Toán rời rạc: cơ sở logic

TOÁN RỜI RẠC - HK1 - NĂM 2016 -2017 Chương CƠ SỞ LOGIC lvluyen@hcmus.edu.vn http://www.math.hcmus.edu.vn/∼luyen/trr2016 FB: fb.com/trr2016 Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh − − −− Tháng 10 năm 2016 − − −− lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 1/68 Nội dung Chương CƠ SỞ LOGIC Mệnh đề Dạng mệnh đề Vị từ, lượng từ Quy tắc suy luận lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 2/68 1.1 Mệnh đề Định nghĩa chân trị mệnh đề Phân loại mệnh đề Các phép toán mệnh đề lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 3/68 1.1.1 Định nghĩa chân trị mệnh đề Định nghĩa Mệnh đề phát biểu có giá trị chân lý xác định, sai Nhận xét Câu hỏi, câu cảm thán, mệnh lệnh không mệnh đề Ví dụ Phát biểu sau mệnh đề a) Mặt trời quay quanh trái đất b) + = c) Hôm trời đẹp quá! (không mệnh đề) d) Học đi! (không mệnh đề) e) số lẻ phải không? (không mệnh đề) Chúng ta dùng ký hiệu P, Q, R, để mệnh đề lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 4/68 Chân trị mệnh đề Một mệnh đề sai Khi mệnh đề P ta nói P có chân trị đúng, ngược lại ta nói P có chân trị sai Chân trị chân trị sai ký hiệu (hay Đ, T ) (hay S, F ) Ví dụ Kiểm tra phát biểu sau có phải mệnh đề không? Nếu có, xác định chân trị a) Paris thành phố Mỹ b) n số tự nhiên c) Con nhà mà xinh thế! d) số nguyên tố e) Toán rời rạc môn bắt buộc ngành Tin học f) Bạn có khỏe không? g) x2 + dương lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 5/68 1.1.2 Phân loại mệnh đề Mệnh đề gồm loại: Mệnh đề phức hợp: mệnh đề xây dựng từ mệnh đề khác nhờ liên kết liên từ (và, hay, khi, ) trạng từ “không” Mệnh đề sơ cấp (nguyên thủy): Là mệnh đề xây dựng từ mệnh đề khác thông qua liên từ trạng từ “không” Ví dụ Phân loại mệnh đề sau: a) không số nguyên tố b) số nguyên tố c) Nếu > trời mưa d) An xem phim hay An học e) Hôm trời đẹp + = lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 6/68 1.1.3 Các phép toán mệnh đề a Phép phủ định Phủ định mệnh đề P ký hiệu ¬P hay P (đọc “không” P hay “phủ định của” P ), mệnh đề định bởi: ¬P ⇔ P sai Bảng chân trị: P ¬P Ví dụ P =“2 số nguyên tố”⇒ ¬P = “2 không số nguyên tố” Q =“1 > 2”⇒ ¬Q= “1 ≤ 2” lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 7/68 b Phép nối liền (hội, giao) Phép nối liền hai mệnh đề P Q kí hiệu P ∧ Q (đọc “P Q”), mệnh đề định bởi: P ∧ Q ⇔ P Q đồng thời Bảng chân trị: P 0 1 Q 1 P ∧Q 0 Ví dụ Xác định chân trị mệnh đề sau: a) > Trần Hưng Đạo vị tướng b) số nguyên tố số chẵn c) An hát uống nước lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 8/68 c Phép nối rời (tuyển, hợp) Phép nối rời hai mệnh đề P Q kí hiệu P ∨ Q (đọc “P hay Q”), mệnh đề định bởi: P ∨ Q sai ⇔ P Q đồng thời sai Bảng chân trị: P 0 1 Q 1 P ∨Q 1 Ví dụ Xác định chân trị mệnh đề sau: a) > hay Paris thủ đô Anh b) Mặt trời mọc hướng Đông hay + = c) π > hay trời không mưa d) số nguyên tố số chẵn lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 9/68 d Phép kéo theo Mệnh đề P kéo theo Q hai mệnh đề P Q, kí hiệu P → Q (đọc “P kéo theo Q” hay “Nếu P Q” hay “P điều kiện đủ Q” hay “Q điều kiện cần P ”) mệnh đề định bởi: P → Q sai ⇔ P Q sai Bảng chân trị: P 0 1 lvluyen@hcmus.edu.vn Q 1 P →Q 1 Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 10/68 Ví dụ.