+Nếu O AB thì AB đựoc gọi là đờng kính: +Phần đờng tròn nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đợc gọi là cung tròn: kí hiệu A B - Sự xác định đờng tròn: Một đờng tròn hoàn toàn đợc
Trang 1Kí hiệu( O;R) hoặc (O)
- Vị trí tơng đối của một điểm với một đờng tròn.
cho trớc: (O;R) và điểm M: gọi OM = d:
Nếu: d < R <=> M nằm trong (O; R)
d = R <=> M (O; R)
d > R <= > M nằm ngoài (O; R)
-Một số khái niệm khác:
- Giả sử A và B là 2 điểm phân biệt thuộc (O; R) đờng tròn thì:
+Đoạn thẳng AB đợc gọi là dây cung.
+Nếu O AB thì AB đựoc gọi là đờng kính:
+Phần đờng tròn nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đợc gọi là cung tròn:
kí hiệu A B
- Sự xác định đờng tròn:
Một đờng tròn hoàn toàn đợc xác định khi và chỉ khi
+ Biết tâm O và bán kính R
+Qua điểm A;B;C phân biệt không thẳng hàng.
Đờng tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC Gọi là đờng tròn ngoại tiếp ABC
Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 trung trực của tam giác
2 Các điểm cần lu ý:
Khái niệm tơng đơng với định nghĩa đờng tròn:
Tập hợp những điểm M tạo với 2 điểm phân biệt A, B cho trớc một góc AMB bằng 900
là đờng tròn đờng kính AB
- Tam giác có một cạnh là đờng kính của một đờng tròn thì tam giác đó là tam giác vuông
Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trọng điểm của cạnh huyền:
3 Các ví dụ:
Ví dụ1: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) Gọi M là trung diểm của CD
a Chứng minh 4 điểm A;B;C;D cùng nằm trên một đờng tròn tâm O
a Dựng d và d' lần lợt là đờng trung trực của AB và BC
Gọi O là giao của d và d'
Ta có AB // CM nên ABCM, là hình bình hành mà
AB = BC => ABCM là hình thoi => MB AC
Ta thấy : MB = MC = MD = MA nên M O Hình thang cân ABCD
khi đó chính là một nửa của lục giác đều và CD là một đờng kính của (O)
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có AC BD.
Gọi M, N, P, Q lần lợt là các trung điểm của AB; BC; CD và DA
Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đờng tròn
M
Trang 2Bài 1: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Trên tia đến của tia AB lấy điểm C bất kỳ M là
điểm tùy ý trên đờng tròn O đờng kính AB
Chứng minh: CA CM BC
Bài 2: cho tam giác nhọn ABC gọi H là trực tâm của tam giác ABC Các điểm D,E,F lần lợt là
các điểm đối xứng của H qua BC, CA và AB
Chứng minh các điểm D,E,F nằm trên đờng tròn ngoai tiếp ABC
Bài 3: Cho ABC có các góc đều chon nội tiếp đờng tròn (O) đờng cao AA1 cắt đờng tròn
(O)
a Chứng minh BM = CN
b Gọi H và G lần lợt là trực tâm và trọng tâm của ABC
Chứng minh rằng: H; O; G thẳng hàng
*Bài 4: Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O) gọi D;E;F thứ tự là trọng điểm của BC;AC và AB.
Kẻ các đờng thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC Chứng minh các đờng thẳng DD'; EE'; FE'
đồng quy
Hơng dẫn giải Bài 1: Nối OM
Ta có:
CO - OM CM CO + OM
hay CA CM BC
Bài 2:
Ta chứng minh đợc 3 đờng cao
của ABC cũng là 3 đờng phân
giác của DEF từ đó suy ra D,E,F đờng tròn ngoại tiếp ABC
Bài 3:
a) Ta có: ABCANC (cùng chắn AC )
BAM = NAC ( cùng phụ với ABC = CAN) BM = CN
hay GH = 2GO và AGH = MGO
Vậy 3 điểm h, G,o thẳng hàng
*Bài 4: Lấy H là trực tâm của ABC Ta có
OD = AK KH = OD
mà OD // KH KĐH là hình bình hành
Do đó DD' đi qua trung điểm I của OH
c/m tơng tự: EE' ; FF' cũng đi qua I
Vậy DD' ; EE' ; FF' đồng quy
B C
M
H O F
A D'
E'
F'
Trang 3VII 2: Tính chất đối xứng của đờng tròn:
1 Kiến thức cơ bản:
- Tâm đối xứng: Tâm đờng tròn là tâm đối xứng của đờng tròn đó.
