Chuyên đề hàm số liên tục - Lý thuyết và bài tập - Giáo viên Việt Nam

Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng... Phương pháp:.[r]

HÀM SỐ LIÊN TỤC A.ÔN TẬP LÝ THUYẾT:

1.Hàm số liên tục điểm: y = f(x) liên tục x0 

0

lim ( ) ( )

x x f x  f x

- Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực bước: Bước 1: Tính f(x0)

Bước 2: Tính lim ( )

x x f x (trong nhiều trường hợp ta cần tính x xlim ( ) 0 f x , lim ( )

x x  f x ) Bước 3: So sánh

0 lim ( )

x x f x với f(x0) rút kết luận

Bước 4: Kết luận

2.Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng

3.Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b) lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

x a  f x  f a x b  f x  f b

4.Hàm số đa thức liên tục R

Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng 5.Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó:

- Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0

- Hàm số y = ( ) ( )

f x

g x liên tục x0 g(x0) 

6.Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c  (a; b): f(c) =

Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm c (a; b)

Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m =  ; ( )

a b f x , M = max ( ) a b; f x Khi với T  (m; M) ln tồn số c  (a; b): f(c) = T

B.CÁC DẠNG TOÁN:

Vấn đề 1: Hàm số liên tục điểm:

Dạng 1:   



0

0

( , )

( ) h x m x x( , )

f x g x m x x taïi x x

Phương pháp:

Bước 1: Tính f(x0) Bước 2: Tính

0 lim ( )

x x f x

Bước 3: So sánh lim ( )

x x f x với f(x0) rút kết luận

Bước 4: Kết luận

Ví dụ 1: Xét tính liên tục hàm số điểm ra:       

 



2

2 1

( ) 3 2

3

x x khi x

f x x x taïi x khi x

Giải:

 

                         2

1 1

1

2 5

lim ( ) lim lim lim

1 2

3

x x x x

x x

x x x

f x

x x x

x x

Do:

1   

lim ( ) (1)

x f x f nên hàm số f(x) liên tục x0 1

Vậy: Hàm số f(x) liên tục x0 1

Ví dụ 2: Xét tính liên tục hàm số điểm ra:       

 



2

2 1

( ) 3 2

1

x x khi x

f x x x taïi x khi x Giải:   (1) f                          2

1 1

1

2 5

lim ( ) lim lim lim

1 2

3

x x x x

x x

x x x

f x

x x x

x x

Do:

1 

lim ( ) (1)

x f x f nên hàm số f(x) gián đoạn x0 1

Vậy: Hàm số f(x) gián đoạn x01

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục điểm ra:       

  



2

2 1

( ) 3 2

3 1

x x khi x

f x x x taïi x mx khi x

Giải:

  

(1) 1 f m                          2

1 1

1

2 5

lim ( ) lim lim lim

1 2

3

x x x x

x x

x x x

f x

x x x

x x

Để hàm số f(x) liên tục tạix0 1



         

1

2 lim ( ) (1) 3

3

x f x f m m

Vậy: Giá trị m cần tìm m = -3

Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Xét tính liên tục hàm số điểm ra:

a)

3 1

( ) 1

1

x khi x

f x x taïi x khi x            b)

3 1

1

( )

1 1

4

x khi x

x

f x taïi x

khi x             c)

2 2

( ) 3 2

1

x x x khi x

f x x x taïi x

khi x              d)          

3 1 1

0

( )

1 0

3

x khi x

x

f x taïi x

khi x

Bài tập 2: Tìm m, n để hàm số liên tục điểm ra:

a)

x x x khi x

f x x taïi x x m khi x

3 2 2

1

( ) 1

3              b)              

2 6

( ) 0, 3

( 3)

3

m khi x

x x

f x khi x x tại x và x

x x

c)

  

 

  

 



2 2

2

( ) 2

2 x x khi x

f x x taïi x m khi x

c)



 



    

 



3

2 2

( ) 6 6

2 x

khi x

f x x x taïi x m khi x

Dạng 2:   



0

0

( , )

( ) h x m x x( , )

f x g x m x x taïi x x   



0

0

( , )

( ) h x m x x( , )

f x g x m x x taïi x x

Phương pháp:

Bước 1: Tính f(x0) Bước 2: Tính 



lim ( )

x x f x ,  

0

lim ( )

x x f x

Bước 3: So sánh 

 0

lim ( )

x x f x ,  

0

lim ( )

x x f x với f(x0) rút kết luận

Bước 4: Kết luận

Ví dụ 1: Xét tính liên tục hàm số điểm ra:       

