Chuyên đề về Hàm số lượng giác - Giáo viên Việt Nam

Tìm giá trị lớn nhất và và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác Phương pháp: Cho hàm số y f(x)  xác định trên tập D... Bài tập rèn luyện.[r]

CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1 Hàm số y sinx

 Có tập xác định D  ;  Là hàm số lẻ;

 Là hàm số tuần hồn với chu kì 2 , sinx k 2sinx;

 Do hàm số ysinx hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 nên ta cần khảo sát hàm số đoạn có độ dài 2 , chẳng hạn đoạn  ; 

Khi vẽ đồ thị hàm số y sinx đoạn  ;  ta nên để ý : Hàm số ysinx hàm số lẻ, đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Vì vậy, ta vẽ đồ thị hàm số

sin

y x đoạn 0;

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số ysinxtrên đoạn 0;

Lấy đối xứng phần đồ thị qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số y sinx đoạn  ; 

Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải đoạn có độ dài ,4 ,6 ,    ta toàn đồ thị hàm số ysinx Đồ thị gọi một đường hình sin.

Hàm số ysinx đồng biến khoảng

; 2

 



 

 

  và nghịch biến khoảng ;3 2

 

 

 

  .

8

6

4

2

2

4

6

8

Từ tính tuần hồn với chu kì 2 , hàm số ysinx đồng biến khoảng     

 

 k2 ; k2  nghịch biến khoảng

3

2 ; 2

2 k 2 k

   

 

 

   

2 Hàm số y cosx

 Có tập xác định D  ;  Là hàm số chẵn;

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 ;

 Do hàm số y c x os hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 nên ta cần khảo sát hàm số đoạn có độ dài 2 , chẳng hạn đoạn  ; 

Khi vẽ đồ thị hàm số y c x os đoạn  ;  ta nên để ý : Hàm số y c x os hàm số chẵn, đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng Vì vậy, ta vẽ đồ thị hàm số

os

y c x đoạn 0;

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số y c x os đoạn 0;

Lấy đối xứng phần đồ thị qua trục Oy lập thành đồ thị hàm số y c x os đoạn  ; 

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6 7π

2

3π 5π

2π 3π

π π

2

π

π 3π

2π 5π

3π 7π

Hàm số y cosx đồng biến khoảng ;0 nghịch biến khoảng  0; Từ tính tuần hồn với chu kì 2 , hàm số ysinx đồng biến khoảng  k2 ; k2  nghịch biến khoảng k2 ; k2

3 Hàm số y tanx

 Có tập xác định \ | 2

D  k k 

 

 

  ;

 Có tập giá trị  ;  Là hàm số lẻ;

 Hàm số tuần hoàn với chu kỳ , tanx k tanx;

Do hàm số y tan x hàm tuần hoàn với chu kỳ  nên ta cần khảo sát hàm số đoạn

có độ dài  , chẳng hạn đoạn ; 2 2

 



 

 

  .

Khi vẽ đồ thị hàm số y tan x đoạn ; 2 2

 



 

 

 

ta nên để ý : Hàm số y tan x hàm

số lẻ, đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Vì vậy, ta vẽ đồ thị hàm số

tan

y x đoạn   0;2 Bảng biến thiên:

+∞

1

0

π

2

π

4 0

y=tanx x

Đồ thị hàm số ytanx 0; 2

 

 

 

Lấy đối xứng phần đồ thị qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số y tan x đoạn ; 2 2

 



 

 

 

Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải đoạn có độ dài   ,2 ,3 , ta tồn đồ thị hàm số ytanx

8

6

4

2

2

4

6

8 4π 7π

2

3π 5π

2π 3π

π π

π

π 3π

2π 5π

3π 7π

Hàm số ytanx đồng biến khoảng ; 2 2

 



 

 

  Từ tính tuần hồn với chu kỳ  nên

hàm số ytanx đồng biến khoảng       k ; k 

4 Hàm số y cot x

 Có tập xác định D\ k | k  ;

 Có tập giá trị  ;  Là hàm số lẻ;

 Hàm số tuần hoàn với chu kỳ , cotx k cotx;

Do hàm số ycotx hàm tuần hoàn với chu kỳ  nên ta cần khảo sát hàm số đoạn có độ dài, chẳng hạn đoạn 0;

Bảng biến thiên:

-∞ +∞

0

π π

2 0

y=cotx x

Đồ thị hàm số y cot x 0;

Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải đoạn có độ dài   ,2 ,3 , ta toàn đồ thị hàm số ycotx

8

6

4

2

2

4

6

8 5π

2

2π 3π

π π

2

π

π 3π

2π 5π

Hàm số y cot x nghịch biến khoảng  0;  Từ tính tuần hoàn với chu kỳ  nên hàm

số y cot x đồng biến khoảng k ; k

Đồ thị hàm số ycotx nhận đường thẳng x k  làm đường tiệm cận (đứng)

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm tập xác định hàm số

Phương pháp: Để tìm tập xác định hàm số ta cần lưu ý điểm sau

 y u x  có nghĩa u x xác định u(x) 0  

 y u(x) v(x)

 có nghĩa u x ,  v x xác định v(x) 0  

 y u(x) v(x)

 có nghĩa u x ,  v x xác định v(x) 0  

 Hàm số y sinx, y cosx  xác định  tập giá trị là:  1 sinx ;  1 cosx 1

Như vậy, y sin u x , y cos u x        xác định khi u x xác định. 

 y tan u x   có nghĩa u x xác định và  u x  k ,k 

   

 y cot u x   có nghĩa u x xác định và  u x   k ,k 

I Các ví dụ mẫu

Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau :

a) y sin 25x x

 

  



 ; b)

2

y cos x ;  c) y sin x; d) y sin x

Giải

a) Hàm số y sin 25x x

 

  



  xác định

2

x x      

Vậy D \  

b) Hàm số y cos x 24 xác định  4 x  0 x2    4 2 x 2.

Vậy Dx| x    

c) Hàm số y sin x xác định sinx 0 k2    x k2 ,k  Vậy Dx| k2    x k2 ,k 

d) Ta có: sinx sinx 0     

Do đó, hàm só ln ln xác định hay D

Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau:

a) y tan x      

 ; b) y cot x ;      

  c)

sin x

y ;

cos(x ) 

  d)

1

y

tan x 



a) Hàm số y tan x      

  xác định

2

x k x k ,k

6

  

         

Vậy      

 

2

D \ k ,k

3

 

b) Hàm số y cot x      

 xác định x k x k ,k

 

         

Vậy D \ k ,k

3

 

     

 

 

c) Hàm số 

  sin x y

cos(x ) xác định  

3

cos x x k x k ,k

2

 

              

Vậy D \ k ,k

  

     

 

 

d) Hàm số y tan x 

 xác định

x k

tan x 4 ,k .

cosx x k

2                    

Vậy D \ k , k ;k

4

  

       

 

 

Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau:

a) y cos2x ;

cosx b) 3cos2x y sin3xcos3x  Giải

a) Hàm số y cos2x

cosx xác định cosx x k ,k 

      

Vậy     

 

D \ k ,k

2

 

b) Hàm số y 3cos2x sin3xcos3x

 xác định 

1 k

sin3x cos3x sin6x 6x k x ,k

2



        

Vậy D \ k ,k

  

   

 

 

Ví dụ Tìm m để hàm số sau xác định trên :y 2m 3cosx.

Giải

Hàm số cho xác định R 2m 3cosx cosx 2m

   

Bất đẳng thức với x khi1 2m m

3

  

II Bài tập rèn luyện

a) y cos x ; b)    sinx y

1 cosx

Giải

a) Nhận thấy cos x 1  nên1 cos x 0, x    Vậy D

b) Hàm số y sinx cosx

 

 xác định  1 cosx 0    x k2 ,k  Vậy D \ k2 ,k 

BT Tìm tập xác định hàm số sau

1

a) y tan 3x ; b)y tan6x ;

3 cot3x

tan2x tan5x

c)y cot 3x ; d)y

sin x sin 4x cos3x

                      Giải

a) Hàm số y tan 3x  

   

  xác định

5

3x k x k ,k

3 18

   

        

Vậy D \ k ,k

18

   

    

 

 

b) Hàm số y tan6x cot3x

  xác định

cos6x

cos6x k

sin3x sin12x x ,k

2 sin6x cot3x                    

Vậy D \ k ,k 12

  

   

 

 

c) Hàm số    

  

tan2x

y cot 3x

sin x xác định

x k2

2 sinx

k

cos2x x ,k

4 k

sin 3x x

6 18 3

                                           

Vậy D \ k2 , k , k ;k

2 18

      

        