- Trục đối xứng: Đờng kính của đờng tròn là truc đối xứng của đờng tròn đó:
(Đờng tròn có vô số trục đối xứng)
- Mối quan hệ giữa các đờng kính và dây cung lớn nhất:
+ Đờng kính vuông góc với một dây thì cắt dây cung đó tại trung điểm của dây cung đó + Đờng kính cắt dây cung tại trung điểm của dây cung( không phải là đờng kính) thì
vuông góc với dây cung đó
- Dây cung và khoảng cách đến tâm:
+ Trong một đờng tròn hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm.
+ Trong 2 giây không bằng nhau của một đờng tròn:
dây lớn hơn khi và chỉ khi chúng gần tâm hơn:
2 Các điểm cần lu ý:
- Tất cả các định lý này yêu cầu học sinh phải hiểu đợc lời chứng minh định lý để nắm vững
hơn nội dung kiến thức
- Phân biệt rõ các định lý có đủ 2 chiều thuận và đảo giúp học sinh tránh sai sót khi vận dụng
giải toán:
3 Các ví dụ:
Ví dụ1: Đờng tròn tâm O và một dây cung AB , điểm M nằm bên trong đờng tròn đó
a, Nêu cách xác định dây cung AB để dây cung AB có độ dài ngắn nhất.
b, chứng minh rằng khi AB thay đổi qua M thì trung điểm I của AB luôn nằm trên một đờng
tròn cố định
Giải:
a Kẻ dây cung AB đi qua M Kẻ OI AB thì ta có OI OM
Vậy AB nhỏ nhất khi và chỉ khi OI lớn nhất
Khi OI = OM <=> I M
Vậy dây cung các đỉnh là dây cung qua M và
vuông góc với OM ( dây cung này là duy nhất)
b Gọi I là trung điểm của AB
Bài 1: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và dây cung CD không qua tâm O Hai điểm
M và K thứ tự là hình chiếu vuông góc của hai điểm A;B lên CD Gọi I là trung điểm của CD
a, Chứng minh: I là trung điểm cảu HK.
b, Chứng minh: AHKB = ACB + ADB
Bài 2: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R trên nửa đờng tròn lấy các điểm C và D
sao cho AC = CD = 4 3 (cm) và DB = 10(cm)
Tính bán kính R
Bài 3: cho góc xOy, trên tia Ox và Oy lấy 2 điểm B và C cố định khác điểm O I là điểm thay
đổi trên đoạn thẳng BC kẻ I D Ox; I E Oy; (D Ox; E Oy)
Các điểm M và N thứ tự là điểm đói xứng của O qua D và E
Chứng minh đờng tròn đi qua 3 điểm O,M,N luôn đi qua một điểm cố định khác điểm O
B
A
C
D
Trang 4Bài 4: Cho tâm giác ABC cân ở A nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi D là trung điểm của AB Goi
E là trung điểm của tam giác ADC chứng minh OE CD
Theo tính chất đờng trung bình
IH = IK hay I là trung điểm
b, Qua I kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AH và BK tại E và F, kẻ các đờng vuông góc với
AB là CC' ; DD'; II' (c'; D'; I'; AB)
Từ (1); (2) suy ra: SAHKB = SACB = SADB
Bài 4: Gọi G là trọng tâm của ABC
kẻ trung tuyến CM; DN (MA; NAC)
* Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn:
- Cho (O;R) và đờng thẳng a
Từ O lại OH a (H a)
đặt OH = d ba vị trí tơng đối của đờng thẳng với đờng tròn:
Vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức giữa d và R
O
F K D I
B
D
G
Trang 5Đờng thẳng cắt đờng tròn
- T iếp tuyến của đờng tròn
Cho (O;R) và đờng thẳng a cắt đờng tròn tại A
a là tiếp tuyến của (O;R) tơng đơng OA a
( A đợc gọi là tiếp điểm)
Hạ OH (H a); OH = d
a là tiếp tuyến của (O;R) d = R.
- Đờng thẳng xy cắt đờng tròn tai A, B thì AB là một dây của (O;R)
+ PO là phân giác của APB và AOB.
+ PO là đờng trung trực của AB.
- Đờng tròn nội tiếp tam giác:
+ Đờng tròn tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác gọi là đờng tròn nội tiếp tam giác ( tam giác
ngoài tiếp đờng tròn)
+Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đờng phân giác trong của tam giác.
