Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất Cho hai số nguyên dơng a và b... Trong 5 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3, một số chia hết cho 5 nên tích của chúng chia hết cho 3.
Trang 1Soạn:
Giảng: Chuyên đề:
Phép chia hết và phép chia có d
trên tập số nguyên Z
I/ kiến thức cơ bản:
1/ Phép chia hết và phép chia còn d
Cho hai số nguyên a và b ( b>0) Chia a cho b ta có : a chia hết cho b hoặc a không chia hết cho b
*/ a chia hết cho b hay a là bội của b ; Ký hiệu a b
Ta cũng nói b chia hết a hay b là ớc của a ; Ký hiệu b a
a b.( hay b a ) khi và chỉ khi có số nguyên q sao cho a = bq
*/ a không chia hết cho b : khi chia a cho b ta đợc thơng gần đúng là q và số
d là r , ta có a= bq + r với 0 < r < b
Khi chia một số nguyên a cho một số nguyên b > 0 thì số d là một trong b
số từ 0 đến b – 1( Số d 1( Số d r lớn nhất chỉ bằng b-1)
VD: Chia một số cho 2 thì số d là một trong hai số 0 hoặc 1
Chia một số cho 3 thì số d là một trong ba số 0 ; 1 hoặc 2
Chia một số cho 5 thì số d là một trong năm số 0; 1;2;3 hoặc 4
Lu ý: Trong trờng hợp a không chia hết cho b ( số d r 0), thay vì lấy r > 0
( từ 1 đến b – 1( Số d 1) để tiện lợi trong c/m và giải toán nhiều khi ngời ta cũng lấy số d
là số âm r’ với r’ = r – 1( Số d b ( do đó r' < b)
VD1: Chia 23 cho 3 đợc d là 2.Ta viết
23 = 3.7 + 2 => ta gọi 7 là thơng gần đúng thiếu, vì 3.7 = 21 < 23 và d là2 Hoặc 23 = 3.8 – 1( Số d 1=>ta gọi 8 là thơng gần đúng thừa, vì 3.8 = 24 > 23 và d là -1 VD2 : Chia 52 cho 6, nếu lấy thơng gần đúng thiếu là 8 ta có d là 4
52= 6.8 + 4 Nếu lấy thơng gần đúng thừa là 9, ta có d là 4-6 = -2
52 = 6.9 + (-2) VD3: Chia -36 cho 5 ta đợc -36 = 5 (-8) + 4
Hoặc - 36 = 5.(-7) + (- 1)
Nh vậy nếu coi số d có thể là số âm nh trên ta có:
+/ Khi chia một số cho 2 thì số d là 0 hoặc 1, do đó mọi số nguyên đều có dạng 2k ( số chẵn) hoặc 2k+1 ( số lẻ) trong đó k Z Nếu số d trong phép chia cho
2 là 1 thì cũng có thể coi số d là 1-2 = -1, do đó có thể nói mọi số nguyên đều có dạng 2k hoặc 2k 1
+/ Khi chia một số cho 3 thì số d là 0 ; 1hoặc 2 do đó mọi số nguyên đều có dạng 3k; 3k+1; 3k+2 Với số d là 2 thì cũng có thể coi số d là 2-3 = -1 vì vậy
có thể nói mọi số nguyên đều có dạng 3k hoặc 3k 1
Tơng tự nh vậy nếu xét phép chia cho 4, cho 5
2 Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
Cho hai số nguyên dơng a và b
* Ước chung lớn nhất của a và b đợc ký hiệu là ƯCLN(a;b) hay (a,b)
Một số d là ớc chung của a và b <=> d là ớc của ƯCLN( a.b)
d a và d b d (a,b)
* Bội chung nhỏ nhất của a và b đợc ký hiệu là BCNN( a,b) hay là a, b
Một số m là bội chung của a và b <=> m là bội của BCNN (a,b)
m a và m b ma, b