 

 

d) Hàm số y tan5x sin4x cos3x 

k x

10

5x k

cos5x 4x 3x k2

2 sin 4x cos3x cos 4x cos3x

2 4x 3x k2

2                                              k k x x

10 10

k2

7x k2 x ,k

2 14

x k2 x k2

2                                            

Vậy D \ k , k2 , k2 ;k

10 14

     

       

 

 

BT Tìm m để hàm số sau xác định trên  :

2

3x

y

2sin x msin x 

 

Giải

Hàm số xác định R khi: 2sin x msinx 02    với t  1;1 Ta có: m28

 TH 1:   0 m2   8 2 m 2  Khi f t  0, t (thỏa mãn)

 TH 2: m2 m 2 m 2          

  

o Với m 2    

2

f t 2t 2 2t 1  2t 1

Ta thấy f t 0 t 1;1  

    (không thỏa mãn)

o Với m 2    

2

f t 2t 2 2t 1  2t 1

Ta thấy f t 0 t 1;1  

     (không thỏa mãn)

 TH 3: m2 m 2 m 2          

 

 tam thức f t có hai nghiệm phân biệt  t ,t (giả

sử t1t2 )

Ta có bảng xét dấu:

+

+ 0 - 0

t2

t1 +∞

-∞

f(t) t

Từ bảng xét dấu ta thấy:

 

1

Với 2  

m

m m

t 1 m m Vô nghiệm

4 m

 

 

        

 

Với t2 11 m m2 m2 m m Vô nghiệm

4 m

  

 

           

   Vậy giá trị m cần tìm 2 m 2.  

Dạng Xét tính chẵn lẻ hàm số

Phương pháp: Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ hàm số y f(x)

 Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số; kiểm chứng D tập đối xứng qua số tức là x,x D x D

     (1)

 Bước 2: Tính f( x) so sánh f( x) với f(x)

- Nếu f( x) f(x)  f(x) hàm số chẵn D (2) - Nếu f( x)  f(x) f(x) hàm số lẻ D (3)

Chú ý:

- Nếu điều kiện (1) khơng nghiệm f(x) hàm không chẵn không lẻ D; - Nếu điều kiện (2) v (3) không nghiệm đúng, f(x) hàm khơng chẵn khơng

lẻ D

Lúc đó, để kết luận f(x) hàm không chẵn không lẻ ta cần điểm x0D

cho 0

0

f( x ) f(x ) f( x ) f(x )    



   

I Các ví dụ mẫu

Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau:

a) y = sin2x; b) y = tan x ; c) y sin x

Giải

a) TXĐ: D Suy x D    x D Ta có: f x  sin 2x   sin2x f x   Do hàm số cho hàm số lẻ

b) TXĐ: D \ k ,k

2

  

     

 

  Suy x D    x D

Ta có: f x  tan x tan x f x     Do hàm số cho hàm số chẵn c) TXĐ: D Suy x D    x D Ta có: f x  sin4  x sin x f x4    Do hàm số cho hàm số chẵn

Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau:

a) y = tanx + cotx; b) y = sinx.cosx

a) TXĐ: D \ k ,k

  

   

 

  Suy x D    x D

Ta có: f x  tan x  cot x   tanx - cot x tanx cot x  f x  Do hàm số cho hàm số lẻ

b) TXĐ: D  Suy x D    x D

Ta có: f x  sin x cos x      sinxcosx f x  Do hàm số cho hàm số lẻ

Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau:

a) y = 2sinx + 3; b) y sinx cosx 

Giải

a) TXĐ: D Suy x D    x D Ta có:

f 2sin

2

  

   

    ; f 2sin

      

   

   

Nhận thấy

f f

2

f f

2

    

 

          

                

Do hàm số khơng chẵn khơng lẻ b) TXĐ: D Suy x D    x D

Ta có: y sinx cosx sin x  

     

 

f sin 0; f sin

4 4 4

         

       

       

Nhận thấy

f f

4

f f

4

              

                

Do hàm số khơng chẵn khơng lẻ

Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau:

a) y sin2x cos x

2 ; b)

3

3

cos x

y

sin x  

Giải

a) TXĐ: D  Suy x D    x D

Chọn x D D

4

 

    

Ta có: f sin cosx

3 2

  

  

   

Ta có:    

   

3 3 3

3 3

cos x cos x 1 cos x 1

f x f x

sin x sin x sin x

   

      

 

Do hàm số cho hàm số lẻ

Ví dụ Xác định tham số m để hàm số sau: y f x  3msin4x cos2x hàm số chẵn

Giải

TXĐ: D Suy x D    x D Ta có:

     

f x 3msin 4x cos 2x  3msin4x cos2x Để hàm số cho hàm số chẵn thì:

   

f x f x , x D 3msin4x cos2x -3msin4x cos2x, x D 6msin4x m

         

   

II Bài tập rèn luyện

BT Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau:

a) y 4x 2cos5x ; b) y x sinx cot x  .

