Đang tải... (xem toàn văn)
Ngoài ra ta còn áp dụng các điều kiện xác định của các hàm số lượng giác của.. hàm tang và cotang..[r]
(1)CHƯƠNG I: HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A PHƯƠNG PHÁP
Việc tìm tập xác định hàm số lượng giác ta áp dụng quy
tắc tìm điều kiện xác định hàm số trước học Chẳng hạn:
+ Hàm số có dạng phân số xác định mẫu số khác
+ Hàm số có dạng thức bậc hai(hoặc bậc chẵn) xác định biểu thức
căn khơng âm(lớn 0)
Ngồi ta áp dụng điều kiện xác định hàm số lượng giác
hàm tang cotang
+ Hàm số y=tanu có nghĩa ( )
u≠ +π kπ k∈ℤ
+ Hàm số y=cotu có nghĩa u ≠kπ (k∈ℤ)
Đặc biệt:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
sin sin sin -1
2
cos cos cos -1
2
x x k k x x k k x x k k
x x k k x x k k x x k k
π π
π π π
π π π π π
+ ≠ ⇔ ≠ ∈ + ≠ ⇔ ≠ + ∈ + ≠ ⇔ ≠ − + ∈
+ ≠ ⇔ ≠ + ∈ + ≠ ⇔ ≠ ∈ + ≠ ⇔ ≠ + ∈
ℤ ℤ ℤ
ℤ ℤ ℤ
Tóm lại:
(2)1 ( ) ( ) ( )
1
2 f x f x
f x
= , điều kiện: * f x1( ) có nghĩa
* f2( )x có nghĩa f2( )x ≠0
2 ( ) ( ) ( ) ,
m
f x = f x m∈ℕ , điều kiện: ( )
f x có nghĩa f1( )x ≥0
3 ( ) ( )
( ) ( )
1
2
,
m
f x
f x m
f x
= ∈ℕ , điều kiện: ( ) ( ) ,
f x f x có nghĩa f2( )x >0
b Hàm số y =sin ;x y=cosx xác định ℝ Nghĩa là:
* y=sinu x( );y=cosu x( ) xác định u x( ) xác định
* y=tanu x( ) có nghĩa u x( ) xác định ( ) ;
u x ≠ +π kπ k∈ℤ
* y=cotu x( ) có nghĩa u x( ) xác định u x( )≠ +kπ;k∈ℤ
* THỦ THUẬT KHI GIẢI TOÁN
Ở phần cần nhớ kĩ điều kiện xác định hàm số
như sau:
1 Hàm số y =sinx y=cosx xác định ℝ
2 Hàm số y=tanx xác định \
2 k k
π π
+ ∈
ℝ ℤ
3 Hàm số y=cotx xác định ℝ\ k{ π k∈ℤ}
B BÀI TẬP TỰ LUẬN CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
Hướng dẫn giải
π
Bài tập mẫu 1: Tìm tập xác định hàm số sau:
1 cos )
sin
x a y
x
+ =
− b y) cot 2x π
= −
(3)Vậy tập xác định hàm số là: \ ,
D= x≠ +π k π k∈
ℝ ℤ
b) Hàm số y xác định khi: 2x
3 k x k
π π π π
− ≠ ⇔ ≠ + (k∈ℤ)
Vậy tập xác định hàm số \ ,
6
D= π +kπ k∈
ℝ ℤ
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện: 2 x
k π π
≠ + ⇔ ≠ +x π k2π (k∈ℤ) D=R\{π +k2π} (k∈ℤ)
b) Điều kiện: 2 x≠ kπ
2 k x π
⇔ ≠ (k∈ℤ) \
k D=R π
(k∈ℤ)
Hướng dẫn giải
a) Hàm số xác định x k π π
− ≠ + π x k
10 π
⇔ ≠ + π (k∈ℤ)
Vậy TXĐ: D \ k , k 10
π
= + π ∈
ℝ ℤ
Bài tập mẫu 3: Tìm tập xác định hàm số sau:
a) y tan x
π
= −
b)
x y
2 cos x − =
+ Bài tập mẫu 2: Tìm tập xác định hàm số sau:
) tan x
(4)b) Hàm số xác định cos x 1+ ≠ cos x
⇔ ≠ − cos x cos2
π
⇔ ≠ x k2
3 π
⇔ ≠ ± + π
(k∈ℤ) Vậy TXĐ: D \ k2
π
= ± + π
