Toán rời rạc- hệ thức đệ quy

TOÁN RỜI RẠC - HK1 - NĂM 2016 -2017 Chương HỆ THỨC ĐỆ QUY lvluyen@hcmus.edu.vn http://www.math.hcmus.edu.vn/∼luyen/trr2016 FB: fb.com/trr2016 Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh − − −− Tháng 10 năm 2016 − − −− lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 1/31 Nội dung Chương HỆ THỨC ĐỆ QUY Giới thiệu Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính không lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 2/31 4.1 Giới thiệu Ví dụ Tháp Hà Nội Có cọc A, B, C n đĩa với đường kính đôi khác Nguyên tắc đặt đĩa vào cọc là: đĩa chồng lên đĩa lớn Ban đầu, n đĩa đặt chồng lên cọc A, hai cọc B C để trống Vấn đề đặt chuyển n đĩa cọc A sang cọc C (có thể qua trung gian cọc B), lần chuyển đĩa Ta gọi xn số lần chuyển đĩa, tìm xn ? lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 3/31 Giải Với n = 1, ta có x1 = Với n > 1, trước hết ta chuyển n − đĩa bên sang cọc B qua trung gian cọc C (giữ nguyên đĩa thứ n cọc A) Số lần chuyển n − đĩa xn−1 Sau ta chuyển đĩa thứ n từ cọc A sang cọc C Cuối ta chuyển n − đĩa từ cọc B sang cọc C (cọc A làm trung gian) Số lần chuyển n − đĩa lại xn−1 Như số lần chuyển toàn n đĩa từ A sang C là: xn−1 + + xn−1 = 2xn−1 + Nghĩa x1 = xn = 2xn−1 + lvluyen@hcmus.edu.vn với n > Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 4/31 Ví dụ Một cầu thang có n bậc Mỗi bước gồm bậc Gọi xn số cách hết cầu thang Tìm xn ? Giải Với n = 1, ta có x1 = Với n = 2, ta có x2 = Với n > 2, để khảo sát xn ta chia thành hai trường hợp loại trừ lẫn nhau: Trường hợp Bước gồm bậc Khi đó, cầu thang n − bậc nên số cách hết cầu thang xn−1 Trường hợp Bước gồm bậc Khi đó, cầu thang n − bậc nên số cách hết cầu thang xn−2 Theo nguyên lý cộng, số cách hết cầu thang xn−1 + xn−2 Do ta có: xn = xn−1 + xn−2 Như lvluyen@hcmus.edu.vn x1 = 1, x2 = 2; xn = xn−1 + xn−2 với n > Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 5/31 4.2 Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số Định nghĩa Một hệ thức đệ quy tuyến tính cấp k với hệ số hệ thức có dạng: a0 xn + a1 xn−1 + + ak xn−k = fn (1) a0 = 0, a1 , , ak hệ số thực; {fn } dãy số thực cho trước; {xn } dãy ẩn nhận giá trị thực Trường hợp dãy fn = với n (1) trở thành a0 xn + a1 xn−1 + + ak xn−k = (2) Ta nói (2) hệ thức đệ quy tuyến tính cấp k với hệ số lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 6/31 Ví dụ 2xn − 5xn−1 + 2xn−2 = −n2 − 2n + −→ tuyến tính cấp xn − 3xn−1 + 2xn−3 = 20 + n2n−2 + 3n −→ tuyến tính cấp 2xn+2 + 5xn+1 + 2xn = (35n + 51)3n −→ tuyến tính cấp xn+2 − 2xn+1 + xn = −→ tuyến tính cấp Định nghĩa Xét hệ thức đệ quy tuyến tính cấp k a0 xn + a1 xn−1 + + ak xn−k = fn (1) Mỗi dãy {xn } thỏa (1) gọi nghiệm (1) Nhận xét nghiệm {xn } (1) hoàn toàn xác định k giá trị ban đầu x0 , x1 , , xk−1 Họ dãy số {xn = xn (C1 , C2 , , Ck )} phụ thuộc vào k họ tham số C1 , C2 , , Ck gọi nghiệm tổng quát (1) dãy họ nghiệm (1) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 7/31 Với k giá trị ban đầu y0 , y1 , , yk−1 , tồn giá trị k tham số