- Chuaơn bò toẫt caùc tình huoâng coù vaân ñeă ñeơ coù theơ giuùp hóc sinh tö duy suy nghó, ñònh hình caùch laøm - Cung cấp học sinh một số dạng toán thường gặp về tính chia hết của số n[r]
(1)Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết số nguyên' MỘT SỐ DẠNG TOÁN ÁP DỤNG TÍNH CHIA HEÁT CUÛA SOÁ NGUYEÂN A ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong báo cáo nhiệm vụ năm học, Bộ giáo dục & Đào tạo rõ: " Chỉ đạo mạnh mẽ việc đổi phương pháp dạy học và phong trào tự học, tự đào tạo'' '' Coi trọng trọng giáo dục chính trị, tư tưởng nhân cách, khả tư sáng tạo và lực thực hành học sinh'' '' Quyết tâm thực không ngành giáo đục'' Chủ trương đod hoàn toàn phù hợp với yêu cầu cấp bách công công nghiệp hoá, đại hoá đất nước ta Căn vào nhiệm vụ, mục tiêu ngành giáo dục, vào thức trạng dạyhọc toán nay, hướng đổi phương pháp dạy học toán trường THCS là tích cực hoá hoạt động học tập học sinh, tập trung việc rèn luyện khả tư tích cực, độc lập, sáng tạo Trong chương đại số THCS, các bài toán tính chia hết số nguyên phong phú vầ đa dạng Vì nó vận dụng kiến thức vào giải toán và còn phaùt trieån tö cho hoïc sinh Khi gặp bài toán chứng minh chia hết, học sinh gặp khó khăn không nắm vững kiến thức và các dạng bài tập, cách làm các dạng bài tập đó Vậy làm nào để học sinh biết làm các bài toán chia hết và biết cách vận dụng nó để giải các dạng toán khác và ứng dụng nó thực tế? Và làm nào để học sinh cảm thấy có say mê, hào hứng giải các bài toán là học sinh ngại học toán? Đó là vấn đề tôi luôn quan tâm và luôn tìm phương pháp tối ưu, để đạt mục đích đó tôi lựa chọn chuyên đề "Một số dạng toán áp dụng tính chia hết cuûa soá nguyeân'' B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I) CƠ SỞ LÝ LUẬN Đổi phương pháp dạy học nhằm mục đichs cho học sinh phương pháp suy nghĩ, chiếm lĩnh các tri thức khoa học và phương pháp nghiên cứu kiến thức cách khoa học, nhằm vận dụng kiến thức khoa học cáhc tối ưu Muốn đạt diều kiện trên thì quá trình dạy học ta phải xác định: - Công việc thầy giữ vai trò chủ động, sáng tạo, tổ chức cho học sinh chiếm lĩnh kiến thức - Đối với học sinh phải chủ động, sáng tạo, phải suy nghĩ nhiều, trả lời nhiều câu hỏi, đượ thực hành nhiều tổ chức hướng dẫn giáo viên II) CƠ SỞ THỰC TIỄN Thực trạng dạy và học toán nay, mặc dù học sinh đã dược học đầy đủ các kiến thức bản, có phần mở rộng, nâng cao nhiều Song gặp bài toán, học sinh òcn lúng túng việc định hướng phương pháp giải, chưa biết vận dụng vận dụng chưa linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học Lop6.net (2) Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết số nguyên' Nhiều học sinh biết vận dụng bước giải, ohần quy tắc, công thức mà thầy đã hướng dẫn Vì không phát