TOÁN RỜI RẠC phần 1 logic toán

SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG LÔGIC CỦA CÁC MỆNH ĐỀ III DẠNG CHUẨN TẮC HỘI VÀ CHUẨN TẮC TUYỂN CỦA MỆNH ĐỀ LÔ GIC IV.. HẰNG ĐÚNG, MÂU THUẪN, TIẾP LIÊN • Mệnh đề luôn đúng bất kể giá trị chân lý

Trang 1

 K.H Rosen Toán học rời rạc ứng dụng trong Tin

học NXB Khoa học và Kỹ thuật, Bản dịch tiếng Việt,

2006 (P.V Thiều và Đ.H.Thịnh)

 Đỗ Đức Giáo, Toán rời rạc, NXB ĐHQGHN, 2004

Trang 2

Phần I

LÔ-GIC TOÁN

I MỆNH ĐỀ

II SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG LÔGIC CỦA CÁC MỆNH ĐỀ

III DẠNG CHUẨN TẮC HỘI VÀ CHUẨN TẮC TUYỂN

CỦA MỆNH ĐỀ LÔ GIC

IV CÁC QUY TẮC SUY DIỄN

Trang 3

I.MỆNH ĐỀ

• Định nghĩa 1 Mệnh đề là một câu hoặc đúng hoặc

sai, không thể vừa đúng vừa sai.

• Mệnh đề là khái niệm cơ bản của lôgic học

• Ví dụ 1

 Hà nội là thủ đô của Việt nam.

 Thượng Hải là thủ đô của Trung quốc.

 2+1 =3

 5 - 10 = -5

Trang 4

• Giá trị chân lý của một mệnh đề đúng là T (hoặc 1)

• Giá trị chân lý của mệnh đề sai F (hoặc 0)

Trang 6

I.MỆNH ĐỀ

Định nghĩa 3 Hội của hai mệnh đề

Cho p và q là hai m.đề Mệnh đề “p và q” gọi là hội của

hai m.đề có giá trị T khi cả p và q đều đúng và F trong các trường hợp còn lại

Ký hiệu: pq và  gọi là toán tử hội.

p

T T F

T F T

T F F

Trang 7

I.MỆNH ĐỀ

• Ví dụ 4 Tìm hội của p và q trong đó p = “Hôm nay là

• Giải: p  q = “ Hôm nay thứ sáu và trời mưa”.

• Đúng (T) vào hôm thứ sáu và trời mưa,

• Sai (F) vào ngày không là thứ sáu và vào thứ sáu không mưa.

Trang 8

I.MỆNH ĐỀ

• Định nghĩa 4 Tuyển hai mệnh đề Cho p và q là hai

mệnh đề Mệnh đề “p hoặc q” gọi là tuyển của 2 mđề là mệnh đề sai khi cả p và q đều sai và đúng trong mọi

trường hợp còn lại

Ví dụ 5 Lập tuyển của hai mệnh đề p và q trong đó

p = “ Hôm nay là thứ sáu”, còn q = “Hôm nay trời mưa”

Giải:

p  q= “ Hôm nay là thứ sáu hoặc hôm nay trời mưa”

Trang 9

Bảng giá trị chân lý của

T T T F

Trang 10

I.MỆNH ĐỀ

• Tuyển bao hàm và tuyển loại

• Từ “hoặc” với sắc thái bao hàm

Mệnh đề: “các sinh viên đã học Giải tích hoặc Tin học

có thể theo lớp này” Ngầm định: “Các s/v đã học cả

• Từ “hoặc” với sắc thái loại trừ , có nghĩa là: “Các s/v

đã học Giải tích hoặc Tin học nhưng không phải cả hai môn, đều có thể theo lớp học này”

Trang 11

T F T F

F T T F

Trang 12

I.MỆNH ĐỀ

• Định nghĩa 5 Cho p và q

Mệnh đề kéo theo p q chỉ:

• sai khi p đúng và q sai,

• đúng trong mọi trường hợp còn

lại.

• p : giả thiết, q: kết luận

• MĐ=“Nếu hôm nay trời nắng thì

chúng tôi sẽ đi ra bãi biển” có giá

trị là F khi trời nắng, không đi

biển

T T F F

T F T F

T F T T

Trang 13

I.MỆNH ĐỀ

• “Nếu hôm nay là thứ sáu, thì 2+3 =5” là đúng vì kết luận luôn đúng.