C1 , C2 , , Ck cho nghiệm {xn } tương ứng thỏa x0 = y0 , x1 = y1 , , xk−1 = yk−1 (∗) Khi đó, nghiệm {xn } tương ứng gọi nghiệm riêng ứng với điều kiện ban đầu (∗) Giải hệ thức đệ quy tìm nghiệm tổng quát nó; hệ thức đệ quy có kèm theo điều kiện ban đầu, ta phải tìm nghiệm riêng thỏa điều kiện ban đầu Ví dụ n 2xn − 3xn−1 = có nghiêm tổng quát xn = C   xn − 5xn−1 + 6xn−2 = 0; x0 = 4; có nghiệm riêng xn = · 2n + 3n  x1 = Lưu ý Trong phạm vi chương trình ta xét hệ thức đệ quy tuyến tính (cấp 2) với hệ số lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 8/31 4.3 Nghiệm HTĐQTT Xét hệ thức đệ quy tuyến tính a0 xn + a1 xn−1 + + ak xn−k = (1) Phương trình đặc trưng (1) phương trình bậc k định bởi: a0 λk + a1 λk−1 + + ak = (∗) ✄ Trường hợp k = Phương trình đặc trưng (∗) trở thành a0 λ + a1 = nên có nghiệm λ0 = − a1 a0 Khi đó, (1) có nghiệm tổng quát là: xn = C · λn ✄ Trường hợp k = Phương trình đặc trưng (∗) trở thành a0 λ2 + a1 λ + a2 = (∗) Người ta chứng minh kết sau: lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 9/31 Nếu (∗) có hai nghiệm thực phân biệt λ1 λ2 (1) có nghiệm tổng quát là: n xn = C1 · λn + C · λ2 Nếu (∗) có nghiệm kép thực λ0 (1) có nghiệm tổng quát xn = (C1 + nC2 ) · λn Nếu (∗) có hai nghiệm phức liên hợp viết dạng λ = r(cos ϕ ± i sin ϕ) (1) có nghiệm tổng quát xn = r n (A cos nϕ + B sin nϕ) Ví dụ Giải hệ thức đệ quy xn − 2xn−1 = x0 = (1) Giải Phương trình đặc trưng λ − = có nghiệm λ = Suy (1) có nghiệm tổng quát xn = C · 2n Từ điều kiện x0 = ta có C = Suy nghiệm (∗) xn = · 2n lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 10/31 Ví dụ Cho hệ thức đệ quy xn − 5xn−1 + 6xn−2 = fn (1) Khi hệ thức đệ quy tuyến tính tương ứng là: xn − 5xn−1 + 6xn−2 = (2) Phương trình đặc trưng (2) là: λ2 − 5λ + = (∗) có hai nghiệm thực λ1 = λ2 = (p) Nếu fn = 2n + (1) có nghiệm riêng dạng xn = An + B (p) Nếu fn = 5n (3n2 + 2n + 1) xn = 5n (An2 + Bn + C) (p) Nếu fn = 5n , xn = 5n A (p) Nếu fn = 3n xn = n3n A (p) Nếu fn = 2n (3n + 1) xn = n2n (An + B) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 17/31 Ví dụ Cho hệ thức đệ quy xn − 6xn−1 + 9xn−2 = fn (1) Khi hệ thức đệ quy tuyến tính tương ứng là: xn − 6xn−1 + 9xn−2 = (2) Phương trình đặc trưng (2) là: λ2 − 6λ + = (∗) có nghiệm kép λ0 = (p) Nếu fn = 3n (1) có nghiệm riêng dạng xn = n2 3n A (p) Nếu fn = 3n (5n + 1) xn = n2 3n (An + B) (p) Nếu fn = 2n (5n + 1) xn = 2n (An + B) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 18/31 Ví dụ Tìm nghiệm xn − 5xn−1 + 6xn−2 = 2n + 1; x0 = 1; x1 = (1) Giải Hệ thức đệ quy tuyến tính tương ứng là: xn − 5xn−1 + 6xn−2 = (2) Phương trình đặc trưng (2) là: λ2 − 5λ + = (∗) có hai nghiệm thực λ1 = λ2 = Do nghiệm tổng quát (2) là: xn = C1 2n + C2 3n (3) Bây ta tìm nghiệm riêng (1) Vế phải (1) fn = 2n + có dạng β n Pr (n) với β = Pr (n) đa thức bậc r = Vì β = không nghiệm phương trình đặc trưng (∗) nên (1) có nghiệm riêng dạng: xn = an + b lvluyen@hcmus.edu.vn (4) Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 19/31 Thế (4) vào (1) ta được: (an + b) − 5[a(n − 1) + b] + 6[a(n − 2) + b] = 2n + Cho n nhận hai giá trị n = 0; n = ta hệ: −7a + 2b = 1; −5a + 2b = Giải hệ ta a = 1; b = Thế vào (4) ta tìm nghiệm riêng (1) là: xn = n + (5) Từ (3) (5) ta suy nghiệm tổng quát (1) là: xn = C1 2n + C2 3n + n + (6) Thay điều kiện x0 = x1 = vào (6) ta C1 + C2 = −3; 2C1 + 3C2 = −2 Từ ta có C1 = −7 C2 = Thế vào (6) ta xn = −7 · 2n + · 3n + n + lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 20/31 Ví dụ Giải hệ thức đệ quy 2xn − 3xn−1 + xn−2 = 4n + (1) Giải Hệ thức đệ quy tuyến tính tương ứng là: 2xn − 3xn−1 + xn−2 = (2) Phương trình đặc trưng (2) là: 2λ2 − 3λ + = (∗) có hai nghiệm thực λ1 = λ2 = 1/2 Do nghiệm tổng quát (2) là: n x n = C1 + C2 Bây ta tìm nghiệm riêng (1) Vế phải (1) fn = 4n + có dạng β n Pr (n) với β = Pr (n) đa thức bậc r = lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 21/31 Vì β = nghiệm đơn phương trình đặc trưng (∗) nên (1) có nghiệm riêng dạng: xn = n(an + b) (4) Thế (4) vào (1) ta được: 2n(an + b) − 3(n − 1)[a(n − 1) + b] + (n − 2)[a(n − 2) + b] = 4n + Cho n nhận hai giá trị n = 0; n = ta hệ: a + b = 1; 3a + b = Giải hệ ta a = 2; b = −1 Thế vào (4) ta tìm nghiệm riêng (1) là: xn = n(2n − 1) (5) Từ (3) (5) ta suy nghiệm tổng quát (1) là: x n = C1 + C2 lvluyen@hcmus.edu.vn n + n(2n − 1) Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 22/31 Ví dụ Tìm nghiệm xn+1 − 6xn + 9xn−1 = (18n + 12)3n ; x0 = 2; x1 = (1) Giải Hệ thức đệ quy tuyến tính tương ứng là: xn+1 − 6xn + 9xn−1 = (2) Phương trình đặc trưng (2) là: λ2 − 6λ + = (∗) có nghiệm kép λ0 = Do nghiệm tổng quát (2) là: xn = (C1 + nC2 )3n (3) Bây ta tìm nghiệm riêng (1).Vế phải (1) fn = (18n + 12)3n có dạng β n Pr (n) với β = Pr (n) đa thức bậc r = Vì β = nghiệm kép phương trình đặc trưng (∗) nên (1) có nghiệm riêng dạng: xn = n2 3n (an + b) (4) Thế (4) vào (1) ta được: lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 23/31 (n + 1)2 3n+1 [a(n + 1) + b] − 6n2 3n (an + b)+ 9(n − 1)2 3n−1 [a(n − 1) + b] = (18n + 12)3n Cho n nhận hai giá trị n = 0; n = ta hệ: 6b = 12; 54a + 18b = 90 Giải hệ ta a = 1; b = Thế vào (4) ta tìm nghiệm riêng (1) là: xn = n2 (n + 2)3n (5) Từ (3) (5) ta suy nghiệm tổng quát (1) là: xn = (C1 + nC2 )3n + n2 (n + 2)3n (6) Thay điều kiện x0 = x1 = vào (6) ta C1 = 3C1 + 3C2 + = Từ ta có C1 = C2 = −5 Thế vào (6) ta xn = (2 − 5n)3n + n2 (n + 2)3n = 3n (n3 + 2n2 − 5n + 2) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 24/31 Ví dụ Tìm nghiệm hệ thức đệ quy xn − 4xn−1 + 3xn−2 = 20 + (2 − n)2n−2 + · 4n (1) Giải Hệ thức đệ quy tuyến tính tương ứng là: xn − 4xn−1 + 3xn−2 = (2) Phương trình đặc trưng (2) là: λ2 − 4λ + = (∗) có hai nghiệm thực λ1 = λ2 = Do nghiệm tổng quát (2) là: xn = C1 + C2 · 3n (3) Bây ta tìm nghiệm riêng (1) Vế phải (1) fn = 20 + (2 − n)2n−2 + · 4n thuộc Dạng Ta xét hệ thức đệ quy sau: lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 25/31 xn − 4xn−1 + 3xn−2 = 20 (1a) xn − 4xn−1 + 3xn−2 = (2 − n)2n−2 xn − 4xn−1 + 3xn−2 = · n (1b) (1c) Bằng cách giải tương tự Dạng 1, ta có nghiệm riêng (1a) xn1 = −10n (1b) xn2 = n2n (1c) xn3 = 4n+2 Như vậy, (1) có nghiệm riêng là: xn = −10n + n2n + 4n+2 (4) Từ (3) (4), ta suy nghiệm tổng quát (1) xn = C1 + C2 · 3n − 10n + n2n + 4n+2 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 26/31 Ví dụ Với n ≥ 1, đặt n k(k + 1)2k sn = k=1 Tính tổng sn theo n cách thiết lập hệ thức đệ quy có điều kiện đầu tìm nghiệm hệ thức đệ quy Đáp án Hệ thức đệ quy sn − sn−1 = 2n (n2 + n) s1 = Giải ta sn = −4 + 2n (2n2 − 2n + 4) Ví dụ Cho x0 = x1 = Tìm nghiệm hệ thức đệ quy xn+1 − 3xn + 2xn−1 = n, với n ≥ 1 Đáp án xn = · 2n − n2 − n − 2 Ví dụ.(tự làm) Gọi xn số chuỗi bit có chiều dài n mà bit đứng liền Hãy lập hệ thức đệ quy xn tìm xn lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 27/31 Ví dụ.(tự làm) a) Tìm nghiệm tổng quát hệ thức đệ quy an = 6an−1 − 9an−2 b) Tìm nghiệm riêng hệ thức đệ quy an = 6an−1 − 9an−2 + (18n − 6)3n−1 c) Tìm nghiệm thỏa điều kiện đầu: a0 = 2, a1 = hệ thức đệ quy an = 6an−1 − 9an−2 + n3n+1 Đáp án a) xn = 3n (C1 + C2 · n) b) xn = n2 3n (n + 2) c) xn = 3n 3 n + n −n+2 2 Ví dụ.(tự làm) Cho x0 = x1 = Tìm nghiệm hệ thức đệ quy xn − 4xn−1 + 8xn−2 = 0, với n ≥ lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 28/31 √ nπ nπ Đáp án xn = (2 2)n cos + sin 4 Ví dụ.(tự làm) a) Tìm nghiệm tổng quát hệ thức đệ quy: xn − xn−1 − 2xn−2 = b) Tìm nghiệm hệ thức đệ quy: xn − xn−1 − 2xn−2 = (6n − 5)2n−1 thỏa điều kiện đầu x0 = 7, x1 = Đáp án a) xn = C1 (−1)n + C2 2n b) xn = · (−1)n + 2n (n2 + 3) Ví dụ.(tự làm) a) Tìm nghiệm tổng quát hệ thức đệ quy: an = an−1 + 6an−2 b) Tìm nghiệm thỏa điều kiện đầu a0 = 8, a1 = hệ thức đệ quy: an = an−1 + 6an−2 + 10n(−2)n − 3(−2)n−1 Đáp án a) an = C1 · (−2)n + C2 · 3n b) an = · 3n + (−2)n (2n2 + 5n + 1) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 29/31 Bài tập Giải hệ thức đệ quy sau a) xn + 4xn−1 − 5xn−2 = 12n + 8; x0 = 0, x1 = −5 b) 2xn+2 + 5xn+1 + 2xn = (35n + 51)3n ; x0 = 3, x1 = c) xn+2 − 2xn+1 + xn = 2; x0 = 1, x1 = d) 2xn − 5xn−1 + 2xn−2 = −n2 − 2n + 3; x0 = 1, x1 = e) xn+2 − 16xn+1 + 64xn = 128 · 8n ; x0 = 2, x1 = 32 f) xn+2 − 8xn+1 + 15xn = · 5n+1 ; x0 = −1, x1 = −2 Xem đáp án slide lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 30/31 Đáp án 5 a) xn = − + (−5)n + n2 + 4n 3 n b) xn = − + (−2)n + 3n n c) xn = n2 − 2n + d) xn = −3 · 2n + n2 + 4n + e) xn = 8n (n2 + n + 2) f) xn = 3n + 5n (n − 2) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 31/31 ... Chương HỆ THỨC ĐỆ QUY Giới thiệu Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính Nghiệm hệ thức đệ quy tuyến tính không lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 -... thức đệ quy Tháng 10 - 2016 26/31 Ví dụ Với n ≥ 1, đặt n k(k + 1)2k sn = k=1 Tính tổng sn theo n cách thiết lập hệ thức đệ quy có điều kiện đầu tìm nghiệm hệ thức đệ quy Đáp án Hệ thức đệ quy sn... chương trình ta xét hệ thức đệ quy tuyến tính (cấp 2) với hệ số lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Hệ thức đệ quy Tháng 10 - 2016 8/31 4.3 Nghiệm HTĐQTT Xét hệ thức đệ quy tuyến tính a0 xn + a1 xn−1