ℝ (k∈ℤ)
Hướng dẫn giải
a) Hàm số xác định x k π
+ ≠ π (k∈ℤ) x k π
⇔ ≠ − + π (k∈ℤ)
Vậy TXĐ: D \ k , k
π
= − + π ∈
ℝ ℤ
b) HS xác định cos x− ≠0 cosx 2
⇔ ≠ cos x cos
4 π
⇔ ≠ x k2
4 π
⇔ ≠ ± + π (k∈ℤ)
Vậy TXĐ: D \ k2 , k
π
= ± + π ∈
ℝ ℤ
Xem thêm: Video cách tìm TXĐ hàm số lượng giác Casio 570VN Plus
tác giả tại: https://youtu.be/zc8N6_bXpTQ
Hình thu nhỏ Tiêu đề: Tìm Tập Xác Định Hàm
số lượng giác máy tính Casio 570 ES Plus Tốn 11
Kênh:
http://Youtube.com/XuctuNhaSachToan Bài tập mẫu 4: Tìm tập xác định hàm số sau:
a)y cot x
π
= +
b)
x y
2cos x
+ =
(5)C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÓ KẾT HỢP CASIO 570VN PLUS
Hướng dẫn giải
Ở hàm số ta thấy có dạng phân phức nên điều kiện mẫu số khác 0,
thêm vào tử số có chứa hàm tang nên áp dụng hai điều kiện ta được:
Hàm số xác định khi: x x
cos
k k
x x k
π π π π
π
≠ + ≠ +
⇔
≠ ≠
(k∈ℤ)
Chọn đáp án C
Hướng dẫn sử dụng Casio 570VN Plus
Nguyên tắc việc sử dụng máy thủ thuật ta dùng chức
Table máy để kiểm tra giá trị mà hàm số không xác định điểm
+ Khi máy tính khơng xác định điểm ta chữ ERROR
+ Trong tất đáp án ta chọn, tất chữ ERROR ta chọn đáp
án có vịng lặp nhỏ để chọn
+ Với thông số: Start giá trị đầu tiên, END = 20π 10π,…, STEP giá
trị vòng lặp(sau chữ k)
+ Tùy vào vịng lặp mà ta chọn giá trị END phù hợp Bài tập mẫu 1: Điều kiện xác định hàm số tan
cos
x y
x
=
− là:
A x≠k2π (k∈ℤ) B x k
π π
= + (k∈ℤ) C. 2
2
x k
x k π π
π
≠ +
≠
(k∈ℤ) D.
3
x k
x k
π π
π π
≠ +
≠ +
(6)Vì máy tính tính 20-30 giá trị tương ứng
+ Step đáp án, phần sau chữ k đáp án
* Thực máy theo bước sau:
+ Nhập giá trị hàm số vào:
Thứ tự bấm máy Màn hình hiển thị
+ Nhập thông số đáp án A với START =0; END=20 ; STEPπ =2π
+ Nhấn phím “=” “Xuống” để kiểm tra giá trị hàm số
+ Mặc dù đáp án A này, máy hiển thi ERROR tất cả, ta khoan vội chọn
đáp án Vì tất đáp án ERROR ta chọn đáp án có vịng lặp nhỏ
nhất Do ta tiếp tục kiểm tra kết
+ Kiểm tra đáp án B, với thông số giữ nguyên, ta cần sửa
3 Start=π
(7)Tại máy tính không hiển thị ERROR nên đáp án không
+ Tiếp tục ta thử đáp án C với thông số giữ nguyên, ta cần sửa
2
Start=π STEP=π Màn hình hiển thị:
Nhận thấy x
2 k π π
≠ + máy hiển thị ERROR, x≠k2π kiểm tra
đáp án A
Chọn đáp án C
Nhìn đáp án D, ta thấy
x≠ +π kπ khơng kiểm tra đáp án B
Hướng dẫn giải
Lý luận tương tự ta có:
Điều kiện xác định hàm số là:
cos
2
x k x k
x x k
π π
π π
≠
≠
⇔
≠ ≠ +
(k∈ℤ)
Bài tập mẫu 2: Tập xác định hàm số cot cos
x y
x
