Chuyên đề toán rời rạc- số nguyên

TOÁN RỜI RẠC - HK1 - NĂM 2016 -2017 Chương SỐ NGUYÊN lvluyen@hcmus.edu.vn http://www.math.hcmus.edu.vn/∼luyen/trr2016 FB: fb.com/trr2016 Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh − − −− Tháng 10 năm 2016 − − −− lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 1/18 Nội dung Chương SỐ NGUYÊN Phép chia Ước chung lớn bội chung nhỏ Số nguyên tố lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 2/18 5.1 Phép chia Định nghĩa Cho hai số nguyên a b = Ta gọi a chia hết cho b tồn số nguyên m cho a = mb, ký hiệu a b Khi a gọi bội b, b gọi ước a, ký hiệu b | a Ví dụ 12 3, 15 2, | 20, | 21 Định lý Cho a = 0, b c số nguyên Khi (i) Nếu a | b a | c, a | (b + c); (ii) Nếu a | b, a | bc; (iii) Nếu a | b b | c, a | c Hệ Cho a = 0, b c số nguyên thỏa a | b a | c Khi a | mb + nc với m, n số nguyên lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 3/18 Bổ đề Cho hai số nguyên a b với b > Khi tồn cặp q, r ∈ Z cho a = qb + r với ≤ r < b Ví dụ Cho a = −102 b = 23 Khi −102 = −5 × 23 + 13 Ví dụ.(tự làm) Làm tương tự ví dụ trường hợp: a = 121; b = 15 a = 214; b = 23 Định nghĩa Trong bổ đề trên, q gọi phần thương , r gọi phần dư Ký hiệu q = a div b, r = a mod b Ví dụ 13 div = 3, −23 div = −5, lvluyen@hcmus.edu.vn 13 mod = − 23 mod = Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 4/18 Đồng dư Định nghĩa Cho m số nguyên dương Hai số nguyên a b gọi đồng dư với theo modulo m, a b chia m có phần dư Ký hiệu a ≡ b (mod m) Ví dụ 27 ≡ 43 (mod 4); 47 ≡ 92 (mod 5); 124 ≡ 58 (mod 6) Bổ đề Ta có a ≡ b (mod m) a − b chia hết cho m Nghĩa tồn số nguyên k cho a = b + km Tính chất (i) Với số nguyên a, ta có a ≡ a (mod m) (ii) Nếu a ≡ b (mod m) b ≡ a (mod m) (iii) Nếu a ≡ b (mod m) b ≡ c (mod m) a ≡ c (mod m) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 5/18 Tính chất Cho a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) Khi a + c ≡ b + d (mod m) ac ≡ bd (mod m) Ví dụ Tìm số nguyên a cho a) a ≡ 43 (mod 23) −22 ≤ a ≤ b) a ≡ 17 (mod 23) −14 ≤ a ≤ 14 c) a ≡ −11 (mod 23) 90 ≤ a ≤ 110 Ví dụ Cho a b số nguyên a ≡ (mod 13) b ≡ (mod 13) Tìm số nguyên c với ≤ c ≤ 12 cho a) c ≡ 9a (mod 13) d) c ≡ 2a + 3b (mod 13) b) c ≡ 11b (mod 13) e) c ≡ a2 + b2 (mod 13) c) c ≡ a + b (mod 13) f) c ≡ a3 − b3 (mod 13) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 6/18 5.2 Ước chung lớn bội chung nhỏ Định nghĩa Số nguyên U > gọi ước chung lớn (ký hiệu UCLN) hai số nguyên a, b thỏa hai điều kiện sau: U ước chung a, b; Nếu số nguyên V ước chung a, b V ước U Định nghĩa Số nguyên B > gọi bội chung nhỏ (ký hiệu BCNN) hai số nguyên a, b thỏa hai điều kiện sau: B bội chung a, b; Nếu số nguyên V bội chung a, b V bội B Ví dụ UCLN 15 25 5, BCNN chúng 75 Định lý Ước chung lớn (tương ứng bội chung nhỏ nhất) a, b nhất, ký hiệu (a, b), (tương ứng [a, b]) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 7/18 Mệnh đề Với số tự nhiên m, n ta có mn = (m, n) [m, n] Nhận xét (a, b) = (±a, ±b) [a, b] = [±a, ±b] Do đó, từ sau ta giả sử a, b ≥ Nếu a | b (a, b) = a [a, b] = b Ví dụ (15, 20) = (−15, 20) = (−15, −20) = (15, −20) = [15, 20] = [−15, 20] = [−15, −20] = [15, −20] = 60 (15, 60) = 15, [15, 60] = 60 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 8/18 Thuật toán Euclide tìm UCLN d a, b Nếu b ước a, d = b; Nếu không, ta thực phép chia: a = q1 b + r1 ≤ r1 < b b = q2 r1 + r2 ≤ r2 < r1 r1 = q3 r2 + r3 ≤ r3 < r2 Do b > r1 > r2 > · · · ≥ nên phép chia dừng sau số hữu hạn bước Gọi rn+1 số dư Ta có rn−2 = qn rn−1 + rn ≤ rn < rn−1 rn−1 = qn+1 rn + Khi rn UCLN a b lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 9/18 Ví dụ Tìm UCLN BCNN a = 2322, b = 654 Giải Ta có 2322 = × 654 + 360 654 = × 360 + 294 360 = × 294 + 66 294 = × 66 + 30 66 = × 30 + 30 = × Như (2322, 654) = [2322, 654] = 2322 × 654 = 253098 Ví dụ.(tự làm) Tìm UCLN BCNN 1638 16457? Đáp án (1638, 16457) = [1638, 16457] = 3850938 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 10/18 Định lý Giả sử d UCLN a b Khi tồn m, n ∈ Z cho: d = ma + nb Ví dụ Tìm UCLN d BCNN e a = 114 b = 51? Từ tìm: a) hai số m, n ∈ Z cho d = ma + nb? u v b) hai số u, v ∈ Z cho = + ? e a b Giải Ta có 114 = × 51 + 12 51 = × 12 + 12 = × Suy (114, 51) = Hơn = 51 − × 12 = 51 − × (114 − × 51) = −4 × 114 + × 51 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 11/18 Ta có e = ab = 1938 Như d a) m = −4, n = b) Ta có d = ma + nb Chia vế cho ab, ta d m n n m = + ⇔ = + (vì ab = de) ab b a e a b Như u = 9, v = −4 Ví dụ.(tự làm) Tìm UCLN d BCNN e a = 1638 b = 16457? Từ tìm: a) hai số m, n ∈ Z cho d = ma + nb? u v b) hai số u, v ∈ Z cho = + ? e a b lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 12/18 5.3 Số nguyên tố Định nghĩa Một số nguyên n lớn gọi số nguyên tố có hai ước số dương Ngược lại n gọi hợp số Mệnh đề Nếu n hợp số n có ước số nguyên tố nhỏ hay √ n Mệnh đề Cho p nguyên dương lớn Khi phát biểu sau tương đương (i) p số nguyên tố (ii) ∀ k ∈ N∗ , p | k (p, k) = (iii) ∀ k ∈ N∗ , (p, k) = p | k (iv) ∀ a, b ∈ N∗ , p | ab p | a hay p | b (v) ∀ a, b ∈ N∗ , p | a p | b p | ab lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 13/18 Định lý [Định lý số học] Mọi số nguyên dương phân tích thành tích hữu hạn thừa số nguyên tố Hơn nữa, cách phân tích nhất, sai khác phép hoán vị thừa số nguyên tố Ví dụ 72600 = 23 × × 52 × 112 Định lý Tập hợp số nguyên tố vô hạn Chứng minh Giả sử có hữu hạn số nguyên tố là: p1 , p2 , , pn Ta xét Q = p1 p2 pn + Theo định lý ta có Q số nguyên tố có ước số nguyên tố Vì Q − p1 p2 pn = nên số nguyên tố ước Q Vậy Q số nguyên tố Nhưng Q không nằm tập hợp số nguyên tố (vì Q > pi ) Điều mâu thuẫn với giả thiết có hữu hạn số nguyên tố p1 , p2 , , pn Vậy tập hợp số nguyên tố vô hạn lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 14/18 Định nghĩa Hai số nguyên dương a, b gọi nguyên tố (a, b) = Mệnh đề Cho a, b, c số nguyên dương cho a | bc (a, b) = Khi a | c Mệnh đề Cho a, b, c số nguyên dương cho (a, b) = (a, c) = Khi (a, bc) = Mệnh đề Cho a = pt11 pt22 ptnn Khi ước a có dạng d = ps11 ps22 psnn với ≤ si ≤ ti Do số ước a (t1 + 1)(t2 + 1) (tn + 1) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 15/18 Ví dụ Tìm số ước 72600? Giải Ta có 72600 = 23 × × 52 × 112 nên số ước 72600 (3 + 1)(1 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 72 Ví dụ.(tự làm) Phân tích số sau thừa số nguyên tố tìm số ước chúng 84500; 664048; 743091250 Mệnh đề Cho a = pt11 pt22 ptnn b = ps11 ps22 psnn , ti , si ≥ Khi i) a | b ⇔ ti ≤ si , ∀i = n ii) (a, b) = pl11 pl22 plnn với li = min{ti , si } iii) [a, b] = ph1 ph2 phnn với hi = max{ti , si } Ví dụ Cho a = 1815000 b = 234000 Hãy tìm (a, b) [a, b]? lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 16/18 Giải Ta có 1815000 = 23 × × 54 × 112 234000 = 24 × 32 × 53 × 13 Khi (1815000, 234000) = 23 × × 53 [1815000, 234000] = 24 × 32 × 54 × 112 × 13 Ví dụ Phân tích số sau thành tích số nguyên tố 36, 120, 720, 5040 Ví dụ Tìm ước chung lớn bội chung nhỏ phương pháp phân tích thừa số nguyên tố 12250 1575; lvluyen@hcmus.edu.vn 794750 19550 Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 17/18 Ví dụ Dùng thuật chia Euclid, tìm d = (a, b) m, n ∈ Z cho u v d = ma + nb Sau tìm e = [a, b] u, v ∈ Z cho = + ? e a b a) a = 116 ; b = -84 c) a = 414 ; b = 662 b) a = 72 ; b = 26 d) a = 123 ; b = 277 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Số nguyên Tháng 10 - 2016 18/18