một số bài toán mở rộng về tính chia hết của học sinh lớp 6,7,8

MỤC LỤC A – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI B NỘI DUNG ĐỀ TÀI I.CÁC BÀI TOÁN MỞ RỘNG LỚP 6, 7, .3 II.MỢT SỐ CÂU HỎI PHỤ TRONG BÀI TỐN RÚT GỌN BIỂU THỨC .14 DẠNG 1: Tính giá trị biểu thức 14 Dạng 2: Tìm x giải phương trình 21 Dạng 3: Tìm x giải bất phương trình 28 Dạng 4: Chứng minh, so sánh .35 Dạng 5: Tìm giá trị nguyên biến để biểu thức nhận giá trị nguyên 40 Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 45 C KẾT LUẬN .49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 A – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Để giúp học sinh có kiến thức giải dạng toán sau rút gọn biểu thức, ý đến số toán mở rộng lớp 6, 7, Đó kiến thức để sau học sinh vận dụng vào tập lớp cách dễ dàng Và dạng toán thường gặp tài liệu hướng dẫn Sở Giáo dục Hà Nội hướng dẫn học sinh ôn tập hang năm thi vào lớp 10 B NỢI DUNG ĐỀ TÀI I Các tốn mở rộng lớp 6, 7, Bài 1: Cho biểu thức P = Tìm giá trị nguyên n để P có giá trị nguyên (Đề thi HK II toán năm học 2006 – 2007, THCS Láng Thượng) • Phương hướng: - Biến đổi tử số dạng tổng cho có hạng tử giống mẫu số - Sử dụng tính chất chia hết tích, tính chất chia hết tổng để giải toán - Học sinh cần có kỹ Ư B số nguyên, kỹ cộng, trừ, nhân, chia số ngun • Lời giải: Có Vì với giá trị nguyên n (T/c chia hết tích)  Nên Khi Tức chia hết cho n+ Ư(21) Ta có bảng n+4 -21 n -25 Vậy -7 -11 -3 -1 -7 -5 P = Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số -3 -1 có giá trị nguyên 21 17 có giá trị nguyên (Đề thi HK II Toán năm học 2010 – 2011, THCS Láng Thượng) Giải: Phân số có giá trị nguyên 3n – Ư(12) Ta có bảng: 3n- -12 -6 -4 -3 -2 -1 12 3n n -11 -5 -3 -1 Vì n số tự nhiên -2 0 13 n = 0; n = thỏa mãn Vậy n = n = phân số Bài 3: Cho A = -1 có giá trị nguyên Tìm số nguyên n để A số tự nhiên (Đề thi Toán HK II năm học 2012 – 2013, THCS Ba Đình) • Phương hướng: - Biến đổi tử số dạng tổng cho có hạng tử giống mẫu số - Sử dụng tính chất chia hết tích, tính chất chia hết tổng để giải tốn - Học sinh cần có kỹ Ư B số nguyên, kỹ cộng, trừ, nhân, chia số nguyên • Lời giải: A= số tự nhiên Có 4n + = 4n – + = (2n – 1) + Vì với giá trị nguyên n  với giá trị nguyên n Nên Tức 2n -1 Ư(5) Ta có bảng: 2n - 2n n • Với n = - -5 -4 -2 A= -1 A có giá trị số tự nhiên • Với n = A khơng phải số tự nhiên • Với n = A= A có giá trị số tự nhiên • Với n = A= A có giá trị số tự nhiên Vậy n A = Bài 4: Cho phân số A = số tự nhiên Tìm số ngun n để A có giá trị số nguyên (Bồi dưỡng học sinh Giỏi Toán năm học 2009 – 2010 THCS Láng Thượng) Giải: A = có giá số nguyên Có 6n – = 6n + – = (3n +2) – Vì k với giá trị nguyên n k với giá trị nguyên n  Tức 3n + Ư(5) Ta có bảng: 3n+2 3n N -5 -7 Vì n số nguyên n = -1; n = thỏa mãn -1 -3 -1 Vậy n = -1 n = phân số A = Bài 5: Cho biểu thức P = -1 có giá trị số nguyên Tìm giá trị nguyên n để P có giá trị nguyên dương (Đề thi HK II Toán năm học 2006 – 2007 trường THCS Láng Thượng) Giải: P = có giá trị nguyên dương ( thương có giá trị số dương Ta có: P = = 3n – = 3n + 12 – 21 = 3(n+4) – 21 Vì với giá trị nguyên n  với giá trị nguyên n  Tức là: n +4 Ư(21) Ta có bảng: n+4 -21 N -25 -1 -7 -11 -3 -3 -7 -7 -1 -5 -21 -3 21 -1 • số nguyên dương • số nguyên dương • số nguyên dương • số nguyên dương • 3 21 17 khơng phải số ngun dương • khơng phải số ngun dương • khơng phải số