 



2

2 1

( ) 3 2

1

x x khi x

f x x x taïi x khi x

Giải:



(1) f

  

  

   

  

 

  

   

  

 

2 1

1 1

1

2 5

lim ( ) lim lim lim

1 2

2 x

x x x

x x

x x x

f x

x x x

x x

 

1  1 

lim ( ) lim 1

x f x x

Do:  

1  1   

lim ( ) lim ( ) (1)

x f x x f x f nên hàm số f(x) liên tục x0 1

Vậy: Hàm số f(x) liên tục x0 1

Ví dụ 2: Xét tính liên tục hàm số điểm ra:       

 



2

2 1

( ) 2

1

x x khi x

f x x x taïi x khi x

Giải:

 

(1) f

  

  

   

  

 

  

   

  

 

2 1

1 1

1

2 5

lim ( ) lim lim lim

1 2

2 x

x x x

x x

x x x

f x

x x x

x x

 

1  1    lim ( ) lim ( 1)

x f x x

Do:

 

1  1   

lim ( ) lim ( ) (1)

x f x x f x f nên hàm số f(x) gián đoạn x0 1

Vậy: Hàm số f(x) gián đoạn x01

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục điểm ra:       

  



2

2 1

( ) 2

3 1

x x khi x

f x x x taïi x mx khi x

Giải:

  

                           2 1

1 1

1

2 5

lim ( ) lim lim lim

1 2

2 x

x x x

x x

x x x

f x

x x x

x x

 

1  1      lim ( ) lim ( 1)

x f x x mx m

Do hàm số f(x) không liên tục x0 1  

 

         

1

2 lim ( ) lim ( ) (1) 1

3

x f x x f x f m m

Vậy: Giá trị m cần tìm là:  2

3 m

Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Xét tính liên tục hàm số điểm ra:

a)

2

5 5

( ) 2 1 3

( 5)

x khi x

f x x taïi x

x khi x

  



   

   



b) ( ) cos 0

1

x x

f x taïi x

x khi x

         c)            1

( ) 2 1

2

x khi x

f x x taïi x x khi x

d)           

1 1

1

( )

1

x x x

f x taïi x

x khi x

e)           1

( ) 1

2

x khi x

f x x taïi x x khi x

f)             2

3 1

( ) 1

2

x x x khi x

f x x taïi x x khi x

g)              2

1 0

( ) 4 16

1

x khi x

f x x tai x

x khi x

h)            

33 2 2

1

( )

1

x x x x

f x taïi x x khi x

Bài tập 2: Tìm m để hàm số liên tục điểm ra:

a)   

 



2 1

( )

2x khi x

f x taïi x

mx khi x b)

             5

( )

( 5)

x khi x

f x x taïi x x m x

c)     

 



1 cos

( )

1

m x x

f x taïi x

x khi x d)

            1

( ) 2 1

2 1

x

khi x

f x x taïi x mx khi x

e)             1

( ) 1

2( 1)

x khi x

f x x taïi x m x khi x

f)              2

3 1

( ) 1

2

x x x khi x

f x x taïi x m x khi x

Vấn đề 2: Hàm số liên tục tập xác định nó:

Dạng 1:   



0

0

( , )

( ) h x m x x( , )

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định hàm số

Bước 2: Khi x x 0 Kiểm tra tính liên tục hàm số f x( ) x x 0 Bước 3: Khi x x 0

- Tính f(x0) - Tính

0 lim ( )

x x f x

- So sánh lim ( )

x x f x với f(x0) rút kết luận điểm x0

Bước 4: Kết luận tính liên tục tập xác định chúng

Ví dụ 1: Xét tính liên tục hàm số tập xác định chúng:      

 



2

2 1

( ) 1

3

x x khi x f x x

khi x

Giải:

- Tập xác định: D R 

- Nếu x1, hàm số    

2

2

( )

1

x x

f x

x

Đây hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định ;1  1; Vậy liên tục khoảng ;1 1;

- Nếu x1

 

(1) f

  

   

 

 

    

 

2

1 1

1

2

lim ( ) lim lim lim(5 2)

1

x x x x

x x

x x

f x x

x x

Do:

1  

lim ( ) (1)

x f x f nên hàm số f(x) liên tục x0 1

Suy hàm số f(x) liên tục x0 1 - Vậy: Hàm số f(x) liên tục R

Ví dụ 2: Xét tính liên tục hàm số tập xác định chúng:      

 



2

2 1

( ) 1

1

x x khi x f x x

khi x

Giải:

- Tập xác định: D R 

- Nếu x1, hàm số    

2

2

( )

1

x x

f x

x

Đây hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định ;1  1; Vậy liên tục khoảng ;1 1;

- Nếu x1

 

  

   

 

 

    

 

2

1 1

1

2

lim ( ) lim lim lim(5 2)

1

x x x x

x x

x x

f x x

x x

Do:

1 

lim ( ) (1)

x f x f nên hàm số f(x) không liên tục x0 1

Suy hàm số f(x) không liên tục x0 1

- Vậy: Hàm số f(x) liên tục khoảng ;1 1; gián đoạn x0 1

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục tập xác định chúng:      

  



2

2 1

( ) 1

3 1

x x

khi x

f x x taïi x mx khi x

Giải:

- Tập xác định: D R 

- Nếu x1, hàm số    

2

2

( )

1

x x

f x

x

Đây hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định ;1  1; Vậy liên tục khoảng ;1 1;

- Nếu x1

  

(1) f m

  

   

 

 

    

 

2

1 1

1

2

lim ( ) lim lim lim(5 2)

1

x x x x

x x

x x

f x x

x x

Do hàm số f(x) không liên tục x0 1nên

1        

4 lim ( ) (1) 3

3

x f x f m m

- Vậy: Giá trị m cần tìm  4

3 m

Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Xét tính liên tục hàm số tập xác định chúng:

a)



 

  

 



3 1

( ) 1

1

x khi x f x x

khi x b)

   

   

 



3 1

1 ( )

1 1

4

x khi x x

f x

khi x

c)

   

 

  

 



2

2 2

( ) 2

1

x x x khi x

f x x

khi x

d)

3

3

2 1

1 ( )

4 1

3

x x khi x

x f x

khi x

  

   

 

  



e)

2 4

2

( ) 2

4

x khi x f x x

khi x  

  

  

  



f)

2 2

2

( ) 2

2 2

x

khi x f x x

khi x  

 

  

 



a)

   

 

  

  



3 2 2

1

( ) 1

3

x x x

khi x f x x

x m khi x

b)

 

  

  

 

 

2 6

( ) 0,

( 3)

3

m khi x

x x

f x khi x x

x x

n khi x

c)

  

 

  

 



2 2

2

( ) 2

2 x x khi x f x x

m khi x

d)

2 2

2

( ) 2

2 x x khi x f x x

m khi x   

 

  

 



e)

   

 

  

  



3 2 2

1

( ) 1

3

x x x khi x f x x

x m khi x

f)

  

 

  

 



3 2

2

( ) 2

2 x x khi x f x x

m khi x

Dạng 2:   



0

0

( , )

( ) h x m x x( , )

f x g x m x x taïi x x   

 

0

0

( , )

( ) h x m x x( , )

f x g x m x x taïi x x

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định hàm số

Bước 2: Khi x x 0 Kiểm tra tính liên tục hàm số f x( ) x x 0 Bước 3: Khi x x 0

- Tính f(x0) - Tính 

 0

lim ( )

x x f x ,  

0

lim ( )

x x f x

- So sánh 



lim ( )

x x f x ,  

0

lim ( )

x x f x với f(x0) rút kết luận điểm x0

Bước 4: Kết luận tính liên tục tập xác định chúng

Ví dụ 1: Xét tính liên tục hàm số tập xác định chúng:      

 



2

2 1

( ) 1

3

x x khi x f x x

khi x

Giải:

- Tập xác định: D R 

- Nếu x1, hàm số    

2

2

( )

1

x x

f x

x

Đây hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là;1  1; Vậy liên tục khoảng1;

- Nếu x1, hàm số f x( ) 1

Đây hàm đa thức có tập xác định R Vậy liên tục khoảng;1 - Nếu x1



  

 

   

  

 

 

    

  

2

2 1

1 1

1

2

lim ( ) lim lim lim(5 2)

1

2 x

x x x

x x

x x

f x x

x

x x

 

1  1 

lim ( ) lim 3

x f x x

Do:

 

1  1  

lim ( ) lim ( ) (1)

x f x x f x f nên hàm số f(x) liên tục x0 1

Vậy: Hàm số f(x) liên tục x0 1

- Vậy: Hàm số f(x) liên tục R

Ví dụ 2: Xét tính liên tục hàm số tập xác định chúng:      

 



2

2 1

( ) 1

1

x x khi x f x x

khi x

Giải:

- Tập xác định: D R 

- Nếu x1, hàm số    

2

2

( )

1

x x

f x

x

Đây hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là;1  1; Vậy liên tục khoảng1;

- Nếu x1, hàm số f x( ) 1 Đây hàm đa thứccó tập xác định R Vậy liên tục khoảng;1 - Nếu x1

 

(1) f

  

 

   

  

 

 

    

  

2

2 1

1 1

1

2

lim ( ) lim lim lim(5 2)

1

2 x

x x x

x x

x x

f x x

x

x x

 

1  1    lim ( ) lim 1

x f x x

Do:  

1  1 

lim ( ) lim ( ) (1)

x f x x f x f nên hàm số f(x) gián đoạn x0 1

- Vậy: Hàm số f(x) liên tục ;1  1; gián đoạn x0 1

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục tập xác định chúng:       

  



2

2 1

( ) 2

3 1

x x khi x f x x x

mx khi x

Giải:

- Tập xác định: D R 

- Nếu x1, hàm số    

2

2

( )

1

x x

f x

x

Đây hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là;1  1; Vậy liên tục khoảng1;

Vậy liên tục khoảng;1 - Nếu x1

  

(1) f m                         2 1

1 1

1

2

lim ( ) lim lim lim(5 2)

1

2 x

x x x

x x

x x

f x x

x

x x

 

1  1      lim ( ) lim ( 1)

x f x x mx m

Để hàm số f(x) gián đoạn x01khi  

1  1    

4 lim ( ) lim ( ) (1)

3

x f x x f x f m

- Vậy: Giá trị m cần tìm  4

3 m

Chú ý:

Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Xét tính liên tục hàm số tập xác định chúng:

a)             2 5 25

( ) 1

( 5)

10

x khi x

x f x

x khi x

b)    

 



1 cos

( )

1

x x f x

x khi x

d)

x khi x f x x x

khi x x

2

1

( ) 2 3

3             e)           1

( ) 1

2

x khi x f x x

x khi x

f)            

3 3 3 1

1

( ) 1

2

x x x khi x f x x

x khi x

e)

2 3 4 2

( )

2

x x khi x

f x khi x

x khi x

            g)

x khi x f x x x

khi x

2

12 2

( ) 7 10

2           

Bài tập 2: Tìm m để hàm số liên tục tập xác định chúng:

a)   

 



2 1

( )

2x khi x

f x

mx khi x b)

           2 5

( ) 25

( 5)

x khi x f x x

x m x

c)         

1 cos

( )

0 m x x f x x x

khi x x d)            1

( ) 1

2 1

x

khi x f x x

mx khi x

e)             1

( ) 1

2( 1)

x khi x f x x

m x khi x

f)             

3 3 3 1

1

( ) 1

2

x x x khi x f x x

g)

2

3

2 1

( ) 2 2

1

m khi x

f x x x x

khi x x

h)

2 1

( )

1

x x khi x

f x khi x

mx khi x

  

 

 

  



i)   

 



2 1

( )

2x khi x

f x

mx khi x j)

  

 

  

  



2 4 3

1

( ) 1

2

x x khi x f x x

mx khi x

Vấn đề 3: Chứng minh phương trình có nghiệm:

Ví dụ 1: Chứng minh phương trình 3x32x 2 0có nghiệm khoảng  0;1

Giải:

- Xét hàm số f x( ) 3 x32x2là hàm đa thức, liên tục R tức liên tục khoảng  0;1 - Ta có: f(0) (1) ( 2).(3)f     6

- Do đó:  c (0;1) : ( ) 0f c  , tức phương trình có nghiệm c 0;1

Ví dụ 2: Chứng minh phương trình 2x36x2 5 0có ba nghiệm khoảng 1;3

Giải:

- Xét hàm số f x( ) 2 x36x25 liên tục R nên f x( ) 2 x36x25 liên tục đoạn

- Ta có: f( 1)   3 0, f(0) 0  , f(2)  3 0, f(3) 0  Suy phương trình có nghiệm khoảng 1;0,  0;2 ,  2;3

- Vậy: Phương trìn có ba nghiệm khoảng 1;3

Ví dụ 3: Chứng minh phương trình: ax2bx c 0 ln có nghiệm x  0;1    

  với a  2a + 6b + 19c =

Giải:

- Xét hàm số f x( )ax2bx c liên tục R

Ta có: f(0)c, ( )1  1( 3 9 )

3

f a b c

Do đó: (0) 18 ( ) 2  6 19 0

3

f f a b c

Như thế:

- Nếu f(0) 0 hay ( ) 01 

3

f phương trình f x( ) 0 hiển nhiên có nghiệm thuộc 0;1      

- Nếu f(0) 0 ( ) 01 

3

f ta thấy (0) ( ) 01 

3 f f

Vậy: Phương trình f x( ) 0 có nghiệm 0;1      

Ví dụ 4: Với a b c R, ,  , chứng minh phương trình: a x b x c(  )(  ) b x c x a c x a x b(  )(  ) (  )(  ) 0

ln ln có nghiệm

- Xét hàm số f x( )a x b x c(  )(  ) b x c x a c x a x b(  )(  ) (  )(  )liên tục R

  

( ) ( )( )

f a a a b a c , f b( )b b c b a(  )(  ), f c( )c c a c b(  )(  ) Giả sử a b c(tương tự trường hợp sau)  

- Nếu a0hoặc b0hoặc c0 ta có f(0) 0 x0 nghiệm phương trình - Nếu b0 Ít có hai trường hợp xảy ra:

+Với a b  0 f a f b( ) ( ) ab a b a c b c(  ) (2  )(  ) Suy phương trình có nghiệm đoạn  a b;

+Với 0  b c f b f c( ) ( ) bc a b b a b c(  ) (2  )(  )

Suy phương trình có nghiệm đoạn  b c;

Ví dụ 5: Chứng minh 2a3b6b0 phương trình atan2x b tanx c 0 có

nghiệm khoảng     

k ;4 k  với k Z 

Giải:

- Xét hàm số f(x)=atan2x b tanx c

Đặt       

 

0

t=tanx, x ; 0;1

4

k k t Khi ta có: f(t)=at2 bt ccó nghiệm t0(0;1)

- Nếu a 0, c 0  Ta có:          

   

2

2

f(0)f =c

3 3

c

a b c Vậy phương trình f(t)=0 có nghiện

     

0

t 0;

- Nếu c=0, lúc phương trình f(t)=0có nghiệm t10, t2 2

3 có nghĩa  

t (0;1)

3

- Nếu a=0 Ta có: 3(b+2c)=0bt+c=0

+Với b=c=0 phương trình f(t)=0có vơ số nghiệm nên tất nhiên có nghiệm thuộct0(0;1)

+Với b 0, t = -  c 1  0;1

b

- Tóm lại: a b c, , thỏa mãn 2a3b6b0thì phương trình f(t)=0có nghiệm t0(0;1), tức

  

2a 3b 6b phương trình atan2x b tanx c 0 có nghiệm khoảng     

k ;4 k 

với k Z 

Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt:

a) x33x 1 b) x36x29x 1 c) 2x6 13  x

Bài tập 2: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm:

a) x53x 3 b) x5  x c) x4x33x2  x

a) m x( 1) (3 x 2) 2x 3 b) x4mx22mx 2

c) a x b x c(  )(  ) b x c x a c x a x b(  )(  ) (  )(  ) 0 d) (1m2)(x1)3x2  x

e) cosx m cos2x0 f) m(2 cosx 2) 2sin 5 x1

Bài tập 5: Chứng minh phương trình:

a) x36x29x 1 có nghiệm phân biệt

b) m x( 1) (3 x2 4) x4 3 ln có nghiệm với giá trị m

c) (m21) –x4 x3–1 0 ln có nghiệm nằm khoảng 1; 2 với m d) x3mx2 1 có nghiệm dương

e) x43x25 –6 0x  có nghiệm khoảng (1; 2)

Bài tập 6: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm:

a) ax2bx c 0 với 2a + 3b + 6c = b) ax2bx c 0 với a + 2b + 5c =

c) x3ax2bx c 0

Bài tập 7: Cho m > a, b, c số thực thoả mãn: a b c

m2m1m 0 Chứng minh phương

trình: f x( )ax2bx c 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1)

HD: Xét trường hợp c = 0; c  Với c  f f m c m m m

2

1

(0)

2 ( 2)

    

   

y = f(x) liên