Chuyên đề Toán rời rạc

TOÁN RỜI RẠC - HK1 - NĂM 2016 -2017 Chương QUAN HỆ lvluyen@hcmus.edu.vn http://www.math.hcmus.edu.vn/∼luyen/trr2016 FB: fb.com/trr2016 Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh − − −− Tháng 10 năm 2016 − − −− lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 1/46 Nội dung Chương QUAN HỆ Quan hệ hai Quan hệ tương đương Quan hệ thứ tự lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 2/46 6.1 Quan hệ hai Định nghĩa Các tính chất quan hệ Biểu diễn quan hệ lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 3/46 6.1.1 Định nghĩa Định nghĩa Một quan hệ hai từ tập A đến tập B tập R tích Descartes A × B Ví dụ Cho A = {0, 1, 2} B = {a, b} Khi R = {(0, a), (0, b), (1, a), (2, b)} quan hệ từ A vào B Quan hệ mô tả Định nghĩa Một quan hệ tập hợp A quan hệ hai từ A đến lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 4/46 Ví dụ Cho A = {1, 2, 3, 4}, R = {(a, b) | a ước b} Khi R quan hệ A Hãy tìm R? Giải R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)} Ví dụ.(tự làm) Trên tập hợp số nguyên, ta xét quan hệ sau: R1 = {(a, b) | a ≤ b}, R2 = {(a, b) | a > b}, R3 = {(a, b) | a = b hay a = −b}, R4 = {(a, b) | a = b + 1}, R5 = {(a, b) | a + b ≤ 3} Quan hệ chứa cặp (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, −1), and (2, 2)? Ví dụ Cho A = {1, 2, 3, 4} Hỏi ta xây dựng quan hệ A? Mở rộng kết cho trường hợp A có n phần tử lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 5/46 Giải Vì |A| = nên |A × A| = 16 Do quan hệ A tập A × A nên số quan hệ A 216 Trong trường hợp |A| = n, số quan hệ A 2n Ví dụ.(tự làm) Cho A = {1, 2, 3} Hãy tìm số quan hệ hai A a) chứa (1, 1) b) có phần tử c) có phần tử chứa (1, 1) d) có phần tử Đáp án a) 28 b) C95 c) C84 d) C97 + C98 + C99 Định nghĩa Cho R quan hệ A x, y ∈ A Ta nói: i) x quan hệ R với y (x, y) ∈ R, ký hiệu xRy ✚ (hay xRy ) ii) x không quan hệ R với y (x, y) ∈ / R, ký hiệu x✚ Ry lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 6/46 Ví dụ Cho A = {1, 2, 3} R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 3)} quan hệ A Khi R R 1R1, 1R2, 2R3, 1R3, 2   2,  1, 2  Ví dụ Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Một quan hệ R A xác định sau: xRy ⇔ x − y chia hết cho Ta có: 1R5, 5R1, 7R7, 1  R R  2, 3   6, lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 7/46 6.1.2 Các tính chất Quan hệ Định nghĩa Cho R quan hệ A Ta nói i) R phản xạ ⇔ ∀x ∈ A, xRx ii) R đối xứng ⇔ ∀x, y ∈ A, xRy → yRx iii) R phản xứng ⇔ ∀x, y ∈ A, xRy ∧ yRx → x = y iv) R bắc cầu (hay gọi truyền) ⇔ ∀x, y, z ∈ A, xRy ∧ yRz → xRz Nhận xét Cho R quan hệ A Khi đó: R i) R không phản xạ ⇔ ∃x ∈ A, x   x ii) R không đối xứng ⇔ ∃x, y ∈ A, xRy ∧ y  R  x iii) R không phản xứng ⇔ ∃x, y ∈ A, xRy ∧ yRx ∧ x = y iv) R không bắc cầu ⇔ ∃x, y, z ∈ A, xRy ∧ yRz ∧ x  R  z lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 8/46 Ví dụ Trên tập hợp A = {1, 2, 3, 4}, ta xét quan hệ sau: R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}, R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}, R3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}, R4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}, R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}, Hỏi quan hệ có tính chất nào? Ví dụ Trên tập hợp số nguyên, ta xét quan hệ sau: R1 = {(a, b) | a ≤ b}, R2 = {(a, b) | a > b}, R3 = {(a, b) | a = b hay a = −b}, R4 = {(a, b) | a = b + 1}, R5 = {(a, b) | a + b ≤ 3} Hỏi quan hệ có tính chất nào? lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 9/46 Ví dụ.(tự làm) Cho S = {1, 2, 3} quan hệ hai R = {(2, 2), (1, 3), (3, 3), (1, 2), (1, 1), (2, 1)} S Xét tính chất phản xạ, đối xứng, phản xứng bắc cầu quan hệ R? Ví dụ.(tự làm) Cho S = {1, 2, 3} R = {(1, 1); (1, 2); (2, 3); (3, 2); (3, 3)} quan hệ hai S Xét tính chất phản xạ, đối xứng, phản xứng bắc cầu R Ví dụ.(tự làm) Cho S = {1, 2, 3} Đặt ∀x, y ∈ S, xRy ⇔ 3(x + y) = xy + Liệt kê tất (x, y) ∈ S thỏa xRy xét tính chất phản xạ, đối xứng, phản xứng bắc cầu R lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 10/46 Ví dụ Trong Z8 , tìm nghiệm phương trình · x + = (∗) Giải Ta có · x = · x = · x Phương trình (∗) tương đương với · x = − = −3 = Vì (3, 8) = nên khả nghịch Bằng thuật chia Euclide ta tìm −1 = Suy −1 x = · = · = 15 = Ví dụ Giải phương trình 5x − ≡ (mod 12) (∗∗) Giải Phương trình (∗∗) tương đương với phương trình 5x − = Z12 ⇔ 5·x=4 −1 Ta có = Suy x = −1 · = · = 20 = Như x = + 12k với k ∈ Z lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 29/46 Ví dụ Trong Z16 , tìm nghiệm phương trình · x − = (1) Giải Phương trình (1) tương đương với · x = 11 Ta có không khả nghịch Z16 d = (6, 16) = Hơn d = không ước 11 Suy phương trình (1) vô nghiệm Ví dụ Trong Z85 , tìm nghiệm phương trình 20 · x + 17 = (2) Giải Phương trình (2) tương đương với 20 · x = 70 Ta có 20 không khả nghịch Z85 d = (20, 85) = Ngoài d = ước 70 Ta xét phương trình · y = 14 Z17 (3) −1 Phương trình (3) có nghiệm là: y = lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ · 14 = 13 · 14 = 12 Tháng 10 - 2016 30/46 Theo định lý, nghiệm phương trình (2) có dạng x = 12 + 17k với ≤ k ≤ Như tập nghiệm phương trình (2) { 12, 29, 46, 63, 80 } Ví dụ.(tự làm) Tìm nghiệm phương trình sau: a) 14 · x + = 17 Z25 b) · x + = 21 Z40 c) 14 · x − = 18 Z105 Ví dụ.(tự làm) Giải hệ phương trình sau 2·x+y =5 a) Z15 3·x−5·y =6 b) x+y =8 Z16 6·x−2·y =6 Đáp án a) x = 7; y = lvluyen@hcmus.edu.vn b) vô nghiệm Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 31/46 5.3 Quan hệ thứ tự Định nghĩa Phần tử trội Biểu đồ Hasse Phần tử cực trị Sắp xếp tôpô lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 32/46 6.3.1 Định nghĩa Ví dụ Trên tập hợp N∗ , ta xét quan hệ xRy ⇔ x chia hết cho y Hỏi R có tính chất nào? Đáp án Phản xạ, phản xứng, bắc cầu Định nghĩa Quan hệ R tập hợp A gọi quan hệ thứ tự thỏa mãn tính chất phản xạ, phản xứng bắc cầu Khi (A, R) gọi tập thứ tự Nếu R thứ tự tập hợp A ta ký hiệu a aRb, ký hiệu a ≺ b thay cho a b a = b b thay cho Ví dụ a) Ta có (N, ≤) tập thứ tự Khi b) Xét tập thứ tự (N∗ , | ), ta có lvluyen@hcmus.edu.vn 2, 4 3, 5, , 6, 2 3, 3 2, Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 33/46 Ví dụ.(tự làm) ∀x, y ∈ S = R, đặt xRy ⇔ x3 − x2 − x = y − y − y a) Chứng minh R quan hệ tương đương S b) Tìm tất u, v, w ∈ S cho uR0, vR(−1) wR2 R có phải quan hệ thứ tự S không ? Ví dụ.(tự làm) ∀x, y ∈ T = {−8, −7, −3, −2, 2, 5, 6, 9}, đặt xRy ⇔ x | y (nghĩa x ước số y) a) Tìm tất x, y ∈ T cho xRy b) Tại R quan hệ tương đương quan hệ thứ tự T ? lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 34/46 6.3.2 Phần tử trội Định nghĩa Cho (A, ) tập thứ tự x, y ∈ A Khi đó: Nếu x y ta nói y trội x x trội y Nếu x ≺ y ta nói y trội thật x Nếu x ≺ y không tồn z ∈ A cho x ≺ z ≺ y ta nói y trội trực tiếp x Ví dụ Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Khi đó: a) Với (A, ≤), ta có trội 2, 3, 4, 5, 6; trội trực tiếp b) Với (A, | ), ta có trội 2, 4, 6; trội trực tiếp lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 35/46 Biểu đồ Hasse Định nghĩa Biểu đồ Hasse tập thứ tự (A, ) đồ thị có hướng Các đỉnh tương ứng với phần tử A Các cung có hướng nối từ x đến y y trội trực tiếp x Ví dụ Ta có biểu đồ Hasse cho tập thứ tự ({1, 2, 3, 4, 6}, | ) Ví dụ.(tự làm) Cho tập hợp A = {2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} Vẽ biểu đồ Hasse tập thứ tự (A, | ) (A, ) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 36/46 Thứ tự toàn phần Định nghĩa Các phần tử a b tập thứ tự (S, ) gọi so sánh a b hay b a Nếu hai phần tử tùy ý S so sánh với ta gọi tập thứ tự toàn phần Ta nói thứ tự toàn phần S Ngược lại, gọi tập thứ tự phận (hay gọi thứ tự bán phần) Ví dụ Quan hệ “≤” tập số nguyên dương thứ tự toàn phần Quan hệ ước số “|” tập hợp số nguyên dương không thứ tự toàn phần, số không so sánh lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 37/46 6.3.3 Phần tử cực trị Định nghĩa Cho (A, ) tập thứ tự m ∈ A Ta nói i) m phần tử tối đại A ∀x ∈ A, m x → m = x ii) m phần tử tối tiểu A ∀x ∈ A, x m → x = m iii) m phần tử lớn A ∀x ∈ A, x m iv) m phần tử nhỏ A ∀x ∈ A, m x Ví dụ Từ biểu đồ Hasse tập thứ tự ({1, 2, 3, 4, 6}, | ) Ta có phần tử tối đại phần tử tối tiểu phần tử nhỏ không tồn phần tử lớn lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 38/46 Ví dụ Tìm phần tử tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ tập thứ tự ({2, 4, 5, 10, 12, 20, 25}, |) Giải Phần tử tối đại: 12, 20, 25 Phần tử tối tiểu: 2, Không có phần tử lớn nhỏ Ví dụ.(tự làm) Cho S = {2, 3, 4, 5, 6, 14, 15, 30, 45} Đặt ∀x, y ∈ S, xRy ⇔ ∃ k nguyên lẻ, x = ky Chứng minh R quan hệ thứ tự S Vẽ sơ đồ Hasse cho (S, R) tìm phần tử tối tiểu, tối đại lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 39/46 Ví dụ.(tự làm) Cho S = {2, 4, 5, 10, 12, 15, 20, 30, 90, 180} quan hệ thứ tự R S sau : ∀x, y ∈ S, xRy ⇔ x | y (x ước số y) Vẽ sơ đồ Hasse tìm phần tử nhỏ nhất, lớn nhất, tối tiểu, tối đại (S, R), có lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 40/46 6.3.4 Thứ tự từ điển Định nghĩa Cho Σ tập hữu hạn (ta gọi bảng chữ ) Tập hợp chuỗi Σ, ký hiệu Σ∗ , xác định λ ∈ Σ∗ , λ chuỗi rỗng Nếu x ∈ Σ, w ∈ Σ∗ , wx ∈ Σ∗ , wx kết nối w với x Ví dụ Cho Σ = {a, b, c}, Σ∗ = {λ, a, b, c, aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc, aaa, aab, } Ví dụ Cho Σ = {0, 1}, Σ∗ = {λ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 011, } lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 41/46 Định nghĩa Giả sử thứ tự toàn phần Σ, ta định nghĩa thứ tự toàn phần Σ∗ sau: Cho s = a1 a2 am t = b1 b2 bn hai chuỗi Σ∗ Khi s ≺ t • m < n = bi ≤ i ≤ m, tức t = a1 a2 am bm+1 bm+2 bn • tồn k < m cho = bi với ≤ i ≤ k ak+1 ≺ bk+1 ,nghĩa s = a1 a2 ak ak+1 ak+2 am t = a1 a2 ak bk+1 bk+2 bn Chúng ta kiểm tra thứ tự từ điển Σ∗ lvluyen@hcmus.edu.vn thứ tự toàn phần Σ∗ Ta gọi Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 42/46 Ví dụ Nếu Σ bảng chữ tiếng Anh với thứ tự: a ≺ b ≺ ≺ z, thứ tự nói thứ tự thông thường từ từ điển Ví dụ love ≺ lovely; castle ≺ cat Ví dụ Nếu Σ = {0, 1} với ≺ thì tất chuỗi bit Ví dụ 10101 ≺ 10101000; thứ tự toàn phần tập 10101 ≺ 11 Ví dụ.(tự làm) Sắp xếp chữ sau theo thứ tự từ điển thông thường a) quack, quick, quicksilver, quicksand, quacking b) open, opener, opera, operand, opened c) zoo, zero, zoom, zoology, zoological Ví dụ.(tự làm) Sắp xếp chuỗi bit sau theo thứ tự ≺ 0, 01, 11, 001, 010, 011, 0001, 0101 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ Tháng 10 - 2016 43/46 ... 11 , − , −4, − , , 3, 5} 2 2 Với x, y ∈ S, đặt xRy ⇔ ∃k ∈ Z thỏa x − y = 2k ( lưu ý k phụ thuộc theo x y) a) Chứng minh R quan hệ tương đương b) Xác định lớp tương đương vẽ sơ đồ phân lớp cho (S,... định bởi: ∀x, y ∈ Z, xRy ⇔ x ≡ y (mod n) Khi R quan hệ tương đương Z Quan hệ gọi quan hệ đồng dư theo modulo n Với x ∈ Z, ta có x = {x + kn | k ∈ Z} = {x, x ± n, x ± 2n, x ± 3n, } Ta đặt Zn =... có nghiệm là: y = lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Quan hệ · 14 = 13 · 14 = 12 Tháng 10 - 2016 30/46 Theo định lý, nghiệm phương trình (2) có dạng x = 12 + 17k với ≤ k ≤ Như tập nghiệm phương trình