Hai số a và b đợc gọi là hai số nguyên tố cùng nhau (a,b) =1
Cách tìm ƯCLN(a,b) và BCNN( a,b)
+Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
+Chọn ra các thừa số nguyên tố
Trang 2+ Lập tích các thừa số nguyên tố chung
mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của
nó
Lập tích các thừa số nguyên tố chung và riêng mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó
Ta có a, b =
) , (a b ab
Từ đó a, b = a.b nếu ( a,b) =1
3 Thuật toán Euclide
Trớc hết ta xét các định lý sau:
Cho hai số nguyên dơng a,b và giả sử a > b
*/ Định lý 1: Nếu a là bội của b thì ƯCLN của a và b là b
a b => (a,b) = b
*/ Định lý 2: Nếu a không phải là bội của b thì ƯCLN(a,b) bằng ƯCLN của b
và số d trong phép chia a cho b
a = bq + r ; 0 < r < b => (a,b) = ( b,r)
ý nghĩa của định lý này là ở chỗ ta có thể thay thế việc tìm ƯCLN của hai số đã cho bằng việc tìm ƯCLN của hai số nhỏ hơn
*/ Thuật toán Euclide:
Dựa vào hai định lý trên để tìm ƯCLN(a,b) với a > b ta đem a chia cho b
+ Nếu a b => (a,b) = b + Nếu a không chia hết cho b Ta có:
a = bq + r với 0 < r < b => (a,b) = ( b, r )
Ta lại chia b cho r, nếu phép chia có d ta có
b = rq1 + r1 ; 0 < r1 < r => ( b,r ) = ( r, r1)
Ta lại chia r cho r1, nếu phép chia có d ta có
r = r1 q2 + r2 ; 0 < r2 < r1 => ( r, r1) = ( r1, r2 ) Nếu phép chia còn d ta cứ tiếp tục làm nh vậy Vì dãy các số b,r,r1, r2, là dãy giảm dần nên đén một lúc nào đó phép chia là hết ( rn+1 = 0), khi đó ta có
( a,b ) = ( b, r ) = ( r, r1) = ( r1, r2 ) = = ( rn-1, rn ) = rn
VD
Tìm ƯCLN ( 528, 204) bằng thuật toán Euclide ta có:
528 = 204 2 + 120
204 = 120 1 + 84
120 = 84 1 + 36
84 = 36 2 + 12
36 = 12 3 + 0 ;
Số d cuói cùng khác 0 là 12, vậy ( 528, 204) = 12
Trong thực hành ta đặt phép tính nh sau:
528 204
204 120 2
120 84 1
84 36 1
36 12 2
0 3
- Nếu thực hiện thuật toán Euclide để tìm ƯCLN của hai số mà đến lúc nào đó ta
có số d là 1 thì hai số đã cho là nguyên tố cùng nhau
VD: Tìm ( 87, 25) Ta có 87 = 25 3 + 12 => ( 87, 25) = ( 25, 12)
25 = 12 2 + 1 => ( 25, 12) = ( 12, 1) Vậy ( 87, 25) = 1
Ap dụng: Chứng tỏ rằng phân số
3 14
4 21
n
n
với nN là PS tối giản Trớc hết ta có NX:
Phân số
3 14
4 21
n n
với nN là PS tối giản <=> ( 21n+4, 14n+3) =1
Trang 3áp dụng thuật toán Euclide dể tìm ƯCLN của hai số 21n + 4 và 14n + 3 , ta có:
21n + 4 = (14n + 3) 1 + 7n + 1 => ( 21n +4, 14n +3) = ( 14n +3, 7n +1) 14n + 3 = ( 7n +1) 2 + 1 => ( 14n +3, 7n +1) = ( 7n +1, 1)
Mà ( 7n +1, 1) = 1 nên ( 21n+4, 14n+3) =1
Hay PS
3 14
4 21
n
n
( nN) là PS tối giản
Khi giải các bài toán về chia hết ta thờng sử dụng một số định lý sau:
a, Định lý 1 */ ( ca, cb) = c (a,b)
c
b c
a;
=
c
b
(
với c là ớc chung của a và b
b, Định lý 2: */ a.c b và ( a,b) = 1 => c b
c, Định lý 3 : */ c a và c b mà (a,b) =1 Thì c a.b
4.Các bài toán về chia hêt và ph ơng h ớng tìm lời giải
a/ Để c/m biểu thức A(n) chia hết cho một số nguyên tố p, có thể xét mọi trờng
hợp về số d khi chia n cho p ( 0,
2
1 ,
2 ,
VD1: C/m rằng A(n) = n ( n 2 + 1) ( n 2 + 4) 5 với mọi số nguyên n
Giải Xét mọi trờng hợp:
+/ n chia hết cho 5, thì hiển nhiên A(n) 5
+/ n không chia hết cho 5 thì n có dạng n = 5k 1; hoặc n = 5k 2
Nếu n = 5k 1 => n2 = 25 k2 10k + 1 => n2 + 4 5
Nếu n = 5k 2 => n2 = 25 k2 20k + 4 => n2 + 1 5
Nh vậy A(n) là tích của ba thừa số, trong mọi trờng hợp đều có một thừa số chia hết cho 5 => A(n) 5 n
b/ Để c/m biểu thức A(n) chia hết cho một hợp số m ta thờng phân tích m ra
thừa số Giả sử m = p.q
* Nếu p và q là số nguyên tố hay p và q nguyên tố cùng nhau thì ta tìm cách
c/m A(n) p và A(n) q, từ đó suy ra A(n) p.q = m
VD: CMR tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
Giải: Gọi ba số nguyên liên tiếp là n, n+1 và n+2 Tích của chúng là
A(n) = n (n+1) (n+2)
Ta có 6 = 2.3 ( 2 và 3 là số nguyên tố), nh vậy ta cần c/m A(n) 2 và A(n) 3 +/ Trong hai số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có một số chẵn, do đó A(n) 2 +/ Trong ba số nguyên liên tiếp n, n+1 và n+2 bao giờ cũng có một số chia hết cho 3, vì số d khi chia n cho 3 chỉ có thể là 0 ( n chia hết cho 3) hoặc là 1 ( khi đó n+2 chia hết cho 3) hoặc là 2 ( khi đó n+1 chia hết cho 3) => A(n) 3
A(n) 2 và A(n) 3 => A(n) 6
* Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau thì ta phân tích A(n) ra thừa số,
chẳng hạn A(n) = B(n) C(n) và c/m cho B(n) p và C(n) q ( từ đó suy ra A(n) = B(n) C(n) p.q = m)
VD: CMR tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Giải: Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n và 2n +2, tích của chúng là
A(n) = 2n (2n+2)
Ta có 8 = 4 2
ta viết A(n) thành tích của hai thừa số một thừa số 4, một thừa số 2
A(n) = 2n ( 2n+2) = 2n 2.( n+1) = 4.n.( n+1)
Dễ thấy 44 ; n.(n+1) 2 ( tích của hai số nguyên liên tiếp)
Vậy A(n) = 4.n.(n+1) 4.2 = 8 #
c/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể biến đổi A(n) thành tổng của
nhiều số hạng và c/m mỗi số hạng chia hết cho m
VD: CMR lập phơng của một số nguyên n bất kỳ ( n >1) trừ đi 13 lần
số nguyên đó thì luôn chia hết cho 6
Trang 4Giải:
Theo bài ra ta cần c/m A(n) = n3 – 1( Số d 13n 6
Ta biến dổi A(n) nh sau:
A(n) = n3 – 1( Số d 13n = n3 - n – 1( Số d 12n mà 12n 6 => A(n) 6 <=> n3 – 1( Số d n 6
Ta có n3 – 1( Số d n = n.( n2 -1) = n.( n-1).( n+1)6 ( vì là tích của ba số nguyên liên tiếp)
A(n) là hiệu của hai số hạng n3 - n và 12n, mỗi số hạng đều chia hết cho 6 nên A(n) 6 #