huy tính độc lập, sáng toạ cuûa hoïc sinh - Đối với thầy công việc chuẩn bị kiến thức, đặt vấn đề, đặt câu hỏi cho học sinh suy nghĩ nhiều? Được làm việc nhiều? Đối với học sinh đại trà hay là học sinh khá, giỏi lớp trả lời Vì người thầy phải chủ động tích cực hoá các hoạt động tất các đối tượng lớp - Trong thức tiễn vấn đề học không đôi với hành đã làm cho học sinh không có sở thực các thao tác tư để tiếp nhận, củng cố tri thức cũ, làm tảng lĩnh hội tri thức Do đó, học sinh ít làm việc dộc lập, lực các nhân không phát huy thoả đáng - Trong nhiều năm giảng dạy toán bậc THCS tôi thấy tính chia hết số nguyên, hs đã học lớp 6,lớp gặp bài toán chia hết học sinh còn lúng túng việc tìm cách làm,, vì các kiến thức liên quan để hỗ trợ còn hạn chế Lên lớp nhờ có đẳng thức đáng nhớ và phân tích đa thức thành nhân tử , học sinh có thể giải các bài toán nhanh và phức tạp lớp Dựa trên sở lý luận và sở thực tiễn trên tối thấy cần có số giải pháp đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp với thực tiễn này III CAÙC GIAÛI PHAÙP Để đáp ứng mục tiêu giáo dục và khắc phục tồn trên, để học sinh có thể làm các bài tập liên quan đến chia hết số nguyên, cách chủ động giáo viên cần phải: - Chuẩn bị tốt tiến trình bài soạn và tổ chức dạy học - Chuaơn bò toẫt caùc tình huoâng coù vaân ñeă ñeơ coù theơ giuùp hóc sinh tö suy nghó, ñònh hình caùch laøm - Cung cấp học sinh số dạng toán thường gặp tính chia hết số nguyên và số kiến thức nâng cao mà hs có thể ứng dụng - Qua các bài toán hs biết áp dụng kiến thức đã học vào làm bài tập cách linh hoạt,có sáng tạo - Thoâng qua noäi dung lyù thuyeát caàn löu yù vaø caùc baøi taäp coù tính heä thống,nâng cao phát triển cho hs tư toán: lôgic, sáng tạo, phát triển khả khái quát,tổng quát hoá Để tạo cho học sinh có phấn khích gặp các bài toán chia hết số nguyên, tôi xin trình bày số ví dụ các dạng toán để minh hoạ cho chuyên đề '' Một số dạng toán áp dụng tính hcia hết số nguyên'' IV NOÄI DUNG DẠNG 1.Chứng minh quan hệ chia hết Ví dụ1.Chứng minh Lop6.net (3) Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết số nguyên' A = n3(n2 -7)2 -36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n + Trước hết cho hs nhận xét các hạng tử biểu thức A + Từ đó phân tích A thành nhân tử Giaûi: Ta coù A =n[n2(n2 -7)2 -36]= n[(n3 -7n2)-36] = n(n3 -7n2 -6)( n3 -7n2 +6) Maø n3 -7n2 -6 = (n+1) (n+2) (n-3) n3 -7n2 +6 = (n-1)(n-2)(n+3) Do đó A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3) Ñaây laø tích cuûa soá nguyeân lieân tieáp.Trong soá nguyeân lieân tieáp _Toàn taïi moät ø boäi cuûa A -Toàn taïi moät boäi cuûa A -Toàn taïi hai boäi cuûa A -Tồn ba bội số 2,trong đó có bội số A 16 A chia heát cho caùc soá 5,7,9,16 ñoâi moät nguyeân toá cuøng neân A chia heát cho 5.7.9.16 =5040 + Qua ví duï ruùt caùch laøm nhö sau: Gọi A(n) là biểu thức phụ thuộc vào n (n N n Z) Chú ý 1: Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho số, ta thường phân tích A(n) thành thừa số, đó có thừa số là m.Nếu m là hợp số, ta phân tích nó thành môït tích các thừa số đôi nguyên tố cùng nhau, chứng minh A(n)chia hết cho tất các số đó Lưu ý: Trong k số nguyên liên tiếp, tồn bội số k Ví dụ 2.Chứng minh với moiï số nguyên a thì a) a2 -a chia heát cho b) a3 -a chia heát cho c) a5 -a chia heát cho d) a7 -a chia heát cho Giaûi: a) a2 - a =a(a-1), chia heát cho b)a3 -a = a( a2 - 1) = a(a-1)(a+1), tích naøy chia heát cho vì toàn taïi moät boäi cuûa + Ở phần a, b hs dễ dàng làm nhờ các bài toán đã quen thuộc + Để chứng minh a(a -1 ) chia hết cho 2, ta đã xét số dư a chia cho c) Caùch A = a5 -1= a(a2+1)(a2 -1) Xét các trường hợp a = 5k, a= 5k a=5k suy A chia heát cho Lop6.net (4) Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết số nguyên' Caùch A = a5 -1= a(a2+1)(a2 -1) = a(a2+1)(a2 -4+5) = a(a2+1)(a2 -4)+ 5a( a2 -1) = (a -2) (a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a2 -1) Số hạng thứ là tích năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5,số hạng thứ hai chia hết cho Do đó A = a5 -1 chia hết cho + Qua ví dụ để chứng minh chia hết ta đã làm sau: Chú ý 2: Khi chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể xét trường hợp soá dö chia n cho m Ví duï a)Chứng minh số chính phương chia hết cho có thể có số dư b) Chứng minh mọt số chính phương chia cho có thể có số dư c)Caùc soá sau coù laø soá chính phöông khoâng? M =19922 + 19932 +19942 N= 19922 + 19932 +19942 +19952 P = 1+ 9100+ 94100 +1994100 d)Trong daõy sau coù toàn taïi soá naøo laø soá chính phöông khoâng? 11, 111,1111,11111, Giaûi: Goïi A laø soá chính phöông A =n2 (n N) a)Xét các trường hợp: n= 3k (k N) A = 9k2 chia heát cho n= 3k (k N) A = 9k2 6k +1 chia cho dö số chính phương chia cho có thể có số dư b)Xét các trường hợp n =2k (k N) A= 4k2, chia heát cho n= 2k+1(k N) A = 4k2 +4k +1 =4k(k+1)+1, chia cho dö 1(chia cho cuõng dö 1) số chính phương chia cho có thể có số dư Chú ý: Từ bài toán trên ta thấy: -Soá chính phöông chaün chia heát cho -Soá chính phöông leû chia cho dö 1( chia cho cuõng dö 1) c) Caùc soá 19932,19942 laø soá chính phöông khoâng chia heát cho neân chia cho dö 1,coøn 19922 chia heát cho Vaäy M chia cho dö 2,khoâng laø soá chính phöông Caùc soá 19922,19942 laø soá chính phöông chaün neân chia heát cho 4 Lop6.net (5) Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết số nguyên' Caùc soá 19932,19952 laø soá chính phöông leû neân chia cho dö Vaäy soá N chia cho dö 2,khoâng laø soá chính phöông d) Mọi số dãy tận cùng là 11 nên chia