Giải

a) TXĐ: D Suy x D    x D

Ta có: f x    4 x 2cos 5x  4x2cos5x f x   Do hàm số cho hàm số chẵn

b) TXĐ: D\ k ,k   Suy     x D x D Ta có:

     2   2  2   

f x  x sin x cot x  x sin x cot x   x sin x cot x  f x

Do hàm số cho hàm số chẵn

BT Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau:

a) y 3sin x2

x

 

 ; b) y sin x 

Giải

a) TXĐ: D\  

Ta có: x  3 D x D   nên D khơng có tính đối xứng Do đó, hàm số cho khơng chẵn khơng lẻ

b) TXĐ: D1;

Ta có:  x D x   3 D nên D tính đối xứng Do đó, hàm số cho khơ ng chẵn khơng lẻ

BT Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau:

a) y sinx cosx  ; b) y tan3x cot 5x sin3x

 

Giải

Ta có:

3

f 3sin 2cos 2;

2 2

3

f 3sin 2cos

2 2

     

      

     

     

        

     

     

Nhận thấy:  

 

2 0;

3

Do đó, hàm số cho khơng chẵn không lẻ

b) TXĐ: D\ k ,k   Suy     x D x D Ta có:

  tan 3x  cot 5x  tan 3x  cot 5x   

f x f x

sin 3x sin 3x

   

   



Vậy hàm số cho hàm số chẵn

BT Tìm tham số a,b để hàm số:

  3a sinx bcosx, khix 0  

y f x

asin x 2b cosx, x

   

   

  

 hàm số lẻ

Giải

TXĐ: D\ k ,k   Suy x D    x D

 TH 1: Với x 0 f x   3a sinx bcosx  

Và f x  asin x    3 2b cos x    asinx 3 2b cosx Vì hàm số lẻ nên f x   f x hay 

   

   

asin x 2b cosx 3a sin x bcosx, x 2a sin x b cosx 0, x

        

      

Đẳng thức với x 2a a 12

3 b b 3

     

 

 

  

 TH 2: Với x 0 f x asinx 3 2b cosx

Và f x    3a sin x    bcos x     3a sinx bcosx  

Vì hàm số lẻ nên f x   f x hay 

3a sinx bcosx asinx 2b cosx 

      

Đẳng thức với x 0 3 b 02a a 12 b      

 

 

  

Vậy hàm số cho lẻ a 1,b

 

      

  



D 0 0

f(x) M, x D M max f(x)

x D : f(x ) M



D 0 0

f(x) m, x D m f(x)

x D : f(x ) m

   



  

  



Lưu ý:

  1 sinx 1; cosx 1.   

 sin x 1; cos x 1.     0 sin x 1; 0  cosx 1.

I Các ví dụ mẫu

Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số:

a) y 2sin x  

    ; b) y cosx 3  

Giải

a) Ta có:

1 sin x 2sin x 2sin x

4 4

     

                 

     

Hay y 3   Suy ra:

Maxy 3 sin x x k2 ,k

4

      

 

  

Miny 1 sin x x k2 ,k

4

  

        

 

  

b) Ta có:

1 cosx cosx cosx 2 cosx 2 cosx 2

          

          

Hay   3 y 2 3 Suy

Maxy 2 3  cosx 1  x k2 ,k 

Miny 3 cosx x k ,k



     

Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số:

a) y sinx cosx ; b) y sin2x cos2x

Giải

a) Ta có:     

 

y sinx cosx sin x

4   y  Suy ra:

Maxy sin x x k2 ,k

4

      

 

  

Miny          

 

3

sin x x k2 ,k

b) Ta có: y sin2x cos2x 3sin2x 1cos2x 2sin 2x

2

   

        

 

 

Suy ra:   2 y Do đó:

Maxy 2 sin 2x 2x k2 x k2 ,k

6

            

 

  

Miny 2                

 

sin 2x 2x k2 x k2 ,k

6 6 

Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số:

a) y cos x 2sin x 2   ; b) y sin x 2cos x 1   .

Giải

a) Ta có:

 

 

2

2

2

y cos x 2sinx sin x 2sinx

sin x 2sinx sinx

      

       

Vì  1 sinx 1   2 sin x 0   4 sin x 1 20

 2  2

4 sin x 0 sin x 4

           

Hay y 4  Do đó:

Maxy 4 sinx x k2 ,k



     

Miny 0 sinx x k2 ,k



       

Lưu ý:

Nếu đặt t sinx,t   1;1 Ta có (P): y f t    t2 2t 3 xác định với t  1;1 , (P) có hồnh độ đỉnh t 1 đoạn 1;1 hàm số đồng biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ t 1 hay sinx 1 đạt giá trị lớn t hay sinx 1 

b) Ta có

 

 

2

4 2

2

4 2

y sin x 2cos x 1 cos x 2cos x

cos x 4cos x cos x 2

      

     

Vì cos x 1    2 cos x 22     1 cos x 22  21

 2 2

2 cos x 2 y

         

2

cos x cosx x k ,k



       

Miny 1

2

cos x 1 sin x 0    x k ,k 

Lưu ý:

Nếu đặt t cos x,t    Ta có (P):0;1 y f t  t24t 2 xác định với t   , (P) có hồnh0;1 độ đỉnh t 2   0;1 đoạn 0;1   hàm số nghịch biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ tại

t 1 đạt giá trị lớn t

II Bài tập rèn luyện

BT Tìm GTLN GTNN hàm số

a) y sinx 2  ; b) y sinx  cosx 3

Bài Tìm GTLN GTNN hàm số

 

          



 

2

2

4 a)y 3sin 2x ; b)y 2cos 3x; c)y sin2x ; d)y

4 1 2sin x

Bài Tìm GTLN GTNN hàm số

   

2

2

2

a)y 6cos x cos 2x; b)y 3sinx 4cosx

c)y 2sin x 3sin2x 4cos x; c)y 4sin x 3cosx 4sin x 3cosx

    

       

Bài Cho hai số x,y thỏa mãn x2 y2

9   Tìm GTLN GTNN (nếu có) biểu thức P x 2y 1  

Dạng Chứng minh hàm số tuần hoàn xác định chu kỳ {Tham khảo} Phương pháp

Muốn chứng minh hàm số tuần hoàn f(x) tuần hoàn ta thực theo bước sau:

 Xét hàm số y f(x) , tập xác định D

 Với x D , ta có  x T0 D x T 0D (1) Chỉ f(x T ) f(x) 0  (2) Vậy hàm số y f(x) tuần hoàn

Chứng minh hàm tuần hoàn với chu kỳ T0

Tiếp tục, ta chứng minh T0 chu kỳ hàm số tức chứng minh T0 số dương nhỏ thỏa (1) (2) Giả sử có T cho T T  0 thỏa mãn tính chất (2)  mâu thuẫn với giả thiết

0

0 T T  Mâu thuẫn chứng tỏ T0 số dương nhỏ thỏa (2) Vậy hàm số tuần hoàn với chu kỳ sở T0

Một số nhận xét:

- Hàm số y sinx,y cosx  tuần hồn chu kỳ 2 Từ y sin ax b ,y cos ax b        có chu

- Hàm số y tanx, y cot x  tuần hoàn chu kỳ  Từ y tan ax b ,y cot ax b        có chu kỳ

0

T a  

Chú ý:

1

y f (x) có chu kỳ T1; y f (x) 2 có chu kỳ T2

Thì hàm số y f (x) f (x) 1  2 có chu kỳ T0là bội chung nhỏ T1và T2

Các dấu hiệu nhận biết hàm số khơng tuần hồn

Hàm số y f(x) khơng tuần hồn điều kiện sau vi phạm  Tập xác định hàm số tập hữu hạn

 Tồn số a cho hàm số không xác định vớ i x a hoặc x a  Phương trình f(x) k có vơ số nghiệm hữu hạn

 Phương trình f(x) k có vơ số nghiệm thứ tự x m xm 1  mà xm xm 1 0 hay  I Các ví dụ mẫu

Bài Chứng minh hàm số sau hàm số tuần hoàn với chu kỳ sở T0

0

a)f(x) sinx, T ; b)f(x) tan2x, T 

    