d/ Để c/m một tổng không chia hết cho m, có thể c/m một số hạng nào đó không
chia hết cho m còn tất cả các số hạng khác đều chia hết cho m
VD : CMR với mọi n lẻ thì n 2 + 4n + 5 không chia hết cho 8
Giải Vì n lẻ, ta đặt n = 2k +1 Ta có :
n2 + 4n + 5 = (2k +1)2 + 4.( 2k +1) + 5
= ( 4k2 + 4k + 1) + ( 8k + 4) + 5 = (4k2 + 4k ) +( 8k + 8) + 2
= 4k ( k +1) + 8.(k +1) + 2
Dễ thấy 4k.(k+1)8 ; 8.( k+1) 8 và 2 không chia hết cho 8
Vậy n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8 #
e/ Nếu số d khi chia a cho b ( b>0) là r ( 0 < r < b) thì số d khi chia a n ( n>1) cho
b là số d khi chia r n cho b ( Số d này bằng r n nếu r n < b)
VD: CMR nếu n không chia hết cho 7 thì n 3 +1 hoặc n 3 - 1 chia hết cho 7 Giải: Vì n không chia hết cho 7 nên n có dạng
n = 7k 1; n = 7k 2 hoặc n= 7k 3 +/ Với n = 7k 1 => n3 = 7p 1
+/ n = 7k 2 => n3 = 7q 8 = 7 ( q 1) 1
+/ n= 7k 3 => n3 = 7r 27 = 7( r 4) 1
Trong mọi trờng hợp n3 +1 hoặc n3 - 1 là bội của 7 #
Ngoài ra để c/m chia hết hay không chia hết ta còn sử dụng các hằng đẳng thức, các hằng đẳng thức mở rộng , p 2 quy nạp, đồng d v.v
II/ Bài tập
A/ CÁC DẠNG TOÁN CHỨNG MINH CHIA HẾT
Dạng 1: Sử dụng tớnh chất
“ Trong n số nguyờn liờn tiếp cú một và chỉ một số chia hết cho n, n 1”
Bài 1 : CMR
a/ Tớch ba số nguyờn liờn tiếp chia hết cho 6
b/ Tớch bốn số nguyờn liờn tiếp chia hết cho 24
c/ Tớch năm số nguyờn liờn tiếp chia hết cho 120
d/ Tớch ba số chẵn liờn tiếp chia hết cho 48
e/ Tớch sỏu số nguyờn liờn tiếp chia hết cho 720
Gi
ải
a/ Ta cú 6 = 2.3 và ( 2,3) =1
Trong ba số nguyờn liờn tiếp cú một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 nờn tớch của chỳng chia hết cho 6 #
b/ Ta cú 24 = 2 3 3 =8.3 và (3,8) =1
Trong bốn số nguyờn liờn tiếp cú ớt nhất một số chia hết cho 3, cú hai số chẵn liờn tiếp tớch của chỳng chia hết cho 8 (VD)
=>Tích bốn só nguyên liên tiếp chia hết cho 24 c/ Ta có 120 = 3.5.8
Trang 5Trong 5 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3, một số chia hết cho 5 nên tích của chúng chia hết cho 3.5 Ta c/m trong 5 số nguyên liên tiếp có hai số chẵn liên tiếp nên tích chia hết cho 8 Thật vậy , giả sử 5 số đó là a, a+1, a+2, a+3, a+4
- Nếu a chẵn thì a và a+2 là hai số chẵn liên tiếp
- Nếu a lẻ thì a+1 và a+3 hai số chẵn liên tiếp
Do đó tớch năm số nguyờn liờn tiếp chia hết cho 3.5.8 = 120
d/ Gọi ba số chẵn liên tiếp là 2n, 2n+2, 2n+ 4
Tích của ba só đó là A(n) = 2n (2n+2) ( 2n + 4)
= 2n 2 ( n+1) 2.( n+2) = 8.n.( n +1).( n+2) n.( n +1).( n+2) là tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 => A(n) 8.6 = 48
#
e/ Tơng tự ta có 720 = 24 5 32 = 5.9.16 = 3.5.48
Trong 6 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3, một số chia hết cho 5
Trong 6 số nguyên liên tiếp chắc chắn có ba số chẵn liên tiếp ( C/m nh phần c) nên tích chia hết cho 48 ( d )
Vậy tớch sỏu số nguyờn liờn tiếp chia hết cho 3.5.48 = 720 #
Bài 2: CMR với mọi m,n Z ta có:
a, n3 + 11n 6 d, n2 ( n2 -1) 12
b, mn.( m2 - n2) 3 e, n2 ( n4 -1) 60
c, n.( n+1).(2n + 1) 6 g, mn ( m4 – 1( Số d n4 ) 30
Giải:
a, Ta có n3 + 11n = n3 – 1( Số d n + 12n = n ( n2 -1) + 12n = ( n- 1).n ( n+1) + 12n
Dễ thấy 12n 6
( n- 1).n ( n+1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6
vậy n3 + 11n 6 #
b, Ta có mn.( m2 – 1( Số d n2) = mn (m2 1 ) (n2 1 ) =mn ( m2 - 1) – 1( Số d mn ( n2 -1)
= n.( m-1).m.( m+1) – 1( Số d m ( n-1) n ( n+1)
(Tích ba số nguyên lt 3) (Tích ba số nguyên lt 3)
Vậy mn.( m2 - n2) 3 #
c, Ta có n.( n+1).(2n + 1) = n.(n+1).( n - 1+ n + 2 )
= n.( n + 1 ) ( n – 1( Số d 1 ) + n ( n + 1 ).( n + 2 )
(Tích ba số nguyên lt 6) (Tích ba số nguyên lt 6)
Vậy n.( n+1).(2n + 1) 6 #
d, Ta có n2 ( n2 -1) = n2 ( n – 1( Số d 1).( n +1) = ( n-1).n (n+1) n
Mà ( n-1).n (n+1) 3
n2 ( n2 -1 ) 4 và ( 3,4) =1 => n2 ( n2 -1) 12 #
e, Ta có n2 ( n4 -1) = n2 ( n2 – 1( Số d 1).( n2 +1) = ( n -1).n.(n+1).n ( n2 + 1)
= ( n -1).n.(n+1).n.( n2 - 4 +5)
= ( n -1).n.(n+1).n.( n2 – 1( Số d 4) +( n -1).n.(n+1).n.5
=( n-2).( n -1).n.(n+1).( n+2).n + 5( n -1).n.(n+1).n
(Tích ba số nguyên lt 3) (Tích ba số nguyên lt 3) (Tích bốn số nguyên lt 4) (Tích có n 2 ( n 2 -1 4) (Tích năm số nguyên lt 5) (Tích có chứa thừa số 5 5)
Vậy n2 ( n4 -1) 60 #
g, Ta có mn ( m4 – 1( Số d n4 ) = mn ( m4 – 1( Số d 1- n4 +1)
=mn (m4 1 ) (n4 1 ) = mn.(m4-1)- mn.(n4 -1)
Trang 6= (m-1).m.(m+1).(m2 +1).n – 1( Số d (n-1).n.(n+1).( n2+1).m = (m-1).m.(m+1).n.( m2- 4 +5) - (n-1).n.(n+1).m( n2-4+5)
= (m-2).(m-1).m.(m+1).( m+2) n +5.(m-1).m.(m+1).n – 1( Số d(n-2).(n-1).n.(n+1)
(n+2)m
+5.(n-1).n.(n+1).m
Ta có (m-2).(m-1).m.(m+1).( m+2) n 2; 3 ; 5
5.(m-1).m.(m+1).n 2; 3 ; 5
=> (m-2).(m-1).m.(m+1).( m+2) n +5.(m-1).m.(m+1).n 30 (*)
Tơng tự (n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2)m 2; 3 ; 5
5.(n-1).n.(n+1).m 2; 3 ; 5
=> (n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2) m +5.(n-1).n.(n+1).m 30 (**)
Từ (*) và(**) => mn ( m4 – 1( Số d n4 ) 30
Bài 3: a, Cho a,b là hai số lẻ không chia hết cho 3 CMR a2 – 1( Số d b2 24
b, CMR n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau
Giải
a, Ta có a2 – 1( Số d b2 = a2 - 1 – 1( Số d b2 + 1 = ( a2 – 1( Số d 1) – 1( Số d ( b2 – 1( Số d 1)
= ( a-1).( a +1) – 1( Số d ( b -1).( b + 1) Vì a, b là các số lẻ => (a-1)(a+1) và ( b -1).( b + 1) là tích của hai số chẵn liên tiếp
=> (a-1).(a+1) 8
( b -1).( b + 1) 8 (1)
Mặt khác (a-1); a; (a+1) là ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3, mà
a không chia hết cho 3 nên (a-1) hoặc (a+1) chia hết cho 3=> (a-1).(a+1) 3 Chứng minh tơng tự với ( b -1); b;( b + 1) ta cũng có ( b -1).( b + 1) 3 (2) Vì ( 3,8) =1 nên từ (1) và(2) suy ra a2 – 1( Số d b2 24 #
b, Để CM n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau ta CM hiệu n5 – 1( Số d n 10
Ta có n5 – 1( Số d n = n.( n4 -1) = n.( n2 -1).(n2 +1) = n.( n2 -1).(n2 4 ) 5
= n.( n2 -1)( n2 -4) + 5n.( n2 -1) =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5(n-1)n(n+1) (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là tích của 5 số nguyên lt nên chia hết cho2.5=10 và 5(n-1)n(n+1) chia hết cho 10
Vậy n5 – 1( Số d n 10 Hay n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau #
Bài 4 a/ CMR A=
15
7 3 5
3
5 n n n
là số nguyên với mọi n Z b/ CM với n chẵn thì B =
24 8 12
3
2 n n n
là số nguyên c/ CMR C =
5 12
5 24
7 12 120
2 3 4
5 n n n n n
d/ CMR D =
35
32 63
82 30
13 21 630
3 5
7
9 n n n n n
Giải
a/ Ta có
15
7n
=
15
5 3
15n n n
= n -
3 5
n n
Do đó
15
7 3 5
3
5 n n
n
= n nn nn
3 5
3 5
Ta có n5 – 1( Số d n = n.( n4 -1) = n.( n2 -1).(n2 +1) = n.( n2 -1).(n2 4 ) 5
= n.( n2 -1)( n2 -4) + 5n.( n2 -1) =(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) + 5 (n-1) n (n+1)
(Tích năm số nguyên lt 5) (Tích có chứa thừa số 5 5)
=> n5 – 1( Số d n 5 (1)
Lại có n3 – 1( Số dn = n.( n2 -1) = (n-1) n.(n +1) là tích ba số nguyên liên tiếp 3
Trang 7=> n3 – 1( Số dn 3 (2)
Từ (1) và(2) => A=
15
7 3 5
3
5 n n n
là số nguyên với mọi n Z # b/ Vì n chẵn (gt) => n = 2k ( kZ) ta có:
B =
24 8 12
3
2 n n n
=
3 2 6
3
2 k k k
=
6
2
3k2 k3
k
6
2 3 1 ( k k2
k =
6
) 1 2 ).(
1 (k k
k
Mặt khác ta có: k.(k+1).(2k+1) =k.( k + 1 ).( k + 2 + k - 1)
= k.( k +1 ).( k + 2 ) + ( k - 1).k.( k + 1 ) (Tích ba số nguyên lt 6) (Tích ba số nguyên lt 6)
=> k.(k+1).(2k+1) 6 Hay với mọi n chẵn thì B =
24 8 12
3
2 n n n
là số nguyên
c/ Ta có C =
5 12
5 24
7 12 120
2 3 4
5 n n n n n
120
24 50
35
5 n n n n
n
Xét tử: n5 + 10n4 + 35n3 + 50n2 + 24n
= ( n5 +6n4 + 11n3 + 6n2 ) + ( 4n4 +24n3 + 44n2 + 24n)
= n.( n4 + 6n3 + 11n2 + 6n) + 4( n4 + 6n3 + 11n2 + 6n)
= ( n4 + 6n3 + 11n2 + 6n).( n + 4 )
=(n4n3) ( 5n3 5n2) ( 6n2 6n).( n + 4 )
= n.( n+1).( n2 + 5n + 6).( n+4) = n.(n+1).(n+2).( n+3).(n+4)
Ta có n.(n+1).(n+2).( n+3).(n+4) là tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 ( BT1)
Do đó C =
5 12
5 24
7 12 120
2 3 4
5 n n n n n
là số nguyên với mọi n Z #
d/ Ta có : D =
35
32 63
82 30
13 21 630
3 5
7
9 n n n n n
=
630
1
(n9 – 1( Số d 30n7 + 273n5 – 1( Số d 820n3 + 576n)
630
n n n n
n n n n n n
n
=
630
1
(n5 -5n3 + 4n).( n4 – 1( Số d 25n2 + 144)
=
630
1 n3.(n2 1 ) 4n.(n2 1 ).n2.(n2 16 ) 9 (n2 16 )
=
630
1
( n2 -1).n.( n2 -22) ( n2 -32).( n2 – 1( Số d 42 )
=
630
1
(n-4).(n-3).(n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2).(n+3).(n+4)
Ta có (n-4).(n-3).(n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2).(n+3).(n+4) là tích của 9 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2.5.7.9 = 630
Vậy D =
35
32 63
82 30
13 21 630
3 5
7
9 n n n n n
Bài 5 a, CMR ax2 + bx + c là số nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 2a, a+b
và c là các số nguyên
Trang 8b, CMR ax3 + bx2 + cx + d là số nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a+b+c và d là các số nguyên
Giải
a/ Ta có ax2 + bx + c = ax2 – 1( Số d ax + bx + ax + c = a( x2 – 1( Số d x) + ( a+b) x + c
= 2a
2
2 x
x +( a+b) x + c = 2a
2
) 1 ( x x
+ (a+b)x + c (*)
Ta c/m chiều => Giả sử ax2 + bx + c là số nguyên với mọi x nguyên ta c/m cho 2a, (a+b) , c nguyên
Thay x = 0 vào (*) ta có cZ từ đó suy ra 2a
2
) 1 ( x x
+ (a+b)x (**) là số nguyên với mọi x nguyên
Thay x=1 vao(**) thì (a+b) nguyên => 2a
2
) 1 ( x x
(***) nguyên với mọi xZ Cuối cùng thay x =2 vào(***) ta có 2aZ
Vậy 2a, (a+b), c Z
C/m chiều <= Giả sử 2a, (a+b), c Z
Từ 2a Z, lại có x( x - 1 ) là tích hai số nguyên liên tiếp, luôn có một số chia hết cho 2 =>
2
) 1 ( x x
Z => 2a
2
) 1 ( x x
Từ (a+b) Z, x Z => ( a + b )x Z (2) và c Z (3)
Từ (1),(2) và (3) => ax2 + bx + c là số nguyên với mọi x nguyên #
Vậy ax 2 + bx + c là số nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 2a, a+b và c
là các số nguyên.
b/ Ta có ax3 + bx2 + cx + d = ax3 + bx2 + cx + d – 1( Số d ax + ax– 1( Số d bx+ bx
= a( x3 – 1( Số d x) + b(x2 – 1( Số d x) + (a + b + c)x + d = 6a
6
3 x
x + 2b
2
2 x
x + ( a + b + c)x + d (1’) C/m Giả sử ax3 + bx2 + cx + d nguyên với mọi x nguyên, ta cần c/m 6a, 2b, (a+b+c), d là các số nguyên
Thay x = 0 vào (1’) ta có d Z
từ đó suy ra 6a
6
3 x
x + 2b
2
2 x
x + ( a + b + c)x Z với mọi x Z(2’) Thay x = 1 vào (2’) ta có ( a+b+c) Z (3’)
=> 6a
6
3 x
x + 2b
2
2 x
x Z với mọi x Z Thay x=2 vào (3’) ta có 2b Z và 6a Z với mọi x Z (4’)
Từ (1’),(2’), (3’) và (4’) ta có 6a, 2b, (a+b+c), d là các số nguyên
C/m : Giả sử 6a, 2b, (a+b+c), d Z
Từ 6a Z và x3 – 1( Số dx = x.( x2 – 1( Số d 1) = ( x – 1( Số d 1).x.( x + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 =>
6
3 x
x Z ,do đó 6a
6
3 x
x Z (1*)
Từ 2b Z và x2 – 1( Số d x = x.( x-1) là tích của hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 =>
2
2 x
x Z, do đó 2b
2
2 x
x Z (2*) Lại có ( a+b+c) Z => ( a+b+c).x Z và d Z (3*)
Từ (1*),(2*) và (3*) => ax3 + bx2 + cx + d là số nguyên với mọi x nguyên #
Vậy ax 3 + bx 2 + cx + d là số nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a+b+c và d là các số nguyên
Trang 9_