= là:
A x
2 k
π π
= + (k∈ℤ) B x=k2π (k∈ℤ) C x k= π (k∈ℤ) D.x
kπ
(8)Dùng quy tắc góp nghiệm đường tròn lượng giác ta kết hợp hai điều kiện
thành điều kiện là: x
kπ
≠ (k∈ℤ)
Chọn đáp án D
Cách khác: Nếu việc gộp điều kiện hai điều kiện khó khăn so với
các em học sinh Thì ta hồn tồn thực cách khác Bằng cách
biến đổi trước đặt điều kiện
Ta có biến đổi:
cos
cot sin cos cos 2cos
1
cos cos sin cos sin 2 sin 2
x
x x x x x
y
x x x x x
x
= = = = =
Điều kiện xác định hàm số là: sin 2
2
x≠ ⇔ x≠kπ ⇔ ≠x kπ (k∈ℤ)
Hướng dẫn sử dụng Casio 570VN Plus
+ Nhập hàm số cần tính vào Trong đó: cotx cos sin x x
=
Thứ tự bấm máy Màn hình hiển thị
+ Nhập thông số đáp án A với ; END 10 ; STEP
(9)+ Mặc dù đáp án A này, máy hiển thi ERROR tất cả, ta khoan vội chọn
đáp án Vì tất đáp án ERROR ta chọn đáp án có vịng lặp nhỏ
nhất Do ta tiếp tục kiểm tra kết
+ Kiểm tra đáp án B, với thông số giữ nguyên, ta cần sửa Start=0
2
STEP= π Màn hình hiển thị:
Máy tính hiển thị ERROR tất đáp án B
Lần lượt thử đáp án C
Và kết đáp án D là:
Như vậy: Trong tất đáp án đúng, đáp án câu D có vịng lặp nhỏ
(10)Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định hàm số là:
sin cos sin cos sin sin
2
2 2 2
2
2
x x x x x x
x x k
x k x k
x x k
π
π π
π π π π
π
π π
− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ −
≠ − +
⇔ ⇔ ≠ + ⇔ ≠ +
≠ − + +
Vậy tập xác định hàm số /
D= π +kπ
ℝ (k∈ℤ)
Chọn đáp án D
Cách khác: Ta có biến đổi: 1 sin cos
2 sin
y
x x
x π
= =
−
−
Điều kiện xác định hàm số là:
sin
4 4
x π x π kπ x π kπ
− ≠ ⇔ − ≠ ⇔ = +
(k∈ℤ)
Vậy tập xác định hàm số /
D= π +kπ
ℝ
Bài tập mẫu 3: Tập xác định hàm số sin cos
y
x x
=
− là:
A D={ℝ/kπ} (k∈ℤ)
B D={ℝ/ 2k π} (k∈ℤ)
C /
D= π +kπ
ℝ (k∈ℤ) D.D / k
π π
= +
(11)
Hướng dẫn giải
Vì hàm số y=cosx xác định với x nên ta cần tìm điều kiện cho thức
Điều kiện thức có nghĩa biểu thức khơng âm Do đó, điều kiện
xác định hàm số x≥0
Chọn đáp án B
Hướng dẫn sử dụng Casio 570VN Plus
Nhận thấy điểm ngăn cách điểm Do đó, ta tính giá trị hàm số
một khoảng có chứa số
+ Nhập hàm số vào:
Thứ tự bấm máy Màn hình hiển thị
Nhập thông số đáp án A với START =-4; END=4; STEP=1
Nhận thấy với x<0thì máy tính hiển thị ERROR cịn với x≥0 máy tính xác
định(nghĩa hiển thị số) Như hàm số xác định x≥0 Bài tập mẫu 4: Điều kiện xác định hàm số y=cos x
(12)Chọn đáp án B
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định hàm số
2
x≠ +π kπ ⇔ ≠ +x π kπ là:
* Tính giá trị y' 2x 12 x