+Bán kính đờng tròn là khoảng cách từ giao điểm của các đờng phân giác tới cạnh của tam
giác
- Đờng tròn bàng tiếp tam giác:
Đờng tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và phần kéo dài của 2 cạnh kia gọi là
đ-ờng tròn tiếp tam giác
Đờng tròn tiếp xúc với cạnh BC và phần kéo dài của cạnh AB và AC gọi là đờng tròn
bàng tiếp góc A Tâm đờng tròn bàng tiếp là giao điểm cảu 2 đờng phân giác của góc ngoài
giao điểm của 2 đờng phân giác cảu góc ngoài đỉnh B, C và đờng phân giác của góc trong đỉnh A
Trong mỗi tam giác có 3 đờng tròn bàng tiếp.
2 Các điểm cần lu ý:
- Phần này khối lợng kiến thức lớn yêu cầu là học sinh phải nắm vững các tính chất và
dấu hiệu nhận biết của tiếp tuyến các hệ thức liên quan
- Một số tính chất, dấu hiệu nhận biết, các nhận thức mà phần chứng minh có liên quan
đến phần góc với đờng tròn sẽ đợc trình bầy ở phần sau:
3 Bài tập ví dụ :
Ví dụ 1: Cho hình thang vuông ABCD ( Aˆ = Dˆ = 900), tia phân giác của góc C đi qua trung
điểm I của AD:
a Chứng minh BC là tiếp tuyến của (I;IA)
b Gọi H là giao điểm của BC với đờng tròn (I);
K là giao điểm của AC với BD
của (I; IA)
b Ta có: AB cũng là tiếp tuyến của (I; IA)
do AB // DC =>
CD
AB KD
Ví dụ 2: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R Từ A và B kẻ 2 tia tiếp tuyến Ax và
By với (O) đờng thẳng d thay đổi cắt Ax và By lần lợt tại C và D
a Chứng minh rằng d la tiếp tuyến của đờng tròn O khi và chỉ khi 0
B
O P
A
Trang 6b Khi d là tiếp tuyến của (O) Tính 12 12
OD
OC
Giải :
a * Chứng minh CD là tiếp tuyến thì COD 900
Thật vậy theo tính chất của tiếp tuyến ta có:
COD thì CD là tiếp tuyến Thật vậy
Kẻ OH CD; H CD Gọi giao điểm của DO với tia đối của Ax là K
Ta có : DOB = KOA => OD = OK
Do OC DK => CKD cân tại C Do đó AOC = HOC
=> OH = OA = R => CD Là tiếp tuyến của (O)
b Tam giác COD vuông tại OI có OH là đờng cao.
=> 1 2 12 12
OC OD
OH do H (O;R) => OH = R
=> 1 2 12 12
R OC
ABC cân vuông tại A Â =900
Chứng minh nếu  = 900 => bc = 2x(a - x)
Đờng tròn (O1) đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A
Đờng tròn (O2) đi qua M và tiếp xúc với Ox tại B
Đờng tròn (O1) cắt (O2) tại điểm thứ 2 tại N
a Chứng minh O,N là tiếp tuyến của đờng tròn (O2)
b xác định vị trí của M để O1O2 ngắn nhất
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, Đờng cao AH HB = 3 cm; HC = 12 cm Về đờng tròn
tâm A bán kính AH, kẻ các tiếp tuyến BM, CN với đờng tròn(A; AH) (M; N) là tiếp điểm khác H
a Không giao điểm của CN với HA
b Tính diện tích BMNC.
c Tính AK và KN.
Bài 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Hai điểm M và N di đọng trên cạnh BC và CD
sao cho chu vi tam giác MCN bằng 2a chứng minh MN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố
định
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, Bˆ = Cˆ = gọi I là trung điểm của BC
Gọi xIy = thay đổi quanh I sao cho 2 tia Ix và Iy cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự tai M
E
F I
D B
A
C
Trang 7b.Tìm vị trí của tiếp tuyến M để (BM + CN) nhỏ nhất.