cho dư 3.Mặt khác số chính phöông leû thì chia cho dö Vaäy khoâng coù soá naøo cuûa daõy laø soá chính phöông Chú ý 3:Khi chứng minh tính chất chia hết các luỹ thừa,ta còn sử dụng các đẳng thức bậc cao và công thức Niu-tơn sau đây: (1) an -bn =(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+ +abn-2+bn-1) (2) )an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2- -abn-2+bn-1) với số lẻ n Công thức Niu-tơn (a+b)n= an+c1an-1b+c2an-2b2+ +cn-1abn-1+bn Trong công thức trên, vế phải là đa thức có n+1 hạng tử ,bậc hạng tử tập hợp các biến là a,b là n.Các hệ số c1,c2, cn-1 xác định tam giaùc Pa -xcan: n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 1 1 1 3 1 1 10 10 c1 c2 c3 c4 Áp dụng các đẳng thức trên vào tính chia hết, ta có với số tự nhiên a,b và số tự nhiên n : an -bn chia heát cho a-b (a b) a2n+1 +b2n+1 chia heát cho a+b ( a -b) (a+b)n =Bs a+bn (Bs a laø boäi cuûa a) Đặc biệt chú ý đến: (a+1)n = Bs a +1 ( a -1)n = Bs a+ (a-1)2n+1= Bs a - Ví dụ 4.Chứng minh với số tự nhiên n, biểu thức 16n -1 chia hết cho 17 vaø chæ n laø soá chaün Giaûi: Caùch 1:Neáu n chaün (n=2k, k N) thì A= 162k -1 = (162)k -1 chia heát cho 162 -1 Theo đẳng thức (1) Lop6.net (6) Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết số nguyên' Maø 162 -1 =255 chia heát cho 17 Vaäy A chia heát cho 17 Neáu n leû thì A = 16n +1 -2, mà 16n+1 chia hết cho 17 theo đẳng thức (9),nên A không chia hết cho 17 vaäy A chia heát cho 17 n chaün Caùch 2: A=16n -1 =(17-1)n -1 = Bs 17 +(-1)n -1(theo công thức Niu-tơn) Neáu n chaün thì A =Bs 17 +1-1 =Bs 17 Neáu n leû thì A = Bs 17 -1 -1 = Bs 17 -2 Khoâng chia heát cho 17 Chú ý 4: Người ta còn dùng phương pháp phản chứng,nguyên lý Di ríchlet để chứng minh quan hệ chia hết Ví dụ Chứng minh tồn bội số 2003 có dạng 2004 2004 .2004 Giaûi: Xeùt 2004 soá : A1 =2004 A2 =2004 2004 A2004=2004 2004 2004 (Nhoùm 2004 coù maët 2004 laàn) Theo nguyeân lyù Dirich let, toàn taïi hai soá coù cuøng soá dö chia cho 2003 Gọi hai số đó là am và an (1 n m 2004) Thì am -an chia heát cho 2003.Ta coù am -an = 2004 2004 2004000 000 4n 2004 = 20042004 10 m nnhoùm 2004 Do ( 104m, 2004 2003) =1 neân 20042004 m nnhoùm 2004 Chia heát cho 2003 Bài tập tương tự: Bài Chứng minh n6 + n4 - 2n2 chia hết cho 72 với số nguyên n Giaûi: Ta coù n6 + n4 - 2n2 = n2 ( n4 +n2 - 2) =n2 (n4 -1 + n2 -1 ) = n2 [ (n2 -1)(n2 +1) +(n2 -1)] = n2 (n-1)(n+1)(n2 +2) +Xét các trường hợp n= 2k, n=2k+1 n6 + n4 - 2n2 +Xét các trường hợp n = 3a, n=3a n6 + n4 - 2n2 Lop6.net (7) Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết số nguyên' n6 + n4 - 2n2 72 với số nguyên n Bài Chứng minh 32n -9 chia hết cho 72 với số nguyên dương n Giaûi: Ta coù B =32n -9= 9n - 9,neân B Maët khaùc B = 32n - = (3n -1)(3n +1) -8 