chuyên đề khảo sát hàm số trung tâm LTĐH vĩnh viễn

TTLT ĐH VĨNH VIỄN Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ  Vấn đề 1: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  ; ;    ; .0  1/ Một số dạng vô đònh thường gặp: Chú ý: Các trường hợp sau dạng vô đònh (+) + (+) = +   (+) – (–) = + a   (a  0)   (–) + (–) = – a  (a  0)   a.   (a  0) 2/ Khử dạng vô đònh  Hàm số có chứa căn: Nhân chia với biếu thức liên hợp  Hàm số có chứa lượng giác: Biến đổi để sử dụng ba giới hạn quen thuộc sin x 1 x x tan x 1 x x , lim , lim lim x  cos x x   Dạng vô đònh x  a: Phân tích tử số mẫu số để có (x – a) làm nhân tử chung  Dạng vô đònh  : Đặt số hạng bậc cao tử số mẫu số làm thừa  số chung  Dạng vô đònh    , .0 : Biến đổi đưa dạng   B ĐỀ THI Bài 1: Tìm giới hạn I  lim x x 1  x 1 x Giải Giới hạn I có dạng vô đònh Ta có: I  lim x I1  lim x 0  x   x   1 x  1 1 x 1 = lim  +  x 0  x x x   x 1 1  lim x 0 x    x 1 1 x 1 1   x x 1 1 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  lim x 0 x I2  lim  x 11  x 1 1  lim x 1 1 x 0 x 1 1  lim x 0 x   x   1   x  12  x   1   x   x  1  x   1   1 x 1 1  lim  lim  x 0   x 0 x   x     x   x  1  x   1   1 Vậy I = I1 + I2 =   x 0 Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ Tìm giới hạn I = lim x 3x2   2x2   cos x Giải Giới hạn I có dạng vô đònh  Ta có I  lim  3x2    x 0 I1  lim x 0 2sin2   lim  2x2   x 3x2   2x2      x x  x 0  2sin2 2sin2  2  3x2   3x2    lim x 0 x    3x2   1 x 3 2sin2 2sin 3x     2      x     lim     2 x 0 3  sin x    2   3x    3x        x    2x  lim 4     I2  lim x 0 x  x x 2 2x    sin  2sin2  2x2   1  2 2  Vậy I = I1 + I2 = Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ Tìm giới hạn L = lim x 1 x6  6x   x  12 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giải Giới hạn L có dạng vô đònh Ta có L = lim x6  6x  x1 = lim  x  12  lim  x  1  x5  x4  x3  x2  x  5  x  12 x1  x  12  x4  2x3  3x2  4x  5  x  12 x1   = lim x4  2x3  3x2  4x   15 x1  Vấn đề 2: TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1/ Đònh nghóa: Hàm số f xác đònh khoảng (đoạn nửa khoảng) K x1, x2  K  Hàm số f gọi đồng biến K x1 < x2  f(x1) < f(x2)  Hàm số f gọi nghòch biến K x1 < x2  f(x1) > f(x2) Đònh nghóa kết hợp với đònh lý sử dụng để chứng minh bất đẳng thức 2/ Đònh lí: Hàm số f có đạo hàm khoảng K  Nếu f'(x) > 0, x  K hàm số f đồng biến K  Nếu f'(x) < 0, x  K hàm số f nghòch biến K Đònh lý thường ứng dụng cho dạng toán sau: Dạng 1: Tìm tham số để hàm số đồng biến (hoặc nghòch biến) Thường sử dụng dấu tam thức bậc hai P(x) = ax2 + bx + c (a  0)   a  b  * P(x)  0, x   hay  a  c  * P(x)  0, x    a  b   hay  a  c  Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đồng biến (hoặc nghòch biến) khoảng (a; b) Hàm số y = f(x, m) đồng biến (hoặc nghòch biến) khoảng (a; b)  y'  (hoặc y'  0), x(a; b) dấu "=" xảy hữu hạn điểm (*) Thông thường điều kiện (*) biến đổi hai dạng: (*) h(m)  g(x), x(a; b)  h(m)  max g(x)  a; b  Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – (*) h(m)  g(x), x(a; b)  h(m)  g(x)  a; b  (Xem Vấn đề 4: GTNN – GTLN hàm số, để xác đònh max g(x)  a; b  g(x) )  a; b  Dạng 3: Tìm tham số để phương trình (hệ phương trình) có nghiệm Biến đổi phương trình cho dạng g(x) = h(m) Lập bảng biến thiên cho hàm số y = g(x) dựa vào bảng biến thiên để kết luận Chú ý: Nếu toán có đặt ẩn số phụ phải xác đònh điều kiện cho ẩn số phụ B ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Cho a b hai số thực thỏa mãn < a < b < Chứng minh rằng: a2lnb  b2lna > lna  lnb Giải Bất đẳng thức cho tương đương với: ln b ln a  (a2 + 1)lnb > (b2 + 1)lna  b 1 a 1 ln x ;  x 1 Xét hàm số f(x)  x 1  f (x)  x2   2x2 ln x x(x2  1)2  0, x  (0; 1)  f đđồng biến (0; 1) Mặt khác < a < b < nên: ln b ln a  (Điều phải chứng minh) f(b) > f(a)  b 1 a 1 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Tìm giá trò tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2x  2x  24  x   x  m Giải 4 Xét hàm số f(x)  2x  2x   x   x  Tập xác đònh: D = [0; 6] 1 1 1  f (x)     (2x)3 2x (6  x)3 6x (m  ) TTLT ĐH VĨNH VIỄN Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 3     2  2                 (2x)   (6  x)    2x    x          1  1  1      4 4   x   (2x)2 2x  x (6  x)2  2x   Vì  1 1   4  (2x)2 2x  x (6  x)2  Nên f (x)    Bảng biến thiên: x f'(x) f(x) 2x  6x    > 0, x  (0; 6)  2x  x    2x   x  x  2 +       2x  x    4  4  4  6 12  12 Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình f(x) = m có nghiệm phân biệt 2  6   m  3  4 CÁCH KHÁC Đặt g(u)  u  u g/ (u)    // 4 2 u  u ; g (u)   u  u  0, u  (0;6) 16 Vậy g / hàm giảm ( nghiêm cách ), Ta có f(x)  g(2x)  2g(6  x) Suy f / (x)  2g/ (2x)  2g/ (6  x) Nên) f (x)   g/ (2x)  g/ (6  x)  2x   x ( g / giảm )  x  Suy f / (x)  2g/ (2x)  2g/ (6  x)   2x   x  x  f / (x)   g/ (2x)  g/ (6  x)  2x   x (do g / giảm)  x  Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Tìm giá trò tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 1  x  x  y  y    x3   y3   15m  10  x3 y3 Giải Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  Đặt x  1  u, y   v (Đk : u  2, v  2) x y  Hệ cho trở thành: u  v  u  v      3  u  v u2  v2  uv  3(u  v)  15m  10    u  v  3(u  v)  15m  10    u  v       u  v   u  v   3uv   3(u  v)  15m  10  u  v  u  v        uv   m 5  5  3uv   3(5)  15m  10   Khi u, v (nếu có) nghiệm phương trình: t2  5t + – m = hay t2  5t + = m (1)  Hệ cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm t = t 1, t = t2 thỏa mãn: t1  2, t  (t1, t2 không thiết phân biệt)  Xét hàm số f(t)  t  5t  với t  : Suy f'(t) = 2t – f'(t) =  t = Bảng biến thiên t  2  f'(t) 5/2  + f(t) + + + 22 7/4  Từ bảng biến thiên hàm số suy hệ cho có nghiệm  m  m  22 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 b     Cho a  b > Chứng minh rằng:  2a  a    2b  b      a Giải Bất đẳng thức cho tương đương với: (1  4a )b  (1  4b )a  b ln(1  4a )  a ln(1  b )  ln(1  4a ) ln(1  4b )  a b TTLT ĐH VĨNH VIỄN Xét hàm số f(x)  Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ln(1  4x ) với x > x 4x ln x Ta có: f (x)    x  ln  4x  x2  x.4x ln  (1  4x )ln(1  4x ) x2 (1  4x ) 4x  ln 4x  ln(1  4x )  ln(1  4x )    x x (1  ) Nhận xét :  4x < + 4x  ln 4x  ln(1  4x )  + 4x >  ln(1  4x )  Do f'(x) < 0, x > Suy f(x) nghòch biến khoảng (0; +) Mặt khác a  b > nên: f(a)  f(b)  ln(1  4a ) ln(1  4b )  a b (Điều phải chứng minh) Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x   m x   x2  Giải  Điều kiện: x   Chia hai vế phương trình cho x 1 x 1 m2  Đặt t  Vì t  4 x2  x 1  3 x  , phương trình cho tương đương với x 1 x 1  24 m x 1 x 1 x 1 , phương trình (1) trở thành 3t2 + 2t = m x 1 (1) (2) x 1 x  nên  t <  1 x 1 x 1  Xét hàm số f(t) = 3t2 + 2t, với  t < Suy : f'(t) = – 6t + f'(t) =  t =  Bảng biến thiên: Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – t 