= + A Và gán giá trị cho E
Vậy tập xác định hàm số /
4
k D= π + π
ℝ (k∈ℤ) Chọn đáp án C
Thực máy tính
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định hàm số là: sin sin 2 x+ ≠ ⇔ x≠ − ⇔ ≠ − +x π k π Bài tập mẫu 6: Tập xác định hàm số sin
sin
x y
x
− =
+ là:
A /
2
D= π +k π
ℝ (k∈ℤ) B D={ℝ/ 2k π} (k∈ℤ)
C. /3 2
D= π +k π
ℝ (k∈ℤ) D D={ℝ/π+k2π} (k∈ℤ) Bài tập mẫu 5: Tập xác định hàm số y=tan 2x là:
A /
4
k D= −π + π
ℝ (k∈ℤ) B D / k
π π
= +
ℝ (k∈ℤ)
C. /
4
k D= π + π
ℝ (k∈ℤ) D D / k
π π
= +
(13)Chọn đáp án C
Thực máy tính
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định hàm số sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ
Vậy tập xác định hàm số D={ℝ/kπ} (k∈ℤ)
Chọn đáp án D
Hướng dẫn giải
VÌ nhận thấy mẫu số phân số chứa hàm số sinx giá trị mẫu ln
khác Ở tử có chứa hàm cotx nên ta có : cot
x có nghĩa
sin x
≠
Chọn đáp án D
Bài tập mẫu 8: Cho phương trình cot
2 0
sin x
x+ = Khẳng định sau đúng? A Điều kiện xác định phương trình x thuộc ℝ
B Điều kiện xác định phương trình sinx≠ ±1
C Điều kiện xác định phương trình cos
x≠
sinx≠1
D Điều kiện xác định phương trình sin x ≠ Bài tập mẫu 7: Tập xác định hàm số 3cos
sin
x y
x
−
= là: với (k∈ℤ)
A /
D= π +kπ
ℝ B D={ℝ/ 2k π} C /
k D= π
(14)Hướng dẫn giải
Thực tương tự
Chọn đáp án C
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định hàm số là:
5
2 2
3 12
x− ≠ +π π kπ ⇔ x≠ + +π π kπ ⇔ x≠ π +kπ ⇔ ≠x π +kπ (k∈ℤ)
Chọn đáp án D
Bài tập mẫu 11: Tập xác định hàm số 2sin 1 cos
x y
x
+ =
− là:
A ={ π} ={ π} = π + π D = π + π Bài tập mẫu 10: Tập xác định hàm số tan 2x
3
y= −π là:
A /
6
k D= π + π
ℝ (k∈ℤ) B
5 /
12
D= π +kπ
ℝ (k∈ℤ)
C /
D= π +kπ
ℝ (k∈ℤ) D.
5 /
12
D= π +kπ
ℝ (k∈ℤ) Bài tập mẫu 9: Tập xác định hàm số cot
cos
x y
x
=
− là:
A D=ℝ\{k2 |π k∈ℤ} B. \ |
k
D= π k∈
ℝ ℤ
C D=ℝ\{kπ |k∈ℤ} D. \ 2 |
D= π +k π k∈
(15)Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định hàm số cos− x≠ ⇔0 cosx≠ ⇔ ≠1 x k2π
Vậy tập xác định hàm số là: D={ℝ/ 2k π}
Chọn đáp án A
Hướng dẫn giải
Chú ý: Đối với dạng tốn tìm tập xác định kết hợp với phương trình lượng giác có nhiều tập đa dạng Ta gặp toán thuộc
dạng nâng cao cuối chương
Chọn đáp án C
Hướng dẫn sử dụng Casio 570VN Plus
Đối với dạng toán này, ta kiểm tra lúc hai hàm để nhanh
+ Cài đặt máy tính tính song song hai hàm
+ Nhập hàm F(X) G(X) đáp án A B Bài tập 12: \{ , }
12
k
D=ℝ ± +π π π π+k (k∈ℤ)là tập xác định hàm số sau đây:
A.
x x y
2 sin
5 sin +
= B
x x y
cos
sin −
= C.