Do 3n -1,3n +1 laø hai soá chaün lieân tieáp neân B 8 Vaäy B 72 * Bài tập tự làm Chứng minh 1.n3+6n2+8n chia hết cho 48 với n chẵn 2.n4-10n2+9 chia hết cho 384 với sốn lẻ DAÏNG 2.Tìm soá dö Ví duï 6: Tìm soá dö chia 2100 a) cho 9; b) cho 25; c) cho 125 Giaûi: a) Luỹ thừa sát với bội so ácủa là 23 = = 9-1 Ta coù 2100 =2( 23)33 = 2(9-1)33=2(BS9-1) = BS -2= BS9+ Soá dö chia 2100 cho laø b) Luỹ thừa sát với bội số 25 là 210 = 1024 =BS 25 -1 Ta coù 2100= (210)10 =(BS 25 -1)10 =BS25 +1 Soá dö chia 2100 cho 25 laø c) Dùng công thức Niu-tơn: 2100 = (5 - 1)50 =550-50.5049+ + 50.49 -50.5+1 Không kể phần hệ số khai triển Niu-tơn thì 48 số hạng đầu đã chứa luỹ thừa với sô mũ lớn nên chia hết cho 125, số hạng cuối là Vaäy 2100 chia cho 125 dö Chú ý: Tổng quát hơn,ta chứng minh số tự nhiên n không chia heát cho thì n100 chia cho 125 coù soá dö laø Thaät vaäy, n coù daïng 5k 1,5k 2.Ta coù (5k 1)100=(5k)100 + 1002.99 (5k)2 100.5k+1 = BS 125 +1 (5k 2)100=(5k)100 + 100.99 (5k)2.298 100.5k 299+ 2100 Lop6.net (8) Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết số nguyên' = BS 125 +2100 Ta laïi coù 2100 chia cho 125 dö Do đó (5k 2)100 chia cho 125 dư Ví dụ 7: Tìm ba chữ số tận cùng 2100 viết hệ thập phân Giaûi: Theo ví duï treân ta coù 2100 = BS 125 +1,mà 2100 là số chẵn, nên ba chữ số tận cùng nó có thể là 126, 376, 626 876 Mà 2100 chia hết cho8 nên ba chữ số tậncùng nó phải chia hết cho 8.Trong số trên có 376 thoả mãn điều kiện này Vậy ba chữ số tận cùng 2100 là 376 Chú ý: Nếu n là số chẵn không chia hết cho thì chữ số tận cùng n100 là 376 Ví dụ 8: Tìm chữ số tận cùng 51994 viết hệ thập phân Giaûi: Cách Ta thấy số tận cùng 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì tận cùng 0625.Do đó 51994=54k+2 =25(54k)=25(0625)k = 25.( 0625) = .5625 Caùch Ta thaáy 54k -1 chia heât cho 54 -1 = (52 -1)(52 +1) neân chia heát cho 16 Ta coù: 51994 = 56( 5332 -1) +56 Do 56 chia heát cho 54, coøn 5332 -1 chia heát cho 16 neân 56( 5332 -1) chia heát cho 10000 Vaø 56 = 15625 Vậy chữ số tận cùng 51994 là Bài tập tương tự 1.CMR với số tự nhiên n thì 7n và 7n+4 có hai chữ số tận cùng + Cho hs đặt câu hỏi: Khi nào hai số có hai chữ số tận cùng giống nhau? - Khi hieäu cuûa chuùng chia heát cho 100 Giaûi: Xeùt hieäu cuûa 7n +4- 7n = 7n( 74 -1) = 7n 2400 Do đó 7n+1 và 7n có chữ số tận cùng giống 2.Tìm soá dö cuûa 2222+5555 cho + Xeùt soá dö cuûa 22 vaø 55 cho 7? Giaûi:Ta coù 2222 + 5555 =(Bs +1)22 +(Bs -1)55 = Bs +1+ Bs7 -1 = Bs 22 55 Vaäy22 + 55 chia heát cho DẠNG Tìm điều kiện để chia hết Lop6.net (9) Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết số nguyên' Ví dụ 9: Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B: A= n3 +2n2 -3n+2 , B= n2 -n Giaûi: Ñaët tính chia: n3 +2n2 -3n+2 n2 -n - n3 - n2 n +3 3n2 -3n +2 - 3n2 -3n Muoân chia heât, ta phại coù chia heẫt cho n(n-1),do ñoù chia heât cho n(vì n laø soâ nguyeân) Ta coù: n -1 -2 n-1 -2 -3 n(n1) 2 loại loại Vaäy n= -1; n = Ví duï 10 Tìm số nguyên dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1 Giaûi: Ta coù n5 +1 n3 +1 n2 (n3+1) - (n2 -1) (n+1)(n2 -n +1) (n+1)(n2 -n +1) (n-1)(n+1) n2 -n +1 (vì n+1 0) n -1 Nếu n =1 thì ta chia hết cho Nếu n>1 thì n -1< n(n-1) +1=n2 -n +1, đó không thể chia hết cho n2 - n +1 Vậy giá trị n tìm là Ví duï 11 Tìm số nguyên n để n5 +1 chia hết cho n3+1 Giaûi: Theo ví duï treân ta coù: n -1 n2 -n +1 n(n-1) n2 -n +1 n2 -n +1 n2 -n (n2 -n +1) -1 n2 -n +1 n2 -n +1 Lop6.net (10) Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết số nguyên' Có hai trường hợp n2 -n +1 =1 n( n -1) =0 n=0; n=1 Các giá trị này thoả mãn đề bài n2 -n +1= -1 n2 -n +2 =0 không tìm giá trị n Vaäy n= 0; n =1 laø hai soá phaûi tìm Ví duï 12 Tìm số tự nhiên n cho 2n -1 chia hết cho Giaûi: Neáu n = 3k (k N) thì 2n -1 = 23k -1 = 8k -1 Chia heát cho -Neáu n =3k +1(k N) thì 2n -1= 23k+1 - 1=2(23k -1) +1 = Bs +1 Neáu n = 3k +2 ( k N) thì 2n -1= 23k+2 -1 =4(23k - 1)+3 =Bs +3 Vaäy 2n -1 chia heát cho n = 3k(k N) *Baøi taäp aùp duïng Bài 1: Tìm điều kiện số tự nhiên a để a2+3a +2 chia hết cho Giaûi: Ta có a2 +3a + = (a+1)(a+2) là tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Do đó a2 +3a +2 a2 +2 a2 : dö a khoâng chia heát cho Ñieàu kieän phaûi tìm laø a khoâng chia heát cho Baøi 2: Tìm điều kiện số tựï nhiên a để a4 -1 chia hết cho 240 Baøi 3: Tìm số nguyên tố p để 4p +1 là số chính phương Bài Tìm điều kiện số tự nhiên a để a2 + 3a + chia hết cho Giaûi: Ta coù a2 + 3a + =( a+1)(a+2) Laø tích cuûa soá nguyeân lieân tieáp neân chia heát cho Do đó a2 + 3a + a2 + a2 chia cho dö a khoâng chia heát cho Ñieàu kieän phaûi tìm laø a khoâng chia heát cho Baøi Tìm ba soá nguyeân toá lieân tieáp a,b,c cho a2 + b2 + c2 cuõng laø soá nguyeân toá Giải: Xét hai trường hợp 10 Lop6.net (11) Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết số nguyên' + Trong soá a,b,c coù moät soá baèng Khi đó 22 + 32 + 52 =38 là hợp số (loại) Coøn 32 + 52 + 72 =83 laø soá nguyeân toá + Cả số a,b,c lớn Khi đó a2, b2, c2 chia cho dư nên a2 + b2 + c2 chia hết cho 3,là hợp số (loại) Vaâïy ba soá phaûi tìm laø 3,5,7 * Các bài tập tổng hợp các dạng toán trên Bài : Cho bốn số nguyên dương a,b,c,d thảo mãn a2 +b2 = c2 + d2 Chứng minh a+ b+c+ d là hợp số Giaûi: Xét biểu thức A= (a2 -a)+(b2 -b)+( c2 -c)+ (d2 -d) Dễ thấy A là số chẵn (vì biểu thức dấu ngoặc là tích hai số nguyeân lieân tieáp) neân (a2 + b2 + c2 +d2) -(a+b + c+ d) laø soá chaün maø a2 +b2 = c2 + d2 neân a2 +b2 + c2 + d2 laø soá chaün Vậy a + b+ c + d là số