1 f(t) 1  Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình cho có nghiệm  (2) có nghiệm t  [0; 1)  1  m  Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Chứng minh với giá trò dương tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2  2x   m(x  2) Giải  Điều kiện: m(x – 2)   x  (Do xét m > 0)  Phương trình cho tương đương với  x  2 x    m  x     x   x    m  x   x  2   x    x   x    m      x3  6x2  32  m   Nhận xét: Phương trình cho có nghiệm dương x = 2, nên từ yêu cầu toán, ta cần chứng minh phương trình: x3 + 6x2 32 = m (1) có nghiệm khoảng (2; +)  Xét hàm số f(x) = x3 + 6x2 32, với x > Ta có: f'(x) = 3x2 + 12x > 0, x  Bảng biến thiên: x f'(x) f(x) + + +  Từ bảng biến thiên ta thấy với m > 0, phương trình (1) có nghiệm khoảng (2; +) Vậy với m > phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt Bài 7: 10 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xác đònh m để phương trình sau có nghiệm m  1 x    x2    x   x2   x2 Giải  Điều kiện: 1  x   Đặt t =  x2   x   t    x  Điều kiện:  t   Phương trình cho trở thành: m (t + 2) =  t2 + t  m   Xét hàm số f(t) =  f'(t) = t  4t  t  2 t  t  , với  t  t2 t  t  t2 , f'(t) =  t = 0, t = 4  Bảng biến thiên t f’(t)  f(t) 1 Từ bảng biến thiên hàm số suy phương trình cho có nghiệm   m  Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ x2  5x  m2  (1) (m tham số) x3 Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; +) Cho hàm số y  Giải Ta có: y  x  6x   m (x  3)2  Hàm số y đồng biến (1; +)  y'  0, x   x2 + 6x +  m2  0, x   x2 + 6x +  m2, x   Xét hàm số g(x) = x2 + 6x + 9, x  g'(x) = 2x + > 0, x  Do yêu cầu toán tương đương với 11 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – g(x)  m  g(1) = 16  m2  4  m  x1 Bài 9: Chứng minh rằng: ex  cosx   x  x2 , x  Giải Ta chứng minh hai bất đẳng thức sau: 1/ ex   x, x  2/ cosx   x2 , x   Chứng minh ex   x, x  Xét hàm số f(x) = ex  x   f'(x) = ex   f'(x) =  x = Bảng biến thiên: x  + f'(x)  + f(x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x)  0, x   ex  x  1, x   Chứng minh: cosx   (1) x2 , x  Xét hàm số g(x) = cosx  + x2 Vì g(x) hàm số chẵn nên ta cần xét x  đủ  g'(x) = sinx + x  g"(x) = cosx +   g'(x) đồng biến, x   g'(x)  g'(0) = 0, x   g(x) đồng biến, x   g(x)  0, x   cosx + x2 x2   0, x   cosx   ; x  2 Từ (1) (2) suy ex + cosx  + x  12 x2 ; x  (2) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  Tập xác đònh: D  \ 1 y  (x  1)2  0, x  D  2m  Vì M  (C) nên M  m;  m 1   Phương trình tiếp tuyến d (C) M: y = y'(m)(x  m) +  2m 2m2  y x m 1 (m  1)2 (m  1)2 A  d  Ox nên tọa độ A thỏa hệ phương trình:  2m x y x  m  A(m2 ; 0)  (m  1)2 (m  1)2    y  y   B  d  Oy nên tọa độ B thỏa hệ phương trình : x   2m   x y 2m    B  0;  (m  1)2 (m  1)2  y  2m  (m  1)2       m  1 x    Tam giác OAB có diện tích  2m  m   2m 1 m    OA.OB   2 2m  m   (m  1)2 Với m    m     m  1   ta có M   ;   ; với m = ta có M(1; 1) 2     Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán: M   ;   M(1; 1)   Bài 9: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 x3 Cho hàm số y = (C) x 1 Cho điểm M0(x0; y0)  (C) Tiếp tuyến (C) M0 cắt tiệm cận (C) A B Chứng minh M0 trung điểm đoạn AB Giải 56 x0  x0   M0(x0; y0)  (C)  y0 =  Phương trình tiếp tuyến (C) M0(x0; y0) TTLT ĐH VĨNH VIỄN : y =  Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  x  x0   y0  x0  12  