chuyên đề khảo sát hàm số

T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ – ĐẠO HÀM I MIỀN (TẬP) XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ: D = {x∈R | y = f(x)∈R} Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh y = A(x ) A (x ) ≥ y = tgx x≠ B(x ) ≠ y = cot gx x ≠ kπ A(x ) ≥ ⎡ arcsin x y=⎢ ⎣arccos x −1 ≤ x ≤ y = [A(x )] A (x ) > y= A (x ) B(x ) y = n A(x ) (n ∈ Z ) + ∀x ∈ D y = n +1 A(x ) II B( x ) (n ∈ Z ) + π + kπ f (D ) = (− ∞, a] ⎧ B(x ) > ⎨ ⎩0 < A(x ) ≠ ⎡a x y=⎢ x ⎣e ⎡log x y=⎢ ⎣ ln x ∀x(a > 0) ∀x > ⎡f (x ) ± g(x ) y=⎢ ⎣ f (x ) g(x ) D = D f ∩ Dg f(D): MGT f (D ) = [a, b] a ≤ f (x ) ≤ b f (D ) = [b,+∞ ) f (x ) ≥ b Tập xác đònh y = log A (x ) B(x ) MIỀN (TẬP) GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D} Sự tồn nghiệm phương trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D Hàm f(x) f(D): MGT Hàm f(x) f (x ) ≤ a a < f (x ) < b f (D ) = (a, b ) Đánh giá biểu thức BĐT: * [A(x )] + a ≥ a ∀a, ∀x làm A(x ) xác đònh (a * BĐT Côsi : a + b ≥ ab Bunhiacôp sky : ac + bd ≤ III Hàm số HÀM HP gof g o f hàm hợp hai hàm f : D f * Tf ∩ D f = φ ⇒ ∃g o f : Dg o f Tf g : D f )( + b c2 + d ) Z Z * ∀x ∈ D g o f : [g o f ](x ) = g[f (x )] fog ≠ g o f ⎡{x | x ∈ D f ∧ f (x ) ∈ Dg }; Tf ∩ D g * Dg o f = ⎢ ⎣ D f , {(Tf ≠ ) ∧ (Tf ⊂ Dg )} IV HÀM CHẴN – LẺ y=f(x) ĐỐI XỨNG QUA O: V GIỚI HẠN HÀM SỐ: f (− x ) = f (x ) ∀x ∈ D : f chẵn ⎤ ⇒ f (− x ) ≠ ± f (x ) : Hàm không chẵn không lẽ ∀x ∈ D f (- x ) = −f (x ) ∀x ∈ D : f lẽ ⎥⎦ Phương pháp 1: Khử dạng vô đònh 0 Cơ sở phương pháp làm xuất dạng biểu thức hàm thừa số (x - x0), để giản ước thừa số tử số mẫu số • • lim x→ x f (x ) g(x ) với ý: Nếu tử mẫu đa thức, sử dụng phép chia đa thức tử mẫu cho (x - x0) Riêng ta dùng thủ thuật chia Hormer Nếu tử mẫu có chứa thức, ta nhân cho tử mẫu lượng liên hợp thức llh A + B ←⎯ → A− B llh A ± B ←⎯ → A ± AB + B2 Nếu tử mẫu có chứa thức, ta nhân vào tử mẫu hai lượng liên hợp giao hoán tương ứng • Không loại trừ khả sử dụng nhanh đẳng thức: - http://boxtailieu.net T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ a3 ± b = ( a ± b ) ( a2 ± ab + b ) a2 − b = ( a − b )( a + b ) an − b n = ( a − b ) ( an −1 + an − b + an − b + + ab n − + b n −1 ) a4 − b = ( a2 + b ) ( a − b )( a + b ) • Để ý việc biến đổi sơ cấp làm dạng vô đònh trở thành dạng vô đònh khác Chẳng hạn: lim f (x )g(x ) (dạng × ∞ theo thứ tự đó) x →0 • • Phương pháp 2: Khử dạng vô đònh ∞ ∞ PP1: Đặt số mũ lớn đa thức thành phần tử mẫu làm nhân tử chung để khử vô đònh PP2: Dùng đònh lý giới hạn tương đương: 1/ x → ∞ ⇒ Pn (x ) ~ an x n ⎧⎪ x → +∞ ⇒ ax + bx + c ~ x a ; (a > 0) 2/ ⎨ ⎪⎩x → −∞ ⇒ ax + bx + c ~ −x a ; (a > 0) b + ε(x ); ⎛⎜ với a > lim ε(x ) = ⎞⎟ / ax + bx + c ~ a x + 2a x →∞ ⎝ ⎠ Phương pháp 3: Khử dạng vô đònh ∞ − ∞ Cơ sở phương pháp tìm giới hạn là: 1/ Sử dụng lượng liên hợp 2/ 3/ 4/ • Sử dụng biểu thức tiệm cận: ax + bx + c ~ a x + Sử dụng đẳng thức Không dùng hàm số tương đương cho dạng tổng Phương pháp 4: Giới hạn hàm lượng giác TH1: Khi x → (x tính radian) sin u ( x ) lim u ( x) u( x )→ lim = hay sinu ( x ) ~ u ( x ) − cos u ( x ) u( x )→ ⎡⎣ u ( x ) ⎤⎦ = llh → ( − sin u ) ( + sin u ) ←⎯ TH2: Khi * Đặt: * Khi: tgu ( x ) u ( x) u( x ) → = hay tgu ( x ) ~ u ( x ) 1 hay 1-cos u ( x ) ~ ⎡⎣ u ( x ) ⎤⎦ 2 Không loại trừ nhân lượng liên hợp lượng giác • lim b + ε(x ) đó: a > lim ε(x ) = 2a x →∞ llh → ( − cos u ) ( + cos u ) ←⎯ x → x hàm lượng giác có dạng vô đònh (x tính rian) ⎧ x = x0 + t t = x − x0 ⇔ ⎨ ⎩x → x ⇒ t → x → x ⇒ t ' = x − x, t ' → Ghi chú: không sử dụng hàm tương đương cho tổng số ⎧⎪f (x ) ≤ g(x ) ≤ h(x ), ∀x ∈ Vx | {x } ⇒ lim g(x ) = L ⎨ lim f (x ) = lim h (x ) = L x→x ⎪⎩ x→x x→x ⎧ lim f ( x ) = L ⇒ lim f ( x ) = L x → x0 ⎪ x→ x0 Hàm chứa giá trò tuyệt đối: ⎨ f ( x ) = ⇒ lim f ( x ) = ⎪ xlim x → x0 ⎩ → x0 ⎧⎪f (x ) ∈ R, ∀x ∈ D hay lim Δ y = Hàm liên tục: * ⎨ f (x ) = f (x ) Δx → ⎪⎩ xlim →x Hàm kẹp: - http://boxtailieu.net T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt * Liên tục x0: ⎡ lim+ f (x ) = f (x ) : liên tục phải x→x lim+ f (x ) = lim− f (x ) = f (x ) ⇒ ⎢ x→x x→x0 ⎢ lim− f (x ) = f (x ) : liên tục trái ⎣ x→x Công thức giới hạn: lim x→ sin x x lim a x→+∞ =1 lim =1 x→ x ( ) lim U x = x→ ( ) =1 U ( x) tgU ( x ) lim =1 x→ U ( x ) lim x→ sin U x − cos x = 2 x * Quy tắc Lopitan: VI ĐẠO HÀM: x lim log a x = +∞ ⎫ x →+∞ ⎪ = +∞ ⎫ ⎪ x + lim a = ⎪ x→−∞ ⎪ x lim e = +∞ ⎪ x→+∞ ⎪ + x lim e = ⎬ x→−∞ ⎪ x ⎪ e = +∞ ⎪ lim x→+∞ x ⎪ x lim x.e = ⎪ ⎭ x→−∞ + x lim a = ⎫ ⎪ x→+∞ ⎬ x lim a = +∞ ⎪ ⎭ x →−∞ tgx lim x→ LHQ lim log a x = −∞ ⎪ x → 0+ ⎪ ⎪ ⎪ lim ln x = −∞ ⎬ + x→ ⎪ ln x + ⎪ =0 lim ⎪ x →+∞ x − ⎪ lim x ln x = ⎪ ⎭ x → 0+ lim log a x = −∞ ⎫ ⎪ x →+∞ ⎬ lim log a x = +∞ ⎪⎭ − x→ lim ln x = +∞ x →+∞ a>1 0 f (x ); ∀x ≠ x * Đònh lý Fermat: (Điều kiện cần để hàm số f có cực trò) Nếu hàm f có đạo hàm V(x0) đạt cực trò x0 điều kiện cần f’(x0) = y f'(x0)=0 A f'(x0)>0 a x0 (h.9) (C):y=f(x) f'(x0)>0 B A f'(x0)=0 f'(x0)[...]... m ỨNG DỤNG C A I M C ĐỊNH H ĐƯỜNG CONG: Phụ trợ cho vi c t m nghi m c a phương trình b c cao ph n đư c đ n gi n h n: B i to n i m c đònh c a h đường cong (Cm) n m tr n Ox Dựng đường thẳng chứa tham s trong m t phẳng tọa độ: B i to n bi n lu n quay - bằng đồ thò s nghi m một phương trình T m tiếp tuy n c đònh c a h đường cong (Cm): B i to n tiếp tuy n c đònh c a (Cm) t i i m c đònh i m. .. i m c đònh c a c c đường cong trong H nh h c gi i tích: B i to n c c trò và quỹ tích Khi c vô s i m c đònh c a h đường cong (Cm) s p xếp, đ m đầy tr n m t đường cong (T) c đònh, ta c : B i to n bao h nh c a h đường cong X • BAO H NH C A H ĐƯỜNG CONG: Đònh nghóa: Bao h nh c a h đường cong (Cm); m ∈ Dm, là đường (Γ), m t i m i i m tr n (Γ) thì chính (Γ) l i tiếp x c v i ít nhất m t đường (C0 )... t m tương quan s c c n s giữa nghi m phụ và nghi m chính • Xét dấu nghi m s phương trình bằng đồ thò So s nh nghi m s v i s α bằng đồ thò i u ki n c a n s và gi i h n đồ thò • Ngư i ta c n c thể bi n lu n bằng c ch s dụng tiếp tuy n song song hay cho m t đường thẳng (Dm) quay quanh m t i m c đònh để xét s tương giao c a n v i đồ thò (C) • 3 Phương pháp 3: Bi n lu n bất phương trình f(x)... + c = 0 V i giả thi t • Đ o h m: • { y' = } A B 2 A C B C x −2 x+ a b a c b c (ax 2 + bx + c ) 2 Tùy theo tam th c b c hai ở tử th c y’ h m s c thể đ n i u (đồng bi n hay nghòch bi n) tr n từng khoảng c a mi n x c đònh C thể c m t c c trò (n u tam th c có nghi m kép) hay hai c c trò (n u tam th c có hai nghi m ph n biệt) Ti m c n: h m s lu n c ti m c n ngang: • y= A a S ti m c n đứng phụ thu c. .. tr c hoành (d): y = m v i (C) y = f(x) Tùy theo s giao i m c a (d) và (C) tương ứng v i giá trò m ở tr c tung ta lập đư c bảng bi n lu n (Nghi m đ c biệt, tính chất nghi m t m bằng phương pháp chiếu xuống tr c hoành) 2 Phương pháp 2: C c dạng bi n lu n bằng đồ thò trong trường h p ph c tạp kh c C n kết h p m t trong c c tính chất sau: ) Đặt n phụ t m bi n thi n c a n phụ ) Gi i h n đồ thò và t m. .. qua M( x0, y0) IV ĐƯỜNG CONG (Cm) TIẾP X C NHAU T I 1 I M C ĐỊNH: • T m i m c đònh M( x0,y0) c a đường cong (Cm) CM f’(x0) = h ng s m ⇒ tiếp tuy n c a (Cm) t i M c đònh • Chú ý: 1 T m M c đònh n u h A = B = 0 c nghi m kép x0 ⇒ (Cm) 2 CM đồ thò y = f(x ,m) tiếp x c v i 1 đường thẳng c đònh t i 1 i m c đònh V CHỨNG MINH (Cm) TIẾP X C V I 1, 2 ĐƯỜNG THẲNG C ĐỊNH: Cho (Cm): y = f(x ,m) và (d): y=... ra m t phương trình h quả c a (1) là: F(xM;yM); m ∈ Dm B3: Gi i h n khoảng chạy c a xM hay yM dựa v o Dm, l c đó ta đã gi i h n cho quỹ tích B4: Kết lu n quỹ tích là: C đường cong (Γ): F(x;y) = 0 (n u không c gi i h n c a c c khoảng chạy) • M t ph n đường cong (Γ): F(x;y) = 0 (n u đã bỏ i c c khoảng m xM hay yM không chạy tr n đó, do bư c gi i h n quỹ tích • m c ) Ghi chú: • C c dạng quỹ tích... thu c v o s nghi m c a: ax2 + bx + c = 0 • Đồ thò tùy theo s ti m c n đứng, s c c trò, đồ thò c a h m s s c c c dạng kh c nhau CHỦ ĐỀÀ 7: BI N LU N PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ - PHÉP SUY ĐỒ THỊ I BI N LU N S NGHI M C A PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH: 1 Phương pháp 1: Dạng c b n f(x) = m • Vẽ đồ thò (C) : y= f(x) (N u chưa c s n đồ thò) • Xét s tương giao c a đường thẳng lưu động song song v i. .. đư c quỹ tích c a chính c c i m đó ) Khử tham s m ) Gi i h n khoảng chạy c a tọa độ từ i u ki n t n t i m v i m i giá trò tham s ) Quỹ tích c a A, B hay I là (d ) : y = αx + β b ⎧ ⎪⎪x1 = − 3a I ⎪y = − α b + β ⎪⎩ 1 3a m ∈ D m 4 Đònh tham s để h m b c ba c t tr c hoành trong c c trường h p TH1: (C) tiếp x c Ox thì h sau c nghi m: TH2: (C) c t Ox t i 3 i m ph n biệt: TH3: (C) c t Ox t i 2 i m. .. Bm2 + Cm + D = 0 vô nghi m ⎧A = B = C = 0 ⇔⎨ ⎩D ≠ 0 Chú ý: • N u h (Cm) c i m u n c đònh là A(x0,y0) thì c c i m M(x0,y) v i y ≠ y0 là những i m mà h đường cong không qua 31 http://boxtailieu.net Trích từ http://www.toanthpt.net - T .s Nguy n Phú Khánh- Đà Lạt LHQ Trong c c ti m c n c thể c đư c của (C) : y = f(x) chỉ c ti m c n ngang là c giao i m v i (C) Do đó đ i v i h m h u tỷ • dạng )