chẵn,tổng này lớn nên là hợp số Bài : Cho các số nguyên a,b,c chia hết cho Chứng minh Neáu a+ b+ c chia heát cho thì a3 + b3 + c3 Chia heát cho Giaûi: Ta coù A=a3 + b3 + c3 - (a +b + c) = (a3 -a) + (b3 -b) + (c3 -c) Do a3 -a , (b3 -b) , (c3 -c) chia hết cho Neân A Maët khaùc a+ b +c chia heát cho Do đó a3 + b3 + c3 chia hết cho Bài 3: Chứng minh tổng các lập phương ba sô nguyên liên tiếp thì chia heát cho + Hướng suy nghĩ: Tổng các lập phương ba số nguyên liên tiếp có daïng nhö theá naøo? - HS: a3 + ( a + 1)3 + ( a + 2)3 ( a -1)3 + a3 + ( a+ 1)3 + Trong hai tổng vừa lập hãy chọn tổng mà ta có thể biến đổi caùch nheï nhaøng hôn Bài 4: Chứng minh A chia hết cho B với A= 13 + 23 + 33 + + 99 + 1003 B= + + 3+ + 99 + 100 + Hướng suy nghĩ cho hs: Bài toán trên thuộc dạng nào? 11 Lop6.net (12) Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết số nguyên' + Trong hai tổng A và B ta tính tổng nào? ( B = 50 101) + Chứng tỏ A chia hết cho 5050? ( 13 + 993 50 101 Bài5 Cho bốn số nguyên dương thoả mãn điều kiện ab = cd Chứng minh a5 + b5 +c5 + d5 là hợp số Giaûi: Goïi ÖCLN (a,c) = k ( k nguyeân döông) Khi đó a = ka1 , c= k c1 và ( a1, c1) =1 Thay vào a.b = c.d k.a1 b = k c1.d neân a1.b = c1 d ta coù a1.b c1 maø ( a1 , c1)=1 nên b c1 Đặt b = c1.m (m nguyên dương), thay vào (1) a1.c1.m = c1.d neân a1 m = d Do đó A = a5 + b5 +c5 + d5 = k5 a15 + c15 m5 + c15 m5 +k5 c15 + a15 m5 = k5 ( a15 +c5) + m5 ( a5 + c5) = (a15 + c15)( k5 + m5) Do a1, c1 , k ,m là các số nguyên dương nên A là hợp số Bài : Chứng minh các số tự nhiên a,b,c thoả mãn điều kiện a2 + b2 = c2 thì abc chia heát cho 60 Giaûi: Theo baøi a2 + b2 = c2 (1) Ta coù 60 = -Nếu a ,b ,c không chia hết cho thì a2, b2 ,c2 chia cho dư Khi đó a2 + b2 = Bs + 2, còn c2 = Bs + trái với (1).Vậy ba só a,b,c có số chia heát cho -Nếu a,b,c không chia hết cho thì a2, b2, c2 chia cho dư Khi đó a2 +b2 chia cho dư 0,2,3 còn c2 chia cho dư 1,4 trái với (1).Vậy tồn ba soá a,b,c chia heát cho _Nếu a,b,c không chia hết cho thì a2, b2, c2 chia cho dư Khi đó a2 + b2 chia cho dư 0, , 5, còn c2 chia cho dư 1, trái với (1).Vậy tồn soá chia heát cho Kết luận: abc chia hết cho 3.4.5 tức là chia hết cho 60 Bài Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức là số nguyên tố: a) 12n2 -5n -25 n 3n b) Giaûi: a) Ta coù 12n2 -5n -25 = 12n2 + 15n - 20n - 25 = 3n( 4n +3) - 5( 4n +3) = (4n +3) (3n - 5) 12 Lop6.net (13) Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết số nguyên' Do 12n2 -5n -25 laø soá nguyeân toá neân 4n +5, 3n - laø caùc soá nguyeân döông Ta laïi coù 3n -5< 4n + ( vì n >1) Để 12n2 -5n -25 là số nguyên tố thì thừa số nhỏ phải Neân 3n -5 =1 n = Khi đó 12n2 -5n -25 = 13 =13 là số nguyên tố b) B = n 3n n(n 3) = Do A là số tự nhiên nên