Hướng dẫn:

a) Ta có : f(x ) f(x), x    

Giả sử có số thực dương T 2  thỏa f(x T) f(x)  sin x T  sinx , x  (*)

Cho x VT(*) sin T cosT 1; VP(*) sin

2 2

 

  

        

 

(*)

 không xảy với x Vậy hàm số cho tuần hoàn với chu kỳ T0 2

b) Ta có : f(x) f(x), x D  

2

Giả sử có số thực dương T 

 thỏa f(x T) f(x)  tan 2x 2T  tan2x , x D (**) 

Cho x 0 VT(**) tan2T 0;  VP(**) 0

B (**) không xảy với x D Vậy hàm số cho tuần hoàn với ch u kỳ T0  

II Bài tập rèn luyện

BT Tìm chu kỳ hàm số:

a/ y sin2x b/ y cosx

 c/ y sin x

d/ y sin2x cosx

  e/ y tanx cot3x  f/ y cos3x sin2x

5

 

g/ y 2sinx cos3x h/ y cos 4x i/ y = tan(3x + 1)

BT Xét tính tuần hồn tìm chu kỳ sở (nếu có) hàm số sau  

 3x x    

a) f(x) cos cos ; b)y cosx cos( 3x); c)f(x) sin x ; d)y tan x

Hướng dẫn

c) Hàm số f(x) sin x  2 không tuần hồn khoảng cách nghiệm (khơng điểm) liên tiếp dần tới

 

 

k k k

k k



       

   

d) Hàm số f(x) tan x khơng tuần hồn khoảng cách nghiệm (không điểm) liên tiếp dần tới 

k 1 2 2    k2 khi k 

BT Cho hàm số y f(x) y g(x) hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ T ,T1 2 Chứng

minh

T

T số hữu tỉ hàm số  

f(x)

f(x) g(x); f(x).g(x); g(x) g(x)

  hàm

số tuần hoàn

Dạng Vẽ đồ thị hàm số lượng giác Phương pháp

1/ Vẽ đồ thị hàm số lượng giác:

- Tìm tập xác định D

- Tìm chu kỳ T0của hàm số

- Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần)

- Lập bảng biến thiên đoạn có độ dài chu kỳ T0có thể chọn:

0

x 0, T  hoặc x T T0,

2

 

  

 

- Vẽ đồ thị đoạn có độ dài chu kỳ

- Rồi suy phần đồ thị lại phép tịnh t iến theo véc tơ v k.T i 0 bên trái phải song song với trục hoành Ox (với i véc tơ đơn vị trục Ox)

2/ Một số phép biến đổi đồ thị:

a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy đồ thị hàm số y = f(x) + a c ách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trục hoành a đơn vị a > tịnh tiến xuống phía trục hồnh a đơn vị a <

b) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy đồ thị hàm số y f(x a)  cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) sang phải trục hoành a đơn vị a > tịnh tiến sang trái trục hoành a đơn vị a <

c) Từ đồ thị y = f(x), suy đồ thị y = –f(x) cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành

d) Đồ thị y f(x) f(x), neáu f(x) -f(x), neáu f(x) <

 

  

 suy từ đồ thị y = f(x) cách giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) phía trục hoành lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm phía trục hồnh qua trục hoành

Tịnh tiến theo

vec tơ v=(a;b) Đối xứng qua gốc O

Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị

Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị

Đối xứng qua Oy

Đối xứng qua Ox

Đối xứng qua Ox

Đối xứng qua Oy

y=-f(x)

y=f(-x)

y=-f(-x) y=f(x+a)+b

y=f(x)+b y=f(x+a)

y=f(x)

Ví dụ Hãy xác định giá trị x đoạn ;3  



 

  để hàm số y tanx a) Nhận giá trị 0; b) Nhận giá trị

c) Nhận giá trị dương; d) Nhận giá trị âm

Ví dụ Dựa vào đồ thị y sinx , vẽ đồ thị hàm số y sinx

Ví dụ Chứng minh rằng sin2 x k    sin2x với số nguyên k Từ vẽ đồ thị hàm số y sin2x

Ví dụ Vẽ đồ thị hàm số y cosx , tìm giá trị x để cosx 

Ví dụ Dựa vào đồ thị hàm số y sinx , tìm khoảng giá trị x để hàm số nhận giá trị âm