Chuyên đề 4. Một số bài toán về quan hệ chia hết trên tập hợp số nguyên

Chuyên đề MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN HỆ CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa phép chia Cho hai số nguyên a b b  ta ln tìm hai số ngun q r cho a = bq + r , với  r  b Trong a số bị chia, b số chia, q thương, r số dư  Khi a chia cho b số dư r  0;1; 2; 3; ; b  • Nếu r = a = bq , ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: a b hay b a Vậy a chia hết cho b tồn số nguyên q cho a = bq • Nếu r  , ta nói a chia b có số dư r Một số tính chất cần nhớ • Tính chất Mọi số ngun khác ln chia hết cho • Tính chất Số nguyên a chia hết cho số nguyên b số nguyên b chia hết cho số nguyên c số ngun a chia hết cho số ngun c • Tính chất Số nguyên a chia hết cho số nguyên b ngược lại a = b • Tính chất Nếu a.b m ( b, m ) = a m • Tính chất Nếu hai số nguyên a b chia hết cho m ( a  b ) m • Tính chất Nếu a chia hết cho m n, ( m, n ) = a mn • Tính chất Nếu số nguyên a chia hết cho số nguyên b số nguyên c chia hết cho số nguyên d tích ac chia hết cho tích bd • Tính chất Trong n số nguyên liên tiếp tồn số ngun chia hết cho n • Tính chất Nếu a − b  với a, b số tự nhiên n số tự nhiên a n − bn chia hết cho a − b • Tính chất 10 Nếu a + b  với a, b số tự nhiên n số tự nhiên lẻ a n + bn chia hết cho a + b Một số dấu hiệu chia hết Đặt A = a na n −1 a 2a1a , với a n ; a n −1 ; ; a ; a1 ; a chữ số Khi ta có dấu hiệu chia hết sau • Dấu hiệu chia hết cho Số tự nhiên A chia hết cho a  0; 2; 4; 6; 8 • Dấu hiệu chia hết cho Số tự nhiên A chia hết cho a  0; 5 Từ suy A chia hết cho 10 a = • Dấu hiệu chia hết cho 25 Số tự nhiên A chia hết cho 4(hoặc 25) a1a chia hết cho (hoặc 25) • Dấu hiệu chia hết cho 125 Số tự nhiên A chia hết cho 8(hoặc 125) a 2a1a chia hết cho (hoặc 125) • Dấu hiệu chia hết cho 9: Số tự nhiên A chia hết cho (hoặc 9) tổng chữ số số A chia hết cho (hoặc 9) • Dấu hiệu chia hết cho 11 Số tự nhiên A chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn số chia hết cho 11 Đồng dư thức • Định nghĩa Cho m số nguyên dương Nếu hai số nguyên a b cho số dư chia cho m ta nói a đồng dư với b theo modun m Kí hiệu a  b ( mod m ) • Một số tính chất đồng thức Tính chất Nếu a  b ( mod m ) b  a ( mod m ) Tính chất Nếu a  b ( mod m ) b  c ( mod m ) a  c ( mod m ) Tính chất Nếu a  b ( mod m ) c  d ( mod m ) a + c  b + d ( mod m ) Nếu a  b ( mod m ) c  d ( mod m ) a − c  b − d ( mod m ) Tính chất Nếu a  b ( mod m ) , d ước chung a b, biết ( d, m ) = Khi ta có a b  ( mod m ) d d • Định lý Fermat Nếu p số nguyên tố a khơng chia hết cho p ta có a p−1  ( mod p ) II MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ CHIA HẾT Các phương pháp chứng minh toán chia hết tập hợp số nguyên 1.1 Phương pháp Sử dụng tính chất n số ngun liên tiếp ln có số chia hết cho n Cơ sở phương pháp Đây dạng toán thường gặp bắt đầu học chứng minh toán chia hết Sử dụng tính chất tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2, tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Chúng ta vận dụng linh hoạt tích chất để giải toán chứng minh chia hết tích số nguyên liên tiếp  Ví dụ Chứng minh rằng: a) Tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Tích hai số nguyên chẵn liên tiếp chia hết cho c) Tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Lời giải a) Trong số nguyên liên tiếp có số chia hết cho số chia hết tích số nguyên liên tiếp chia hết