• “Nếu hôm nay là thứ sáu, thì 2+3 =7” là đúng với

mọi ngày trừ thứ sáu vì kết luận luôn sai.

Trang 14

II SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG LÔGIC

• Thay một MĐ bằng một MĐ khác cùng GTCLquan trọng trong suy luận TH

• Phương pháp tạo ra MĐ có cùng GTCL với một MĐ phức hợp đã cho được dùng rộng rãi suy luận TH.

Định nghĩa 1 HẰNG ĐÚNG, MÂU THUẪN, TIẾP LIÊN

• Mệnh đề luôn đúng bất kể giá trị chân lý của các mệnh đề thành phần gọi là hằng đúng

• Mệnh đề luôn sai được gọi là hằng sai (mâu thuẫn)

• Mệnh đề không là hằng đúng, cũng không là hằng sai được gọi là

F T

T T

F F

Trang 15

• Định nghĩa 2. A và B là mệnh đề tương đương lô gic (đồng nhất bằng nhau) khi và chỉ khi chúng cùng nhận giá trị đúng hay sai với mọi bộ giá trị đúng sai của các mệnh đề sơ cấp Ký hiệu là AB hay AB

• Ví dụ 2 Chứng minh: ¬(p  q)  ¬p ¬q

T T F F

T F T F

T T T F

F F F T

F F T T

F T F T

F F F T

Trang 16

TFTF

T F T T

FFTT

T F T T

Trang 17

CÁC TƯƠNG ĐƯƠNG LÔGIC

Trang 18

CÁC TƯƠNG ĐƯƠNG LÔGIC

Trang 19

Trang 20

) (Y Z Y X Z

Z Y

X Z

Y X

Z Y

X  (  )   (  )   

Z X

Y Z

X Y

Z X

Y  (  )   (  )   

0))

()((X  Y  X  Y  X 

0)

0()0

(

)(

))(

)((

X Y

X X

Y X

X Y

X

Trang 21

• Ví dụ 6 Chứng minh bằng 2 ph.pháp công thức sau:

1 ))

( (

) (

)(

))(

)((

))(

)((

X Y

Y Z

X Y

X Z

X Y

Z Y

X Z

X Y

Z Y

X Z

X Y

X X

Z Y

X Z

X Y

X

Z Y

X Z

X Y

X

Z Y

X Z

X Y

X

A

Trang 22

• Ví dụ 7 Bằng ph.pháp biến đổi tương đương chứng

minh:

1 1 1 1

1

) (

1 ) )

( (

) )

( (

) )

( ) (

( ) )

( ) B (D (A

) (

) )

((

)) (

) ((

A B

D D

A B

A D

A

B D

A B

D A

B D

A B

D B

B D

A

B D

A B

D B

A

B D

A B

D B

A

B D

A B

D B

A

Trang 23

III DẠNG CHUẨN TẮC HỘI VÀ

CHUẨN TẮC TUYỂN CỦA MỆNH ĐỀ LÔ GIC

• 1 Tuyển và hội sơ cấp.

• Cho A là mệnh đề phức hợp (công thức) bất kỳ

Có thuật toán xác định A là hằng đúng hay hằng sai?

Trả lời: Lập bảng chân trị, sẽ khó khăn nếu số biến quá lớn

Dùng thuật toán khác tốt hơn Thuật toán tìm dạng chuẩn tắc hội và chuẩn tắc tuyển của A.

Định nghĩa 1 Tuyển của các mệnh đề sơ cấp và phủ định

của chúng gọi là tuyển sơ cấp (TSC)

Ví dụ A= (p  ¬p)  (q  ¬p)

Định nghĩa 2 Hội các mệnh đề sơ cấp và phủ định của chúng gọi là hội sơ cấp (HSC)

Trang 24

• Định lý 1.

• 1 TSC  T  TSC chứa một mệnh đề sơ cấp cùng với phủ định của nó

• 2 HSC  F  HSC chứa một mệnh đề sơ cấp cùng

với phủ định của nó

• Chứng minh phần 1

• a) Điều kiện cần TSC  T chỉ ra TSC chứa một mệnh đề sơ cấp cùng với phủ định của nó Giả sử ngược lại: TSC không chứa một mệnh đề sơ cấp nào cùng với phủ định của nó Thay các mđsc không có dấu phủ định

bằng F còn các mđsc có dấu phủ định bằng T Khi đó

TSC có giá trị F Trái giả thiết Vậy ĐKCần được cm

Trang 25

III DẠNG CHUẨN TẮC HỘI VÀ DẠNG CHUẨN TẮC

TUYỂN CỦA MỆNH ĐỀ LÔ GIC

• b) Điều kiện đủ Giả sử TSC chứa một mệnh đề sơ cấp

p cùng với ¬p Khi đó:

TSC=p  ¬p  q  r  x  T  q  r  x  T

Đó là đpcm

• Phần 2) chứng minh tương tự

2 Dạng chuẩn tắc tuyển và chuẩn tắc hội

• Định nghĩa 3. A là công thức Nếu A’A mà A’ là tuyển của các HSC, t.l A’ (HSC1)  (HSC2)  … (HSCn) thì A’ gọi là dạng chuẩn tắc tuyển (DCTT) của A

• Định nghĩa 4. A là công thức Nếu A’A mà A’ là hội

của các TSC, t.l A’ (TSC1)  (TSC2)  …  (TSCn) thì A’ gọi là dạng chuẩn tắc hội (DCTH) của A

Trang 26

• Ví dụ A x  (x y)

A’  x  (¬x  y) là DCTH

A’’  (x  ¬x)  (x  y) là DCTT

• Định lý 2. Mọi công thức bất kỳ đều có DCTT và DCTH

• Chứng minh Giả sử A là mệnh đề̀ Nếu A chứa phép  dùng đồng nhất thức X Y ¬X  Y Vì vậy A chỉ chứa các  , , ¬ Nếu phép ¬ chưa trực tiếp đối với mệnh đề sơ cấp trong A thì

dùng các quy tắc De morgan để chuyển về phủ định của các

mđsc Và dùng các quy tắc phân phối

p  ( q  r )  (p  q)  (p  r)

p  (q  r )  (p  q)  (p  r)

• Khi đó A sẽ có DCTT hay DCTH ĐLđcm

Trang 27

• Ví dụ 1 Tìm DCTT của công thức sau:

Trang 28

• Chứng minh phần 1.

• a) Điều kiện cần Giả sử A  T theo Đl 2 thì A có DCTH:

A’ (TSC1)  (TSC2)  …  (TSCn)

• Vì A’ đồng nhất đúng thì TSCi (i=1,…,n) là đồng nhất

đúng Theo Đl 1 thì trong mỗi TSCi (i=1,…,n) có chứa một mđsc nào đó đồng thời với phủ định của nó

• b) Điều kiện đủ Giả sử A’ (TSC1) (TSC2) … (TSCn) là DCTH của A với mỗi TSCi (i=1,…,n) có chứa một

mđsc nào đó đồng thời với phủ định của nó Theo Đl1 thì mọi TSCi (i=1,…,n) đều là đúng,̀ do đó A’ t.l A  T

• Phần 2 chứng minh tương tự

Trang 29

3 Thuật toán nhận biết hằng đúng, hằng sai và tiếp liên

Cho A là công thức bất kỳ

1 Khử phép  trong A được A1A

2 Đưa phép ¬ trong A1 về trực tiếp liên quan tới các mđsc, ta

được A2 A1

3 Đưa A2 về DCTH bằng cách áp dụng công thức

p  ( q  r )  (p  q)  (p  r) ta được A3A2 với

A3 (TSC1) (TSC2) … (TSCn) (n1)

+ Nếu trong mọi TSCi đều chứa một mđsc nào đó đồng thời

với pđịnh của nó thì A3 là hằng đúng hay A T; Kthuc TT + Nếu có một TSC không chứa một mđsc nào đó đồng thời

Trang 30

III DẠNG CHUẨN TẮC HỘI VÀ DẠNG CHUẨN

TẮC TUYỂN CỦA MỆNH ĐỀ LÔ GIC

• 4 Đưa A2 về DCTT bằng cách áp dụng công thức

p  (q  r )  (p  q)  (p  r) ta được A’3A2 với

Trang 31

4 Các ví dụ

Ví dụ 1 Chứng minh

Thật vậy, dạng CTH của F :

1 ))

( )

((

) (

(       

 A B C A B A C F

1 )

( ) (

) (

)) (

) ((

) (

A B

C C

A B

B C

A B

A

C A

B C

B A

C A

B C

A A

C B

A

C A

B A

C B

A C

A B

A C

B A

F

Trang 32

Ví dụ 2 Chứng minh

1 )

( ) (

) (

)) (

) (

( )) (

) (

(

) (

)) (

(

1 )))

( (

) ((

) (

C C

B A

A C

B

A C

B C

B A

C A

B

C B

A C

A B

C B

A C

A A

C B

A C

A B

A

C B

A C

A B

A

F

C B

A C

A B

A

F

Trang 33

1 Các quy tắc suy diễn.

 Định lý là một phát biểu có thể chỉ ra được là đúng

 Một lập luận chỉ ra được tính đúng đắn của một mệnh đề phát

biểu trong Định lý được gọi là một Chứng minh.