Giao điểm  với tiệm cận ngang nghiệm hệ phương trình   x  x0   y0 y    A(2x0 – 1; 1)  x0  12   y   Giao điểm  với tiệm cận đứng nghiệm hệ phương trình   x  x2   y  x  7 y    B  1;  x0  12    x0    x   xA  xB  x0  Ta thấy   M0 trung điểm đoạn AB A, B, M0 thẳ ng hà ng  Bài 10 : ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 x2  x  có đồ thò (C) x2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò (C), biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên (C) Cho hàm số y  Giải x  x 1  x 1 x2 x2 Tiệm cận xiên đồ thò (C) có phương trình y = x  1, nên tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên có hệ số góc k = 1 Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình: Ta có y  y' = 1   Với x  2  (x  2)  1  x  2  2 y 3 2  Phương trình tiế p tuyế n : (d1 ) : y  x  2  Với x  2  y 3 2  Phương trình tiếp tuyến là: (d2 ) : y  x  2  Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 57 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x  2(x2  1) có đồ thò (C) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0; 2) tiếp xúc với (C) Cho hàm số: y  Giải Nhận thấy đường thẳng x = không tiếp tuyến (C)  Gọi d đường thẳng qua A(0; 2) có hệ số góc k  d: y = kx +  x4   2(x  1)  kx  (1) d tiếp xúc với (C)   có nghiệm  (2) 2x  4x  k x   k   x   k  Thế (2) vào (1) ta 3x – 8x =   3  x    k    3 Vậy có ba tiếp tuyến cần tìm: y = 2, y   x2 3 Bài 12 : ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Cho hàm số: y = x2  x  x 1 Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A(0; 5) Giải  Gọi  đường thẳng qua A(0; 5) có hệ số góc k (vì đường thẳng x = không tiếp tuyến đồ thò)  : y = k(x – 0) – = kx –  x2  x   kx    x 1   tiếp xúc (C)    x  2x  k   x  12  Thay (2) vào (1) ta được: 1 2 có nghiệ m x2  x  x2  2x  x5  x  1  x  12  (x2 – x – 1)(x + 1) = x3 + 2x2 – 5(x2 + 2x + 1)  x1  2  k1   1 : y  5  x2    k  8   : y  8x    3x2 + 8x + =   Các tiếp tuyến cần tìm là: y = – 5; y = – 8x – 58 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 m Gọi (Cm) đồ thò hàm số y  x3  x2  (m tham số) 3 Gọi M điểm thuộc (Cm) có hoành độ 1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x  y = Giải Tập xác đònh: D = Ta có: y' = x2  mx m   Điểm M thuộc (Cm) có hoành độ x =  M  1;    Tiếp tuyến M (Cm) m m2 : y +  y(1)(x  1)  y  (m  1)x  2  song song với d: 5x  y = (hay d: y = 5x) m     m  Vậy m = m    Bài 14: ĐỀ DỰ BỊ Gọi (Cm) đồ thò hàm số y = x3+ (2m + 1)x2  m  (m tham số) Tìm m để đồ thò (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx  m  Giải  x  (2m  1)x  m   2mx  m  (1) d tiếp xúc (Cm)   có nghiệm (2)  3x  2(2m  1)x  2m  x   2   3x  2(2m  1)x  2m x[x  (2m  1)x  2m]      2 x  (2m  1)x  2m  3x  2(2m  1)x  2m   3x  2(2m  1)x  2m  x   x     m   m      x     x  (2m  1)x  2m   2x2  (2m  1)x    m    Vậy có giá trò thỏa mãn yêu cầu toán m   m  Bài 15: ĐỀ DỰ BỊ 59 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – 2x  có đồ thò (C) x 1 Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng IM Giải 2m    Vì M (C) nên M  m;  m 1   1  Hệ số góc tiếp tuyến M là: k1 = f (m)  (m  1)2  (C) có đường tiệm cận đứng x = đường tiệm cận ngang y = I giao điểm hai đường tiệm cận (C)  I(1; 2) 2m  1       =  m  1;  IM   m  1;  m  m 1    a  Hệ số góc đường thẳng IM là: k2 =  a1 (m  1)2  Vì tiếp tuyến (C) M vuông góc IM nên ta có: m  1  1  (m  1)4    k1.k2 = –   2 (m  1) (m  1) m  Cho hàm