(tự làm) Chứng minh suy luận sau: p→q p → (q → r) ¬q ¬q → ¬p ¬r p ∴ ¬(p ∨ r) ∴ r lvluyen@hcmus.edu.vn p∧q p → (r ∧ q) r → (s ∨ t) ¬s t→u r → (s ∨ t) (¬p ∨ q) → r ¬(s ∨ u) ∴p ∴ t Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 54/68 f Quy tắc mâu thuẫn Ta có tương đương logic [(p1 ∧ p2 ∧ ∧ pn ) → q] ⇔ [(p1 ∧ p2 ∧ ∧ pn ∧ ¬q) → 0] Do chứng minh dạng mệnh đề bên phải dạng mệnh đề bên trái Nói cách khác thêm giả thiết phụ ¬q vào tiền đề cho trước mà dẫn đến mâu thuẫn q hệ logic tiền đề cho trước Ví dụ Chứng minh suy luận sau p→r ¬p → q q→s ∴ ¬r → s lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 55/68 Giải Phủ định kết luận ¬(¬r → s) ⇔ ¬(r ∨ s) ⇔ ¬r ∧ ¬s Ta thêm điều vào tiền đề Khi ta chứng minh suy luận sau: p→r ¬p → q q→s ¬r ∧ ¬s ∴0 Ta lần lược thực quy tắc suy luận sau: ¬r ∧ ¬s ∴ ¬r p→r ¬r ∴ ¬p ¬r ∧ ¬s ∴ ¬s q→s ¬s ∴ ¬q ¬p → q ¬p ∴q ¬q q ∴0 Như suy luận chứng minh lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 56/68 Ví dụ Xem suy luận sau hay sai? Ông Minh nói không tăng lương ông ta nghỉ việc Mặt khác, ông nghỉ việc vợ ông bị việc phải bán xe Biết vợ ông Minh hay làm trễ trước sau bị việc Và cuối ông Minh tăng lương Suy ra, ông Minh không bán xe vợ ông ta không làm trễ Nếu ta đặt: p: “ông Minh tăng lương” q: “ông Minh nghỉ việc” r: “vợ ông Minh việc” s: “gia đình phải bán xe” t: “vợ ông hay làm trể” lvluyen@hcmus.edu.vn Ta có sơ đồ suy luận sau: Chương Cơ sở logic ¬p → q (q ∧ r) → s t→r p ∴ ¬s → ¬t Tháng 10 - 2016 57/68 Phản ví dụ Để chứng minh suy luận đúng, sử dụng luật logic quy tắc suy luận Để suy luận sai (hay gọi ngụy biện) ta đưa giá giá trị làm cho tiền đề kết luận sai Ví dụ Kiểm tra suy luận sau hay sai ¬p → q (q ∧ r) → s t→r p ∴ ¬s → ¬t Giải Cho s = 0, t = 1, p = 1, q = 0, r = 1, ta thấy tiền đề đúng, kết luận sai Suy suy luận sai lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 58/68 1.4.2 Các phương pháp chứng minh Mỗi toán chứng minh gồm phần chính: giả thiết kết luận Quá trình chứng minh toán trình sử dụng tiên đề, luật logic, quy tắc suy luận, áp dụng phương pháp chứng minh để từ giả thiết cho ta có kết luận Trong phần ta tìm hiểu phương pháp chứng minh sau: Chứng minh trực tiếp Chứng minh gián tiếp Chứng minh phản chứng Chứng minh theo trường hợp lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 59/68 a Chứng minh trực tiếp Để chứng minh A suy B, giả sử A đúng, sau áp dụng quy tắc suy luận, luật logic, tiên đề, để B Ví dụ Chứng minh rằng, n số lẻ n2 số lẻ Giải Vì n số lẻ nên n = 2k + với k ∈ Z Ta có n2 = (2k + 1)2 = 4k + 4k + Do 4k + 4k chẵn nên n2 số lẻ Ví dụ.(tự làm) Cho ABC tam giác M trung điểm BC Chứng minh AM = M B tam giác ABC vuông A lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 60/68 b Chứng minh gián tiếp Ta có A → B ⇔ ¬B → ¬A Do để chứng minh A suy B đúng, ta giả sử B sai chứng minh A sai Ví dụ Cho n số nguyên, 5n số lẻ n số lẻ Giải Ta dùng phương pháp chứng minh gián tiếp Nghĩa là, cho n số chẵn cần chứng minh 5n số chẵn Vì n số chẵn nên n = 2k (với k ∈ Z) Do 5n = 5.2k = 10k số chẵn lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 61/68 c Chứng minh phản chứng Ta có A → B ⇔ ¬A ∨ B Suy ¬(A → B) ⇔ A ∧ ¬B Như để chứng minh từ A suy B đúng, ta giả sử B sai Sau dùng tiền đề, luật logic, quy tắc suy luận, chứng tỏ điều mâu thuẫn √ Ví dụ Chứng minh số vô tỉ Giải Giả sử √ √ số hữu tỉ, nghĩa biểu diễn thành √ m 2= (m, n ∈ Z) n Ta giả sử m, n hai số nguyên tố Bình phương vế ta có m2 = ⇔ m2 = 2n2 n lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 62/68 2= m2 ⇔ m2 = 2n2 n2 Từ suy m số chẵn (vì bình phương số lẻ số lẻ) Do m = 2k (với k ∈ Z) Ta có (2k)2 = 2n2 ⇔ 4k = 2n2 Suy n2 = 2k Như n số chẵn Do m, n số chẵn nên chúng không số nguyên tố (mâu thuẫn) Ví dụ.