Bài 5: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB M là điểm trên nửa đờng tròn kẻ MH vuông góc với
AB; H AB tìm vị trí của M để AH + HM luôn lớn nhất
Bài 6: cho nủă đờng tròn (O) đờng kính AB = 2 R bán kính OC vuông góc với AB Gọi d là
tiếp tuyến tại A của nữa đờng tròn qua M kẻ tiếp tuyến với đờng tròn tiếp tuyến này cắt d tại E
và cắt đờng thẳng OC tại D Gọi F là giao điểm của BD với d chứng minh AE.è không đổi
AK = 16,8cm
KN = 19,2cm
Bài 3:
MN luôn đi qua điểm E cố định
thuộc cung BD của (A; a) M và MN
là tiếp tuyến
Bài 4:
B O2 A
a
E
Trang 8Do đó: BMI MIN (c.g.c) BMI = IMN
Ta có: MI là tia phân giác BMN
IH=IE MN là tiếp tuyến (I; IH)
Vậy MN thay đổi luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định
b) Theo câu a: MIN =
) tiếp xúc với AB tại H
Vẽ tiếp tuyến của D'K cắt AB tại M là
C và D ở 2 phía của AB, dựng (D) tiếp xúc
với AB, từ C kẻ tiếp tuyến với (D), cắt AB
tại M là điểm cần xác định
N
K
x
H
E
D'
M C
C
D
M
B A
Trang 9VII 4: Vị trí tơng đối của hai đờng tròn:
1 kiến thức cơ bản:
Cho 2 đờng tròn(O;R) và (O';R')
Giả sử R > R', OO' = d.
Bavị trí tơng đối của hai đờng tròn
1 Hai đờng tròn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
1.1: Dấu hiệu nhận biết: R - R' < d < R + R'
2.1: Tính chất: (O;R) cắt (O';R') tại A và B
Đờng thẳng OO' là trung trực của dây AB.
Đờng thẳng OO' đi qua điểm chính giữa của các cy của 2 đờng tròn nhận AB là các dây cy có 2 tiếp tuyến dy ngoài:
2 Hai đờng tròn tiếp xúc nhau:
(O;R) Và (O';R') tiếp xúc nhau tại A
2.1: Hai đờng tròn tiếp xúc ngoài:
Dấu hiệu nhận biết: d = R + R'
Tính chất 3 điểm O;O',A thẳng hàng:
Có 3 tiếp tuyến chung: 1 tiếp tuyến trong là đờng thẳng vuông góc với OO' tại A.
Hai tiếp tuyến dy ngoài.
2.2: Hai đờng tròn tiếp xúc trong:
dấu hiệu nhận biết: d = R - R'
Có một tiếp tuyến chung là đờng thẳng qua A vậy góc với OO'
3 Hai đờng tròn không cắt nhau:
3.1: Hai đờng tròn ngoài nhau:
Dấu hiệu nhận biết d R +R'
có 4 tiếp tuyến chung gồm 2 tiếp tuyến chung trong và hai tiếp tuyến chung ngoài
Các tiếp tuyến dy trong; cắt nhau trên đọan nối tâm OO'
Các tiếp tuyến dy ngoài cắt nhau trong đờng nối tâm OO'
4 Hai đờng tròn đựng nhau:
4.1 Dấu hiệu nhận biết: d > R - R' hoặc d = 0(đồng tâm).
Không có tiếp tuyến chung:
Trang 10Ví dụ2: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, đờng thẳng d tiếp xúc với nủa đờng tròn tại
C gọi D và E thứ tự là hình chiếu của A và B lên d
a xét vị trí tơng tơng đối của (A;AD) và (B;BE)
b Chứng minh AB tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính DE
(DA + EB) => DA + EB = 2OC = AB
=>(A; AD) tiếp xúc ngoài (B; BE)
b) Kẻ CH AB (H AB) ta có OC // AD
=> OCA DAC (so le trong) mà COA CAO
=> DAC CAO => CHA = CDA => CH = CD = 2
1
DE
Vậy H nằm trên đờng tròn đờng kính DE
Hay AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính DE
3 Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho 2 đờng tròn (O; 13 cm) và (O' ;15 cm)
Cắt nhau theo dây cung chung AB = 24 cm
Tính OO'
Bài 2: Cho (O;36 cm) và (O';9 cm) tiếp xúc ngoài với nhau Gọi AB là tiếp tuyến chung của hai
đ-ờng tròn ( A O B; O' ) Tính bán kính đờng tròn tâm I tiếp xúc với đờng thẳng AB và tiếpxúc ngoài với hai đờng tròn đã cho
*Bài 3: Cho ( O,36 cm) và (O', 9cm) tiếp xúc ngoài nhau Gọi AB là tiếp tuyến chung của hai
đờng tròn (A (O); B (O'))
Tính bán kính đờng tròn (I) Tiếp xúc với Đờng thẳng AB và tiếp xúc ngoài với hai đờng tròn(O; 36 cm) và (O'; 9 cm)
Bài 3: Cho hai đờng tròn(O;R) (O',R') Tiếp xúc ngoài tại A.