ngun dương • số nguyên dương Vậy số nguyên dương P = Bài 6: Cho B = Tìm giá trị ngun x để B có giá trị nguyên (Đề thi HK II Toán năm học 2010 – 2011 trường THCS Láng Thượng) Giải: B = có giá trị nguyên Có: 2x – = 2(x+2) – Vì với giá trị nguyên x với giá trị nguyên x  Nên Tức x + Ta có bảng: x+2 X Vậy Ư(9) -9 -11 -3 -5 -1 -3 -1 B = có giá trị nguyên Bài 7: • Cho Q = Tìm số nguyên x để Q đạt GTLN (Đề thi HK II Toán năm học 2013 – 2014 trường THCS Nguyễn Du – quận Hoàn Kiếm – HN) Giải: Để phân số có GTLN ta cố định tử số mẫu số lấy GTNN lớn khơng Biến đổi Q = = Để Q có GTLN có GTLN có GTNN x< 12 x lớn 11 GTLN Q Vậy x = 11 Q = • Cho F = có GTLN Tìm số nguyên x để F đạt GTNN (Đề thi HK II Toán năm học 2013 – 2014 trường THCS Nguyễn Du – Hoàn Kiếm – HN) Giải:Ta biến đổi: F= F đạt GTNN nhận GTNN Khi x – 15 nhận GTLN nhỏ x – 15 < x < 15 x lớn 14 Khi GTNN F = -28 Vậy x = 14 F = có GTNN -28 Bài 8: • Với giá trị số tự nhiên n phân số có GTLN Tính GTLN (“140 tốn phân số” Nhà xuất Giáo dục – Nguyễn Danh Ninh – Vũ Dương Thụy) Giải:Ta biến đổi: Để phân số có GTLN phân số có GTLN 7(7n – 14) có GTNN dương 7n – 14 > 7n > 14 n > n bé Khi GTLN phân số có GTLN • Với giá trị số tự nhiên a phân số có GTLN Tìm GTLN (“140 toán phân số” Nhà xuất Giáo dục – Nguyễn Danh Vinh – Vũ Dương Thụy) Giải: Ta biến đổi: Để phân số có GTLN phân số có GTLN 8(8a – 18) có GTNN dương 8a – 18 > 8a >18 a> a bé Khi GTLN phân số Vậy a = phân số có GTLN Bài 9: Tìm tất số tự nhiên n (n 0) cho có giá trị số tự nhiên (“Toán nâng cao chuyên đề Số học” – Nhà xuất ĐHQGHN – 1999 – Nguyễn Ngọc Đạm – Nguyễn Việt Hải – Vũ Dương Thụy) Giải: Vì n N, n # nên 19n + > 7n + 11 Có 3(7n + 11) = 21n + 33 21n + 33 > 19n +7 số tự nhiên khi: 19n + = 2(7n + 11) 19n + = 14n + 22 5n = 15 n=3 Vậy n = số tự nhiên Bài 10: Tìm số tự nhiên n cho: n2 + chia hết cho n + (“Bài tập chuyên toán số học 6” – Đinh Gia Phong – Vũ Quốc Lương – Lê Thống Nhất – Nguyễn Hữu Thảo – Tôn Thân) Giải: Biến đổi n2 + = n(n+1) – (n+1) + Vì n + n + với số tự nhiên n n(n + 1) n + với số tự nhiên n [n(n + 1)-(n-1)] n + với số tự nhiên n Nên n2 + chia hết cho n + Khi n+1 Ta có bảng n+1 N Vậy n n+1 Ư(6) n2 + chia hết cho n + 1 Bài 11: Cho biểu thức: A = Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị số ngun (Đề cương ơn tập HK II Toán – 2013-2014 trường THCS Thăng Long – Ba Đình – Hà Nội) Phương hướng: 10   x y   với x ĐKXĐ � � x  xy  y  � x  y � y  � � với x ĐKXĐ   x x => y  0 xy  y với x ĐKXĐ => P-1 P => P Vậy 0 1  P  2 P với x ĐKXĐ Bài Cho biểu thức: 2a  a  P= a ĐKXĐ: a>0; a ≠1 Chứng minh rằng: với giá trị a thỏa mãn điều kiện ta có P> Lời giải: 41 2a  a  a Xét hiệu P – = 6 1  2 a    2a  a  2   a a = 1  2 a     2 Ta có:  với a ĐKXĐ a  với a ĐKXĐ 1  2 a    2  a => với a ĐKXĐ => P – > => P > Vậy P > với a  ĐKXĐ Bài Cho biểu thức: P x x  x 1 ĐKXĐ: x > 0; x≠1 Hãy so sánh P với Lời giải P Xét hiệu x 1  = x  x 1  x2 x  = 3( x  x  1) Ta có          x1  x  x 1 x   với x  ĐKXĐ  x  x   với x  ĐKXĐ => P Vậy 1 0 P 3 với x  ĐKXĐ => P với x  ĐKXĐ 42 Bài Cho biểu thức: P a1 ĐKXĐ: a  0; a≠1 Hãy xét dấu biểu thức P  a Lời giải:  a có nghĩa với ĐKXĐ điều kiện a 0a0 với x  ĐKXĐ  x - 1>0  x > A x2  x 1  x  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1 x>1 nên x   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: x 1 Dấu = đặt  x 1 2 x 1 x  x = Vậy GTNN biểu thức 2; dấu = đạt  x = Bài Cho biểu thức P x  16 x 3 ĐKXĐ: x 0; x  1; Với giá trị x thi P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ Lời giải P x  16  x 3   x  x   25 25 25  x  3  x 3  x 3 x 3 x 3 Vì x  ĐKXĐ -> x   với x ĐKXĐÁp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: x 3 25  25 x 3 51 x 3 25  10  x 3 x 3 25  4 x 3 Dấu = đạt  x 3  25 x   x = ĐKXĐ Với GTNN P 4, dấu = xảy  x = Bài Cho biểu thức P   ab ĐKXĐ a0;b 0,ab  1; Tìm giá trị nhỏ P a  b 4 Lời giải Từ a  b  => a 4  b Thay a 4  b vào biểu thức P, ta P   (4  b) b  b  b  b  b      b  Ta có:   b    với x ĐKXĐ Dấu = đạt  b  0  b 4  ĐKXĐ a 2  a 4  ĐKXĐ Vậy GTNN P -4; dấu = xảy  a=b= Dấu = đạt  a  b  � a  b  Vậy GTNN E 4, dấu = xảy  a=b=4 Bài Cho biểu thức E a b ĐKXĐ a0;b 0,b  1; Tìm giá trị nhỏ E biết a.b = 16 52 + Ta có  a b  �0 với a,b ĐKXĐ a  ab  b 0 a  ab  b 4 ab  a b  4 16 a  b 4 (vì a  b 0) C KẾT LUẬN Trên 15 tốn mở rộng tơi sưu tầm lớp 6, 7, dạng hay gặp rút gọn biểu thức ôn thi vào lớp 10 PTTH Nội dung đề tài thực khoảng năm để luyện thi cho sinh đại trà Khi thựuc việc ôn tập theo dạng trên, thấy học sinh ôn tập có hiệu quả, kể đối tượng học sinh trung bình, yếu Bởi thực lúc nhiều câu dạng bài, học sinh củng cố, khắc sâu thấy giống nhau, khác câu cùng dạng Khi tổ chức ôn tập cho học sinh theo đề tài đã: - Đưa cách làm cho dạng - Đưa hệ thống tập từ dễ đến khó - Nhắc lại kiến thức cũ liên quan cần sử dụng - Phát sai lầm học sinh - Rèn cho học sinh kĩ trình bày cẩn thận, xác Đề tài sử dụng cho học sinh ôn thi Hàng năm, tơi tiếp tục bổ sung, hồn thiện hệ thống tập để giúp học sinh ôn tập đạt kết tốt Kết cụ thể năm gần sau: - Năm 2013 – 2014 đạt 71% trung bình - Năm 2014 – 2015 đạt 79% tỉ lệ đáng khích lệ Năm thầy trò chúng thơi sức miệt mài ơn luyện để có thành tích cao kỳ thi tới! Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết không chép người khác 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Đức Hoàn – Nguyễn Sơn Hà 15 chủ đề thường gặp kỳ thi THCS tuyển sinh lớp 10 mơn Tốn – NXB ĐHSP Trần Thị Vân Anh Hướng dẫn giải dạng tập từ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn sở GD&ĐT – NXB ĐHQG Hà Nội Trần Diên Hiển (chủ biên) – Vương Kim Liên – Nguyễn Bích Liên – Đinh Quang Trung – Đinh Tuyết Trinh Bổ trợ nâng cao Toán – Tập – NXB Hà Nội Vũ Hữu Bình Nâng cao phát triển Toán – Tập – NXB Giáo dục Nguyễn Danh Ninh – Vũ Dương Thụy (140 toán phân số - NXB Giáo dục) Đinh Gia Phong – Vũ Quốc Lương – Lê Thống Nhất – Nguyễn Hữu Thảo – Tôn Thân (Bài tập chuyên Toán số học 6) Đề thi học kỳ II trường THCS: - Láng Thượng (2010 – 2011) - Ba Đình (2012 – 2013) - Nguyễn Du (2013 – 2014) - Thăng Long (2013 – 2014) - Lương Thế Vinh (2013 – 2014) 54 Xác nhận thủ trưởng Hà Nội, ngày8 tháng năm 2015 Người viết Nguyễn Thị Thu Hằng 55 ... hạng tử giống mẫu số - Sử dụng tính chất chia hết tích, tính chất chia hết tổng để giải toán - Học sinh cần có kỹ Ư B số nguyên, kỹ cộng, trừ, nhân, chia số nguyên • Lời giải: A= số tự nhiên Có... Biến đổi tử số dạng tổng cho có hạng tử giống mẫu số - Sử dụng tính chất chia hết tích, tính chất chia hết tổng để giải tốn - Học sinh cần có kỹ Ư B số nguyên, kỹ cộng, trừ, nhân, chia số ngun •... TÀI Để giúp học sinh có kiến thức giải dạng tốn sau rút gọn biểu thức, tơi ý đến số toán mở rộng lớp 6, 7, Đó kiến thức để sau học sinh vận dụng vào tập lớp cách dễ dàng Và dạng toán thường gặp