 2 2 2 0 3 0 Vậy Π lõm ngặt toàn cục, do đó Π đạt cực đại toàn cục khi : * * vàq q q q = = = = 1 1 2 2 3 1 Khi đó : * ∏ = ∏ = − − − + + − = 9 1 3 21 5 3 10 Ví dụ 4: Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên 2 thò trường riêng biệt. Giả sử các hàm cầu trên 2 thò Toán cao cấp : Giải tích 212 trường 1 và 2 lần lượt là Q D1 = 80 - P 1 3 , Q D2 = 80 - P 2 4 , hàm tổng chi phí là C(Q) = Q 2 + 30Q + 10. Trong đó P i là đơn giá trên thò trường thứ i, i = 1, 2 ; Q là tổng sản lượng. Tìm khối lượng sản phẩm công ty cung cấp cho các thò trường để lợi nhuận cao nhất ? Giải: Giả sử công ty cung cấp cho thò trường i là Q i . Ta có : Q 1 = 80 - P 1 3 , Q 2 = 80 - P 2 4 ; và Q 1 + Q 2 = Q ⇒ P 1 = 240 - 3Q 1 , P 2 = 320 - 4Q 2 ⇒ R 1 = (240 - 3Q 1 )Q 1 , R 2 = (320 - 4Q 2 )Q 2 . Với R i là doanh thu trên thò trường thứ i, i = 1,2 Điều kiện cần để π = R 1 + R 2 - Q 2 - 30Q - 10 đạt cực trò là Q Q π π ∂ ∂ = = ∂ ∂ 1 2 0 ⇔ ( ) ( ) Q Q Q Q Q Q − = + +   − = + +  1 1 2 2 1 2 240 6 30 2 320 8 30 2 ⇔ Q Q Q Q + =   + =  1 2 1 2 4 105 5 145 ⇔ (Q 1 , Q 2 ) = (20, 25). ; ; Q Q Q Q π π π ∂ ∂ ∂ = − =− =− ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 8 10 2 H = − −     − −   8 2 2 10 , H 2 = >0 − − − − 8 2 2 10 , H 1 = -8 < 0, ( ) , Q Q ∀ 1 2 ⇒ π lõm ngặt toàn cục ⇒ π đạt cực đại tòan cục tại ( , ) Q Q 1 2 = (20, 25). Vậy công ty cung cấp cho : - Thò trường thứ 1 là Q 1 = 20 đơn vò hàng với đơn giá là P 1 = 240 - 3Q 1 = 180 - Thò trường thứ 2 là Q 2 = 25 với đơn giá P 2 = 320 - 4Q 2 = 220 4. Cực trò ràng buộc của hàm số thực theo hai biến số thực : Xét bài toán tìm cực trò hàm f(x, y) với ràng buộc g(x, y) = g o ( giả sử g 0 > 0) [...]... của f với ràng buộc g(xo, yo) = go Toán cao cấp : • 214 Giải tích Nếu dL(xo, yo, λo ) = 0 và H 1 < 0 , H 2 < 0 , ∀ ( x, y, λ ) thì (xo, yo) là điểm cực tiểu toàn cục của f với ràng buộc g(xo, yo) = go Chú ý: Bài toán tìm cực trò hàm f(x, y) với ràng buộc g(x, y) = go có thể giải đơn giản bằng cách từ ràng buộc, rút y theo x (hay x theo y) và thế vào f Từ đó, bài toán đưa về việc tìm cực trò của hàm một... về việc tìm cực trò của hàm một biến Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng rút được biến này theo biến kia Hơn nữa, phương pháp Lagrange áp dụng được cho trường hợp hàm nhiều biến tổng quát với nhiều ràng buộc và nhân tử Lagrange λ có ý nghóa đặc biệt trong kinh tế Ví dụ 1: Giả sử hàm lợi ích đối với hai sản phẩm là ∪ ( x, y ) = ln x + ln y trong đó x là lượng hàng thứ nhất, y là lượng hàng thứ hai... thuộc vào