D
d
O
B A
D
E C
BC
Trang 11Gọi BC và DE là các tiếp tuyến chung của hai đờng tròn: với B và D thuộc đờng tròn (O) C và
D thuộc đờng tròn (O')
Tính diện tích tứ giác BDEC
Bài 4: Cho hai đờng tròn (O) và (O') ngoài nhau K ẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyếnchung trong EF, với A và E thuộc (O); B và D thuộc (O')
a Chứng minh AE BF.
b Gọi M là giao điểm của AB và EF.
N là giao điểm của AE và BF
Chứng minh 3 điểm O; N; O' thẳng hàng.
Bài 5: Cho đờng tròn (O) và một điểm A bên trong đờng tròn đó kẻ cát tuyến BAC bất kỳ.
Gọi (O1) là đờng tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại B
(O2) là đờng tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại C
a) Tứ giác AO1OO2 là hình gì
b) Gọi giao điểm thứ hai của (O1) và (O2) là E; (E A)
Tìm tập hợp điểm E khi cát tuyến BAC quay quanh A
Bài 6: Cho góc vuông xOy Các điểm O1 ; O2 thứ tự di chuyển trên tia Ox và Oy sao cho
OO1 + OO2 = 2007 Vẽ đờng tròn (O1;OO2) và (O2; OO1)
a) Chứng minh hai đờng tròn (O1) và (O2) ở trên luôn cắt nhau
b) Gọi M, N là giao điểm của hai đờng tròn (O1) và (O2) chứng minh đờng thẳng MN luôn điqua một điểm cố định khi O1 và O2 thay đổi
R
A
I B
O' r
H'
Trang 12 BDEC lµ h×nh thang tiÕp tuyÕn
chung t¹i A c¾t BC vµ DE t¹i M vµ N
D
F H
A
M
B E
O
O' K
N I'
C
Trang 13Vậy MN luôn đi qua điểm K cố định.
VII 5: Góc với đờng tròn:
2.2 Mối quan hệ giữa góc nội tiếp và cung bị chắn.
Cho BAC nội tiếp trong đờng tròn (O) thì Sđ 1
4 Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung.
4.1 Nếu xy là tiếp tuyến với (O) tại A, AB là dây cung của đờng tròn đó Thì xAB là góc tạo
bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AB Sđ xAB = 12 sđ AB
2 O
K
O1
N
M
I
Trang 14- Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây không quá 90 bằng một nửa số đo của góc ởtâm cùng chắn cung ấy.
5 Góc có đỉnh ở trong hay bên ngoài đờng tròn
5.1: Góc có đỉnh bên trong đờng tròn có số đo bằng nửa tổng số đo của 2 cung bị chắn.
5.2: Góc có đỉnh nằm ngoài đờng tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn ( hiệu số
đo cung lớn và số đo cung bé )
2 Các ví dụ:
Ví dụ1: Trong hình vuông ABCD, Vẽ đờng tròn đờng kính AD và (D) bán kính DA Nối D
với điểm P bất kỳ trên cung nhỏ AC của (D) ; DP cắt nửa đờng tròn đờng kính AD ở K I làchân đờng vuông góc kẻ từ điểm P lên AB Chứng minh rằng PK = PI
Giải:
Gọi giao điểm của PA với đờng tròn đờng kinh AB là F
Nối FD ta có AFD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) => FD AP mà
DAP cân tại D => D1 = D2
Ta có D1 = IAP ( hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc
PAK = FDK ( góc nội tiếp cùng
cùng chắn FK )
=> AP là phân giác của IPK => PI = PK
Ví dụ 2: Cho 2 đờng tròn tìm (O1) và (O2)
biết đờng tròn này đi qua tâm đờng tròn kia Qua một giao điểm của 2 đờng tròn kẻ một cáttuyến bất kỳ cắt(O1) tại C và (O2) tại D
Tính góc tạo bởi hai tiếp tuyến với 2 đờng tròn tại C và D
Giải:
Nối AD và AC
- Chứng minh đợc AO1O2B là hình thoi
=> AO B1 AO B2 = 1200
Vậy Sđ ADC = 21 Sđ AO B = 601 0 Sđ ACD = 21 Sđ AO B = 602 0
nên ACD là tam giác đều:
Ta lại có: DCE = CAB ( cùng chắn CB ) ; CDE = DAB ( cùng chắn BD )
=> DCE + CDE = CAD = 600 => CED = 1200
Ví dụ 3: Gọi I và J là tâm đờng tròn nội tiếp và tâm đờng tròn bàng tiếp góc A củaABC
Đ-ờng tròn ngoại tiếp ABC cắt đoạn thẳng IS tại K
C B