Một số bài tập "Số học và đại số" cho HSG8

Chứng minh N là số chính phương.. Chứng minh: trong 17 điểm có ít nhất hai điểm mà khoảng cách không vượt quá 1.. b Cho hình bình hành ABCD kẻ 17 đường thẳng bất kì thoả mãn chia ABCD th

Trang 1

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2008 -2009

BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh: a) n2 + 1 không chia hết cho 3 với bất kì số nguyên nào?

b) 3099 + 61100 chia hết cho 31?

c) 7120 – 1 chia hết cho 143?

d) 11n+2 + 122n+1 không chia hết cho 133 với bất kì số tự nhiên nào?

e) 43101 + 23101 chia hết cho 66?

1 2 3 n

S k k k  k Chứng minh rằng: S  1 6

Bài 2: a) Cho: A 111 1 888 8 1  2n    n  Chứng minh A là số chính phương?

b) Cho: 111 15

n

A    ; 111 19

n

B    Chứng minh AB + 4 là số chính phương.

c) Cho: 111 1

n

2

1000 011 2

n



     Chứng minh AB + 4 là số chính phương

d) Cho: 111 155 55 1

n n

N     Chứng minh N là số chính phương

Bài 3: Chứng minh rằng:

a) Với ; ;a b c Z thoả:ab bc ca  1 thì: 2   2   2 

a  b  c  là số chính phương

b) Vớia Z thì:a1  a 2  a 3  a 41 là số chính phương

Bài 4: Chứng minh: Nếu n=1 và 2n +1 là các số chính phương thì n chia hết cho 24

Bài 5: a) Cho tam giác đều cạnh bằng 4 lấy 17 điểm bất kì Chứng minh: trong 17 điểm có ít nhất hai

điểm mà khoảng cách không vượt quá 1

b) Cho hình bình hành ABCD kẻ 17 đường thẳng bất kì thoả mãn chia ABCD thành hai hình

thang có tỉ số diện tích bằng 1/3 Có ít nhất bao nhiêu đường thẳng đồng qui (5 đường)

Bài 6: Cho A = p4 (p là số nguyên tố) Tìm p để tổng các ước dương của A là một số chính phương

Bài 7: * Tìm n N thoả:

a) 2n 24 27

  là số chính phương b) n22n200 là số chính phương

c) n 2 1234 là số chính phương d) n3 n2 n 2 là một số nguyên tố

* Tìm x Z thoả: x x. 1  x 7  x 8 là số chính phương

Bài 8: Tìm x R và n N thoả:x2 2x 4n 2n 1 2 0

Bài 9: Tìm x N thoả:2x 8 3 4x 133 4x 2x 53

Bài 10: Cho:a4m8n9 ;p b m 4n4 ;p c m 7n8p Chứng minh rằng:

p m n  a b c

Bài 11: Chứng minh rằng:x y 5 x5y5 x y hoặc x y  0

Bài 12: Cho a2 b2 1 Tính: A2a6 b63a4b4

Bài 13: Chứng minh rằng: M x x y x y x       2yy4là số chính phương với mọi ;x y Z

Bài 14: Chứng minh: (Sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp)

a) 1 2 3 4  1

2

n n

1 2 3 4

6

c) 1 3 5    2n1 n2 d) 13233343 n3    1 2 3 n2

e) 1.2 2.3 3.4 . 1  1  2

3

f) 1.1! + 2.2! + 3.3! +… + n.n! = (n+1)! – 1

Trang 2

Bài 15:Cho a0;b0;c0 Chứng minh:

3

a b a b 

Bài 16: Cho a b 2 Chứng minh: a4b4 2

Bài 17: Cho n N n ; 2 Chứng minh: 2 2 2 2

2 3 4  n 

Bài 18:Chứng minh:

a b a b với ;a b 0

     với a;b; c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó

Bài 19: Cho a b c  1 Chứng minh: 1

2

ab bc ca  

a) a2b2c2 ab bc ca  b) a2b2c2d2 2a b c d   

c) 3(a2b2c2)a b c  2

Bài 21: Cho a b c d   2 Chứng minh: a2b2c2d2 1

Bài 22: Chứng minh:

1x 1y 1x y Với x y ; 1 b) 2 2 2

1x 1y 1z 1x y z Với x y z ; ; 1

Bài 23:Cho *

n N Chứng minh:

n n



32n1 2 n2 2 n3 2 n1 4n1

b  c  a   

Bài 27: Cho:a1a2a3 a n k Chứng minh: 2 2 2 2 2

n

Bài 28: Cho a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

b c c a a b     

b) 1 ; 1 ; 1

b c c a a b   củng là độ dài ba cạnh của một tam giác

c) a b c a2   b c a b2   c a b c2   3abc

a b c b c a c a b         a b c

Bài 29: Cho ba số dương a;b;c Chứng minh rằng:

a) 1 1 1 9

a b c   Với a + b + c =1

b c c a a b

Bài 30: Cho ; ;a b c0;a b c  3.Chứng minh rằng:

Trang 3

Bài 31: Tìm giá trị lớn nhất của :

a) A = x2 4x12 x2 2x3 b) C x y y







5 với x; y 

c) G = xy + yz + zx với x + y + z = 3

Bài 32: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

a) C = 2 1

1 x  x Với 0 < x < 1 b) F = x2 + 2y2 + 3z2 -2xy + 2xz - 2x -2y - 8z + 2008 c) A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5

d) M x 2004  x 2005  HD: Xét M trong các khoảng: x 2004 ; 2004  x 2005 ; 2005 x

e) N 2x 12 3 2x 1  2  HD: Xét N trong các khoảng: ; 21

2

1



 x x

Bài 33: a) Cho ba số a,b,c  0 Tìm GTNN của A b a c c b a a c b





b) Cho ba số a,b,c  0 và a2 b2 c2  1 Tìm GTNN của

b a

c a c

b c b

a B





3 3 3

(HD: Aùp dụng kết quả câu a với

2

1 2

2 2







b a

c c a c

b b c b

a a

3



b c

Bài 34: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức :

a) P = 222 7 3

2 10

7

1

x

 d) A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5 e)

e) A = (x4 + 1)(y4 + 1) Biết x,y  0 và x + y = 10 (HD: Đặt xy = t)

Bài 35:Giải các phương trình sau:

a) x2 1y2 2z2 8 32xyz





b) x2  2x 3 x2 x 1x4 x2  4







 y x xy

Bài 36: Cho ABCvuông cân có cạnh huyền BC  a Các điểm D; E theo thứ tự thuộc các cạnh

AC

AB, Vẽ DH BC;EK BC,H,KBC Tính diện tích lớn nhất của tứ giác DEHK khi D; E

thay đổi vị trí trên các cạnh AB, AC

Bài 37:Cho đoạn thẳng AB và đường thẳng d song song với nhau Từ điểm M ( M và d khác phía đối

với AB ) sao cho các tia MA; MBtạo với d tam giác có diện tích nhỏ nhất

Bài 38:Giải các phương trình nghiệm nguyên;

a/ 2 2

x  y   x b/ 2 2 2

x y z xy x z c/ 2

x  xy

d/ 3

x  y  z

g/ 3 3 3

x  y  z  h/ 2 2

x  y 

Bài 39:Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:

a/ x y z t   x y z t b/ 1 1 1x yz 19951 c/ x y. z x. y z. 3

z  y  x 

d/ x y  1 x y z e/ 2 2

19x 28y 729

g/ xy x  2y3 h/ 2 2 2

x  y  z  xy yz z i/ 2 2

3

x  xy y 

j/ 6x2 5y2 74 k/       2

x x x x y

l/ 2

x  xy y x  m/ 2 2

2x 2y  2xy x y  10 0

Bài 40:Chứng tỏ phương trình sau vô nghiệm: 3 3 3

2000

x y z    x y z

Bài 41: Tìm số nguyên tố p sao cho 4p + 1 là số chính phương

Trang 4

 Tìm số nguyên a lớn nhất để: T 427 410164a là một số chính phương

 Tìm tất cả bộ ba số nguyên dương x; y; z thoả: 5xyz x 5y7z10

 Tìm các số nguyên dương x; y; z thoả: 2xy1z x 1 y1

Định dạng
Số trang	4
Dung lượng	325 KB