Toán rời rạc: phương pháp đếm

TOÁN RỜI RẠC - HK1 - NĂM 2016 -2017 Chương PHƯƠNG PHÁP ĐẾM lvluyen@hcmus.edu.vn http://www.math.hcmus.edu.vn/∼luyen/trr2016 FB: fb.com/trr2016 Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh − − −− Tháng 10 năm 2016 − − −− lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 1/37 Nội dung Chương PHƯƠNG PHÁP ĐẾM Các nguyên lý đếm Giải tích tổ hợp Tổ hợp lặp lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 2/37 3.1 Các nguyên lý đếm Nguyên lý cộng Nguyên lý nhân Nguyên lý bù trừ Nguyên lý Dirichlet lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 3/37 3.1.1 Nguyên lý cộng Giả sử để làm công việc A ta có phương pháp Phương pháp 1: có n cách làm Phương pháp 2: có m cách làm Khi số cách làm công việc A n + m Ví dụ An có áo tay dài, áo tay ngắn Để chọn áo An có cách? Đáp án 3+5 =8 cách Ví dụ Nhà trường cần chọn sinh viên khoa CNTT năm hai, năm ba năm tư tham gia hội nghị sinh viên thành phố Biết trường có 501 sinh viên năm hai, 402 sinh viên năm ba, 345 sinh viên năm tư Hỏi có cách chọn? Đáp án 501 + 402 + 345 = 1248 cách lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 4/37 3.1.2 Nguyên lý nhân Giả sử để làm công việc A cần thực bước Bước có n cách làm Bước có m cách làm Khi số cách làm công việc A n × m Ví dụ Hỏi có nhiêu cách từ A đến C? Đáp án × = cách lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 5/37 Ví dụ Có chuỗi bit có độ dài 8? Giải Mỗi bit chọn cách: Theo nguyên lý nhân ta có số lượng chuỗi 28 = 256 Ví dụ Cho tập A gồm phần tử tập B gồm 10 phần tử Hỏi a) Có ánh xạ từ A vào B? b) Có đơn ánh từ A vào B? Giải a) Với phần tử x A ta có 10 cách chọn ảnh x (vì B có 10 phần tử) Theo nguyên lý nhân, ta có 106 ánh xạ b) Giải sử A = {x1 , x2 , , x6 } Ta chia toán thành bước: Bước Chọn ảnh x1 có 10 cách Bước Chọn ảnh x2 có 10 − = cách Bước Chọn ảnh x6 có 10 − = cách Vậy số đơn ánh là: 10 × × × × × = 151200 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 6/37 Ví dụ Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 ta lập số tự nhiên có ba chữ số khác mà chia hết cho 2? Giải Gọi số có ba chữ số abc Trường hợp c = Khi c có cách chọn a có cách chọn ( a = X \ {0} ) b có cách chọn ( b = X \ {a, 0} ) Trường hợp có × × = 20 số Trường hợp c = Khi c có cách chọn a có cách chọn ( a = X \ {c, 0} ) b có cách chọn ( b = X \ {a, c} ) Trường hợp có × × = 32 số Như có 20 + 32 = 52 số lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 7/37 3.1.3 Nguyên lý bù trừ Ví dụ Có chuỗi bit có độ dài bắt đầu kết thúc 00? Cho A B hai tập hữu hạn Khi |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| Giải ví dụ Số lượng chuỗi bit bắt đầu 27 = 128 Số lượng chuỗi bit kết thúc 00 26 = 64 Số lượng chuỗi bit bắt đầu kết thúc 00 25 = 32 Số lượng chuỗi bit thỏa đề 128 + 64 − 32 = 160 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 8/37 Ví dụ Có toán kiểm tra Trong lớp có 30 sinh viên làm thứ 20 sinh viên làm thứ hai có 10 sinh viên làm Biết sinh viên làm bài, hỏi lớp có sinh viên? Giải Ta gọi A sinh viên giải B sinh viên giải Khi A ∩ B sinh viên giải toán Bài toán đặt tính số phần tử A ∪ B Ta có |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 30 + 20 − 10 = 40 Như lớp có 40 sinh viên lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 9/37 |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| Ví dụ.(tự làm) Bài kiểm tra Toán rời rạc có Biết rằng, sinh viên làm bài, có 20 sinh viên làm 14 sinh viên làm 10 sinh viên làm sinh viên giải sinh viên giải sinh viên giải sinh viên giải Hỏi lớp có sinh viên? lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 10/37 Ví dụ.(tự làm) Từ sinh viên nam sinh viên nữ, ta muốn chọn đội gồm 10 người cho đội có nam nữ Hỏi có cách chọn ? Đáp án C94 × C86 + C95 × C85 + C96 × C84 Ví dụ.(tự làm) Cho S = {1, 2, , 9, 10} a) Có tập hợp ? b) Có tập hợp mà tập có phần tử ? c) Có tập hợp mà tập có không phần tử ? Đáp án a) 210 b)C10 + C1 + C2 + C3 + C4 c) C10 10 10 10 10 Ví dụ.(tự làm) Từ nam 11 nữ, ta muốn chọn đội văn nghệ gồm 10 người cho số nam số nữ đội chênh lệch không Hỏi có tất cách chọn đội? + C5 × C5 + C6 × C4 Đáp án C94 × C11 11 11 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 23/37 Ví dụ.(tự làm) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, ta tạo a) số tự nhiên có chữ số khác nhau? b) số tự nhiên có chữ số khác có chữ số 5? Đáp án a) A48 b) A38 − A37 Ví dụ.(tự làm) Có luật sư, bác sĩ kỹ sư xếp thành hàng dọc cho đồng nghiệp phải đứng cạnh Hỏi có tất cách xếp? Nếu yêu cầu thêm luật sư không đứng đầu hàng có tất cách xếp ? Đáp án 3! × 3! × 4! × 5! lvluyen@hcmus.edu.vn × 2! × 3! × 4! × 5! Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 24/37 3.3 Tổ hợp lặp Hoán vị lặp Chỉnh hợp lặp Tổ hợp lặp Khai triển lũy thừa đa thức lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 25/37 3.3.1 Hoán vị lặp Ví dụ Có chuỗi kí tự khác cách xếp chữ từ AAABB? Đáp án 10 Định nghĩa Cho n đối tượng có ni đối tượng loại i (1 < i ≤ k) giống hệt nhau, nghĩa n1 + n2 + + nk = n Mỗi cách xếp có thứ tự n đối tượng cho gọi hoán vị lặp n Số hoán vị lặp n trường hợp P∗n (n1 , n2 , , nk ) = lvluyen@hcmus.edu.vn n! n1 ! × n2 ! × × nk ! Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 26/37 Ví dụ Có chuỗi kí tự khác cách xếp chữ từ SUCCESS? Giải Trong từ SUCCESS có chữ S, chữ U, chữ C chữ E Do số chuỗi có 7! = 420 3! × 1! × 2! × 1! Ví dụ.(tự làm) Từ chữ số 1, 2, lập số tự nhiên có chữ số 1, chữ số chữ số Hướng dẫn Số tự nhiên có 10 chữ số, có chữ số 1, chữ số chữ số Do ta lập 10! = 2520 số 5! × 2! × 3! lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 27/37 3.3.2 Chỉnh hợp lặp Ví dụ Từ bảng chữ tiếng Anh, ta lập chuỗi chữ có độ dài 5? Đáp án 265 Định nghĩa Cho A tập hợp gồm n phần tử Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử thứ tự k phần tử A, phần tử lặp lại Số chỉnh hợp lặp chập k n là: Fnk = nk Ví dụ.(tự làm) Hỏi có số có 10 chữ số mà chữ số đầu chữ số cuối tương ứng giống nhau? Đáp án × 102 × 104 = 9000000 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 28/37 3.3.3 Tổ hợp lặp Ví dụ Cửa hàng có loại nón A, B, C, An muốn mua nón Hỏi An có cách chọn? Đáp án An có cách chọn AA, AB, AC, BB, BC, CC Định nghĩa Mỗi cách chọn k vật từ n loại vật khác (trong loại vật chọn lại nhiều lần) gọi tổ hợp lặp chập k n Số tổ hợp lặp chập k n ký hiệu Knk k Knk = Cn+k−1 Hệ Số nghiệm nguyên không âm (x1 , x2 , , xn ) (xi ∈ Z, xi ≥ 0) phương trình x1 + x2 + + xn = k k k Kn = Cn+k−1 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 29/37 Ví dụ Tìm số nghiệm nguyên không âm phương trình x1 + x2 + x3 = 10 10 Giải Số nghiệm nguyên không âm phương trình là: K310 = C12 Ví dụ Tìm số nghiệm nguyên phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 20 (∗) thỏa điều kiện x1 ≥ 4; x2 > 2; x3 > 5; x4 ≥ −2 Giải Ta viết điều kiện cho thành x1 ≥ 4; x2 ≥ 3; x3 ≥ 6; x4 ≥ −2 Đặt y1 = x1 − 4; y2 = x2 − 3; y3 = x3 − 6; y4 = x4 + Khi yi ≥ (1 ≤ i ≤ 4) Phương trình (∗) trở thành y1 + y2 + y3 + y4 = lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm (∗∗) Tháng 10 - 2016 30/37 Ta có số nghiệm phương trình (∗) số nghiệm phương trình (∗∗) Do số nghiệm phương trình (∗) K49 = C12 Ví dụ Tìm số nghiệm nguyên không âm phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 20 thỏa điều kiện x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 > (∗) Giải Ta viết điều kiện cho thành ≤ x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5; x4 ≥ Xét điều kiện sau: x1 ≥ 0; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5; x4 ≥ x1 > 3; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5; x4 ≥ (∗∗) (∗ ∗ ∗) Gọi p, q, r số nghiệm nguyên không âm phương trình thỏa điều kiện (∗), (∗∗), (∗ ∗ ∗) Khi p = q − r lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 31/37 Trước hết ta tìm q Đặt y1 = x1 ; y2 = x2 − 2; y3 = x3 − 5; y4 = x4 Phương trình (1) trở thành y1 + y2 + y3 + y4 = 13 (2) Số nghiệm nguyên không âm phương trình (1) thỏa điều kiện (**) số nghiệm nguyên không âm phương trình (2) 13 Vậy q = C 13 Số nghiệm K413 = C16 16 Như Lý luận tương tự ta có r = K49 = C12 13 p = q − r = C16 − C12 = 560 − 220 = 340 Vậy số nghiệm nguyên không âm phương trình (1) thỏa điều kiện (∗) 340 Hệ Số cách chia k vật giống vào n hộp phân biệt số tổ hợp lặp chập k n lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 32/37 Ví dụ.(tự làm) Tìm số cách chia 15 viên bi giống cho đứa trẻ 15 Đáp án K415 = C18 Ví dụ Tìm số nghiêm nguyên không âm bất phương trình sau: x1 + x2 + x3 ≤ 11 Giải Đặt x4 = 11 − (x1 + x2 + x3 ) Khi x4 ≥ bất phương trình cho tương đương với phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 11 với x1 , x2 , x3 , x4 số nguyên không âm Do số nghiệm bất 11 = 364 phương trình là: K411 = C14 Ví dụ.(tự làm) Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình x + y + z ≤ 20, biết x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 33/37 Ví dụ.(tự làm) Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình x + y + z ≤ 15 thỏa điều kiện ≤ x ≤ 6, y ≥ 2, z ≥ Ví dụ.(tự làm) Tìm số nghiệm nguyên phương trình x + y + z + t = 16 thỏa điều kiện ≤ x ≤ 5, y ≥ 1, z ≥ 2, t ≥ Ví dụ.(tự làm) Tìm số nghiệm nguyên không âm phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = biết x1 ≥ hay x2 ≥ Ví dụ.(tự làm) Có cách chia 18 viên bi giống cho đứa trẻ cho đứa trẻ có bi đứa lớn nhất viên bi lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 34/37 3.3.4 Khai triển lũy thừa đa thức Định lý Cho x, y biến n số tự nhiên Khi n n Cnk xn−k y k (x + y) = = k=0 Cn0 xn + Cn1 xn−1 y + · · · + Cnn−1 xy n−1 + Cnn y n Ví dụ Khai triển (x + y)4 Giải (x + y)4 = = C4k x4−k y k k=0 C40 x4 + C41 x3 y + C42 x2 y + C43 xy + C44 y = x + 4x3 y + 6x2 y + 4xy + y Ví dụ.(tự làm) Khai triển (2x − 3y)5 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 35/37 Ví dụ Tìm hệ số x12 y 13 khai triển (2x − 3y)25 ? Giải Dựa vào Định lý, ta có 25 25 2x + (−3y) k C25 (2x)25−k (−3y)k = k=0 Do hệ số x12 y 13 có k = 13 Suy hệ số cần tìm là: 13 12 C25 (−3)13 = −33959763545702400 Định lý Cho x1 , x2 , , xm biến n số nguyên dương Khi (x1 + x2 + · · · + xm )n = k1 +k2 +···+km =n lvluyen@hcmus.edu.vn n! xk1 xk2 xkmm k1 ! k2 ! km ! Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 36/37 Ví dụ Tìm hệ số x3 y z khai triển (x + 2y − 3z + t)9 Giải Áp dụng Định lý trên, ta có số hạng chứa x3 y z 9! x3 (2y)5 (−3z)1 t0 = −48384 x3 y z 3! 5! 1! 0! Vây hệ số x3 y z −48384 Ví dụ.(tự làm) Cho khai triển (−x + y − 2z + t)10 a) Tìm hệ số x5 y t b) Có số hạng khác phép khai triển trên? Hướng dẫn b) Mỗi số hạng có dạng M xa y b z c td Suy số hạng khác khai triển số nghiệm phương trình a + b + c + d = 10, 10 với a, b, c, d số nguyên không âm Đáp án K410 = C13 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Phương pháp đếm Tháng 10 - 2016 37/37