 Các quy tắc suy diễn trong lô-gic là cơ sở để biết một lập luận

hay một chứng minh là đúng hay là sai

 Một chứng minh dựa trên các hằng đúng làm cơ sở gọi là chứng

minh có lý hay suy luận đúng.

A A

n

2 1

Trang 34

• Hằng đúng (p(pq)) q - cơ sở của quy tắc suy luận- luật tách rời

• Luật tách rời được viết như sau:

pq (giả thiết)

• Ví dụ 1 Giả sử mệnh đề kéo theo “nếu hôm nay

tuyết rơi, thì chúng ta sẽ đi trượt tuyết” và giả thiết

“nếu hôm nay tuyết rơi” là đúng Khi đó, theo luật tách rời, “chúng ta sẽ đi trượt tuyết” là đúng

Trang 35

Ví dụ 2. Mệnh đề pq=“nếu n chia hết cho 3, khi đó n 2 chia hết cho 9 ” là đúng Do vậy, p=“ n chia hết cho 3”, khi đó theo luật tách rời ta suy ra q= “n 2 chia hết cho 9”

• Ví dụ 3 Quy tắc suy luận nào là cơ sở của suy diễn: “ Bây giờ trời quá băng giá Vậy thì bây giờ hoặc là trời quá băng giá hoặc trời mưa”?

Bài giải Giả sử p = ” Bây giờ trời quá băng giá”

q = “ bây giờ trời mưa”

Khi đó suy diễn trên có dạng

p  p v q quy tắc cộng

Trang 36

• Ví dụ 4. Quy tắc suy luận nào là cơ sở của suy diễn

sau: “ Bây giờ trời quá băng giá và đang mưa Vậy

thì bây giờ trời quá băng giá”?

• Bài giải

• Giả sử p =“Bây giờ trời quá băng giá” và

q = “ bây giờ trời mưa”.

Suy diễn trên có dạng

(p  q)  p

• Vậy là ta đã sử dụng quy tắc rút gọn

Trang 37

hôm nay trời mưa thì hôm nay chúng ta sẽ không đi chơi

ngoài trời Nếu hôm nay chúng ta không đi chơi ngoài trời thì ngày mai chúng ta sẽ đi chơi ngoài trời Vậy thì, nếu

hôm nay trời mưa thì ngày mai chúng ta sẽ đi chơi ngoài

trời”.

• Bài giải Giả sử p = “hôm nay trời mưa”,

q= “ hôm nay chúng ta sẽ không đi chơi ngoài trời”

r = “ngày mai chúng ta sẽ đi chơi ngoài trời”.

Suy diễn có dạng quy tắc tam đoạn luận giả định :

Trang 38

diễn Hằng đúng cơ sở

1 Quy tắc cộng A

: A  B

Trang 39

TT Tên gọi Quy tắc suy diễn Hằng đúng cơ sở

4 Quy tắc suy diễn

phủ định

(modus tollens)

A B ¬B : ¬A

((A B) ¬B)¬A

5 Quy tắc suy diễn

tam đoạn luận A B B C

: A C

((A B) (B C))  (A C)

6 Suy diễn tam đoạn

luận rời A  B ¬ A

: B

((AB)) ))  ¬A)→B

Trang 40

TT Tên gọi Quy tắc suy diễn Hằng đúng cơ sở

7 Quy tắc suy

diễn mâu

thuẫn

A1 A1 …

An An  ¬B

: B : F

(A1 An )B  (A1 An¬B) F

8 Quy tắc suy

diễn theo

trường hợp

AC

B C : (AB) C

((AC)(B C))  (AB) C

Trang 41

• Suy luận dùng Quy tắc suy diễn là suy luận có căn cứ

luận đúng.

 nếu một trong các luận đề sai thì một suy luận có căn

cứ có thể dẫn đến một kết luận sai

• Ví dụ 6: “ Nếu 101 chia hết cho 3 thì 1012 chia hết cho

9 101 chia hết cho 3, vậy thì 1012 chia hết cho 9”.

Dùng luật tách rời, nhưng “101 chia hết cho 3” sai nên kết luận sai

Trang 42

2 Một số ví dụ áp dụng các quy tắc suy diễn.

Ví dụ 1 Dùng các quy tắc suy luận hãy chứng minh hằng

: AB .: AB : AB

Ví dụ 2 Chứng minh hằng đúng

(AB) [(AB) ¬(CD)] ¬(CD) (2)

Trang 43

Giải. Mô hình suy diễn của (2):

(AB)

(AB) ¬(CD)  Qt Kd(3) ¬(CD)  T

: ¬(CD) .: ¬(CD)

Nếu Nam đi chơi game thì Nam không ôn tập môn Toán rời rạc được Nếu Nam không ôn tập TRR thì Nam sẽ trượt TRR Thế mà Nam đi chơi game, vậy Nam sẽ trượt môn TRR

Giải: A: Nam đi chơi game

Trang 44

C: Nam trượt THRR

Suy luận trên có dạng

Vậy suy luận trên là đúng

Ví dụ 4 Nếu được thưởng cuối năm An sẽ đi Đà Lạt Nếu An

đi Đà Lạt An sẽ đến hồ Than Thở An chưa đến hồ Than thở, vậy An không được thưởng cuối năm

Giải

T C

C C

A

C A

Tđđ C

A

C B

B A

Trang 45

A: An được thưởng cuối năm

B: An đi Đà Lạt

C:An đến hồ Than Thở

Suy diễn trên có dạng:

Vậy Suy luận trên là có cơ sở

T A

A A

B

B A

Pđ A

C

C B

B A

Trang 46

Là hằng đúng

Giải: Biểu thức trên có dạng mô hình suy diễn:

Vậy suy trên đúng

T A

A A

E

E A

A E

E D

D C

C A

A E

E D

C D

C B

B A

Trang 47

Ví dụ 6 Chứng minh suy luận sau đúng:

Ví dụ 7 Chứng minh suy luận sau đúng;

Giải: Vì nên

T D

D D

A

D A

D C

C B

B A

)) (

) (

)

D B

Trang 48

Nên

được tăng lương Nếu Bê được tăng lương thì Bê sẽ mua xe máy SH Mà Bê không mua xe máy vậy Bê không được lên chức hoặc Bê không làm việc chăm chỉ Suy luận trên đúng không?

1 0

0 0

C A

A D

D C

C A

B

B A

D B

D C

C A

B A

D B

D C

C A

B A

Trang 49

Giải: A:Bê được lên chức:

B: Bê làm việc chăm chỉ,C:Bê được tăng lương

D: Bê mua xe máy SH

Suy diễn trên có dạng:

1 0

0 0

0

) (

0

)

( )

B

A B

A C

C B

A

B A

D

D C

C B

A

B A

D

C

C B

A

Trang 50

dậy sớm Nếu tối thứ Hai đi xem kịch thì Hùng sẽ về muộn Nếu Hùng về muộn và thức dậy sớm thì Hùng đi họp sáng thứ ba và chỉ được ngủ không được 7 giờ/ ngày Nhưng không thể đi họp nếu ngủ dưới 7 giờ/ngày Vậy hoặc Hùng không đi xem kịch tối thứ 2 hoặc hùng phải bỏ họp sáng thứ

3 Suy luận trên có căn cứ không?

Giải: A: Hùng đi họp sáng thứ 3

B: H phải dậy sớm

C: H đi xem kịch tối thứ 2

D: Hùng về muộnE: H ngủ dưới 7 giờ/ngày

Trang 51

Suy luận trên có dạng:

0

) (

0

) (

0

) (

A

A E

E A

B D

A E

E A B

D C

A

B A

A C

A E

E A

B D

D C

B A

MT

A A

C

A

E

E A B

Trang 52

• Ví dụ 10 Nếu ca sĩ Hồng Nhung không biểu diễn hay số vé bán ra ít hơn 50 thì đêm biểu diễn ở triển lãm Giảng võ bị hủy

bỏ và trưởng ban tổ chức sẽ lo sợ (lỗ vốn ) Nếu đêm biểu

diễn bị hủy bỏ thì phải trả lại tiền vé cho người xem Nhưng tiền vé đã không phải trả lại vậy Hồng Nhung đã biểu diễn

Suy luận trên có đúng không?

Định dạng
Số trang	57
Dung lượng	2,35 MB