cho (do hai số nguyên tố nhau) b) Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n 2n + với n số ngun Do tích hai số nguyên liên tiếp có dạng 4n ( n + 1) Lại n n + hai số nguyên liên tiếp nên n ( n + 1) chia hết cho Vì 4n ( n + 1) chia hết cho Vậy tích hai số nguyên chẵn liên tiếp chia hết cho c) Trong năm số nguyên liên tiếp có ba số nguyên liên tiếp nên có chia hết cho Do tích năm số ngun liên tiếp chia hết cho Trong năm số nguyên liên tiếp có số chia hết tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho Trong số ngun liên tiếp ln có hai số chẵn liên tiếp tích năm số ngun liên tiếp ln chia hết cho Ta có 120 = 3.5.8 ( 3; ) = ( 3; ) = ( 5; ) = Do tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 120  Ví dụ Chứng minh tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 Lời giải Ba số chẵn liên tiếp có dạng 2n; 2n + 2; 2n + với n số nguyên Khi tích ba số chẵn liên tiếp 2n ( 2n + )( 2n + ) = 8n ( n + 1)( n + ) Trong tích có tích ba số ngun tiến tiếp nên n ( n + 1)( n + ) chia hết cho Từ ta suy tích ba số chẵn liên tiếp ln chia hết cho 48 ( )  Ví dụ Chứng minh A = n n − − 36n  chia hết cho với số   nguyên n Lời giải Biến đổi biểu thức A ta ( ) ( ) ( ) ( )( ) = n ( n − n − 6n − )( n − n − 6n + ) = n ( n − 1) − ( n + 1)  n ( n − 1) − ( n − 1)     = n ( n + 1) ( n − n − ) ( n − 1) ( n + n − ) = n ( n + 1)( n + )( n − )( n − 1)( n − )( n + ) A = n3 n2 −  − 36n  = n  n n − −  n n − +  = n n − 7n − n − 7n +     3 2 2 Ta thấy A tích số nguyên liên tiếp Do ta A chia hết cho với số nguyên n  Ví dụ Chứng minh n3 − 28n chia hết cho 48 với n số nguyên chẵn Lời giải Do n số nguyên chẵn nên tồn số nguyên k để n = 2k Khi ta có ( ) ( n − 28n = ( 2k ) − 28 ( 2k ) = 8k − 56k = 8k k − = 8k k − − ( ) = 8k k − − 48k = 8k ( k − 1)( k + 1) − 48k ) Ta có k ( k − 1)( k + 1) tích ba số ngun liên tiếp nên ln chia hết Do ta 8k ( k − 1)( k + 1) chia hết cho 48 Như 8k ( k − 1)( k + 1) − 48k chia hết cho 48 Từ ta n3 − 28n chia hết cho 48  Ví dụ Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh n − n chia hết cho 24 Lời giải Ta có n − n = n ( n − 1)( n + 1) Vì n − 1; n; n + ba số tự nhiên liên tiếp nên có ba số chia hết ta n − n = n ( n − 1)( n + 1) chia hết cho Do n lẻ nên n có dạng n = 2k + với k số tự nhiên Từ ta có n − n = n ( n − 1)( n + 1) = ( 2k + 1) 2k ( 2k + ) = 4.k ( k + 1)( 2k + 1) Do k k + hai số tự nhiên liên tiếp nên k ( k + 1) chia hết cho ( ) Từ ta 4k ( k + 1)( 2k + 1) chia hết cho 8, suy n − n chia hết cho Vì hai số nguyên tố nên kết hợp kết ta n − n chia hết cho 24 1.2 Phương pháp Sử dụng định nghĩa quan hệ chia hết phép phân tích đa thức thành nhân tử Cở sở phương pháp Để chứng minh biểu thức A chia hết cho biểu thức B ta phân thích biểu thức A dạng kB với k số nguyên Ta có hai ý sau + Nếu A chia hết cho m n với ( m; n ) = A chia hết cho tích mn + Nếu A phân tích thành BC B chia hết cho m C chia hết cho n A chia hết cho tích mn Trong phương pháp ta phải nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử  Ví dụ Chứng minh với số nguyên n n − n chia hết cho Lời giải ( ) Ta có n − n = n n − = ( n − 1) n ( n + 1) Biểu thức tích ba số ngun liên tiếp nên tích ln chia hết cho Mà ta lại có ( 2; ) = nên suy n − n chia hết cho  Ví dụ Đặt A = a + a + + a n B = a13 + a 32 + + a 3n a ; a ; ; a n số nguyên Chứng minh A chia hết cho B chia hết cho Lời giải Như chứng minh ta ln có n − n chia hết cho với số nguyên n Xét hiệu sau ( ) ( ) ( ) ( B − A = a13 + a 32 + + a 3n − ( a1 + a + + a n ) = a13 − a1 + a 23 − a + + a n3 − a n ( ) ( ) ( ) ) Từ ta a13 − a1 6; a 23 − a 6; ; a n3 − a n Do ta B − A Suy A chia hết cho B chia hết cho  Ví dụ Đặt N = a1 + a + a + + a 2017 + a 2018 M = a15 + a52 + a53 + + a 52017 + a 52018 a1 ; a ; a ; ; a 2018 số nguyên dương Chứng minh N chia hết cho 30 M chia hết cho 30 Lời giải Với a số ngun ta có ( = a ( a − 1)( a + 1) ( a ) ( − ) + 5a ( a − 1)( a + 1) a − a = a ( a − 1)( a + 1) a + = a ( a − 1)( a + 1) a − + ) = a ( a − 1)( a + 1)( a − )( a + ) + 5a ( a − 1)( a + 1) Để ý ( a − 1) a ( a + 1) ( a − )( a − 1) a ( a + 1)( a + ) chia hết cho 2, Mà ta có 2, 3, nguyên tố với theo đôi nên ta có ( a − 1) a ( a + 1) ( a − )( a − 1) a ( a + 1)(a + ) ( chia hết cho 30 Do a5 − a chia hết cho 30 Ta có ) 5 M − N = a 15 + a 25 + a 35 + + a 2017 + a 2018 − ( a + a + a + + a 2017 + a 2018 ) ( ) ( ) ( ) ( = a15 − a1 + a 25 − a + a 35 − a + + a 2018 − a 2018 ) ( )( ) ( Áp dụng cách chứng minh ta có a15 − a1 ; a 25 − a ; ; a 2018 − a 2018 ) chia hết cho 30 Do M − N chia hết cho 30 Mà ta có N chia hết cho 30 nên suy M chia hết cho 30  Ví dụ Chứng minh A = n − n chia hết cho 60 với số nguyên dương n Lời giải ( ) Ta có A = n − n = ( n − 1)( n + 1) n n + 60 = 3.4.5 Do 3, 4, nguyên tố với theo đôi nên để chứng minh A chia hết cho 60 ta cần chứng minh A chia hết cho 3, cho 4, cho • Dễ thấy ( n − 1) n ( n + 1) nên suy A • Nếu n số chẵn ta có n , cịn n số lẻ ( n − 1)( n + 1) Do ta ln có A • Ta cần chứng minh A chia hết cho Chú ý số tự nhiên n chia cho nhận số dư 0, 1, 2, 3, n chia cho nhận số dư 0, 1, + Nếu n chia cho có số dư n chia hết cho + Nếu n chia cho có số dư n − chia hết cho + Nếu n chia cho có số dư n + chia hết cho Do ta ln có A chia hết cho Kết hợp kết ta suy A 60  Ví dụ Chứng minh n − n − n + chia hết cho 128 với n số lẻ Lời giải ( ) ( ) ( )( ) ( Ta có n6 − n − n + = n n − − n − = n − n − = n − Vì n số lẻ nên đặt tồn số tự nhiên k để n = 2k + ( ) ( 2 Khi ta có n − = ( 2k + 1) − 1 = 4k + 4k   ) =  4k ( k + 1)  Ta có k ( k + 1) chia hết suy  4k ( k + 1)  64 2 ) (n 2 +1 ) ( ) Mặt khác n + = ( 2k + 1) + = 4k + 4k + = 2k + 2k + 2 ( ) (n Do ta n − n − n + = n − 2 ) + chia hết cho 128  Ví dụ Cho x, y, z số nguyên dương phân biệt Chứng minh rằng: A = ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) chia hết cho B = ( x − y )( y − z )( z − x ) 5 Lời giải Đặt a = x − y; b = y − z ta z − x = − ( a + b ) Bài toán quy chứng minh ( a + b ) − a − b5 chia hết cho 5ab ( a + b ) Ta có (a + b) ( − a − b = 5a b + 10a b2 + 10a b3 + 5ab4 = 5ab a + 2a b + 2ab2 + b3 ( ) ( ) ( ) ) = 5ab  a + b + 2a b + 2ab  = 5ab ( a + b ) a − ab + b + 2ab ( a + b )      2 = 5ab ( a + b ) a + ab + b ( ( ) ) Dễ thấy 5ab ( a + b ) a + ab + b2 5ab ( a + b ) Do ( a + b ) − a − b5 chia hết cho 5ab ( a + b ) Vậy ta ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) chia hết cho ( x − y )( y − z )( z − x ) 5  Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n  n ( n + 1) ln tìm số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a2 + b2 chia hết cho c Lời giải Xét số tự nhiên n  , ta đặt a = n2 + 2; b = n2 = n + 1; c = n2 + Dễ thấy n  a; b; c  ( n + 1) Ta có ( ) ( ) = ( n + 1) + ( n + 1) + + ( n + 1) + 2n ( n + 1) + n = ( n + 1) + 2n ( n + 1) + ( n + 1) = ( n + 1)( 2n + 2n + ) = ( 2n + 2n + ) c a + b2 = n + + n + n + 2 2 2 2 2 2 2 Do suy a2 + b2 chia hết cho c toán chứng minh 1.3 Phương pháp Sử dụng phương pháp tách tổng áp dụng tính chất chia hết tổng Cở sở phương pháp Để chứng minh A chia hết cho p ta biết đổi A thành tổng hạng tử chứng minh hạng tử chia hết cho p  Ví dụ Chứng minh với m, n số nguyên biểu thức sau chia hết cho ( ( ) a) n n + 11 b) mn m − n ) c) n ( n + 1)( 2n + 1) Lời giải ( ) a) Ta có n n + 11 = n + 11n = n − n + 12n = ( n − 1) n ( n + 1) + 12n Dễ thấy ( n − 1) n ( n + 1) chia hết cho với số nguyên n ( ) Do ta n n + 11 chia hết cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( b) Ta có mn m2 − n2 = mn  m2 − − n2 −  = mn m − − mn n −   ( ) ( ) ) Do mn m − = n ( m − 1) m ( m + 1) mn n − = m ( n − 1) n ( n + 1) chia hết ( ) ta mn m − n chia hết cho c) Ta có n ( n + 1)( 2n + 1) = n ( n + 1)( n + + n − 1) = n ( n + 1)( n + ) + ( n − 1) n ( n + 1) Do n ( n + 1)( n + ) ( n − 1) n ( n + 1) nên ta suy n ( n + 1)( 2n + 1) chia hết cho  Ví dụ Chứng minh n n có chữ số tận giống với n số tự nhiên Lời giải ( ) Để chứng minh n n có chữ số tận giống ta chứng minh n − n 10 Thật ta có ( ) ) ( ( )( ) ) ( )( ) n5 − n = n n4 − = n n2 − n2 + = n n2 −  n − + 5   2 = n n − n − + 5n n − = ( n − )( n − 1) n ( n + 1)( n + ) + ( n − 1) n ( n + 1) ( )( Ta có ( n − )( n − 1) n ( n + 1)( n + ) tích năm số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho chia hết cho 10 Mặt khác ( n − 1) n ( n + 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết ( n − 1) n ( n + 1) chia hết cho 10 ( ) Do n − n 10 nên tốn chứng minh  Ví dụ Cho biểu thức P = ab ( a + b ) + với a, b số nguyên Chứng minh giá trị P chia hết cho P chia hết cho Lời giải Giả sử giá trị P chia hết cho Khi từ ab ( a + b ) + chia hết cho ta ab ( a + b ) chia có số dư Từ dẫn đến a b không chia hết cho hay a b chia cho nhận hai số dư Nếu a b có số dư khác ta a + b chia hết cho 3, điều mâu thuẫn với ab ( a + b ) chia có số dư Do a b có số dư chia cho + Nếu a b có số dư chia cho ta ab ( a + b ) + khơng chia hết cho Do trường hợp loại + Nếu a b có số dư chia cho Khi đặt a = 3m + b = 3n + với m n số nguyên Từ ta P = ( 3m + )( 3n + )( 3m + 3n + ) + = ( 9mn + 6m + 6n + )( 3m + 3n + ) + = 9mn ( 3m + 3n + ) + ( 3m + 3n ) + 12 ( 3m + 3n ) + 18 = 9mn ( 3m + 3n + ) + 18 ( m + n ) + 36 ( m + n ) + 18 Từ dễ thấy P chia hết cho Vậy giá trị P chia hết cho P chia hết cho ( ) (  Ví dụ Cho biểu thức A = a 2020 + b2020 + c 2020 − a 2016 + b2016 + c2016 ) với a, b, c số nguyên Chứng minh A chia hết cho 30 Lời giải Với a số nguyên ta có ( = a ( a − 1)( a + 1) ( a ) ( − ) + 5a ( a − 1)( a + 1) a − a = a ( a − 1)( a + 1) a + = a ( a − 1)( a + 1) a − + ) = a ( a − 1)( a + 1)( a − )( a + ) + 5a ( a − 1)( a + 1) Để ý ( a − )( a − 1) a ( a + 1)( a + ) ( a − 1) a ( a + 1) chia hết cho 2, Mà ta có 2, 3, nguyên tố với theo đôi nên ta có ... Định lý Fermat Nếu p số nguyên tố a không chia hết cho p ta có a p−1  ( mod p ) II MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ CHIA HẾT Các phương pháp chứng minh toán chia hết tập hợp số nguyên 1.1 Phương pháp... hai số nguyên chẵn liên tiếp chia hết cho c) Tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Lời giải a) Trong số nguyên liên tiếp có số chia hết cho số chia hết tích số nguyên liên tiếp chia hết. .. với k số số tự nhiên Khi n + chia hết cho Nên A chia hết cho + Trường hợp Nếu n = 5k  , với k số số tự nhiên Khi n + chia hết cho Nên A chia hết cho Với số tự nhiên n A ln chia hết cho Kết hợp