Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 68 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
68
Dung lượng
1,3 MB
Nội dung
TTLT ĐH VĨNH VIỄN Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ Vấn đề 1: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ; ; ; .0 1/ Một số dạng vô đònh thường gặp: Chú ý: Các trường hợp sau dạng vô đònh (+) + (+) = + (+) – (–) = + a (a 0) (–) + (–) = – a (a 0) a. (a 0) 2/ Khử dạng vô đònh Hàm số có chứa căn: Nhân chia với biếu thức liên hợp Hàm số có chứa lượng giác: Biến đổi để sử dụng ba giới hạn quen thuộc sin x 1 x x tan x 1 x x , lim , lim lim x cos x x Dạng vô đònh x a: Phân tích tử số mẫu số để có (x – a) làm nhân tử chung Dạng vô đònh : Đặt số hạng bậc cao tử số mẫu số làm thừa số chung Dạng vô đònh , .0 : Biến đổi đưa dạng B ĐỀ THI Bài 1: Tìm giới hạn I lim x x 1 x 1 x Giải Giới hạn I có dạng vô đònh Ta có: I lim x I1 lim x 0 x x 1 x 1 1 x 1 = lim + x 0 x x x x 1 1 lim x 0 x x 1 1 x 1 1 x x 1 1 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – lim x 0 x I2 lim x 11 x 1 1 lim x 1 1 x 0 x 1 1 lim x 0 x x 1 x 12 x 1 x x 1 x 1 1 x 1 1 lim lim x 0 x 0 x x x x 1 x 1 1 Vậy I = I1 + I2 = x 0 Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ Tìm giới hạn I = lim x 3x2 2x2 cos x Giải Giới hạn I có dạng vô đònh Ta có I lim 3x2 x 0 I1 lim x 0 2sin2 lim 2x2 x 3x2 2x2 x x x 0 2sin2 2sin2 2 3x2 3x2 lim x 0 x 3x2 1 x 3 2sin2 2sin 3x 2 x lim 2 x 0 3 3x2 3x2 sin x x 2x lim 4 I2 lim x 0 x x x 2 2x sin 2sin2 2x2 1 2 2 Vậy I = I1 + I2 = Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ Tìm giới hạn L = lim x 1 x6 6x x 12 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Giải Giới hạn L có dạng vô đònh Ta có L = lim x6 6x x1 = lim x 12 lim x 1 x5 x4 x3 x2 x 5 x 12 x1 x 12 x4 2x3 3x2 4x 5 x 12 x1 = lim x4 2x3 3x2 4x 15 x1 Vấn đề 2: TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1/ Đònh nghóa: Hàm số f xác đònh khoảng (đoạn nửa khoảng) K x1, x2 K Hàm số f gọi đồng biến K x1 < x2 f(x1) < f(x2) Hàm số f gọi nghòch biến K x1 < x2 f(x1) > f(x2) Đònh nghóa kết hợp với đònh lý sử dụng để chứng minh bất đẳng thức 2/ Đònh lí: Hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu f'(x) > 0, x K hàm số f đồng biến K Nếu f'(x) < 0, x K hàm số f nghòch biến K Đònh lý thường ứng dụng cho dạng toán sau: Dạng 1: Tìm tham số để hàm số đồng biến (hoặc nghòch biến) Thường sử dụng dấu tam thức bậc hai P(x) = ax2 + bx + c (a 0) a b * P(x) 0, x hay a c * P(x) 0, x a b hay a c Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đồng biến (hoặc nghòch biến) khoảng (a; b) Hàm số y = f(x, m) đồng biến (hoặc nghòch biến) khoảng (a; b) y' (hoặc y' 0), x(a; b) dấu "=" xảy hữu hạn điểm (*) Thông thường điều kiện (*) biến đổi hai dạng: (*) h(m) g(x), x(a; b) h(m) max g(x) a; b Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – (*) h(m) g(x), x(a; b) h(m) g(x) a; b (Xem Vấn đề 4: GTNN – GTLN hàm số, để xác đònh max g(x) a; b g(x) ) a; b Dạng 3: Tìm tham số để phương trình (hệ phương trình) có nghiệm Biến đổi phương trình cho dạng g(x) = h(m) Lập bảng biến thiên cho hàm số y = g(x) dựa vào bảng biến thiên để kết luận Chú ý: Nếu toán có đặt ẩn số phụ phải xác đònh điều kiện cho ẩn số phụ B ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Cho a b hai số thực thỏa mãn < a < b < Chứng minh rằng: a2lnb b2lna > lna lnb Giải Bất đẳng thức cho tương đương với: ln b ln a (a2 + 1)lnb > (b2 + 1)lna b 1 a 1 ln x ; x 1 Xét hàm số f(x) x 1 f (x) x2 2x2 ln x x(x2 1)2 0, x (0; 1) f đđồng biến (0; 1) Mặt khác < a < b < nên: ln b ln a f(b) > f(a) (Điều phải chứng minh) b 1 a 1 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Tìm giá trò tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2x 2x 24 x x m Giải 4 Xét hàm số f(x) 2x 2x x x Tập xác đònh: D = [0; 6] 1 1 1 f (x) (2x)3 2x (6 x)3 6x (m ) TTLT ĐH VĨNH VIỄN 3 2 2 (2x) (6 x) 2x x 1 1 1 4 4 x (2x)2 2x x (6 x)2 2x Vì 1 1 4 (2x)2 2x x (6 x)2 Nên f (x) Bảng biến thiên: x f'(x) f(x) 2x 6x > 0, x (0; 6) 2x x 2x x x 2 + 2x x 4 4 4 6 12 12 Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình f(x) = m có nghiệm phân biệt 2 6 m 3 4 CÁCH KHÁC Đặt g(u) u u g/ (u) // 4 2 u u ; g (u) u u 0, u (0;6) 16 Vậy g / hàm giảm ( nghiêm cách ), Ta có f(x) g(2x) 2g(6 x) Suy f / (x) 2g/ (2x) 2g/ (6 x) Nên) f (x) g/ (2x) g/ (6 x) 2x x ( g / giảm ) x Suy f / (x) 2g/ (2x) 2g/ (6 x) 2x x x f / (x) g/ (2x) g/ (6 x) 2x x (do g / giảm) x Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Tìm giá trò tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 1 x x y y x3 y3 15m 10 x3 y3 Giải Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Đặt x 1 u, y v (Đk : u 2, v 2) x y Hệ cho trở thành: u v u v 3 u v u2 v2 uv 3(u v) 15m 10 u v 3(u v) 15m 10 u v u v u v 3uv 3(u v) 15m 10 u v u v uv m 5 5 3uv 3(5) 15m 10 Khi u, v (nếu có) nghiệm phương trình: t2 5t + – m = hay t2 5t + = m (1) Hệ cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm t = t 1, t = t2 thỏa mãn: t1 2, t (t1, t2 không thiết phân biệt) Xét hàm số f(t) t 5t với t : Suy f'(t) = 2t – f'(t) = t = Bảng biến thiên t 2 f'(t) 5/2 + f(t) + + + 22 7/4 Từ bảng biến thiên hàm số suy hệ cho có nghiệm m m 22 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 b Cho a b > Chứng minh rằng: 2a a 2b b a Giải Bất đẳng thức cho tương đương với: (1 4a )b (1 4b )a b ln(1 4a ) a ln(1 b ) ln(1 4a ) ln(1 4b ) a b TTLT ĐH VĨNH VIỄN Xét hàm số f(x) ln(1 4x ) với x > x 4x ln x Ta có: f (x) x ln 4x x2 x.4x ln (1 4x )ln(1 4x ) x2 (1 4x ) 4x ln 4x ln(1 4x ) ln(1 4x ) x x (1 ) Nhận xét : 4x < + 4x ln 4x ln(1 4x ) + 4x > ln(1 4x ) Do f'(x) < 0, x > Suy f(x) nghòch biến khoảng (0; +) Mặt khác a b > nên: f(a) f(b) ln(1 4a ) ln(1 4b ) a b (Điều phải chứng minh) Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x m x x2 Giải Điều kiện: x Chia hai vế phương trình cho x 1 x 1 m2 Đặt t Vì t 4 x2 x 1 3 x , phương trình cho tương đương với x 1 x 1 24 m x 1 x 1 x 1 , phương trình (1) trở thành 3t2 + 2t = m x 1 (1) (2) x 1 x nên t < 1 x 1 x 1 Xét hàm số f(t) = 3t2 + 2t, với t < Suy : f'(t) = – 6t + f'(t) = t = Bảng biến thiên: Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – t 1 f(t) 1 Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình cho có nghiệm (2) có nghiệm t [0; 1) 1 m Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Chứng minh với giá trò dương tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 2x m(x 2) Giải Điều kiện: m(x – 2) x (Do xét m > 0) Phương trình cho tương đương với x 2 x m x x x m x x 2 x x x m x 6x2 32 m Nhận xét: Phương trình cho có nghiệm dương x = 2, nên từ yêu cầu toán, ta cần chứng minh phương trình: x3 + 6x2 32 = m (1) có nghiệm khoảng (2; +) Xét hàm số f(x) = x3 + 6x2 32, với x > Ta có: f'(x) = 3x2 + 12x > 0, x Bảng biến thiên: x f'(x) f(x) + + + Từ bảng biến thiên ta thấy với m > 0, phương trình (1) có nghiệm khoảng (2; +) Vậy với m > phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt Bài 7: 10 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Xác đònh m để phương trình sau có nghiệm m 1 x x2 x x2 x2 Giải Điều kiện: 1 x Đặt t = x2 x t x Điều kiện: t Phương trình cho trở thành: m (t + 2) = t2 + t m Xét hàm số f(t) = f'(t) = t 4t t 2 t t , với t t2 t t t2 , f'(t) = t = 0, t = 4 Bảng biến thiên t f’(t) f(t) 1 Từ bảng biến thiên hàm số suy phương trình cho có nghiệm m Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ x2 5x m2 (1) (m tham số) x3 Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; +) Cho hàm số y Giải Ta có: y x 6x m (x 3)2 Hàm số y đồng biến (1; +) y' 0, x x2 + 6x + m2 0, x x2 + 6x + m2, x Xét hàm số g(x) = x2 + 6x + 9, x g'(x) = 2x + > 0, x Do yêu cầu toán tương đương với 11 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – g(x) m g(1) = 16 m2 4 m x1 Bài 9: Chứng minh rằng: ex cosx x x2 , x Giải Ta chứng minh hai bất đẳng thức sau: 1/ ex x, x 2/ cosx x2 , x Chứng minh ex x, x Xét hàm số f(x) = ex x f'(x) = ex f'(x) = x = Bảng biến thiên: x + f'(x) + f(x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x) 0, x ex x 1, x Chứng minh: cosx (1) x2 , x Xét hàm số g(x) = cosx + x2 Vì g(x) hàm số chẵn nên ta cần xét x đủ g'(x) = sinx + x g"(x) = cosx + g'(x) đồng biến, x g'(x) g'(0) = 0, x g(x) đồng biến, x g(x) 0, x cosx + x2 x2 0, x cosx ; x 2 Từ (1) (2) suy ex + cosx + x 12 x2 ; x (2) Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tập xác đònh: D \ 1 y (x 1)2 0, x D 2m Vì M (C) nên M m; m 1 Phương trình tiếp tuyến d (C) M: y = y'(m)(x m) + 2m 2m2 y x m 1 (m 1)2 (m 1)2 A d Ox nên tọa độ A thỏa hệ phương trình: 2m x m x y A(m2 ; 0) (m 1)2 (m 1)2 y y B d Oy nên tọa độ B thỏa hệ phương trình : x 2m x y 2m B 0; (m 1)2 (m 1)2 y 2m (m 1)2 m 1 x Tam giác OAB có diện tích 2m m 2m 1 m OA.OB 2 2m m (m 1)2 Với m m m 1 ta có M ; ; với m = ta có M(1; 1) 2 Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán: M ; M(1; 1) Bài 9: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 x3 Cho hàm số y = (C) x 1 Cho điểm M0(x0; y0) (C) Tiếp tuyến (C) M0 cắt tiệm cận (C) A B Chứng minh M0 trung điểm đoạn AB Giải 56 x0 x0 M0(x0; y0) (C) y0 = Phương trình tiếp tuyến (C) M0(x0; y0) TTLT ĐH VĨNH VIỄN : y = x x0 y0 x0 12 Giao điểm với tiệm cận ngang nghiệm hệ phương trình x x0 y0 y A(2x0 – 1; 1) x0 12 y Giao điểm với tiệm cận đứng nghiệm hệ phương trình x x2 y x 7 y B 1; x0 12 x0 x xA xB x0 Ta thấy M0 trung điểm đoạn AB A, B, M0 thẳ ng hà ng Bài 10 : ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 x2 x có đồ thò (C) x2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò (C), biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên (C) Cho hàm số y Giải x x 1 x 1 x2 x2 Tiệm cận xiên đồ thò (C) có phương trình y = x 1, nên tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên có hệ số góc k = 1 Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình: Ta có y y' = 1 Với x 2 (x 2) 1 x 2 2 y 3 2 Phương trình tiế p tuyế n : (d1 ) : y x 2 Với x 2 y 3 2 Phương trình tiếp tuyến là: (d2 ) : y x 2 Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 57 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x 2(x2 1) có đồ thò (C) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0; 2) tiếp xúc với (C) Cho hàm số: y Giải Nhận thấy đường thẳng x = không tiếp tuyến (C) Gọi d đường thẳng qua A(0; 2) có hệ số góc k d: y = kx + x4 2(x 1) kx (1) d tiếp xúc với (C) có nghiệm (2) 2x 4x k x k x k Thế (2) vào (1) ta 3x – 8x = 3 x k 3 Vậy có ba tiếp tuyến cần tìm: y = 2, y x2 3 Bài 12 : ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Cho hàm số: y = x2 x x 1 Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A(0; 5) Giải