Chuyên đề CÁC VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ TÍNH CHIA HẾT

Chuyên đề Các vấn đề nâng cao về chia hết nhằm Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 cấp Huyện. Chuyên đề có thể giúp các thầy cô giáo, các em học sinh và các quý phụ huynh trong vấn đề bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 6

CHUYÊN ĐỀ 5 CÁC VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ TÍNH CHIA HẾT - ƯỚC VÀ BỘINgày soạn:

Ngày giảng:

BUỔI 9TÍNH CHẤT CHIA HẾT – DẤU HIỆU CHIA HẾTI.Mục tiêu:

- Củng cố các tính chất chia hết của một tổng, một tích

- Củng cố các dấu hiệu chia hết

- Vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, dấu hiệu chia hết để làm được một số bài tậpdạng chứng minh chia hết, tìm các chữ số để một số chia hết cho một số khác

- Rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải bài toán về chia hết

- Giáo dục ý thức tự học, tự sáng tạo cho học sinh

II Tiến trình bài dạy:

a.2) Các tính chất chung:

+ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó

+ Tính chất bắc cầu: Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.+ Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0

+ Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1

a.3) Tính chất chia hết của tổng và hiệu:

+ Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m, a – b chia hết cho m

*Hệ quả: Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m

+ Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m thì a + b không chia hết cho m, a – b không chia hết cho m

a.4) Tính chất chia hết của một tích:

+ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m

+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n

*Hệ quả: Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn

b) Phát biểu các dấu hiệu chia hết đã biết?

Gọi n là số phải tìm, vì n chia hết cho 5 nên n phải tận cùng bằng 0 hoặc 5

Và n chia hết cho 27 nên n phải chia hết cho 9

- Xét n= *975 , n chia hết cho 9 nên * = 6

Thử lại 6975 không chia hết cho 27 (nên loại)

- Xét n= *970, n chia hết cho 9 nên * = 2

Thử lại 2970 chia hết cho 27

II Số lượng các ước của một số:

- Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là:

A = ax.by.cz … thì số lượng các ước của A bằng (x + 1)(y +1)(z + 1)…

b) n chứa 2 thừa số nguyên tố: n = ax.by

Khi đó: (x +1)(y +1) = 6.2 hoặc (x +1)(y +1) = 4.3

Số nhỏ nhất trong trường hợp này là 72

c) n chứa 3 thừa số nguyên tố: n = ax.by.cz

Khi đó: (x +1)(y +1)(z +1) = 3.2.2

=> x = 2; y = 1; z = 1

Số nhỏ nhất trong trường hợp này là 22.3.5 = 60

So sánh 3 số 211, 72, 60 trong 3 trường hợp, ta thấy số nhỏ nhất có 12 ước là 60

III.Toán về chia hết liên quan đến số nguyên tố, ƯCLN, BCNN:

Ta có thêm một số tính chất về chia hết:

1 Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia hết

cho p

- Hệ quả: Nếu an chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p

2.Nếu tích a.b chia hết cho m, trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a

chia hết cho m

3.Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho BCNN của m và n.

- Hệ quả: Nếu a chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau m và n thì a chia hết chi

*Nhận xét: Việc thêm bớt các bội của 7 trong hai cách giải trên nhằm đi đến một

biểu thức chia hết cho 7 mà ở đó hệ số của n bằng 1

*Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số như nhau, biết rằng số đó có thể viết được

bằng tổng của các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1

Vậy số phải tìm là 666, viết được dưới dạng : 1 + 2 + 3 + … + 36

*Ví dụ 3: Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a, b ∈N) Chứng minh rằng 10a + b cũng chia hết cho 13

- Hệ số của a ở x là 1, hệ số của a ở y là 10 nên xét biểu thức 10x - y nhằm khử a (tức

là là cho hệ số của a bằng 0), xét biểu thức 3x+ y nhằm tạo ra hệ số của a bằng 13

- Hệ số của b ở x là 4, hệ số của b ở y là 1 nên xét biểu thức 4y - x nhằm khử b, xét biểu thức x + 9y nhằm tạo ra hệ số của b bằng 13

*Ví dụ 4: Cho một số tự nhiên chia hết cho 7 gồm 6 chữ số Chứng minh rằng nếu

chuyển chữ số tận cùng lên đầu tiên ta vẫn được một số chia hết cho 7

GIải:

Gọi số chia hết cho 7 đã cho là X = abcdeg, ta cần chứng minh Y = gabcde chia hết cho 7.

Thêm 3 chữ số vào đằng sau số 523 để được số chia hết cho các số 6, 7, 8, 9

Vậy hai số 523656 và 523152 là các số phải tìm

*Ví dụ 7: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p - 1)(p + 1) M 24

Mà (3, 8) = 1

Nên từ (1), (2), (3) ta suy ra (p - 1)(p + 1) M 24

IV Tìm số bị chia biết các số chia và số dư trong hai phép chia:

*Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 thì dư 1, chia cho 7 thì dư 5 Giải:

Gọi số phải tìm là n

+ Cách 1: Vì n không chia hết cho 5, n không chia hết cho 7 nên n không chia hết cho 34 Do đó n có dngj 35k + r (k, r ∈N, r < 35)

trong đó r chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 5

Các số chia cho 7 dư 5 (nhỏ hơn 35) là:

V.Các bài toán về ƯCLN, BCNN

1.Tìm hai số trong đó biết ƯCLN của chúng:

*Ví dụ 1: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng

bằng 6

Giải:

Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử a ≤ b)

Ta có: ƯCLN(a, b) = 1 nên đặt a = 6a’; b = 6b’; trong đó (a’, b’) = 1 (a, b, a’, b’ ∈N)

Do a + b = 84 nên 6(a’ + b’) = 84

=> a’ + b’ = 14

Chọn cặp số a’, b’ nguyên tố cùng nhau có tổng bằng 14 (a’ ≤ b’) ta được:

Do đó:

*Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 300, ƯCLN bằng 5

Giải: Gọi hai số phải tìm là a và b (a ≤ b)

Ta có: (a, b) = 5 nên ta đặt a = 5a’; b = 5b’ trong đó (a’, b’) = 1

Do a.b = 300 nên 5a’.5b’ = 300

Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử a ≤ b)

Ta có: (a, b)= 10 nên đặt a = 10a’ ; b= 10b’(trong đó (a’, b’) = 1; a’ ≤ b’)

Do đó ab = 100a’b’ (1)

Mặt khác: a.b = [a, b].(a,b) = 900.10 = 9000 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a’b’ = 90

*Ví dụ 5: Cho hai số tự nhiên a và b (a > b)

a) CMR nếu a chia hết cho b thì (a, b) = 1

b) CMR nếu a không chia hết cho b thì ƯCLN của hai số bằng ƯCLN của số nhỏ hơn và số dư trong phép chia số lớn cho số nhỏ

c) Dùng các nhận xét trên để tìm ƯCLN(72,56)

Giải:

a) Mọi ước chung của a và b hiển nhiên là ước của b

Đảo lại, do a chia hết cho b nên b là ước chung của a và b

Vậy (a, b) = b

b) Gọi r là số dư trong phép chia a cho b (a > b)

Ta có a = b.k + r (k ∈ N), cần chứng minh rằng (a,b) = (b,r)

Thật vây, nếu a và b cùng chia hết cho d thì r chia hết cho d, do đó ước chung của a

và b cũng là ước chung của b và r (1)

- Đảo lại nếu b và r cùng chia hết cho d thì a chia hết cho d, do đó ước chung của b

và r cũng là ước chung của a và b (2)

Từ (1) và (2) suy ra tập hợp các ước chung của a và b và tập hợp các ước chung của

b và r bằng nhau

Do đó hai số lớn nhất trong hai tập hợp đó cũng bằng nhau, tức là (a, b) = (b, r) c) 72 chia cho 56 dư 16 nên (72,56) = (56,16)

56 chia 16 dư 8 nên (56,16) = (16,8)

16 chia hết cho 8 nên (16,8) = 8

Ta có 1991 chia cho 8 dư 7, còn 8 chia cho 7 dư 1

Theo thuật toán Ơ-clit:

Theo đề bài: BCNN(a,b) + ƯCLN(a,b) = 19

Nên da’b’ + d = 19

suy ra d(a’b’ +1) = 19

Do đó a’b’ + 1 là ước của 19, và a’b’ + 1 ≥ 2

Giả sử a ≥ b thì a’ ≥ b’ Ta được:

4.Hai số nguyên tố cùng nhau:

Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1

*Ví dụ 8: Chứng minh rằng:

a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau

b) Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau

c) 2n + 1 và 3n + 1 (n ∈N) là hai số nguyên tố cùng nhau

Ta lại có a M d nên d ∈ƯC(a, b)

Mà a và b là hai số nguyên tố cùng nhau

Điều kiện để (9n + 24, 3n + 4) = 1 là d ≠ 2 và d ≠ 3.

Ta thấy d luôn khác 3 vì 3n + 4 không chia hết cho 3

Muốn d khác 2 phải có ít nhất một trong hai số 9n + 24 và 3n +4 không chia hết cho 2

Ta thấy 9n + 24 là số lẻ ⇔9n là số lẻ ⇔n là số lẻ

3n + 4 là số lẻ ⇔3n là số lẻ ⇔n là số lẻ

Vậy điều kiện để (9n + 24, 3n + 4) = 1 là n là số lẻ

Hay với n là số lẻ thì hai số 9n + 24 và 3n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau

5.Tìm ƯCLN của các biểu thức số

a) Ta có: 8 58 5 8 5a a a = 8 58 5 8 5000a a a + 8 5a

(9 lần 8a5) (8 lần 8a5)

Ta thấy số 8 58 5 8 5000a a a (8 lần 8a5) có tổng các chữ số hàng chẵn bằng tổng các chữ số hàng lẻ và đều bằng (4.8 + 4.5 + 4a)

Do đó số này chia hết cho 11

Suy ra 8 58 5 8 5a a a (9 lần 8a5) chia hết cho 11 khi và chỉ khi 8 5a chia hết cho 11

*Bài 3: Chứng minh rằng số 192021….7980 (viết liên tiếp các số tự nhiên từ 19 đến

80) chia hết cho 9 và chia hết cho 11

Vậy n chia hết cho 9 và chia hết cho 11

*Bài 4: Cho một số tự nhiên cia hết cho 11 gồm 4 chữ số khác nhau và khác 0

Chứng minh rằng có thể đổi vị trí các chữ số để được 7 số mới chia hết cho 11

Giải:

Gọi số đã cho là abcd

Vì số đó chia hết cho 11 nên (a + c) - (b + d) M11

Do vậy:

+ Nếu đặt a và c ở vị trí hàng nghìn và hàng chục thì có 2 cách đặt, khi đó cũng có 2 cách đặt b và d ở vị trí hàng trăm và hàng đơn vị Vậy có 2.2 = 4 cách

+ Nếu đặt b và d ở vị trí hàng nghìn thì có 2 cách đặt, khi đó cũng có 2 cách đặt a và

c ở vị trí hàng trăm và hàng đơn vị Vậy có 2.2 = 4 cách

Tổng số có: 4 + 4 = 8 số như vậy chia hết cho 11

Vậy có thêm 7 số nữa chia hết cho 11

*Bài 5: Cho a = 1313.1717 Trong các số 13a, 17a, 19a số nào có nhiều ước nhất.Giải:

Số các ước của 19a là: (13 + 1)(17 + 1)(1 + 1) = 504

Vậy 19a có nhiều ước nhất

*Bài 6: Tìm số tự nhiên n có 48 ước, biết rằng số n phân tích ra thừa số nguyên tố có

Ta có A M5, A M 49 nên A chứa hai thừa số nguyên tố 5 và 7

Ta lại thấy số 10 chỉ có một cách viết thành tích của hai thừa số lớn hơn 1 là 2.5 ;và không thể viết thành tích của nhiều hơn hai thừa số lớn hơn 1

Do đó, khi phân tích ra thừa số nguyên tố, A có dạng: A = 5x.7y với x ≥ 1; y ≥ 2

Vì A có 10 ước nên: (x +1).(y +1) = 10 = 2.5

Ta chọn số nhỏ nhất trong trường hợp này là 22.3 = 12

So sánh hai trường hợp ta thấy số nhỏ nhất có 6 ước là 12

Số nhỏ nhất trong trường hợp này là 29

+ Nếu n chứa hai thừa số nguyên tố: n = ax.by

Số nhỏ nhất trong trường hợp này là 24.3 = 48

So sánh hai trường hợp ta thấy số nhỏ nhất có 10 ước là 48

+ Nếu m chứa một thừa số nguyên tố: m = ax

Khi đó, vì m có 21 ước nên: x + 1 = 21 => x = 20

Số nhỏ nhất trong trường hợp này là 220 =

+ Nếu m chứa hai thừa số nguyên tố: m = ax.by

So sánh trong hai trường hợp ta có số nhỏ nhất có 21 ước là 576.

Số nhỏ nhất trong trường hợp này là: 27

+ Nếu p chứa hai thừa số nguyên tố: ax.by

Khi đó; (x +1)(y +1) = 4.2

=> x = 3; y = 1

Số nhỏ nhất trong trường hợp này là: 23.3 = 24

+ Nếu p chứa 3 thừa số nguyên tố: ax.by.cz

+ n chứa một thừa số nguyên tố: n = ax

Vì cần số có nhiều ước nhất nên ta cần chọn số có a nhỏ nhất để được số mũ lớn nhất

Ta xét 2x

Ta thấy 25 < 60< 26

Vậy trường hợp này ta có n = 25 có 6 ước

+ n chứa hai thừa số nguyên tố: n = ax.by Ta chọn 2x.3y (để được số mũ lớn nhất)

Theo trên ta có 24.3 = 48 có 10 ước; còn 24.5 > 60

Vậy trong các số nhỏ ơn 60 thì số 48 là số có nhiều ước nhất

*Bài 11: Số n có tổng các ước bằng 2n gọi là số hoàn chỉnh (hoặc hoàn hảo, hoàn

Tổng các ước của 220 (không kể 220) là:

*Bài 14: Số tự nhiên n có 39 ước Chứng minh rằng:

a) n là bình phương của số tự nhiên a

b) Tích các ước của n bằng a39

Giải:

a) Vì n có 39 ước => số các ước của n là số lẻ => n là số chính phương (chuyên đề về

số chính phương) => n là bình phương của một số tự nhiên a

b) Gọi các ước của n theo thứ tự tăng dần là d1; d2; …; d39

Vì a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a là số lẻ => a - 1 là số chẵn => a - 1 chia hết cho

2 => (a - 1)(a + 4) chia hết cho 2

- Vì a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a chỉ có một trong hai dạng: 3k + 1 và 3k + 2 (k ∈N)

+ Nếu a = 3k + 1 , khi đó a - 1 = 3k chia hết cho 3 => (a - 1)(a +4) M 3

+ Nếu a = 3k + 2 => a + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 M3 => (a - 1)(a + 4) M 3

Vậy (a - 1)(a + 4) chia hết cho 2 và 3 nên chia hết cho 6

*Bài 15:

a) Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 24

b) Chứng minh rằng tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48

Giải:

a) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là n; (n +1); (n +2); (n + 3)

Trong bốn số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 2 và có một số chia hết cho 4 nên tích của chúng chia hết cho 4.2 = 8

Và tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên tích của 4 số tự nhiên liêntiếp cũng chia hết cho 3

Mà (3,8) = 1

Do đó tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24

b) Gọi ba số chẵn liên tiếp là 2a, 2a + 2, 2a + 4

Tích của chúng là : 2a(2a +2)(2a + 4)

Ta có: 2a(2a +2)(2a +4) = 8.a(a +1)(a +2)

Vì a(a +1)(a +2) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6

Suy ra 8a(a +1)(a +2) chia hết cho 8.6 = 48

Vậy tích của ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48

*Bài 16:

a) ƯCLN của hai số tự nhiên bằng 4, số nhỏ bằng 8 Tìm số lớn

b) ƯCLN của hai số tự nhiên bằng 16, số lớn bằng 96 Tìm số nhỏ

Giải:

a) Vì ƯCLN của hai số bằng 4 nên ta gọi số lớn là a = 4k (k ∈N)

Do số nhỏ là 8 = 4.2 nên k < 2 và (k, 2) = 1 (vì nếu k chia hết cho 2 thì ƯCLN của hai số cần tìm sẽ lớn hơn 4)

Vậy k lẻ => k có dạng k = 2n + 1 (n = 1, 2, 3, …)

Suy ra số lớn có dạng 4(2n +1) (n = 1, 2, 3 , …)

b) Vì ƯCLN của hai số bằng 16 nên ta gọi số nhỏ là b = 16k (k ∈N)

Do số lớn là 96 = 16.6 nên k < 6 và (k, 6) = 1 (vì nếu 6 và k không nguyên tố cùng nhau thì ƯCLN của hai số đã cho sẽ lớn hơn 16)

+ Với k = 1 => b = 16

+ Với k = 5 => b = 80

Vậy có hai số thỏa mãn đề bài là 16 và 80

*Bài 17: Tìm hai số tự nhiên biết rằng:

a) Hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN bằng 28, các số đó trong khoảng từ 300 đến 440b) Hiệu của chúng bằng 48, ƯCLN bằng 12

Giải:

a) Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử a ≥ b)

Vì (a, b) = 28 nên a = 28a’ ; b = 28b’ với (a’, b’) = 1

Vậy a’ = 14 => a = 14.28 = 392

b’ = 11 => b = 28.11 = 308

Do đó, hai số phải tìm là 392 và 308

b) Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử a ≥ b)

Vì (a, b) = 12 nên a = 12a’ ; b = 12b’ với (a’, b’) = 1

Vậy có vô số đáp số: a = 12a’ ; b = 12b’ với a’ = 2n + 5 ; b’ = 2n + 1

*Bài 18: Tìm hai số tự nhiên:

a) Có tích bằng 720, ƯCLN bằng 6

b) Có tích bằng 4050, ƯCLN bằng 3

Giải:

a) Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử a ≤ b)

Vì (a, b) = 6 nên a = 6a’; b = 6b’ với (a’, b’) = 1

Theo bài ra: a.b = 720 => 6a’.6b’ = 720

=> a’.b’ = 20

Ta xét các số a’ và b’ nguyên tố cùng nhau có tích bằng 20 (a’ ≤ b’) là:

a’ = 1 ; b’ = 20 => a = 6; b = 120

a’ = 4; b’ = 5 => a = 24; b = 30

b) Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử a ≤ b)

Vì (a, b) = 3 nên a = 3a’; b = 3b’ với (a’, b’) = 1

Theo bài ra: a.b = 4050 => 3a’.3b’ = 4050

Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử a ≤ b)

Ta có: (a, b).[a,b] = a.b

Theo bài ra: a.b = 2700 => 3a’.3b’ = 2700

Khi đó ta có: a = 10a’; b = 10b’ với (a’, b’) = 1

Theo bài ra: a.b = 9000 => 10a’.10b’ = 9000

d) (a, b) = 15; [a, b] = 2100(a, b)

e) a.b = 180; [a, b] = 20(a,b)

Khi đó ta có: a = 6a’; b = 6b’ với (a’, b’) = 1

Suy ra: 6a’.6b’ = 360 => a’.b’ = 10

Ta chọn a’ và b’ nguyên tố cùng nhau và có tích bằng 10(giả sử a’≤ b’)

(a’ = 1 ; b’ = 10); (a’ = 2; b’ = 5)

Do đó: (a = 6; b = 60); (a = 12; b = 30)

b) Ta có: a.b = (a, b).[a,b] = 12.72 = 864

Khi đó a = 12a’; b = 12b’ (với (a’,b’) = 1; giả sử a’ ≤ b’)

Vì a.b = 864 => 12a’.12b’ = 864

Đáp số: 8 cặp:

(15, 31500); (45, 10500); (60,7875); (105, 4500), (180, 2625); (315, 1500); (375, 1260), (420, 1125)

510

5025

1 55 54 = 2.33 1

2

5427

12

5427b) Đặt d = (a,b) => a = d.a’; b = d.b’ (với a’, b’) = 1

12

63

14

369

*Bài 24: Đố vui: Tuổi và năm sinh

Đến năm 2010, số tuổi và số năm sinh của Hoàng có BCNN gấp 133 lần ƯCLN Tính năm sinh của Hoàng

Giải: Gọi số tuổi của Hoàng là a, số năm sinh là b

Khi đó ta có: a + b = 2010 và [a,b] = 133.(a,b)

Gọi (a, b) = d => a = d.a’ ; b = d.b’ (với (a’, b’) = 1)

=> a.b = d2.a’.b’

Mà [a, b] = 133.(a, b) và [a, b].(a, b) = a.b

=> 133.(a, b).(a, b) = a.b