Phương trình đường tròn (Lớp 10)

NhiÖt liÖt chµo mõng c¸c thÇy c« gi¸o vÒ dù tiÕt häc !... Hãy cho biết một đ ờng tròn đ ợc xác định bởi những yếu tố nào?. Đáp án Một đ ờng tròn đ ợc xác định bởi tâm và bán kính của nó

NhiÖt liÖt chµo mõng

c¸c thÇy c« gi¸o vÒ dù tiÕt häc !

H·y nªu kh¸i niÖm vÒ ® êng trßn?

 M / OM  R 

đáP áN:

Đ ờng tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R kí hiệu: (O;R)

Ta có : ( 0;R ) =

Hãy cho biết một đ ờng tròn đ ợc xác định bởi những yếu tố nào

?

Đáp án

Một đ ờng tròn đ ợc xác định bởi tâm và bán kính của nó.

Bài toán:

Trong mặt phẳng (Oxy) cho đ ờng tròn (C) tâm I(a;b), bán kính

R Tìm điều kiện cần và đủ để M ( x ; y ) thuộc đ ờng tròn (C).

M ( x, y )  ( C )

Bài giải

I (a;b) R

Hình 3.16

 IM = R

Ph ơng trình ( 1 ) gọi là ph ơng trình đ ờng tròn

tâm I ( a ; b ) , bán kính R

x o

y M(x;y)

R b

y a

) 1 ( )

( )

( x  a 2  y  b 2  R2



VÝ dô 1: ViÕt ph ¬ng tr×nh ® êng trßn t©m I (-2 ; 4 ) vµ b¸n kÝnh R = 5

Ph ¬ng tr×nh ® êng trßn t©m I (-2 ; 4 ) vµ b¸n kÝnh R = 5 cã d¹ng:

Lêi gi¶i:

( x + 2 )2 + ( y- 4 )2 = 25

(

x – a )

2 + ( y – b )2 = R2



VÝ dô 2: ViÕt ph ¬ng tr×nh ® êng trßn t©m

O ( 0 ; 0 ) vµ b¸n kÝnh R.

Lêi gi¶i:

Ph ¬ng tr×nh ® êng trßn t©m O (0 ; 0 ) vµ b¸n kÝnh R lµ:

( x - 0 )2 + ( y - 0)2 = R2 Hay: x2 + y2 = R2

Bµi tËp: 1

Cho 2 ®iÓm A ( 3 ; - 4 ) ; B ( - 3 ; 4 ) ViÕt ph ¬ng tr×nh ® êng trßn ( C ) nhËn

Bµi gi¶i:

Gäi I lµ t©m ® êng trßn ® êng kÝnh AB  I lµ trung ®iÓm AB

B¸n kÝnh cña ® êng trßn ® êng kÝnh AB lµ :

VËy ph ¬ng tr×nh ® êng trßn tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ : x 2 + y 2 = 25

0 2

4

4 2

0 2

) 3 (

3

y y

y

x

x x

B A

I

B A

I









































5 2

100 2

8

6 2

2 2









 AB R

Bài tập trắc nghiệm

Cho đ ờng tròn có ph ơng trình

:

(

x – 3 )

2 + (y +4 )2 = 12

.

1 Tâm của đ ờng tròn đã cho có toạ độ là

:

( a

) ( 3;4 ) (

b ) ( 4;3

)

( c

) ( 3;-4 ) (

d ) (-3;4

)

2 Bán kính của đ ờng tròn đã cho có độ dài bằng

:

(d) 5

3 2 ) ( c

Tõ ( 1 ): ( x – a )2 + ( y – b )2 = R2

 x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 =

R2

 x2 + y2 – 2ax - 2by + a2 + b2 – R2 = 0

Víi c = a2 + b2 –

R2

 x2 + y2 – 2ax- 2by + c = 0 ( 2 )

 §iÒu kiÖn a2 + b2 – c > 0

Tõ c = a2 + b2 – R2  R2 = a2 + b2 – c

c

VËy ph ¬ng tr×nh ( 2 ) víi §K a2 + b2 – c > 0 lµ ph ¬ng tr×nh cña ® êng trßn t©m I ( a ; b ) vµ b¸n kÝnh R  a2 b2  c

 Chó ý :

Mét ph ¬ng tr×nh mµ c¸c hÖ sè cña x2 vµ y2 kh¸c nhau th× kh«ng ph¶i lµ ph ¬ng tr×nh cña mét ® êng trßn.

Bµi tËp: 2 (Sgk / 82 ).

H·y cho biÕt ph ¬ng tr×nh nµo trong c¸c ph ¬ng tr×nh sau ®©y

lµ ph ¬ng tr×nh ® êng trßn :

x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 ( 3 )

2x 2 + y 2 + 8x + 2y – 1 = 0 ( 4 )

4x 2 + 4y 2 -2x – 6y + 20 = 0 ( 5 )

x 2 + y 2 + 6x + 2y + 10 = 0 ( 6 )

§ s s s

Các b ớc để kiểm tra một ph ơng trình bậc hai là ph ơng trình đ ờng tròn :

2

x

B ớc 1: Hệ số của và phải bằng nhau; y2

B ớc 2: Đ a PT bậc hai về dạng:

x2 + y2 – 2ax- 2by + c = 0 (2)

* a2 + b2 – c < 0 thì kết luận (2) không phải là ph ơng trình đ ờng tròn.

* a2 + b2 – c = 0 thì kết luận (2) không là ph ơng trình đ ờng tròn.

* a2 + b2 – c > 0 thì kết luận (2) là ph ơng trình đ ờng

tròn.

Buớc 3: Xét: a2 + b2 – c nếu:

Trong mÆt ph¼ng (0xy) cho ®iÓm I ( a ; b ) vµ M0 ( x0 ; y0 ) ViÕt

Gi¶i:

( x 0 – a )(x – x 0 ) + ( y 0 – b )( y – y 0 ) = 0 (3 )

lµ :

Bµi to¸n:

Mo(xo;yo)

I(a;b)

Ta cã : = ( x 0 – a ; y 0 – b )

o

IM

Ph ¬ng tr×nh (3) lµ ph ¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ® êng trßn (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2 t¹i ®iÓm Mo ( xo;yo )

n»m trªn ® êng trßn

VÝ dô :

ViÕt ph ¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm M ( 3 ; 4 ) thuéc ® êng

trßn ( C ) : ( x – 1 ) 2 + ( y – 5 ) 2 = 9

Lêi gi¶i:

 2x - y - 2 = 0

( 3 – 1 ) ( x – 3 ) + ( 4 – 5 ) ( y – 4 ) = 0

*VËy ph ¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ( C ) t¹i M ( 3 ; 4 ) cã d¹ng :

*( C ) cã t©m I ( 1 ; 5 )

( xo - a ) ( x – xo ) + ( yo – b ) ( y – yo ) = 0

Cho ® êng trßn cã ph ¬ng tr×nh :

x 2 + y 2 – 2y – 1 = 0

Bµi tËp 3 :

3/ TiÕp tuyÕn cña ® êng trßn t¹i

M ( 1 ; - 2 ) lµ :

a ) x – 3y – 7 = 0

b ) x + 3y – 7 = 0

c ) x – 3y + 7 = 0

b ) ( 0 ; 1 )

a ) ( 1 ; 0 )

1/ T©m cña ® êng trßn lµ :

c ) ( 0 ; - 1 )

d ) ( - 1 ; 0 )

2/ B¸n kÝnh cña ® êng trßn lµ :

a ) 2

c ) 1

d ) 3

2 )

b

* Ph ¬ng tr×nh ® êng trßn t©m I (a;b) vµ b¸n kÝnh R cã d¹ng:

(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 ;

* Ph ¬ng tr×nh ® êng trßn cßn cã d¹ng khai triÓn lµ:

x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 víi a2 +b2 – c > 0;

* Ph ¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ® êng trßn t©m I (a;b) t¹i ®iÓm M o (x o ;y o ) cã d¹ng:

(x o – a)(x-x o ) + (y o – b)(y-y o ) = 0.

* Làm bài tập 1 đến bài tập 6 (SGK-Tr 83-84)

10

Xin tr©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o cïng toµn thÓ c¸c em häc sinh líp 10b2.