chuyên đề khảo sát hàm số

Chun đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ                                                            www.VNMATH.com     CHƯƠNG I: KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT: Định nghĩa: cho hàm y=f(x) xác định (a; b) - Hàm y=f(x) tăng( đồng biến) (a; b)  x1 , x2  (a; b) : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) - Hàm y=f(x) giảm( nghịch biến) (a; b)  x1 , x2  (a; b) : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) - Hàm số đồng biến nghịch biến gọi hàm số đơn điệu Định lý: cho hàm số y=f(x) có đạo hàm (a, b) - f(x) đồng biến (a,b)  f '( x)  0, x  (a, b) ( dấu = xảy số hữu hạn điểm) - f(x) nghịch biến (a,b)  f '( x)  0, x  (a, b) ( dấu = xảy số hữu hạn điểm) Điểm tới hạn: điểm xo  (a, b) : f ' ( x0 )    f ' ( xo ) Phương pháp khảo sát tính đơn điệu hàm số: - Tìm TXĐ D - Tính y' Giải phương trình y'=0 (để tìm điểm tới hạn) - Lập bảng biến thiên: + xét dấu y', suy tính đồng biến, nghịch biến hàm số Chú ý: - Đa thức bậc đổi dấu nghiệm đơn nghiệm bội Tại nghiệm bội khơng đổi dấu - Dấu vùng cuối ln dấu với hệ số cao II BÀI TẬP: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: a y  x  x  c y  5 x 3x  d.y  1 x b y  3x  1 x  3x2  x  Xét tính đơn điệu hàm số sau: a y  x  x b y  x    x c y  x  3x  x3 Dạng 1: Bài tốn đồng biến, nghịch biến hàm có chứa tham số 1.- f(x) đồng biến (a,b)  f '( x)  0, x  (a, b) - f(x) nghịch biến (a,b)  f '( x)  0, x  (a, b) Xét f ( x)  ax  bx  c (a  0)   Page 1  Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.  Chun đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ                                                            www.VNMATH.com      f ( x)  0, x   f ( x)  0, x  a     a     + Để hàm số f(x) khơng đổi dấu tồn R   Thơng thường dẫn đến việc so sánh nghiệm tam thức với số  1.x1    x2  a f ( )      2.x1  x2    a f ( )  S   2     3.  x1  x2  a f ( )  S   2 f ( x)  0, x  xo  f ( x)  0, x  ( f ( x) liên tuc)  f ( )  5.a  : f ( x)  0, x  ( ,  )    f ( )  Bài 1: Cho hàm y  (m  1) x3  mx  (3m  2) x (1) Tìm m để hàm số (1) đồng biến tập xác định HD: (1) đồng biến R  y '  0, x  Bài 2: Tìm m cho hàm số y   m  x  2mx  m  đồng biến khoảng xác định xm  m  1 HD:  m  Bài 3: định m để hàm số y  mx  (m  6) x  nghịch biến (1, ) Bài 4: tìm m để hàm số y  x3  3(2m  1) x  6m(m  1) x  (Cm ) đồng biến (2, ) Hd: m  Bài 5: tìm m để hàm số y  x  2mx  3m  đồng biến (1, 2) m  : y '  0, x  m  m  0: y'    m 1 Vậy m  Hd:   Page 2  Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.  Chun đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ                                                            www.VNMATH.com     Bài 6: tìm m để hàm số y  x3  x  mx  đồng biến Hd: , (,1) y '  x2  x  m y '  0, x   x  x  m  0, x   m   x  x Vậy m  Bài 2: CỰC ĐẠI- CỰC TIỂU I LÝ THUYẾT: Lân cận xo : Cực đại, cực tiểu: Định lý 1: f a  f f b  f - '( x)  0, x  ( xo  h, xo ) '( x)  0, x  ( xo , xo  h) '( x)  0, x  ( xo  h, xo ) '( x)  0, x  ( xo , xo  h)  xo điểm cực đại f(x)  xo điểm cực tiểu f(x) c Các điểm cực đại, cực tiểu gọi cực trị Định lý Ferma: hàm số y=f(x) coa đạo hàm xo đạt cực trị xo f '( xo )  Mọi điểm cực trị điểm tới hạn Quy tắc: Tìm TXĐ D Tính y' giải phương trình y'=0 tìm điểm tới hạn Lập bảng biến thiên Định lý 2:  f '( x)  a   xo điểm cực tiểu f(x)  f ''( x)   f '( x)  b   xo điểm cực đại f(x)  f ''( x)  - Quy tắc: Tìm TXĐ D Tính y' giải pt y'=0 để tìm điểm tới hạn xi Tính y'' xi vào y'' từ áp dụng định lý II BÀI TẬP: Bài 1: tìm cực trị hàm số:   Page 3  Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.  Chun đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ                                                            www.VNMATH.com     a y  f ( x)  x 1 x2  x  b y  x (1  x) Bài 2: xác định m để y  x3  3mx  (m2  1) x  đạt cực đại x=2 Chú ý: dấu đạo hàm phụ thuộc vào dấu tam thức bậc ta lập luận : hàm số có cực trị y'=0 có hai nghiệm phân biệt x Bài 3: (A-2005) Cho hàm số y  mx  Tìm m để hàm số có cực trị tìm tọa độ điểm cực trị Bài 4: tìm m để y  f ( x)  x3  x  mx  có cực trị Bài 5: cho hàm số y  x3  mx  (m2  m  1) x  Với giá trị m hàm đạt cực tiểu x=1 Chú ý: f '( x0 )  x0 chưa cực trị Lúc x0 cực trị đạo hàm cấp phải đổi dấu f ''( x0 )  x  mx  Bài 6: tìm m để hàm số y  f ( x)  đạt cực đại x=2 xm  x  m  , lập bảng biến thiên: m=-3 Hd: f '( x)     x  m  Chú ý: làm việc với tam thức bậc có chứa m, nên lập  Nếu  bình phương biểu thức tam thức có nghiệm đẹp Hãy lấy nghiệm làm việc theo nghiệm x  mx  có cực trị x 1 Bài 8: (B-2002) tìm m để hàm số y  mx  9(m  9) x  10 có cực trị  m  3 Hd:  0  m  Bài 7: tìm m để y  f ( x)  Bài 9: tìm m để đồ thị hàm số y   x3  (2m  1) x  (m2  3m  2) x  có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục tung Hd: 10: y'=0 có nghiệm phân biệt: 12 10 14 12 -15 -10 -5 10 -2 -4 y'=0 vơ nghiệm: -15 -10 -5 10 15 2.y'=0 có nghiệm kép:   Page 9  Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.  10 15 Chun đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ                                                            www.VNMATH.com     12 10 -15 -10 -5 10 15 10 15 -2 -4 -15 -10 -5 10 15 -6 -2 -8 6.y'=0 vơ nghiệm: -4 Ví dụ 1: khảo sát vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  x3  3x  Ví dụ 2: khảo sát vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  x3  3x  3x  -15 -10 -5 -2 -4 -6 *a0 a