(tự làm) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với Gợi ý Sử dụng tiên đề Euclide: “Qua điểm nằm đường thẳng ta vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho.” lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 63/68 d Chứng minh theo trường hợp Ta có (A ∨ B) → C ⇔ (A → C) ∧ (B → C) Do đó, để chứng minh (A ∨ B) → C ta cần chứng minh A → C B → C Ví dụ Chứng minh n3 + 2n chia hết cho với số nguyên n Giải Chia hai trường hợp Trường hợp n chia hết cho 3, hiển nhiên n3 + 2n chia hết cho Trường hợp n không chia hết cho 3, ta viết n = 3k ± với k ∈ Z Ta có n2 + = (3k ± 1)2 + = 9k ± 6k + = 3(3k ± 2k + 1) Suy n(n2 + 2) chia hết cho Như n3 + 2n chia hết cho với số nguyên n lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 64/68 1.5 Nguyên lý quy nạp Với toán chứng minh tính đắn biểu thức mệnh đề có chứa tham số n, P (n) Quy nạp toán học kỹ thuật chứng minh P (n) với số n ≥ N0 Quy nạp yếu Gồm bước: - Bước sở: Chỉ P (N0 ) - Bước quy nạp: Với k ≥ N0 , chứng minh P (k) P (k + 1) Trong P (k) gọi giả thiết quy nạp Ví dụ Chứng minh + + · · · + (2n − 1) = n2 với số nguyên dương n Giải Gọi P (n) = “1 + + · · · + (2n − 1) = n2 ” - Bước sở: Hiển nhiên P (1) = 12 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 65/68 - Bước quy nạp: Với k ≥ 1, giả sử P (k) đúng, tức + + + · · · + (2k − 1) = k Ta cần chứng minh P (k + 1) đúng, tức + + + · · · + (2k + 1) = (k + 1)2 Từ giả thiết quy nạp ta có + + + · · · + (2k + 1) = + + + · · · + (2k − 1) + (2k + 1) = k + (2k + 1) = (k + 1)2 Suy ra, P (k + 1) Vậy theo nguyên lý quy nạp P (n) với số nguyên dương n Ví dụ.(tự làm) Chứng minh + + · · · + n = n(n + 1) với số nguyên dương n lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 66/68 Quy nạp mạnh Gồm bước: - Bước sở: Chỉ P (N0 ) ∧ P (N0 + 1) ∧ ∧ P (K0 ) - Bước quy nạp mạnh: Với k ≥ K0 , chứng minh P (m) với m ≤ k P (k + 1) Ví dụ Mọi số tự nhiên lớn phân tích thành tích thừa số nguyên tố Giải Gọi P (n) = “n phân tích thành tích thừa số nguyên tố" - Bước sở: Hiển nhiên P (2) = số nguyên tố - Bước quy nạp mạnh: Với k ≥ 2, giả sử P (m) với m ≤ k, tức là, với < m ≤ k m phân tích thành tích thừa số nguyên tố lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 67/68 Ta cần chứng minh P (k + 1) đúng, tức k + phân tích thành tích thừa số nguyên tố Nếu k + số nguyên tố P (k + 1) đúng, Ngược lại, k + không số nguyên tố Gọi p ước nguyên tố k + Khi k + = p.a với < p, a < k + Vì a nhỏ k + nên theo giả thiết quy nạp a phân tích thành tích thừa số nguyên tố Do k + phân tích thành tích thừa số nguyên tố Ví dụ.(tự làm) Cho dãy số a0 , a1 , , an , định a0 = 0, a1 = an = 3an−1 − 2an−2 với n ≥ Chứng minh an = 2n − với n ≥ lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 68/68 ... lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 12/68 1.2 Dạng mệnh đề Định nghĩa chân trị dạng mệnh đề Sự tương đương logic Các luật logic lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016... ¬Q d) R → P lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng 10 - 2016 19/68 1.2.2 Tương đương logic Định nghĩa Hai dạng mệnh đề E F gọi tương đương logic chúng có bảng chân trị Ký hiệu E ⇔ F (hay... tương đương logic sau ¬(¬p) ⇔ p p∨p⇔p p ∨ (p ∧ q) ⇔ p p → q ⇔ ¬p ∨ q p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) Mệnh đề Hai dạng mệnh đề E F tương đương logic E ↔ F lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Cơ sở logic Tháng