Gọi đường thẳng qua A(0; 5) có hệ số góc k (vì đường thẳng x = không tiếp tuyến đồ thò) : y = k(x – 0) – = kx – x2 x kx x 1 tiếp xúc (C) x 2x k x 12 Thay (2) vào (1) ta được: 1 2 có nghiệ m x2 x x2 2x x5 x 1 x 12 (x2 – x – 1)(x + 1) = x3 + 2x2 – 5(x2 + 2x + 1) x1 2 k1 1 : y 5 x2 k 8 : y 8x 3x2 + 8x + = Các tiếp tuyến cần tìm là: y = – 5; y = – 8x – 58 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 m Gọi (Cm) đồ thò hàm số y x3 x2 (m tham số) 3 Gọi M điểm thuộc (Cm) có hoành độ 1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x y = Giải Tập xác đònh: D = Ta có: y' = x2 mx m Điểm M thuộc (Cm) có hoành độ x = M 1; Tiếp tuyến M (Cm) m m2 : y + y(1)(x 1) y (m 1)x 2 song song với d: 5x y = (hay d: y = 5x) m m Vậy m = m Bài 14: ĐỀ DỰ BỊ Gọi (Cm) đồ thò hàm số y = x3+ (2m + 1)x2 m (m tham số) Tìm m để đồ thò (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx m Giải x (2m 1)x m 2mx m (1) d tiếp xúc (Cm) có nghiệm (2) 3x 2(2m 1)x 2m x 2 3x 2(2m 1)x 2m x[x (2m 1)x 2m] 2 x (2m 1)x 2m 3x 2(2m 1)x 2m 3x 2(2m 1)x 2m x x m m x x (2m 1)x 2m 2x2 (2m 1)x m Vậy có giá trò thỏa mãn yêu cầu toán m m Bài 15: ĐỀ DỰ BỊ 59 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – 2x có đồ thò (C) x 1 Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng IM Giải 2m Vì M (C) nên M m; m 1 1 Hệ số góc tiếp tuyến M là: k1 = f (m) (m 1)2 (C) có đường tiệm cận đứng x = đường tiệm cận ngang y = I giao điểm hai đường tiệm cận (C) I(1; 2) 2m 1 = m 1; IM m 1; m m 1 a Hệ số góc đường thẳng IM là: k2 = a1 (m 1)2 Vì tiếp tuyến (C) M vuông góc IM nên ta có: m 1 1 (m 1)4 k1.k2 = – 2 (m 1) (m 1) m Cho hàm số y Với m = M(0; 1) Với m = M(2; 3) Bài 16 : ĐỀ DỰ BỊ 1 Cho hàm số y x3 x2 2x có đồ thò (C) 3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 4x + Giải Do tiếp tuyến song song với d nên có phương trình: y = 4x + b (b 2) f(x) g(x) tiếp xúc (C) f (x) g(x) x1 nhận b 26 1 x x 2x 4x b 3 3 x x2 x 73 nhận b2 26 73 Vậy ta có tiếp tuyến 1: y = 4x ; 2 = y = 4x + Bài 17: 60 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Cho hàm số y 2m 1 x m2 (1) (m tham số) x 1 Tìm m để đồ thò hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x Giải Đồ thò hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x 2m 1 x m x x m 2 x 1 có nghiệ m có nghiệm x x 12 m 12 m 1 x 1 m Vấn đề 11: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Lập phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thò Dạng : Phương trình hoành độ giao điểm có dạng: ax2 + bx + c = (*) Hai đồ thò cắt điểm phân biệt a Phương trình (*) có nghiệm phân biệt Hai đồ thò cắt điểm phân biệt nằm bên phải trục tung Hai đồ thò cắt điểm phân biệt có hoành độ dương Phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt S P b c Với S = a P = a Hai đồ thò cắt điểm phân biệt nằm bên trái trục tung Hai đồ thò cắt điểm phân biệt có hoành độ âm Phương trình (*) có nghiệm âm phân biệt S P Hai đồ thò cắt điểm phân biệt nằm hai phía trục tung Hai đồ thò cắt điểm phân biệt có hoành độ trái dấu Phương trình (*) có nghiệm trái dấu P < Hai đồ thò cắt điểm phân biệt nằm phía trục tung Hai đồ thò cắt điểm phân biệt có hoành độ dấu 61 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Phương trình (*) có nghiệm phân biệt dấu P Dạng : Phương trình hoành độ giao điểm có dạng: ax3 + bx2 + cx + d = (*) Ở ta xét phương trình (*) nhẩm nghiệm x = x0, nghóa phương trình (*) đưa dạng: x x0 (x – x0) (ax2 + Bx + C) = g(x) ax2 Bx C (1) (a 0) Hai đồ thò có điểm chung Phương trình (*) có nghiệm Phương trình (1) có vô nghiệm có nghiệm kép x = x0 g g g(x0 ) Hai đồ thò có điểm chung phân biệt Phương trình (*) có nghiệm phân biệt Phương trình (1) có nghiệ m ké p c x0 Phương trình (1) có nghiệ m phâ n biệ t có nghiệ m x = x g g hoặ c g(x0 ) g(x0 ) Hai đồ thò có điểm chung phân biệt Phương trình (*) có nghiệm phân biệt g Phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác x0 g(x ) Dạng 3: Phương trình hoành độ giao điểm có dạng : ax4 + bx2 + c = (*) Đặt t = x2 Phương trình (*) trở thành at2 + bt + c = (1) (a 0) Hai đồ thò có điểm chung phân biệt Phương trình (*) có nghiệm Phương trình (1) có đú ng nghiệ m nghiệ m nà y bằ ng Phương trình (1) có nghiệ m bằ ng nghiệ m â m b = c = c a.b > Hai đồ thò có điểm chung phân biệt Phương trình (*) có nghiệm Phương trình (1) có nghiệm trái dấu ac < Hai đồ thò có điểm chung phân biệt 62 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Phương trình (*) có nghiệm Phương trình (1) có nghiệm nghiệm dương c = ab < Hai đồ thò có điểm chung phân biệt Phương trình (*) có nghiệm Phương trình (1) có nghiệm dương phân biệt S P B ĐỀ THI Bài : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 2x Cho hàm số y Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + cắt đồ thò (C) hai x 1 điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành Giải Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng d: y = kx+2k +1 (C) là: 2x = kx + 2k + kx2 + (3k–1)x + 2k = (*) (Vì x =–1 không nghiệm) x 1 d cắt (C) hai điểm Phương trình (*) có hai nghiệm k k (I) k 6k k 2 k 2 Khi đó, hoành độ xA, xB A B nghiệm phương trình (*) nên áp b 3k dụng đònh lý Viét ta có: xA + xB = a k A B thuộc d nên yA = kxA + 2k + yB = kxB + 2k + Ta có: Khoảng cách từ A B đến trục hoành yA yB kxA 2k kxB 2k kx A 2k kx B 2k x A x B (Loại (*) có nghiệm) kx A 2k kx B 2k k x A x B 4k 3k k 4k k = – (Thỏa (I)) k Vậy k = thỏa yêu cầu toán Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m (1), m số thực Tìm m để đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành 63 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện: x12 x22 x32 Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thò hàm số (1) trục hoành là: x3 – 2x2 + (1 – m)x + m = (x – 1) (x2 – x – m) = x = hay g(x) = x2 – x – m = (2) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (2) x3 = Với điều kiện (2) có nghiệm, theo đònh lí Vieùt ta có: x1 + x2 = x1.x2 = – m Do yêu cầu toán tương đương với: Phương trình (2) có hai nghiệm x1, x2 phân biệt khác thỏa x12 x22 12 (2) 4m m g(1) m m 2 x1 x2 x1 x2 2x1x2 m m m 1 2m m Bài : ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Cho hàm số y = 2x (C) x 1 Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thò (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) Giải Phương trình hoành độ giao điểm (C) đường thẳng d: y = 2x +m 2x 2x m 2x2 + (4 m)x + m = (*) (vì x = 1 không nghiệm) x 1 Phương trình (*) có = m2 + > 0, m nên d cắt (C) điểm A, B Vì A, B thuộc đường thẳng y = 2x + m nên yA = 2xA + m yB = 2xB + m, với xA,, xB nghiệm phương trình (*) Ta có: SOAB x y xByB xA 2xB m xB 2xA m A A m xA xB m2 xA xB 12 m m2 12 m4 + 8m2 48 = m2 = m = Bài : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Tìm giá trò tham số m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thò hàm số 64 TTLT ĐH VĨNH VIỄN x2 x hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng x AB thuộc trục tung y Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thò đường thẳng y = 2x + m là: x2 x 2x m x2 + x – = x(– 2x + m) (vì x = khômg nghiệm) x 3x2 + (1 – m)x – = (1) Vì a.c < nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt Do đồ thò đường thẳng y = 2x + m cắt điểm phân biệt A, B Gọi I trung điểm AB, ta có xI xA xB b m 1 2a Theo giả thiết ta có I Oy xI = m = Bài : ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Tìm giá trò tham số m để đường thẳng y = x + m cắt đồ thò hàm số y x2 điểm phân biệt A, B, cho AB = x Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thò đường thẳng y = x + m : x m x2 2x2 – mx – = (*) (vì x = không nghiệm (*)) x Vì 2.(1) < nên phương trình (*) có nghiệm phân biệt khác Do đồ thò đường thẳng y = x + m cắt điểm phân biệt A, B Vì A, B thuộc đường thẳng y = x + m nên yA = xA + m yB = xB + m Do A(xA; xA + m ); B(xB; xB + m ) với xA, xB nghiệm phương trình (*) Ta có : AB = (xB – xA)2 + [(– xB + m) – (– xA + m)]2 = 16 2(xB – xA)2 = 16 (xB – xA)2 = m2 m = 2 Bài : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thò (Cm), m tham số Tìm m để đường thẳng y = –1 cắt đồ thò (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Giải Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = 1 : 65 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x4 – (3m + 2)x2 + 3m = x4 – (3m + 2)x2 + 3m + = x = 1 hay x2 = 3m + (*) Đường thẳng y = 1 cắt (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 nhỏ 0 3m m 3m m Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + (1) Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > –3) cắt đồ thò hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB Giải Gọi d đường thẳng qua I(1; 2) có hệ số góc k (k > 3) d: y = k(x – 1) + Phương trình hoành độ giao điểm (C) d là: x3 – 3x2 + = k(x – 1) + (x – 1)(x2 – 2x – k – 2) = (*) x xI g(x) x2 2x k (1) k g(1) k Do k > 3 nên phương trình (1) có: Phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 khác Phương trình (*) có nghiệm phân biệt Đường thẳng d cắt đồ thò (C) điểm phân biệt A, B, I x A x B x1 x2 xI Mặt khác 2 A, B, I thẳ ng hà ng I trung điểm đoạn thẳng AB (Điều phải chứng minh) Bài : CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 x Cho hàm số y x 1 Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt đồ thò (C) hai điểm phân biệt Giải Phương trình hoành độ giao điểm (C) d là: 66 TTLT ĐH VĨNH VIỄN x x m x 1 x = (x + m)(x – 1) (vì x = nghiệm) x2 – mx + m = (*) d cắt (C) điểm phân biệt (*) có nghiệm phân biệt > m2 – 4m > m < m > Bài 9: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI KHỐI A, D NĂM 2007 Cho hàm số : y = (x – 1)(x2 – 2mx – m – 1) (1) (m tham số) Đònh m để đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn 1 Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thò với trục Ox là: (x – 1)(x2 – 2mx – m – 1) = x = hay f(x) = x2 – 2mx – m – = (2) Cách 1: Đồ thò cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn 1 Phương trình (2) có nghiệm phân biệt lớn 1 khác m m S m 1 m > f(1) m f(1) 3m Cách 2: Đặt t = x + Phương trình (2) trở thành: (t – 1)2 – 2m(t – 1) – m – = g(t) = t2 – 2(1 + m)t + m = (3) Đồ thò cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn 1 Phương trình (2) có nghiệm x phân biệt lớn 1 khác Phương trình (3) có nghiệm t phân biệt lớn khác m m S 2(1 m) m > P m g(2) 3m Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Cho hàm số: y = x3 3x + có đồ thò (C) Gọi d đường thẳng qua điểm M(3; 20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thò (C) điểm phân biệt Giải Phương trình đường thẳng d y = m(x 3) + 20 Phương trình hoành độ giao điểm d (C) là: 67 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x3 3x m(x 3) 20 (x 3)(x2 3x m) Đường thẳng d cắt đồ thò (C) điểm phân biệt khi: f(x) x2 3x m có hai nghiệm phân biệt khác 15 4(6 m) m f(3) 24 m m 24 Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ Cho hàm số y = x4 mx2 + m (1) (m tham số) Xác đònh m cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thò hàm số (1) trục Ox là: x4 – mx2 + m – = (*) Đặt t = x2 Phương trình (*) trở thành: t2 – mt + m – = (**) Đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt Phương trình (*) có nghiệm phân biệt Phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt dương m m 1 m S m m P m Vấn đề 12: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG A PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1/ 2/ 3/ 4/ Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua gốc tọa độ O B(x; y) Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua trục hoành B(x; y) Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua trục tung B(x; y) Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua đường phân giác góc phần tư thứ I : y = x B(y; x) 5/ Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua đường phân giác góc phần tư thứ II: y = x B(y; x) 6/ Hai điểm A B đối xứng với qua điểm M M trung điểm đoạn AB 7/ Hai điểm A B đối xứng với qua đường d: y = ax + b (a 0) AB d Trung điểm I đoạn AB nằm đường thẳng d B ĐỀ THI 68 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Bài 1: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN NĂM 2007 Cho hàm số y = x2 4x có đồ thò (C) x Tìm (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua đường thẳng d: x – y + = Giải Gọi () đường thẳng vuông góc với d (): x + y + m = m6 Hoành độ giao điểm I (d) () x1 = Phương trình hoành độ giao điểm () (C) là: x2 4x + m = 2x2 + (m + 5)x + m + = (2) (x 1) x 1 Với điều kiện (2) có nghiệm xA, xB phân biệt khác 1 Ta có: A, B đối xứng qua đường thẳng d: x – y + = I trung điểm AB x + I, A, B thẳ ng hà ng (hiể n nhiê n) xA xB xI m6 m5 2(m + 6) = m + m = 7 Khi (2) 2x2 – 2x = x = x = (Thỏa điều kiện (2) có nghiệm phân biệt khác 1) Với x = y = 7, x = y = Vậy: A(0; 7), B(1; 6) A(1; 6), B(0; 7) Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 x3 11 (C) x2 3x 3 Tìm đồ thò (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng qua trục tung Giải Gọi M(x1; y1), N(x2; y2) (C) đối xứng qua Oy Yêu cầu toán tương đương với x2 x1 x2 x1 x1 11 x32 11 x22 3x2 y2 y1 x1 3x1 3 3 Cho hàm số: y = x2 x1 x3 x3 11 11 x12 3x1 x12 3x1 3 3 69 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x x 3 x2 x1 x2 3 x2 x1 9x1 16 16 x1 3 y1 x1 y1 3 ; 16 16 x y x 3 y 2 3 16 16 16 16 Vậy M 3; ; N 3; hay M 3 ; ; N 3; 3 3 3 3 Bài 3: Cho hàm số y = x3 3x2 + m (1) (m tham số) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ O Giải Gọi A B hai điểm đối xứng qua gốc tọa độ Giả sử A(x; y) B(x; y) 70 y x 3x m Vì A, B (Cm) nên ta có: (I) y x 3x m (1) Cộng vế tương ứng (1) (2) suy ra: m = 3x2 Yêu cầu toán tương đương với (3) có nghiệm x m > (vì có x ta tính y) Vậy giá trò m cần tìm m > (3) (2) [...]... m 0 m=1 Vấn đề 7: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số y = f(x) Tập xác đònh của hàm số Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: Tính đạo hàm cấp 1 và tìm nghiệm của đạo hàm (nếu có) Kết luận tính đơn điệu của hàm số + Cực trò của hàm số + Giới hạn của hàm số và đường tiệm cận (nếu có) của đồ thò hàm số Lập bảng biến thiên... tiểu) y' đổi dấu 2 lần 5 Hàm số f có 3 cực trò y' đổi dấu 3 lần 6 Hàm số f đạt cực đại tại x0 nếu 14 f (x 0 ) 0 f (x 0 ) 0 TTLT ĐH VĨNH VIỄN 7 Hàm số f đạt cực tiểu tại x0 nếu f (x 0 ) 0 f (x 0 ) 0 8 Hàm số f có đạo hàm và đạt cực trò tại x0 f (x0 ) 0 9 Hàm số f có đạo hàm và đạt cực trò bằng c tại x = x0 f (x 0 ) 0 f(x 0 ) c Chú ý : Đối với một hàm số bất kì, hàm số chỉ có thể đạt cực trò tại... 1 Xét hàm số y = t2 + 2t + 1, t 0 Ta có y' = 2t + 2 và y' = 0 t = 1 t 0 1 + y' + y 0 2 1 Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m 2 Vấn đề 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI A TỔNG QUÁT 1 Hàm số f có cực trò y' đổi dấu 2 Hàm số f không có cực trò y' không đổi dấu 3 Hàm số f chỉ có một cực trò y' đổi dấu 1 lần 4 Hàm số f có 2... ; 0) x TTLT ĐH VĨNH VIỄN y -1 O 1 x -1 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 Giải Tập xác đònh: D = Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: x 0 Đạo hàm: y' = 12x2 – 12x; y' = 0 x2 – x = 0 x 1 Hàm số đồng biến trên (; 0) và (1; +); hàm số nghòch biến trên (0; 1) + Cực trò: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1 Hàm số đạt cực tiểu... y 4 4 Vậy Smin = 5 ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Vấn đề 5: A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x0, f"(x0) = 0 và f"(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì điểm I(x0; f(x0))là một điểm uốn của đồ thò hàm số y = f(x) B ĐỀ THI Bài 1: Cho hàm số y = x3 3mx2 + 9x + 1 (1) (m là tham số) Tìm m để điểm uốn của đồ thò hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1 Giải 2 Ta... thò hàm số (1) thì A(1 m; 2 2m3), B(1 + m; 2 + 2m3) O cách đều A và B OA = OB 8m3 = 2m m Bài 4: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG NĂM 2007 Cho hàm số y x2 mx 1 , (1) (m là tham số) xm 1/ Tìm m để hàm số (1) có hai giá trò cực trò trái dấu nhau 2/ Tìm m để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 2 Giải 18 1 (vì m 0) 2 TTLT ĐH VĨNH VIỄN 1/ Hai giá trò cực trò trái dấu nhau Đồ thò hàm số. .. của hàm số Chú ý: 24 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Nếu hàm số y = f(x) tăng trên [a, b] thì: min f(x) = f(a) và max f(x) = f(b) x [a; b] x [a; b] Nếu hàm số y = f(x) giảm trên [a, b] thì: min f(x) = f(b) và max f(x) = f(a) x [a; b] x [a; b] Nếu bài toán phải đặt ẩn số phụ thì phải có điều kiện cho ẩn số phụ đó Phương pháp 4: Dùng miền giá trò của hàm số y = f(x) (x D) y thuộc miền giá trò của hàm số y... 0 , B 2; 0 Bài 2 : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Khảo sát sự biến thiện và vẽ đồ thò của hàm số y = x4 – 2x2 Giải Tập xác đònh: D = Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: Đạo hàm: y' = 4x3 – 4x; y' = 0 x = 0 x = 1 Hàm số đồng biến trên (1; 0) và (1; +) Hàm số nghòch biến trên (; 1) và (0; 1) + Cực trò: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 1 + Giới hạn:... ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số y = x3 + 3x2 4 Giải Tập xác đònh: D Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 35 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Đạo hàm: y' = 3x2 + 6x, y' = 0 x = 0 hoặc x = 2 Hàm số đồng biến trên (0; 2), hàm số nghòch biến trên (; 0) và (2; +) + Cực trò: Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 0 y Hàm số đạt cực tiểu tại x =...TTLT ĐH VĨNH VIỄN Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ 2 Cho hàm số y = x2 2x m (1) (m là tham số) x2 Xác đònh m để hàm số (1) nghòch biến trên đoạn [1; 0] y x2 4x 4 m x 2 2 Hàm số nghòch biến trên đoạn [1; 0] y' 0, x [1; 0] x2 – 4x + 4 – m 0, x [1; 0] x2 – 4x + 4 m, x [1; 0] Xét hàm số g(x) = x2 – 4x + 4, x [1; 0]; g'(x) = 2x