số y  Với m =  M(0; 1) Với m =  M(2; 3) Bài 16 : ĐỀ DỰ BỊ 1 Cho hàm số y  x3  x2  2x  có đồ thò (C) 3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 4x + Giải Do tiếp tuyến  song song với d nên  có phương trình: y = 4x + b (b  2) f(x)  g(x)  tiếp xúc (C)   f (x)  g(x)  x1   nhận    b   26  1  x  x  2x   4x  b   3  3   x   x2  x       73  nhận    b2   26 73 Vậy ta có tiếp tuyến 1: y = 4x  ; 2 = y = 4x + Bài 17: 60 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Cho hàm số y  Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  2m  1 x  m2 (1) (m tham số) x 1 Tìm m để đồ thò hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x Giải Đồ thò hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x   2m  1 x  m x   x  m 2  x 1     có nghiệ m  có nghiệm x    x  12   m  12   m  1   x 1    m   Vấn đề 11: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Lập phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thò Dạng : Phương trình hoành độ giao điểm có dạng: ax2 + bx + c = (*) Hai đồ thò cắt điểm phân biệt a   Phương trình (*) có nghiệm phân biệt     Hai đồ thò cắt điểm phân biệt nằm bên phải trục tung  Hai đồ thò cắt điểm phân biệt có hoành độ dương  Phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt     S  P    b c  Với S =  a P = a    Hai đồ thò cắt điểm phân biệt nằm bên trái trục tung  Hai đồ thò cắt điểm phân biệt có hoành độ âm     Phương trình (*) có nghiệm âm phân biệt  S  P   Hai đồ thò cắt điểm phân biệt nằm hai phía trục tung  Hai đồ thò cắt điểm phân biệt có hoành độ trái dấu  Phương trình (*) có nghiệm trái dấu  P < Hai đồ thò cắt điểm phân biệt nằm phía trục tung  Hai đồ thò cắt điểm phân biệt có hoành độ dấu 61 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –    Phương trình (*) có nghiệm phân biệt dấu   P  Dạng : Phương trình hoành độ giao điểm có dạng: ax3 + bx2 + cx + d = (*) Ở ta xét phương trình (*) nhẩm nghiệm x = x0, nghóa phương trình (*) đưa dạng: x  x0 (x – x0) (ax2 + Bx + C) =   g(x)  ax  Bx  C  (1) (a  0) Hai đồ thò có điểm chung  Phương trình (*) có nghiệm  Phương trình (1) có vô nghiệm có nghiệm kép x = x0  g    g  g(x0 )  Hai đồ thò có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm phân biệt  Phương trình (1) có nghiệ m ké p c x0   Phương trình (1) có nghiệ m phâ n biệ t có nghiệ m x = x g  g   hoặ c  g(x0 )  g(x0 )  Hai đồ thò có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm phân biệt g   Phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác x0   g(x )  Dạng 3: Phương trình hoành độ giao điểm có dạng : ax4 + bx2 + c = (*) Đặt t = x2 Phương trình (*) trở thành at2 + bt + c = (1) (a  0) Hai đồ thò có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm  Phương trình (1) có đú ng nghiệ m nghiệ m nà y bằ ng    Phương trình (1) có nghiệ m bằ ng nghiệ m â m b = c =    c  a.b > Hai đồ thò có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm  Phương trình (1) có nghiệm trái dấu  ac < Hai đồ thò có điểm chung phân biệt 62 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  Phương trình (*) có nghiệm  Phương trình (1) có nghiệm nghiệm dương  c = ab < Hai đồ thò có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm  Phương trình (1) có nghiệm dương phân biệt     S  P   B ĐỀ THI Bài : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 2x  Cho hàm số y  Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + cắt đồ thò (C) hai x 1 điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành Giải Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng d: y = kx+2k +1 (C) là: 2x  = kx + 2k +  kx2 + (3k–1)x + 2k = (*) (Vì x =–1 không nghiệm) x 1  d cắt (C) hai điểm  Phương trình (*) có hai nghiệm   k  k   (I)    k 6k      k 2 k 2           Khi đó, hoành độ xA, xB A B nghiệm phương trình (*) nên áp b  3k dụng đònh lý Viét ta có: xA + xB =   a k  A B thuộc d nên yA = kxA + 2k + yB = kxB + 2k +  Ta có: Khoảng cách từ A B đến trục hoành  yA  yB  kxA  2k   kxB  2k   kx A  2k   kx B  2k   x A  x B (Loại (*) có nghiệm)      kx A  2k    kx B  2k   k x A  x B  4k     3k   k   4k    k = – (Thỏa (I))  k  Vậy k = thỏa yêu cầu toán Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010   Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m   (1), m số thực Tìm m để đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành 63 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện: x12  x22  x32  Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thò hàm số (1) trục hoành là: x3 – 2x2 + (1 – m)x + m =  (x – 1) (x2 – x – m) =  x = hay g(x) = x2 – x – m = (2) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (2) x3 = Với điều kiện (2) có nghiệm, theo đònh lí Vieùt ta có: x1 + x2 = x1.x2 = – m Do yêu cầu toán tương đương với: Phương trình (2) có hai nghiệm x1, x2 phân biệt khác thỏa x12  x22  12   (2)   4m  m      g(1)  m   m     2 x1  x2    x1  x2   2x1x2    m       m   m  1  2m  m    Bài : ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Cho hàm số y = 2x  (C) x 1 Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thò (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) Giải Phương trình hoành độ giao điểm (C) đường thẳng d: y = 2x +m 2x   2x  m  2x2 + (4  m)x +  m = (*) (vì x = 1 không nghiệm) x 1  Phương trình (*) có  = m2 + > 0, m nên d cắt (C) điểm A, B  Vì A, B thuộc đường thẳng y =  2x + m nên yA =  2xA + m yB =  2xB + m, với xA,, xB nghiệm phương trình (*) Ta có: SOAB   x y  xByB   xA  2xB  m   xB  2xA  m   A A  m  xA  xB    m2  xA  xB   12  m m2   12  m4 + 8m2  48 =  m2 =  m =  Bài : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Tìm giá trò tham số m để đường thẳng y =  2x + m cắt đồ thò hàm số 64 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x2  x  hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng x AB thuộc trục tung y Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thò đường thẳng y =  2x + m là: x2  x   2x  m  x2 + x – = x(– 2x + m) (vì x = khômg nghiệm) x  3x2 + (1 – m)x – = (1)  Vì a.c < nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt  Do đồ thò đường thẳng y =  2x + m cắt điểm phân biệt A, B  Gọi I trung điểm AB, ta có xI  xA  xB  b m 1  2a Theo giả thiết ta có I  Oy  xI =  m = Bài : ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Tìm giá trò tham số m để đường thẳng y =  x + m cắt đồ thò hàm số y x2  điểm phân biệt A, B, cho AB = x Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thò đường thẳng y =  x + m : x  m   x2   2x2 – mx – = (*) (vì x = không nghiệm (*)) x Vì 2.(1) < nên phương trình (*) có nghiệm phân biệt khác Do đồ thò đường thẳng y =  x + m cắt điểm phân biệt A, B  Vì A, B thuộc đường thẳng y =  x + m nên yA =  xA + m yB =  xB + m Do A(xA;  xA + m ); B(xB;  xB + m ) với xA, xB nghiệm phương trình (*) Ta có : AB =  (xB – xA)2 + [(– xB + m) – (– xA + m)]2 = 16  2(xB – xA)2 = 16  (xB – xA)2 =  m2    m = 2 Bài : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thò (Cm), m tham số Tìm m để đường thẳng y = –1 cắt đồ thò (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Giải Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = 1 : 65 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x4 – (3m + 2)x2 + 3m =   x4 – (3m + 2)x2 + 3m + =  x = 1 hay x2 = 3m + (*) Đường thẳng y = 1 cắt (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ  Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 nhỏ  0  3m     m      3m   m  Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + (1) Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > –3) cắt đồ thò hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB Giải Gọi d đường thẳng qua I(1; 2) có hệ số góc k (k > 3) d: y = k(x – 1) + Phương trình hoành độ giao điểm (C) d là: x3 – 3x2 + = k(x – 1) +  (x – 1)(x2 – 2x – k – 2) = (*) x   xI   g(x)  x2  2x  k   (1)    k  g(1)   k    Do k > 3 nên phương trình (1) có:   Phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 khác  Phương trình (*) có nghiệm phân biệt  Đường thẳng d cắt đồ thò (C) điểm phân biệt A, B, I  x A  x B x1  x2    xI   Mặt khác  2  A, B, I thẳ ng hà ng  I trung điểm đoạn thẳng AB (Điều phải chứng minh) Bài : CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 x Cho hàm số y  x 1 Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt đồ thò (C) hai điểm phân biệt Giải Phương trình hoành độ giao điểm (C) d là: 66 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x  x  m x 1  x = (x + m)(x – 1) (vì x = nghiệm)  x2 – mx + m = (*) d cắt (C) điểm phân biệt  (*) có nghiệm phân biệt   >  m2 – 4m >  m <  m > Bài 9: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI KHỐI A, D NĂM 2007 Cho hàm số : y = (x – 1)(x2 – 2mx – m – 1) (1) (m tham số) Đònh m để đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn 1 Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thò với trục Ox là: (x – 1)(x2 – 2mx – m – 1) =  x = hay f(x) = x2 – 2mx – m – = (2) Cách 1: Đồ thò cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn 1  Phương trình (2) có nghiệm phân biệt lớn 1 khác   m  m    S    m  1  m > f(1)  m    f(1)  3m  Cách 2: Đặt t = x + Phương trình (2) trở thành: (t – 1)2 – 2m(t – 1) – m – =  g(t) = t2 – 2(1 + m)t + m = (3) Đồ thò cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn 1  Phương trình (2) có nghiệm x phân biệt lớn 1 khác  Phương trình (3) có nghiệm t phân biệt lớn khác   m  m     S  2(1  m)   m > P  m  g(2)  3m   Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Cho hàm số: y = x3  3x + có đồ thò (C) Gọi d đường thẳng qua điểm M(3; 20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thò (C) điểm phân biệt Giải Phương trình đường thẳng d y = m(x  3) + 20 Phương trình hoành độ giao điểm d (C) là: 67 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x3  3x   m(x  3)  20  (x  3)(x2  3x   m)  Đường thẳng d cắt đồ thò (C) điểm phân biệt khi: f(x)  x2  3x   m có hai nghiệm phân biệt khác  15    4(6  m)  m     f(3)  24  m  m  24  Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ Cho hàm số y = x4  mx2 + m  (1) (m tham số) Xác đònh m cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt Giải  Phương trình hoành độ giao điểm đồ thò hàm số (1) trục Ox là: x4 – mx2 + m – = (*) Đặt