Chuyên đề toán 7 (Một số bài toán về lũy thừa)

NhiÖt liÖt chµo mõng • C¸c thÇy c« gi¸o • C¸c em häc sinh ĐẾN THAM DỰ TIẾT HỌC HÔM NAY MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪA *Quy ước: * (với ) x 1 = x n thừa số * Vì x= ( ) nên x 0 = 1 ( x≠ 0) 1 4 442 4 4 43 n x =x.x.x x = n n a a n a,b Z;b 0 :x = n b b    ÷  ÷   ∈ ≠ A.Cơ sở lí thuyết: 1.Định nghĩa: 2. Tính chất: Với m n m+n m n m-n x .x =x x :x =x (x 0;m n) m n m.n m m m (x ) =x (x.y) =x .y n n x x 1 -n * = (y 0) x = (n N ;x 0) y n n y x    ÷  ÷   ≠ ≥ ≠ ∈ ≠ x Q;n N;n 1∈ ∈ > a b x,y Q ; m,n N:∈ ∈ ( ) ( ) 2n 2n+1 2n 2n+1 -x =x -x =-x B.Các dạng bài tập: I. Dạng 1: Tính toán trên lũy thừa: Bài 1: Tính giá trị của biểu thức sau: Đáp án: 5 9 5 6 9 3 7 10 13 4 12 2 2 4 . 9 -2.6 2 . 3 - 4 .9 3 -2 .3 +2 .3 -2 A= B= C= 10 8 8 6 5 10 7 10 32 4 2 12 2 . 3 +6 .20 (2 .3) +8 .3 3 -2 .3 +2 .3 -3 2 5 2 4 9 10 8 5 4 9 10 8 10 9 (2 ) .(3 ) -2.(2.3) 2 .3 (1-3) 4 .9 -2.6 2 .3 -2 .3 -2 1 A= = = = = =- 10 8 8 10 8 8 2 10 8 10 8 10 8 6 2 2 .3 +6 .20 2 .3 +(2.3) .2 .5 2 3 +2 .3 .5 2 .3 (1+5) 12 5 2 6 2 2 12 4 12 5 6 2 12 5 12 4 2 .3 -(2 ) .(3 ) 2 .3 (3-1) 2 .3 -4 .9 2 .3 -2 .3 2 1 B= = = = = = 2 6 4 5 12 6 3 4 5 12 6 12 5 12 5 12 6 (2 .3) +8 .3 2 .3 +(2 ) .3 2 .3 +2 .3 2 .3 (3+1) 7 2 3 10 2 3 9 3 7 10 2 13 7 10 3 (3 -2 )+2 (3 -2 ) 3 -2 .3 +2 .3 -2 3 +2 1 C= = = = 10 2 7 10 3 12 7 3 2 10 3 2 7 10 3 2 23 3 -2 .3 +2 .3 -2 3 (3 -2 )+2 (3 -2 ) (3 +2 )(3 -2 ) II. Dạng 2: So sánh hai lũy thừa: Bài 1: So sánh: a. 2007 10 và 2008 10 b. 3 500 và 7 300 c. 202 303 và 303 202 d.(-30) 9 và (16) 13 e.(-5) 30 và (-3) 50 Đáp án: a. Vì 2007 < 2008 nên 2007 10 < 2008 10 b. Vì 3 500 = (3 5 ) 100 = 243 100 và 7 300 = (7 3 ) 100 = 343 100 mà 243 100 < 343 100 nên 3 500 < 7 300 c. Vì 202 303 =(2 .101) 3.101 =(2 3 .101 3 ) 101 =(8 .101 .101 2 ) 101 = ( 808 . 101 2 ) 101 và 303 202 = ( 3 . 101) 2.101 = ( 3 2 . 101 2 ) 101 =(9 . 101 2 ) 101 mà ( 808 . 101 2 ) 101 > ( 9 . 101 2 ) 101 nên 202 303 > 303 202 d. Vì (-32) 9 = - (2 5 ) 9 = - (2) 45 và (-16) 3 = - (2 4 ) 13 = -(2) 52 mà 2 52 > 2 45 nên – (2) 45 > - (2) 52 e. Vì (-5) 30 = 5 30 =(5 3 ) 10 =125 10 và (-3) 50 =3 50 =(3 5 ) 10 = 243 10 mà 243 10 >125 10 nên (-5) 30 < (-3) 50 III.Dạng 3:Tìm số chưa biết: 1.Tìm cơ số và thành phần cơ số trong lũy thừa: Bài 1: Tìm x biết rằng: a.x 3 = -27 b.(2x - 1) 3 = - 8 c.(x – 2) 2 =16 d.( 2x – 3 ) 2 = 9 Đáp án: a. x 3 = -27 → x 3 = (-3) 3 → x = -3 Vậy x = -3 b. (2x - 1) 3 = - 8 →( 2x – 1) 3 = ( -2) 3 → 2x – 1 = -2 → 2x = -2 + 1 → 2x = -1 →x = - Vậy x = - c.(x – 2) 2 =16 →( x – 2) 2 = (- 4) 2 = 4 2 → ( x - 2) 2 =( -4) 2 hoặc ( x – 2) 2 = 4 2 → x – 2 = - 4 x – 2 = 4 → x = - 4 + 2 x = 4 + 2 → x = - 2 x = 6 Vậy x = -2 hoặc x = 6 1 2 1 2 Bài 2: Tìm số hữu tỉ x,y biết: a. x 2 = x 5 b. ( 3y – 1) 10 = ( 3y – 1) 20 c.( x – 5 ) 2 =( 1 – 3x ) 2 Đáp án: a.x 2 =x 5 →x 5 – x 2 =0 →x 2 ( x 3 -1)=0→x 2 =0 hoặc x 3 –1=0 → x = 0 hoặc x 3 = 1 Vậy x = 0 hoặc x = 1 b.( 3y – 1) 10 = ( 3y – 1) 20 (*) Đặt 3y – 1 = x khi đó (*) trở thành: x 10 =x 20 → x 20 – x 10 = 0 → x 10 ( x 10 – 1) = 0 → x 10 = 0 hoặc x 10 -1 =0 → x = 0 hoặc x 10 = 1 Vậy x =0 hoặc x = 1 và x = -1 → Với x =0: 3y – 1 = 0 → 3y = 1 → y = → Với x = 1: 3y – 1 = 1 → 3y = 2 → y = →Với x = - 1: 3y – 1 = - 1 → 3y = 0 → y =0 c. Ta có: ( x – 5 )2 = ( 1 – 3x )2 → x – 5 = 1 – 3x hoặc x – 5 = 3x – 1 → 4x = 6 hoặc 2x = - 4 →x = 6 : 4 = hoặc x = - 4 : 2 = - 2 1 3 2 3 2.Tìm số mũ và thành phần trong số mũ của lũy thừa: Bài 1: Tìm n biết: a, 5 n + 5 n+2 = 650 b. 32 -n . 16 n = 1024 c. 3 -1 . 33 n +5 . 3 n-1 =162 N∈ Đáp án: n n+2 n n 2 n 2 a. 5 +5 =650 5 +5 .5 =650 5 (1+5 )=650 n n 2 5 =650:26 5 =25=5 n 2 -n 5 -n 4 n -5n 4n 10 b. 32 .16=1024 (2 ) .(2 ) 1024 2 .2 =2 -n 10 2 =2 n=-10 -1 n n-1 n-1 n-1 c. 3 .3 +5.3 =162 3 +5.3 =162 n-1 n-1 3 6.3 =162 3 =27=3 n-1=3 n=4 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Bài 2: Tìm hai số tự nhiên m,n biết: a. 2 m + 2 n = 2 m+n b. 3 < 3 n ≤ 234 Đáp án: a. 2 m + 2 n = 2 m+n → 2 m+n -2 m -2 n = 0 →2 m . 2 n – 2 m -2 n + 1 = 1 → 2 m ( 2 n -1) – ( 2 n – 1) = 1 → ( 2 m -1) ( 2 n -1) = 1 → 2 m – 1 = 1 hoặc 2 n – 1 = 1 → 2 m = 2 2 n = 2 → m = 1 n = 1 b. 3 < 3 n ≤ 243 → 3 1 < 3 n ≤ 3 5 → n { } 2,3,4,5∈ IV.Dạng 4 :Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa: 1: Tìm một chữ số tận cùng : Chú ý: * Tất cả các số có chữ số tận cùng là: 0;1;5 ;6 khi nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính số đó. * Những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4. * Những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9. * 2 4 = 16 7 4 = 2401 3 4 = 81 8 4 = 4096 Chú ý:* Tất cả các số có chữ số tận cùng là: 0;1;5 ;6 khi nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính số đó. * Những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4. * Những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9. * 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096 Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số: 2000 2008 ; 2007 2008 ; 1111 2008 ; 98765 4321 ; 2046 81012 ; 1358 2008 ;2 3456 ; 204 208 Đáp án: 2000 2008 có chữ số tận cùng là 0. 1111 2008 có chữ số tận cùng là 1. 98765 4321 có chữ số tận cùng là 5. 2046 81012 có chữ số tận cùng là 6. 2007 2008 = (2007 4 ) 502 = nên có chữ số tận cùng là:1 1358 2008 = ( 1358 4 ) 502 = nên có chữ số tận cùng là:6 502 ( 1) = 1 502 ( 6) = 6 2 3456 = (2 4 ) 864 = (16) 864 = nên có chữ số tận cùng là:6 204 208 =(204 2 ) 104 = nên có chữ số tận cùng là:6 6 104 ( 6) 6= Bài 2: Cho A = 17 25 +24 4 – 13 21 .Chứng tỏ rằng A chia hết cho 10. Đáp án: 17 25 = 17 24 . 17 = (17 4 ) 6 . 17= 24 4 =(24 2 ) 2 = 576 2 = 13 21 =(13 4 ) 5 . 13 = Vậy A = 6 ( 1) .17= 1.17= 7 6 5 ( 1) .13 1 .13 3= = 7 + 6 - 3= 0 A 10⇒ M [...].. .Bài 2: Chứng tỏ rằng: a M = 88 + 220 M 17 b N = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 320 07 M 13 Đáp án: a M = 88 + 220 = ( 23)8 + 220 = 224 + 220 = 220 ( 24 + 1 ) = 220 (16 +1 ) = 220 17 M 17 b N = ( 3 +32 + 33) + ( 34 + 35 + 36) + … + ( 32005 + 32006 + 320 07 ) = 3 ( 1 + 3 + 32 ) + 34 ( 1 + 3 + 32 ) + … + 32005 ( 1 + 3 + 32 ) = 3 13... 32006 + 320 07 ) = 3 ( 1 + 3 + 32 ) + 34 ( 1 + 3 + 32 ) + … + 32005 ( 1 + 3 + 32 ) = 3 13 + 34 13 + … + 32005 13 = 13 ( 3 + 34 + … + 32005 ) M 13 H­ ng­dÉn­vÒ­nhµ: í - Häc thuéc quy t¾c tÝnh các bài toán về lũy thừa Hoa điểm 10 . là chính số đó. * Những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4. * Những số có chữ số tận cùng. lũy thừa nào (khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính số đó. * Những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số. 4. * Những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9. * 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096 Bài 1: