Chuyên đề 4 một số bài toán về quan hệ chia hết trên tập hợp số nguyên

Các phương pháp chứng minh bài toán chia hết trong tập hợp số nguyên.. Sử dụng tính chất trong n số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho n.. Sử dụng các tính chất cơ bản như tích

Chuyên đề 4 MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN HỆ CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN

I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa phép chia

Cho hai số nguyên a và b trong đó b  0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và

r duy nhất sao cho a bq r= + , với 0 r  b Trong đó a là số bị chia, b là số chia, q

là thương, r là số dư

Khi a chia cho b thì các số dư r0;1; 2; 3; ; b

• Nếu r 0= thì a bq= , khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: a b hay b a.Vậy a chia hết cho b khi và chỉ khi tồn tại số nguyên q sao cho

a bq=

• Nếu r 0 , khi đó ta nói a chia b có số dư là r

2 Một số tính chất cần nhớ

• Tính chất 1 Mọi số nguyên khác 0 luôn chia hết cho chính nó

• Tính chất 2 Số nguyên a chia hết cho số nguyên b và số nguyên b chia hết cho số nguyên c thì số nguyên a chia hết cho số nguyên c

• Tính chất 3 Số nguyên a chia hết cho số nguyên b và ngược lại thì a=  b

• Tính chất 4 Nếu a.b m và (b, m)=1 thì a m

• Tính chất 5 Nếu hai số nguyên a và b cùng chia hết cho m thì (a b m )

• Tính chất 6 Nếu a chia hết cho m và n, trong đó (m, n)=1 thì a mn

• Tính chất 7 Nếu số nguyên a chia hết cho số nguyên b và số nguyên c chia hết cho số nguyên d thì tích ac chia hết cho tích bd

• Tính chất 8 Trong n số nguyên liên tiếp luôn tồn tại một số nguyên chia hết cho

n

• Tính chất 9 Nếu a b 0−  với a, b là các số tự nhiên và n là số tự nhiên bất kì thì

a −b chia hết cho a b−

• Tính chất 10 Nếu a b 0+  với a, b là các số tự nhiên và n là số tự nhiên lẻ thì

a +b chia hết cho a b+

3 Một số dấu hiệu chia hết

Đặt A a a= n n 1− a a a2 1 0, với a ; an n 1− ; ; a ; a ; a2 1 0 là các chữ số Khi đó ta có các dấu hiệu chia hết như sau

• Dấu hiệu chia hết cho 2

Số tự nhiên A chia hết cho 2 khi và chỉ khi a00; 2; 4; 6; 8

• Dấu hiệu chia hết cho 5

Số tự nhiên A chia hết cho 5 khi và chỉ khi a0 0; 5

Từ đó suy ra A chia hết cho 10 khi và chỉ khi a0 =0

• Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25

Số tự nhiên A chia hết cho 4(hoặc 25) khi và chỉ khi a a chia hết cho 4 (hoặc 1 025)

• Dấu hiệu chia hết cho 8 và 125

Số tự nhiên A chia hết cho 8(hoặc 125) khi và chỉ khi a a a chia hết cho 8 2 1 0(hoặc 125)

• Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9: Số tự nhiên A chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số A chia hết cho 3 (hoặc 9)

• Dấu hiệu chia hết cho 11

Số tự nhiên A chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số ở hàng

lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11

4 Đồng dư thức

• Định nghĩa Cho m là số nguyên dương Nếu hai số nguyên a và b cho cùng số

dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m Kí hiệu ab mod m( )

• Một số tính chất của đồng thức

Tính chất 1 Nếu ab mod m( ) thì b a mod m ( )

Tính chất 2 Nếu ab mod m( ) và b c mod m ( ) thì ac mod m( )

Tính chất 3 Nếu ab mod m( ) và c d mod m ( ) thì a c+  +b d mod m( )

Nếu ab mod m( ) và c d mod m ( ) thì a c−  −b d mod m( )

Tính chất 4 Nếu ab mod m( ), d là ước chung của a và b, biết rằng (d, m)=1 Khi đó ta có a b( )

II MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ CHIA HẾT

1 Các phương pháp chứng minh bài toán chia hết trong tập hợp số nguyên

1.1 Phương pháp 1 Sử dụng tính chất trong n số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho n

Cơ sở phương pháp Đây là dạng toán cơ bản thường gặp khi chúng ta mới bắt

đầu học chứng minh các bài toán chia hết Sử dụng các tính chất cơ bản như tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2, tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 Chúng ta vận dụng linh hoạt các tích chất cơ bản này để giải các bài toán chứng minh chia hết về tích các

số nguyên liên tiếp

 Ví dụ 1 Chứng minh rằng:

a) Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6

b) Tích của hai số nguyên chẵn liên tiếp chia hết cho 8

c) Tích của năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 120

c) Trong năm số nguyên liên tiếp có ba số nguyên liên tiếp nên trong đó có một chia hết cho 3 Do đó tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 Trong năm số

nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 5 nên tích của năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 5 Trong 5 số nguyên liên tiếp luôn có hai số chẵn liên tiếp do đó tích năm

số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 8 Ta có 120 3.5.8= và ( ) ( ) ( )3; 5 = 3; 8 = 5; 8 =1

Do vậy tích năm số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 120

 Ví dụ 2 Chứng minh rằng tích của ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48

Lời giải

Ba số chẵn liên tiếp có dạng 2n; 2n 2; 2n 4+ + với n là một số nguyên Khi đó tích của ba số chẵn liên tiếp là 2n 2n 2 2n 4( + )( + )=8n n 1 n 2( + )( + ) Trong tích có tích của ba số nguyên tiến tiếp nên n n 1 n 2( + )( + ) chia hết cho 6 Từ đó ta suy ra được tích của ba số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 48

Ta có k k 1 k 1( − )( + ) là tích ba số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 6 nên Do

đó ta được 8k k 1 k 1( − )( + ) chia hết cho 48 Như vậy 8k k 1 k 1( − )( + −) 48k chia hết cho 48 Từ đó ta được n3−28n chia hết cho 48

 Ví dụ 5 Cho n là số tự nhiên lẻ Chứng minh rằng 3

Do k và k 1+ là hai số tự nhiên liên tiếp nên k k 1( + ) chia hết cho 2

Từ đó ta được 4k k 1 2k 1( + )( + ) chia hết cho 8, suy ra ( 3 )

n −n chia hết cho 8

Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp các kết quả trên ta được 3

n −nchia hết cho 24

1.2 Phương pháp 2 Sử dụng định nghĩa về quan hệ chia hết và phép phân tích đa thức thành nhân tử

Cở sở phương pháp Để chứng minh biểu thức A chia hết cho biểu thức B ta phân

thích biểu thức A về dạng kB với k là một số nguyên Ta có hai chú ý như sau

+ Nếu A chia hết cho cả m và n với (m; n)=1 thì A chia hết cho tích mn

+ Nếu A phân tích được thành BC trong đó B chia hết cho m và C chia hết cho n thì

Ta có 3 ( 2 ) ( ) ( )

n − =n n n − =1 n 1 n n 1− + Biểu thức là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tích luôn chia hết cho 2 và 3 Mà ta lại có ( )2; 3 =1 nên suy ra 3

n −n chia hết cho 6

Như đã chứng minh trên ta luôn có 3

n −n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n Xét hiệu sau

 Ví dụ 3 Đặt N a= 1+a2+a3+ + a2017+a2018 và M a= 51+a52+ + +a53 a52017+a52018trong đó a ; a ; a ; ; a1 2 3 2018 là các số nguyên dương Chứng minh rằng nếu N chia hết cho 30 thì M chia hết cho 30

Mà ta có 2, 3, 5 nguyên tố với nhau theo từng đôi một nên ta có 5 a 1 a a 1( − ) ( + ) và

(a 2 a 1 a a 1 a 2− )( − ) ( + )( + ) chia hết cho 30 Do vậy a5− chia hết cho 30 Ta có a

Áp dụng cách chứng minh như trên ta có ( 5 ) ( 5 ) ( 5 )

a −a ; a −a ; ; a −a cùng chia hết cho 30 Do vậy M N− chia hết cho 30 Mà ta có N chia hết cho 30 nên suy

Do 3, 4, 5 nguyên tố với nhau theo từng đôi một nên để chứng minh A chia hết cho

60 ta cần chứng minh A chia hết cho 3, cho 4, cho 5

• Dễ thấy (n 1 n n 1 3− ) ( + ) nên suy ra A 3

• Nếu n là số chẵn thì ta có 2

n 4, còn nếu n là số lẻ thì (n 1 n 1 4− )( + ) Do đó ta luôn có A 4

• Ta cần chứng minh A chia hết cho 5

Chú ý rằng một số tự nhiên n khi chia cho 5 nhận một trong các số dư 0, 1, 2, 3, 4 thì là n2 khi chia cho 5 nhận một trong các số dư 0, 1, 4

Do đó ta luôn có A chia hết cho 5

Kết hợp các kết quả trên ta suy ra được A 60

Bài toán quy về chứng minh ( )5 5 5

a b+ −a −b chia hết cho 5ab a b( + ) Ta có

a b a b 5a b 10a b 10a b 5ab 5ab a 2a b 2ab b

5ab a b 2a b 2ab 5ab a b a ab b 2ab a b5ab a b a ab b

Do đó suy ra a2+b2 chia hết cho c bài toán được chứng minh

1.3 Phương pháp 3 Sử dụng phương pháp tách tổng và áp dụng tính chất chia hết của một tổng

Cở sở phương pháp Để chứng minh A chia hết cho p ta biết đổi A thành tổng các

hạng tử rồi chứng minh mỗi hạng tử đều chia hết cho p

 Ví dụ 1 Chứng minh rằng với m, n là các số nguyên thì các biểu thức sau đây

đều chia hết cho 6

Do đó ( 5 )

n −n 10 nên bài toán được chứng minh

 Ví dụ 3 Cho biểu thức P ab a b= ( + )+2 với a, b là các số nguyên Chứng minh rằng nếu giá trị của P chia hết cho 3 thì P chia hết cho 9

ta được a b+ chia hết cho 3, điều này mâu thuẫn với ab a b( + ) chia 3 có số dư là 1

Do vậy a và b có cùng số dư khi chia cho 2

+ Nếu a và b có cùng số dư là 1 khi chia cho 3 thì ta được ab a b( + )+2 không chia hết cho 3 Do đó trường hợp này loại

+ Nếu a và b có cùng số dư là 2 khi chia cho 3 Khi đó đặt a 3m 2= + và b 3n 2= + với m và n là các số nguyên Từ đó ta được

2 2

P 3m 2 3n 2 3m 3n 4 2 9mn 6m 6n 4 3m 3n 4 29mn 3m 3n 4 2 3m 3n 12 3m 3n 18

9mn 3m 3n 4 18 m n 36 m n 18

Từ đó dễ thấy P chia hết cho 9

Vậy nếu giá trị của P chia hết cho 3 thì P chia hết cho 9

 Ví dụ 4 Cho biểu thức A=(a2020+b2020+c2020) (− a2016+b2016+c2016) với a, b, c là các số nguyên Chứng minh rằng A chia hết cho 30

(a 2 a 1 a a 1 a 2− )( − ) ( + )( + ) và 5 a 1 a a 1( − ) ( + ) chia hết cho 30 Do vậy a5− chia ahết cho 30 Tương tự ta cũng có 5

Lời giải

Dễ thấy 120 3.5.8= và ( ) ( ) ( )3; 5 = 5; 8 = 3; 8 =1 nên ta đi chứng minh S chia hết cho

3, 5, 8 Mặt khác khai trên S ta được S n= 5+5n4+5n3−5n2−6n

+ Biến đổi biểu thức S ta được

Do đó S chia hết cho 8

Từ các kết quả trên suy ra S chia hết cho 120 với mọi số nguyên n

 Ví dụ 6 Cho a, m, n là các số nguyên dương với a 1 Chứng minh rẳng

(am − chia hết cho 1) (an− khi và chỉ khi m chia hết cho n 1)

Lời giải

• Điều kiện cần Giả sử (am −1) (an− 1)

Do a, m , n là các số nguyên dương với a 1 nên suy ra m

a −  1 0

Do đó từ ( m ) ( n )

a −1 a − ta suy ra được 1 ( m ) ( n )

a − 1 a − nên m n1  Đặt m qn r= + với q,r N,0 r n  

• Điều kiện đủ Giả sử m chia hết cho n Khi đó đặt m nq= với q là số tự nhiên

 Ví dụ 7 Cho a, b là các số nguyên Chứng minh rằng ( 2 2)( 2 2)

ab a −b a +b chia hết cho 30

Để chứng minh ( 2 2)( 2 2)

ab a −b a +b chia hết cho 30 ta cần chứng minh được ( 2 2)( 2 2)

ab a −b a +b chia hết cho 5 Xét các trường hợp sau:

• Nếu trong hai số nguyên a và b có một số chia hết cho 5, khi đó

 Ví dụ 8 Cho a, b, c là các số tự nhiên đôi một có số dư khác nhau trong phép

chia cho 5 Chứng minh rằng trong ba số A 3a b c; B 3b c a; C 2a 2b c= + + = + + = + +

có duy nhất một số chia hết cho 5

Lời giải

Xét hai số D 4a c= + =(c a− +) 5a; E=4b c+ =5b+ −(c b)

Do a, b, c đôi một có số dư khác nhau khi chia cho 5 nên ta có c a; c b;a b− − −

không chia hết cho 5 Do đó D và E không chia hết cho 5 Ta xét các số sau

Nhận thấy tất cả các số trên đều không chia hết cho 5 Từ đó suy ra A, B, C, D, E có

số dư khác nhau khi chia cho 5 Mà ta biết rằng một số tự nhiên khi chia cho 5 có 5

số dư khác nhau là 0, 1, 2, 3, 4 Từ đó suy ra trong 5 số A, B, C, D, E có duy nhất

một số chia hết cho 5 Mà ta đã biết D và E không chia hết cho 5 nên Do đó trong

ba số A, B, C có duy nhất một số chia hết cho 5

1.4 Phương pháp 4 Sử dụng các hằng đẳng thức

Cở sở phương pháp Nếu a và b là các số nguyên thì ta luôn có

+ an−bn chia hết cho a b − với mọi n là số tự nhiên và a khác b

+ an−bn chia hết cho a b + với mọi n là số tự nhiên chẵn và a b + khác 0

+ an+bn chia hết cho a b + với mọi n là số tự nhiên lẻ và a b + khác 0

256 1 256 1 256 256 1 256.1 117.15 256 256 1 256.1 1 17

19.6 +7 25 −6 19 suy ra 57.52n+12.6 19n

 Ví dụ 3 Chứng minh rằng 1997 1993

A 1993= +1997 chia hết cho 30

Lời giải

Với c và d là một số nguyên dương Vậy A chia hết cho 30

 Ví dụ 4 Chứng minh rằng C 5 5= n( n+ −1) (6 3n n+2n) chia hết cho 91 với mọi số

tự nhiên n

Lời giải

Ta có 91 7.13= và (7;13)=1 nên ta đi chứng minh C chia hết cho 7 và 13

+ Chứng minh C chia hết cho 7 Ta có

Với c, d, e là các số nguyên Do đó C chia hết cho 7

+ Chứng minh C chia hết cho 13 Ta có

Với f, g, h là các số nguyên Do đó C hia hết cho 13

Vậy C chia hết cho 91

 Ví dụ 5 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có 5 5 5 5

A 1= + + + +2 3 nchia hết cho B 1 2 3 n= + + + +

Như vậy 2A chia hết cho cả n và n 1+ Mà ta có (n; n 1+ =) 1 nên 2A chia hết cho

tích n n 1( + ) Suy ra A chia hết cho n n 1( )

2

+ Vậy A chia hết cho B

Từ (1) và (2) suy ra 2A chia hết cho n(n + 1) do đó 2A 2BA B(đpcm)

 Ví dụ 6 Cho n là số nguyên dương bất kì và với mỗi số nguyên dương k, ta đặt

Mà ta có (n; n 1+ =) 1 nên suy ra 2Sk chia hết cho n n 1( + ) Điều này dẫn đến Sk

Như vậy Sk chia hết cho S1 với mọi k là số lẻ Do vậy S2019 chia hết cho S1

• Nhân xét Bài toán trong ví dụ 6 chính là tổng quát của bài toán trong ví dụ 5

1.5 Phương pháp 4 Sử dụng phương pháp xét số dư

Cơ sở phương pháp Để chứng minh A n( ) chia hết cho p ta xét số n có các dạng n kp r= + với r0;1; 2; ; p 1 −  Nghĩa là ta xét các số dư của phép chia n cho số p

 Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có n 2n 7 7n 1( + )( + ) chia hết cho 6

Lời giải

Trong hai số n và 7n 1+ phải có một số chẵn nên n 2n 1 7n 1( + )( + ) chia hết cho 2

Mà ta có ( )2; 3 =1 nên ta chỉ cần chứng minh n 2n 1 7n 1( + )( + )chia hết cho 3

Thật vậy, số tự nhiên n được biểu diễn bởi các dạng sau n 3k; n 3k 1; n 3k 2= = + = +với k là một số tự nhiên Do đó ta có ba trường hợp sau

+ Trường hợp 1 Khi n 3k= thì ta có n 2n 1 7n 1( + )( + =) 3k 6k 1 21k 1( + )( + ) chia hết cho 3

+ Trường hợp 2 Khi n 3k 1= + thì ta có 2n 7+ =(6k 9+ ) chia hết cho 3, do đó ta được n 2n 7 7n 1( + )( + ) chia hết cho 3

+ Trường hợp 3 Khi n 3k 2= + thì ta có 7n 1+ =(21k 15+ ) chia hết cho 3, do đó ta được n 2n 7 7n 1( + )( + )

Từ các trường hợp trên suy ra n 2n 7 7n 1( + )( + ) chia hết cho 3

Do vậy n 2n 7 7n 1( + )( + ) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n

 Ví dụ 2 Chứng minh rằng 4n−2019n 1− chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n

Lời giải

4 −2019n 1− = 4 −3n 1− −2016n Số tự nhiên n được biểu diễn bởi các dạng sau n 3k; n 3k 1; n 3k 2= = + = + với k là một số tự nhiên Do đó ta đi xét ba trường hợp sau

+ Trường hợp 1 Khi n 3k= với k là một số tự nhiên

Từ đó ta được 4n−3n 1 4− = 3k− −1 9k 64= k− −1 9k

Để ý rằng 64k− =1 (64 1 64− )( k 1− +64k 2− + + chia hết cho 9 1)

Do đó 43k− −1 9k chia hết cho 9 nên 4n−3n 1− chia hết cho 9

+ Trường hợp 2 Khi n 3k 1= + với k là một số tự nhiên

Từ đó ta được n 3k 1 ( ) ( k )

4 −3n 1 4− = + −3 3k 1+ − =1 4 64 − −1 9k Tương tự như trên ta cũng được n

4 −3n 1− chia hết cho 9

+ Trường hợp 3 Khi n 3k 2= + với k là một số tự nhiên

Từ đó ta được n 3k 2 ( ) ( k )

4 −3n 1 4− = + −3 3k 2+ − =1 16 64 − −1 9k 9+ Tương tự như trên ta cũng được 4n−3n 1− chia hết cho 9

Vậy với mọi n là số tự nhiên thì 4n−3n 1− chia hết cho 9

Do đó 4n−2019n 1− chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n

 Ví dụ 3 Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn 3 3 3

a +b + chia hết cho 14 cChứng minh rằng abc cũng chia hết cho 14

Lời giải

Do a3+b3+ chia hết cho 14 nên c3 a3+b3+ là một số chẵn Do đó trong c3

các số a, b, c có ít nhất một số chẵn Từ đó suy ra tích abc chia hết cho 2 Giả sử trong ba số a, b, c không có số nào chia hết cho 7 Ta thấy rằng với mọi x nguyên không chia hết cho 7 thì x chia 7 nhận một trong các số dư 1; 2; 3   Khi đó 3

xchia 7 nhận một trong hai số dư là 1 và −1 Do vậy các số a ; b ; c khi chia cho 7 có 3 3 3thể nhận một trong hai số dư là 1 và −1 Do đó 3 3 3

a +b + khi chia cho 7 có thể cnhận một trong các số dư 3; 1;1; 3− − Điều này có nghĩa là a3+b3+ không chia c3

hết cho 7 Điều này trái với giả thiết của bài toán Do vậy trong ba số a, b, c có ít nhất một số chia hết cho 7 Suy ra tích abc chia hết cho 7 Mà 2 và 7 nguyên tố cùng nhau nên suy ra tích abc chia hết cho 14

 Ví dụ 4 Tìm k để tồn tại số tự nhiên n sao cho (n2−k 4) với k0;1; 2; 3

Do đó để ( 2 )

n −k chia hết cho 4 thì k chia hết cho 4 nên suy ra k 0=

+ Trường hợp 2 Nếu n 4q 1=  với q là số tự nhiên Khi đó ta có

n − =k 4q 1 − =k 16q 8q 1 k+ −

Do đó để (n2−k) chia hết cho 4 thì 1 k− chia hết cho 4 nên suy ra k 1=

+ Trường hợp 3 Nếu n 4q 2= + với q là số tự nhiên Khi đó ta có

n − =k 4q 2+ − =k 16q +16q 4 k+ −

Do đó để ( 2 )

n −k chia hết thì k chia hết cho 4 nên suy ra k 0=

Vậy với k 0= hoặc k 1= thì luôn tồn tại số tự nhiên n để ( 2 )

4 Nên A chia hết cho 23

+ Trường hợp 2 Nếu n 2k 1= + , với k là số một số tự nhiên Khi đó 2

n +4và 2

n +1đều không chia cho 4 Nên A không chia hết cho 23

Như vậy để A chia hết cho 3

2 thì n phải là số chẵn

• Tìm n để A chia hết cho 3 Ta xét các trương hợp sau:

+ Trường hợp 1 Nếu n 3k= , với k là số một số tự nhiên Khi đó A chia hết cho 3

+ Trường hợp 2 Nếu n 3k 1=  , với k là số một số tự nhiên Khi đó 2

n +4và n2+1đều không chia cho 3 Nên A không chia hết cho 3

Như vậy để A chia hết cho 3 thì n phải là bội số của 3

• Tìm n để A chia hết cho 5 Ta xét các trương hợp sau:

+ Trường hợp 1 Nếu n 5k= , với k là số một số tự nhiên Khi đó A chia hết cho 5

+ Trường hợp 2 Nếu n 5k 1=  , với k là số một số tự nhiên Khi đó 2

n +4chia hết cho 5 Nên A chia hết cho 5

+ Trường hợp 3 Nếu n 5k 2=  , với k là số một số tự nhiên Khi đó 2

n +1 chia hết cho 5 Nên A chia hết cho 5

Với mọi số tự nhiên n thì A luôn chia hết cho

Kết hợp các kết quả trên ta thấy để A chia hết cho 120 thì n phải là số chẵn và là bội của 3

Do 3, 4, 5 nguyên tố với nhau theo từng đôi một nên để chứng minh A chia hết cho

60 ta cần chứng minh A chia hết cho 3, 4, 5

• Dễ thấy (n 1 n n 1− ) ( + ) chia hết cho 3 nên suy ra A chia hết cho 3

• Nếu n là số chẵn thì ta có 2

n chia hết cho 4 và nếu n là số lẻ thì (n 1 n 1− )( + ) chia hết cho 4 Do đó ta luôn có A chia hết cho 4

• Ta cần chứng minh A chia hết cho 5

Ta có số tự nhiên n khi chia cho 5 có một trong các số dư 0, 1, 2, 3, 4 nên 2

n khi chia cho 5 nhận một trong các số dư 0, 1, 4

Do đó ta luôn có A luôn chia hết cho 5

Kết hợp các kết quả trên ta suy ra được A luôn chia hết cho 60

 Ví dụ 7 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì n

2 +1 không thể chia hết cho 7

Lời giải

Nếu cho n nhận các giá trị là 1; 2; 3; 4; 5; 6 thì giá trị của 2 lần lượt là 2; 4; 8; 16; 32;

64 Khi đó số dư của 2n khi chia cho 7 lần lượt là 2; 4; 1; 2; 4; 1 Chú ý là các số 1; 2;

3 và 4; 5; 6 theo thứ tự chia 3 có số dư là 1; 2; 3 Điều này gợi ý ta chứng minh n

2chia cho 7 có số dư lần lượt là 2; 4; 1 tương ứng với n chia 3 dư 1; dư 2; dư 0

Thật vậy, xét các số n 3k 1; n 3k 2; n 3k 3= + = + = + với k là số tư nhiên, khi đó ta xét từng trường hợp như sau

+ Trường hợp 1 Với n 3k 1= + , khi đó n 3k 1 ( )3 k ( )k ( )

2 =2 + =2 2 =2 7 1+ =2 7a 1+ chia 7 dư 2, với a là số một số tự nhiên

+ Trường hợp 2 Với n 3k 2= + , khi đó n 3k 2 ( )3 k ( )k ( )

2 =2 + =4 2 =4 7 1+ =4 7b 1+ chia 7 dư 4, với b là số một số tự nhiên

+ Trường hợp 3 Với n 3k 3= + , khi đó n 3k 3 ( )3 k ( )k 1

2 =2 + =4 2 = 7 1+ + =7c 1+ chia 7

dư 1, với c là số một số tự nhiên

Từ đó ta thấy với mọi số nguyên dương n thì n

2 chia 7 có số dư là 1; 2; 4 Do đó suy ra 2n+1 chia cho 7 sẽ có các số dư là 2; 3; 5, điều này có nghĩa là 2n+1 không chia hết cho 7

 Ví dụ 8 Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn (x y y z z x− )( − )( − )= + +x y z Chứng minh rằng x y z+ + chia hết cho 27

Lời giải

Ta xét các trường hợp sau

+ Trường hợp 1 Nếu x, y, z có số dư khác nhau khi chia cho 3 thì các số (x y ;− ) (y z ; z x− ) ( − ) không chia hết cho 3, mà ta lại có x y z+ + chia hết cho 3 Điều này mâu thuẫn với giả thiết của bài toán

+ Trường hợp 2 Nếu trong ba số x, y, z có hai số chia cho 3 có cùng số dư Khi đó

trong (x y ; y z ; z x− ) ( − ) ( − ) có một hiệu chia hết cho 3 Mà ta lại có x y z+ + không chia hết cho 3 Điều này mâu thuẫn với giả thiết của bài toán

+ Trường hợp 3 Nếu ba số x, y, z chia cho 3 cho cùng số dư, khi đó các số (x y ;− ) (y z ; z x− ) ( − ) cùng chia hết cho 3 Nên suy ra được (x y y z z x− )( − )( − ) chia hết cho 27 Từ đó ta được x y z+ + chia hết cho 27

Vậy bài toán được chứng minh

 Ví dụ 9 Cho biểu thức P abc a 1 b 4 c 6= ( − )( + )( + ) với a, b, c là các số nguyên thỏa mãn a b c 2019+ + = Chứng minh rằng giá trị của P chia hết cho 6

Lời giải

Ta có 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên để chứng minh P chia hết cho 6 ta chứng minh P chia hết cho cả 2 và 3

+ Chứng minh P chia hết cho 2

Do a b c 2019+ + = là số lẻ nên trong ba số a, b, c hoặc có một số lẻ và hai số chẵn hoặc cả ba số đều lẻ Khi đó nếu trong ba số a, b, c có một số chẵn và hai số lẻ thì suy ra được abc là số chẵn nên P chia hết cho 2 Nếu cả ba số a, b, c đều là số lẻ thì

a 1− là số chẵn, do đó P chia hết cho 2 Vậy ta luôn có P chia hết cho 2

+ Chứng minh P chia hết cho 3

Giả sử P không chia hết cho 3 Khi đó dễ thấy a a 1( − ) không chia hết cho 3 nên suy

ra a chia 3 có số dư là 2 Lại có b b 4( + ) không chia hết cho 3 nên suy ra b chia 3 có

số dư là 1 Do đó a b+ chia hết cho 3 Mà ta lại có a b c 2019+ + = chia hết cho 3 nên suy ra chia hết cho 3 Từ đó suy ra P chia hết cho 3, điều này mâu thuẫn với giả sử

ở trên Vậy điều giả sử là sai nên P luôn chia hết cho 3

Do đó bài toán được chứng minh

1.6 Phương pháp 6 Sử dụng phương pháp phản chứng

• Cơ sở phương pháp

Giả sử ta cần chứng minh A chia hết cho B Tư tưởng của phương pháp là ta hãy giả

sử A không chia hết cho B, sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý Điều vô lý có thể là trái với giả thiết, hoặc là những mệnh đề mâu thuẫn nhau, từ đó suy ra điều cần chứng minh là đúng

• Các bước suy luận phản chứng

Bước 1 Giả sử điều cần chứng minh là sai (phủ định lại mệnh đề cần chứng minh)

Bước 2 Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới, mà những tính

chất này mâu thuẫn với điều đã cho hoặc trái với tính chất ta đã biết

Bước 3 Ta kết luận điều giả sử ban đầu là sai Vậy bài toán được chứng minh

• Chú ý Trong các bước suy luận phản chứng nêu trên, bước 1 rất quan trọng vì cần tạo

chia hết cho 5 ta được (n 3+ ) và (n 2− ) cùng chia hết cho 5, suy ra (n 3 n 2+ )( − )

chia hết hết cho 25 Tức là n2+ − chia cho 25 dư 15 mâu thuẫn với giả sử Như n 16vậy điều giả sử trên là sai

Vậy n2+ − không chia hết cho 25 với mọi số tự nhiên n n 16

 Ví dụ 2 Chứng minh rằng 3

n chia hết cho 3 thì n cũng chia hết cho 3 với n là một số tự nhiên bất kỳ

Lời giải

Giả sử n không chia hết cho 3 Khi đó n có dạng n 3k 1= + hoặc n 3k 2= + với k là

số tự nhiên Ta xét hai trường hợp sau

+ Trường hợp 1 Nếu n 3k 1= + thì ta được 3 ( )3 3 2

n = 3k 1+ =27k +27k +9k 1+ không chia hết cho 3

+ Trường hợp 2 Nếu n 3k 2= + thì ta được 3 ( )3 3 2

n = 3k 2+ =27k +54k +36k 4+ không chia hết cho 3

Cả hai trường hợp đều xẩy ra mâu thuẫn, suy ra n phải chia hết cho 3 vậy bài toán được chứng minh

 Ví dụ 3 Chứng minh hai số nguyên dương có tổng bình phương chia hết cho 3

thì mỗi số đều phải chia hết cho 3

Lời giải

Giả sử hai số nguyên dương a, b có ít nhất một số không chia hết cho 3, chẳng hạn

số đó là a Khi đó a 3k 1= + hoặc a 3k 2= + với k là số tự nhiên, suy ra a2 = + 3l 1Như vậy nếu số b chia hết cho 3 hoặc không chia hết cho 3 thì a2+b2 luôn có dạng 3m 1+ hoặc 3m 2+ với m là một số nguyên dương, nghĩa là không chia hết cho 3, điều này dẫn đến mâu thuẫn Vậy bài toán được chứng minh

 Ví dụ 4 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n3−9n 27+ không chia hết cho 81

Lời giải

Giả sử tồn tại số tự nhiên n để n3−9n 27+ chia hết cho 81 Khi đó n2−9n 27+ chia hết cho 3 Từ đó ta được n3 chia hết cho 3 hay n chia hết cho 3 Khi đó tồn tại số tự nhiên k để n 3k= Do đó ta được 3 ( 3 )

n −9n 27+ =27 k − + Mà k 1 3

n −9n 27+ chia hết cho 81 nên suy ra k3− + chia hết cho 3 k 1

Để ý rằng với mọi số tự nhiên k thì 3 ( ) ( )

k − + =k 1 k 1 k k 1− + +1 không chia hết cho 3 Điều này mâu thuẫn với trên Do đó điều giả sử là sai

Vậy với mọi số tự nhiên n thì n3−9n 27+ không chia hết cho 81

 Ví dụ 5 Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n thỏa mãn ( 2014 )

2014 1+ chia hết cho n3+2012n

Vì n 1; n; n 1− + là ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3

Suy ra n n 1 n 1( − )( + ) chia hết cho 3, lại có mà 2013 chia hết cho 3 nên n3+2012nchia hết cho 3

Mặt khác 2014 ( )2014

2014 + =1 2013 1+ + =1 2013k 2+ với k là số tự nhiên

Do đó ( 2014 )

2014 1+ chia cho 3 dư 2 Điều này dẫn đến mâu thuẫn

Vậy không có số nguyên nào thỏa mãn điều kiện bài toán đã cho

1.7 Phương pháp 7 Sử dụng phương pháp quy nạp

• Cơ sở của phương pháp quy nạp

Một mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n được xem là đúng nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

+ Mệnh đề đúng với các giá trị đầu tiên của n

+ Từ giả thiết mệnh đề đúng với n k = với k là số tự nhiên ta suy ra đượcmệnh

đề đúng với n k 1 = +

• Các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Giả sử ta cần chứng minh A n( ) chia hết cho B n( ) với nguyên dương n n 0, ta tiến hành các bước như sau

+ Bước 1 Kiểm tra A n( ) có chia hết cho B n( ) với n=n0

+ Bước 2 Giả sử A n( ) chia hết cho B n( ) với n=k k( n ; k N0  )

+ Bước 3 Chứng minh A n( ) chia hết cho B n( ) với n k 1 = + và kết luận A n( )

chia hết cho B n( ) đúng với n n 0

• Chú ý Trong phương pháp quy nạp toán học thì mệnh đề có được từ bước thứ hai chính

là một giả thiết mới được dùng để chứng minh mệnh đề trong bước thứ ba Do đó cần phải

khai thác thật hiệu quả giả thiết quy nạp