số tiền tiêu dùng tại cuối hai thời kỳ 1 và 2 là C1 và C2 như sau : ∪ = C1 C2 Giả sử lãi suất tại cuối thời kỳ thứ 1 là r = 0,5%, tổng thu nhập tại cuối thời kỳ thứ 1 là I Giả sử ta có ràng buộc C C1 + 2 = I 1+ r (C2/(1+r) là hiện giá của C2 tại cuối thời kỳ thứ 1) Bài toán đặt ra là tìm C1, C2 để cực đại hóa hàm lợi ích ∪ Ta có hàm Lagrange của bài toán : Toán cao cấp : 216 Giải tích C2... cực đại toàn cục khi C1 = C1* = I I * , C2 = C2 = 1, 005 2 2 Toán cao cấp : 217 Giải tích Ví dụ 3: Giả sử một xí nghiệp cần xác đònh lượng lao động L, lượng vốn K để cực tiểu hóa chi phí C(L,K) = wL + rK Trong đó w = 400 là tiền lương cho mỗi lao động, r = 0,01 là lãi suất của vốn vay Giả sử xí nghiệp phải sản xuất Qo = 100 0 đơn vò sản phẩm và hàm sản phẩm là :Q = F(L,K) = L1/2K1/2 Hàm Lagrange : F...Toán cao cấp : 213 Giải tích Trước tiên, ta lập hàm Lagrange : L ( x, y; λ ) = f ( x, y ) + λ ( g o − g ( x , y ) ) ( λ gọi là nhân tử Lagrange) Ta thấy cực trò của hàm f với ràng buộc g(x, y) = go cũng chính là cực trò của... Lagrange của bài toán : L = ln x + ln y + λ ( I − Px x − Py y ) Điều kiện cấp 1 : 1  x − λ Px = 0  L'x = 0   ' 1  Ly = 0 ⇔  − λ Py = 0  ' y Lλ = 0   I − Px x − Py y = 0   Toán cao cấp : Giải tích 215  2 λ = 1 1  I  λ = xP = yP  I 1   x y ⇔ ⇔ x = = λ Px 2 Px I = 2    1 I λ  = y = λ Py 2 Py   Hessian bao :  −1/ x 2 0  1 H = 0 − 2  y   −P − P y  x H2 = H = − Px  ... 1/ 2 1 λL K − L−1/ 2 K 1/ 2 1 4 2 H1 = = − L−1K < 0 1 4 − L−1/ 2 K 1/ 2 0 2 H2 = H = − 1 −1/ 2 −1/ 2 1 −1/ 2 −1/ 2 1 −1/ 2 −1/ 2 1 −1/ 2 −1/ 2 λL K − λL K − λL K − λL K 0 Vậy, hàm chi phí C đạt cực tiểu toàn cục khi L = L* = 5, K = K* = 200.000 ... L1/2K1/2) Điều kiện cấp 1 :  K (800)2 1 −1/ 2 1/ 2   = w − 2 λ L K = 0 λ2  FL' = 0 L   '  L (0, 02)2  1 1/ 2 −1/ 2 =0⇔ =  FK = 0 ⇔  r − λ L K λ2  '  2 K  Fλ = 0 Q0 − L1/ 2 K 1/ 2  LK = 10 6 =0     λ = 4  ⇔ L = 5  K = 200.000  Hessian bao: 1  1 −3 / 2 1/ 2 − λ L−1/ 2 K −1/ 2 4 λL K 4  1 1 1/ 2 −3 / 2 H =  − λ L−1/ 2 K −1/ 2 λL K  4 4  1 1  − L−1/ 2 K 1/ 2 − L1/ 2 K −1/ . 100 thì y = e 100 . Khi x = 101 thì y = e 101 Ta có dy/y = (e 101 – e 100 )/e 100 = e – 1 ≈ 1,7= % 170 Mặt khác : ( ) . / yx e dy y e ε = = ≠ 100 100 100 100 100 Toán cao cấp : Giải. niệm cơ bản: a- Biên tế (biên)( marginal): Trong kinh tế, khái niệm biên tế dùng để chỉ sự thay đổi của một biến kinh tế này được gây ra bởi sự thay đổi của một biến kinh tế khác.Cho y = f(x). Toán cao cấp : Giải tích 203 Chương X ỨNG DỤNG VÀO KINH TẾ 1. Ký hiệu : A C D E G I K L M P π Q R S T U W Y :