t = x2  Phương trình (*) trở thành: t2 – mt + m – = (**)  Đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm phân biệt  Phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt dương m   m  1     m      S    m  m  P      m   Vấn đề 12: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG A PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1/ 2/ 3/ 4/ Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua gốc tọa độ O  B(x; y) Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua trục hoành  B(x; y) Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua trục tung  B(x; y) Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua đường phân giác góc phần tư thứ I : y = x  B(y; x) 5/ Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua đường phân giác góc phần tư thứ II: y = x  B(y; x) 6/ Hai điểm A B đối xứng với qua điểm M  M trung điểm đoạn AB 7/ Hai điểm A B đối xứng với qua đường d: y = ax + b (a  0)  AB  d  Trung điểm I đoạn AB nằm đường thẳng d B ĐỀ THI 68 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 1: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN NĂM 2007 Cho hàm số y = x2 4x có đồ thò (C) x Tìm (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua đường thẳng d: x – y + = Giải Gọi () đường thẳng vuông góc với d  (): x + y + m = m6 Hoành độ giao điểm I (d) () x1 = Phương trình hoành độ giao điểm () (C) là: x2  4x  + m =  2x2 + (m + 5)x + m + = (2) (x  1) x 1 Với điều kiện (2) có nghiệm xA, xB phân biệt khác 1 Ta có: A, B đối xứng qua đường thẳng d: x – y + =  I trung điểm AB x +  I, A, B thẳ ng hà ng (hiể n nhiê n)    xA  xB  xI   m6 m5   2(m + 6) = m +  m = 7  Khi (2)  2x2 – 2x =  x =  x = (Thỏa điều kiện (2) có nghiệm phân biệt khác 1) Với x =  y = 7, x =  y = Vậy: A(0; 7), B(1; 6) A(1; 6), B(0; 7) Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 x3 11 (C)  x2  3x  3 Tìm đồ thò (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng qua trục tung Giải Gọi M(x1; y1), N(x2; y2)  (C) đối xứng qua Oy Yêu cầu toán tương đương với x2  x1  x2  x1      x1 11 x32 11  x22  3x2  y2  y1   x1  3x1   3 3 Cho hàm số: y =  x2  x1     x3 x3 11 11   x12  3x1     x12  3x1  3 3 69 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  x  x  3   x2  x1       x2  3  x2  x1  9x1    16 16 x1  3  y1  x1   y1  3 ;     16 16 x   y  x  3  y  2   3 16  16   16   16    Vậy M  3;  ; N  3;  hay M  3 ;  ; N  3;  3 3  3  3   Bài 3: Cho hàm số y = x3  3x2 + m (1) (m tham số) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ O Giải Gọi A B hai điểm đối xứng qua gốc tọa độ Giả sử A(x; y) B(x; y) 70  y  x  3x  m Vì A, B  (Cm) nên ta có: (I)   y  x  3x  m (1) Cộng vế tương ứng (1) (2) suy ra: m = 3x2 Yêu cầu toán tương đương với (3) có nghiệm x   m > (vì có x ta tính y) Vậy giá trò m cần tìm m > (3) (2) ... Vấn đề 7: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số y = f(x)  Tập xác đònh hàm số  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: Tính đạo hàm cấp... trò nhỏ hàm số y = f(x) [a; b] Dựa vào bảng biến thiên hàm số để tìm giá trò lớn giá trò nhỏ hàm số Chú ý: 24 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  Nếu hàm số y =... f (x0 ) Hàm số f có đạo hàm đạt cực trò c x = x0  f (x ) f(x ) c Chú ý : Đối với hàm số bất kì, hàm số đạt cực trò điểm mà đạo hàm triệt tiêu đạo hàm không xác đònh B CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC y