Chuyên đề 1 Tính chia hết trên tập hợp các số nguyên

Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của số đó và số viết bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương... Tìm số chính phương có[r]

Tự chọn Toán lớp CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP CÁC SỐ NGUYÊN I ĐẶT VẤN ĐỀ: Học sinh tìm hiểu số dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 4; 5; 8; 9; 11 Học sinh biết cách chứng minh số, tích , tông đại số có chia hết cho số hay không II CHUẨN BỊ : GV: Nội dung chuyên đề HS: Theo hướng dẫn gv III TIẾN TRÌNH A Một số kiến thức 1.Định nghĩa: Với số nguyên a,b (b≠0) có cặp số nguyên q;r cho: a = bq +r với ≤ r < b a gọi là số bị chia, b là số chia, q là thương số, r là số dư Số dư r là |b| số: 0; 1; 2; …; ( |b| - 1) - Nếu r = ,ta nói a chia hết cho b hay a là bội b, kí hiệu a  b Người ta nói b chia hết a hay b là ước a, kí hiệu b/a - Nếu r ≠ thì ta có phép chia còn dư Tính chất: a) Mọi số nguyên khác chia hết cho chính nó b) Nếu a  b và b  c thì a  c (a,b,c Z và b,c ≠ 0) c) Nếu a  b và b  a thì a=b a =- b (a,bZ và a,b ≠ 0) d) Số chia hết cho số nguyên b ( b ≠ 0) e) Nếu a  c và b  c thì a+b  c và a- b  c (a,b,c Z , c≠0) Lop7.net f) Nếu a  b thì ka  b ( a, b, k  Z, b≠0 ) g) Nếu a  b và a  c và (b,c) =1 thì a.b  c (a,b,c Z c≠ 0) h) Nếu ab  c mà (b,c) =1 thì a  c (a ,b ,c  Z ,c≠0) 3.Dấu hiệu chia hết các số tự nhiên a, Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho và chữ số tận cùng nó là số chẵn b, Dấu hiệu chia hết cho (cho9) Một số chia hết cho ( cho9 ) và tổng các chữ số nó chia hết cho (cho9) c, Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho và hai chữ số tận cùng nó lập thành số chia hết cho d, Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho và số đó tận cùng chữ số chữ số e, Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho và ba chữ số tận cùng nó lập thành số chia hết cho f, Dấu hiệu chia hết cho 11 Một số chia hết cho 11 và hiệu tổng các chữ số “đứng vị trí lẻ” và tổng các chữ số “đứng vị trí chẵn” (kể từ phải sang trái) số đó chia hết cho 11 Ngoài cần nắm vững các đẳng thức sau: 1).(a  b)  a  2ab  b 2).(a  b)  a  2ab  b 3).(a  b)(a  b)  a  b 4).(a  b)3  a  3a 2b  3ab  b 5).(a  b)3  a  3a 2b  3ab  b 6).a  b  (a  b)(a  ab  b ) 7).a  b  (a  b)(a  ab  b ) 8).a n  b n  (a  b)(a n1  a n2b   ab n2  b n1 ) Lop7.net với nZ và n>2 B Các ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh số chia hết cho 13 và tổng số chục và lần chữ số hàng đơn vị số đó chia hết cho 13 Giải Giả sử N đã cho gồm a chục, b đơn vị , tức N = 10a+b đó a,b là các chữ số và a≠0 Ta phải chứng minh số N chia hết cho 13 và số M = a+4b chia hết cho 13 Ta có: 10 M – N =10(a+4b) - (10a+b) =10a+40b-10a- b =39 b là số chia hết cho 13 Do đó : -Nếu M  13 thì 10M  13 mà 10M- N  13 nên N  13 -Nếu N  13 mà 10M- N  13 thì 10M  13 ( 10,13) =1 nên M  13 Vậy N  13 và M  13 ví dụ 2: Chứng minh rằng: a,Tích số nguyên liên tiếp thì chia hết cho b,Tích số nguyên liên tiếp thì chia hết cho c,Tích n số nguyên liên tiếp thì chia hết cho n Giải a, Gọi số nguyên liên tiếp là a và a+1 Ta thấy số a và a+1 có số chẵn ,do đó a(a+1) là số chẵn nên a(a+1) chia hết cho b, Gọi số nguyên liên tiếp là a, a+1, a+2 Ta phải chứng minh a(a+1)(a+2) chia hết cho Lop7.net Vì a là số nguyên nên a có thể viết dạng a=3k a=3k-1 đó a+1=3k-1+1=3k , a =3k+1 , đó a+2 = 3k+1+2= 3(k+1) với kZ Như số nguyên a, a+1, a+2 có số chia hết cho Do đó tích a(a+1)(a+2) chia hết cho c,Chứng minh phản chứng Gọi n số nguyên liên tiếp đó là: a , a+1, a+2,… , a+n-1 (1) Giả sử dãy (1) không có số nào chia hết cho n Như chia số (1) cho n thì số dư có thể là các số:1,2,3 ,n-1 Vì có n số mà có n-1 số dư nên theo nguyên tắc Đirichlê ít phải có số (1) chia cho n có cùng số dư Giả sử số a+i và a+k đó ≤ i ≤ k <n-1 chia cho n có cùng số dư, đó a+k –(a+i ) = k-i  n Điều này vô lý vì < k-i < n ,không thể chia hết cho n Vậy (1) luôn luôn tồn số chia hết cho n nên tích chúng chia hết cho n Chú ý: Câu a, câu b là trường hợp riêng câu c n=2,n=3 Vì vậyta có thể chứng minh câu c trước áp dụng kết này với n=2 để có a ,với n=3 để có b ví dụ Tìm số dư phép chia 3100 cho Giải Ta có : 33  27  1(mod 7) nên  (3 )  1(mod 7) , đó 3.399  (1).3(mod 7) ,hay 3100  3(mod 7) ,hay 3100  4(mod 7) 99 33 Vậy 3100 chia cho 7,dư Chứng minh điều kiện cần và đủ để số chia hết cho 17 là tổng lần số chục và hai lần chữ số hàng đơn vị số đó chia hết cho 17 Ví dụ 4: Lop7.net Giải Giả sử N gồm a chục ,b đơn vị : N=10a+b đó a,b là chữ số và a≠0 Ta phải chứng minh N  17 k hi và số M= 3a+2b  17 Ta có: M+17a = 3a+2b +17a = (10a+b) = 2N -Nếu N  17 thì 2N  17, đó M+17a  17, suy M  17 -Nếu M  17 thì M+ 17a  17 ,do đó 2N  17, suy N  17 ví dụ 5: Chứng minh với số nguyên n thì a, n  11n chia hết cho6; b, n3  19n chia hết cho giải n  11n  n  n  12n  (n  1)n(n  1)  12n a, Ta có (n-1)n(n+1) chia hết cho Hơn số nguyên liên tiếp n-1,n ,n+1 luôn luôn có số chia hết cho 2, đó (n-1)n(n+1)  Mặt khác 12n  Vì (n-1)n(n+1)+12n chia hết cho 6, hay n3  11n chia hết cho 3 b, n  19n  n  n  18n  ( n  1) n( n  1)  18n Lập luận tương tự câu a, ta có n  19n chia hết cho 3 C Một số bài tập Bài1 Với 19 số tự nhiên liên tiếp ,có hay không số có tổng các chữ số nó chia hết cho 10 ? Bài2 Cho N là số chẵn không chia hết cho 10 Hãy tìm: a,Hai chữ số tận cùng số N 20 b,Ba chữ số tận cùng số N 200 Lop7.net  chia hết cho 13 Bài Chứng minh số A= không chia hết cho 11 Bài 4, Chứng minh điều kiện cần và đủ để m  mn  n chia hết cho là m,n chia hết cho3 105 105 CHUYÊN ĐỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A –Một số kiến thức 1.Định nghĩa: Số chính phương là số bình phương số tự nhiên Ví dụ:  9;15  225 Các số 9; 225 là bình phương các số tự nhiên : 3; 15 gọi là số chính phương Một số tính chất: a) Số chính phương có thể tận cùng là : 0; 1; 4; 5; 6; không thể tận cùng 2; 3; 7; b) Một số chính phương có chữ số tận cùng là thì chữ số hàng chục là Thật ,giả sử 2 M  a5 = (10a  5)  100a  100a  25 Vì chữ số hàng chục 100a và 100a là số nên chữ số hàng chục số M là c) Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là thì chữ số hàng chục nó là số lẻ Thật vậy, giả sử số chính phương N=a2 có chữ số tận cùng là thì chữ số hàng đơn vị số a có thể là Lop7.net Giả sử hai chữ số tận cùng số a là b4 (nếu là b6 thì chứng minh tương tự ), Khi đó b42 = (10b+4)2 = 100b2 + 80b + 16 Vì chữ số hàng chục số 100b2 và 80b là số chẵn nên chữ số hàng chục N là số lẻ d) Khi phân tích thừa số nguyên tố ,số chính phương chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn ,không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Thật ,giả sử A = m2 =ax by.cz …trong đó a,b,c ,…là các số nguyên tố khác nhau,còn x,y,z…là các số nguyên tố dương thì , A = m2 = (ax by cz…)2 = a2x.b2y.c2z… Từ tính chất này suy -Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho -Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho -Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 25 -Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 16 B Các ví dụ: Ví dụ Chứng minh : a) Một số chính phương không thể viết dạng 4n+2 họăc 4n +3 (nN); Lop7.net b) Một số chính phương không thể viết dạng 3n+2(nN) Giải a) Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k (kN), đó (2k)2 = 4k2 là số chia hết cho còn số tự nhiên lẻ có dạng 2k+1 (kN) , Khi đó (2k+1)2 = 4k2+ 4k +1 là số chia cho dư Như số chính phương chia hết cho chia cho dư , đó không thể viết đựơc dạng 4n+2 4n+3(nN) b) Một số tự nhiên có thể viết dạng 3k 3k  (k N) đó bình phương nó có dạng(3k)2 =9k2 là số chia hết cho ,hoặc có dạng (3k  1)2= 9k2  6k +1 là số chia cho thì dư 1.Như số chính phương không thể viết dạng 3n+2(nN) Ví dụ 2: Cho số chính phương có chữ số hàng chục khác còn chữ số hàng đơn vị là Chứng minh tổng các chữ số hàng chục số chính phương đó là số chính phương Giải Cách Ta biết số chính phương có chữ số hàng đơn vị là thì chữ số hàng chục nó là số lẻ Vì chữ số hàng chục số chính phương đã cho là: 1, 3, 5, ,9 đó tổng chúng :1+3+5+7+9=25 =52 là số chính phương Cách Nếu số chính phương có M=a2 có chữ số hàng đơn vị là thì chữ số tận cùng số a là số chẵn, đó a  nên a2  Lop7.net Theo dấu hiệu chia hết cho thì chữ số tận cùng số Mchỉ có thể là 16,36,56,76,96.Từ đó ,ta có : 1+3+5+7+9=25=52là số chính phương Ví dụ3: Tìm số tự nhiên n có chữ số, biết số 2n+1 và 3n+1 đồng thời là số chính phương Trả lời n là số tự nhiên có chữ số nên 10 ≤ n < 100, đó 21 ≤ 2n+1 < 201 Mặt khác 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n+1 có thể nhận các giá trị :25; 49; 81; 121; 169 Từ đó n có thể nhận các giá trị 12, 24, 40, 60,84 Khi đó số 3n+1 có thể nhận các giá trị : 37; 73; 121; 181; 253 Trong các số trên có số 121=112 là số chính phương Vậy số tự nhiên có chữ số cần tìm là n=40 Ví dụ 4: Chứng minh p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là các số chính phương Giải Vì p là tích n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho và p không chia hết cho (1) a) Giả sử p+1 là số chính phương Đặt p+1 = m2 (mN) Vì p là số chẵn nên p+1 là số lẻ , đó m2 là số lẻ ,vì m là số lẻ Đặt m=2k+1 (kN) Ta có m2 = (2k+1)2 = 4k2+ 4k+ , suy p+1= 4k2+ 4k+ đó p=4k(k+1) là số chia hết cho 4, mâu thuẫn với (1) Vậy p+1 không là số chính phương b)Ta có p = 2.3.5…là số chia hết cho Do đó p-1 = 3k+2 không là số chính phương Vậy p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương Lop7.net C MỘT SỐ BÀI TẬP Bài Cho số tự nhiên A và B đó số A gồm có 2m chữ số 1, số B gồm m chữ số Chứng minh : A+B +1 là số chính phương Bài Tìm số tự nhiên có chữ số, biết hiệu các bình phương số đó và số viết hai chữ số số đó theo thứ tự ngược lại là số chính phương Bài3 Tìm số chính phương có chữ số , biết chữ số hàng trăm , hàng nghìn ,hàng chục, hàng đơn vị là số tự nhiên liên tiếp tăng dần Bài Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, người ta lập tất các số có chữ số , số gồm các chữ số khác Hỏi các số lập có số nào chia hết cho 11 không ? Có số nào là số chính phương không? Bài Người ta viết liên tiếp các số : 1, 2, 3,…, 1994 thành hàng ngang theo thứ tự tuỳ ý Hỏi số tạo thành theo cách viết trên có thể là số chính phương không? Lop7.net