x x y
3 cos 2
tan −
= D
x x y
sin
2 cot
(16)Thứ tự bấm máy Màn hình hiển thị
+ Nhập thông số đáp án A với ; END 10 ; STEP
12
START = π = π = π
Thử hai hàm đán án C, D
Thứ tự bấm máy Màn hình hiển thị
(17)Giữ thơng số lại nhấn phím “bằng” xuống xể kiểm tra
Màn hình hiển thị
Chỉ có hàm câu C khơng xác định Còn đáp án lại xác định
Chọn đáp án C
Lưu ý: + Nếu thử họ nghiệm đầu tiền mà tất hiển thị ERROR ta tiếp
tục thử nghiệm cịn lại từ dùng Phương pháp loại suy để tìm đáp án
đúng
+ Ở này, nghiệm ta thấy câu C thỏa mãn nên ta chọn C
ngay mà khơng cần phải thử đáp án cịn lại
D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LUYỆN TẬP
Bài tập 1: Tìm tập xác định hàm số cos sin
x y
x +
=
A.D=ℝ\{kπ|k∈ℤ} B.D=ℝ\{π π+k |k∈ℤ} C.D=ℝ\{π+k2 |π k∈ℤ} D D=ℝ\ |{k π k∈ℤ}
Hướng dẫn giải
Hàm số cho xác định sin ,
x k
x k
x k
π
π π
≠
≠ ⇔ ∈
≠ +
ℤ
Nếu giải đến ta dễ dàng loại B,C,D vì:
Với C thiếu x≠ +π k2 ,π k∈ℤ
Với B,D khơng thõa mãn
Với A ta kết hợp gộp nghiệm ta x ≠kπ,k∈ℤ
(18)Bài tập 2: Tập xác định hàm số y=sin 5x+tan 2x là:
A \ ,
2 k k
π π
+ ∈
ℝ ℤ B \ , .
4 k k π π + ∈
ℝ ℤ C \ ( 1 ,) .
2 k k
π
+ ∈
ℝ ℤ D ℝ.
Hướng dẫn giải
Ở sin 5x xác định với số thực x Nên ta tìm điều kiện cho tan 2x xác
định , ,
2
k
x≠ +π kπ k∈ ⇔ ≠ +ℤ x π π k∈ℤ
Chọn đáp án B
Bài tập 3: Tập xác định D hàm số
3 cos tan sin x y x x − = −
− là:
A \ |
2 k k
π π
+ ∈
ℝ ℤ B \ | .
2 k k π π
+ ∈
ℝ ℤ C \ | .
2 k k π π + ∈
ℝ ℤ D \ | .
2 k k π ∈ ℝ ℤ
Hướng dẫn giải
Hàm số cho xác định khi:
3
,
cos , 2
\ ,
2
2
sin sin 1
2 ,
x k k x x k k
D x k k x
x x k k
π π π π π π π π ≠ + ∈ ≠ ≠ + ∈ ⇔ ⇔ ⇒ = ≠ + ∈ ≠ ≠ ≠ + ∈ ℤ ℤ ℝ ℤ ℤ
Chọn đáp án A
Bài tập 4: Tập xác định hàm số tan
y= x+π
A \ | k k π π
+ ∈
ℝ ℝ B \ | .
6 k k π π
+ ∈
ℝ ℤ C \ | .
12 k k
π π
+ ∈
ℝ ℤ D \ | .
12 k k π π + ∈ ℝ ℤ
Hướng dẫn giải
Hàm số cho xác định khi:
(19)Chọn đáp án D
Bài tập 5: Xét bốn mệnh đề sau:
1 Hàm số y =sinx có tập xác định ℝ
2 Hàm số y=cosx có tập xác định ℝ
3 Hàm số y=tanx có tập xác định ℝ\{kπ|k∈ℤ}
4 Hàm số y=cotx có tập xác định \ |
kπ k
∈
ℝ ℤ
Số mệnh đề là:
A B C D
Hướng dẫn giải
Mệnh đề ( )1 ( )2
Mệnh đề ( )3 ( )4 sai
Sửa lại cho sau:
( )3 Hàm số y=tanx có TXĐ \ ,
2 k k
π π
+ ∈
ℝ ℤ
( )4 Hàm số y=tanx có TXĐ ℝ \{kπ,k∈ℤ} Chọn đáp án A
Bài tập 6: Hàm số
1 tan
3
cot
x y
x
π
+ +
=
+ có tập xác định là:
A \ , k |
6
D= π +kπ π k∈
ℝ ℤ B \ , k |
12
D= π +kπ π k∈
ℝ ℤ
C \ k ; k |
12
D= π + π π k∈
ℝ ℤ D \ ; k |
12
D= π +kπ π k∈
ℝ ℤ