n(n+3) 4.Hai số n và n + 4 không thể cùng chẵn.Vậy n, n+3 chia hết cho Nếu n =0 thì B= 0, loại Neáu n =4 thì B =7, laø soá nguuyeân toá Nếu n = 4k (k N,k>1) thì B = k( 4k -3) là tích hai thừa số lớn nên B là hợp số Nếu n+ =4 thì B =1 loại Nếu n+3 = 4k (k N,k>1) thì B = k( 4k -3) là tích hai thứaố lớn nên A là hợp số Vậy n =4, đó B = Bài Chứng minh rằng: 270 + 370 chia hết cho 13 Giaûi: Ta coù 270 + 370 = (22)35 + (32)35 = 435 + 35 Do đó chia hết cho + =13 (Áp dụng an + bn a+b với n là số lẻ) Vaäy 270 + 370 chia heát cho 13 Bài 9.Tìm số nguyên tố p để 2p2 + là số nguyên tố + Với p là số nguyên tố thì p có dạng nào? ( Thường xét số dư số chia cho 3) + Xét p = 3k + 1; p = 3k + và p =3k trường hợp nào mà 2p2 = là số nguyeân toá thì => p Bài 10.Chứng minh:1719+ 1917 chia hết cho 18 + Xeùt soá dö cuûa 17 vaø 18 chia cho 18? C KEÁT LUAÄN Tôi viết kinh nghiệm này dựa trên sở , kinh nghiệm đã rút năm giảng dạy và học tập thâ Bằng học hỏi thông qua caùc taøi lieäu saùch giaùo khao, saùch tham khaûo vaø qua tieáp thu caùc yù kieán cuûa đồng nghiệp Đã giúp tôi hoàn thành chuyên đề và áp dụng vào giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp Sau viết thực chuyên đề tôi đã rút bài học kinh mghiệm cho baûn thaân: - Khi dạy học cần đặt vị trí mình voà vị trí học sinh Có thể có vấn đề mình thấy là dễ, quen thuộc, với học trò lại khó, lạ 13 Lop6.net (14) Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết số nguyên' - Phải luôn cố gắng tạo tình có vấn đề, làm xuất học sinh nhu cầu nghiên cứu kiến thức Chọn các bài tập hợp lý từ đơn giản đến khó, thu hút hoïc sinh tham gia - Các bài tập đưa ban đầu có thể theo dạng cụ thể, để học sinh làm quen dần với các dạng toán Sau đó, đưa các dạng bài có tính tổng hợp hơn, đồi hỏi học sinh biết vận dụng, suy nghĩ tìm tòi cách giải Từ đó phát triển đượctư duy, khaû naêng saùng taïo cuûa hoïc sinh - Nên quan tâm đến câu trả lời học sinh, khai thác phát dù là nhỏ học sinh để phát huy tính chủ động suy nghĩ, tích cực học sinh Trên đây là số ý kiến, quan điểm tôi xung quanh vấn đề nâng cao chất lượng dạy học môn toán Đồng thời phát huy tính tích cực, độc lập sáng tạo học sinh thông qua chuyên đề '' Một số dạng toán áp dụng tính chia hết số nguyên'' Khi viết chuyên đề này hẳn không tránh khỏi thiếu sót Vì tôi mong nhận góp ý, phê bình các đồng nghiệp để xây dựng cho kiến thức chuyên môn mình Cuoái cuøng toâi xin chaân thaønh caùm ôn! Ngaøy thaùng naêm 2009 Người viết Ñaëng Thò Dinh D Ý KIẾN, ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT CỦA NHAØ TRƯỜNG E Ý KIẾN , ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT CỦA BAN GIÁM KHẢO 14 Lop6.net (15) Chuyên đề: " Một số dạng toán áp dụng tính chia hết số nguyên' 15 Lop6.net (16)