Chuyên đề 1 hàm số lượng giác và PT lượng giác

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn Đoàn MỤC LỤC Trang Công thức lượng giác cần nắm vững 2 A – Phương trình lượng giác cơ bản 5 Bài tập áp dụng 5 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 8 Bài tập rèn luyện 29 B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác 32 Bài tập áp dụng 33 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 35 Bài tập rèn luyện 56 C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos 59 Bài tập áp dụng 59 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 62 Bài tập rèn luyện 81 D – Phương trình lượng giác đẳng cấp 84 Bài tập áp dụng 85 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 87 Bài tập rèn luyện 92 E – Phương trình lượng giác đối xứng 93 Bài tập áp dụng 94 Bài tập rèn luyện 96 F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối 97 Bài tập áp dụng 97 Bài tập rèn luyện 99 G – Phương trình lượng giác không mẫu mực 101 Bài tập áp dụng 102 Bài tập rèn luyện 104 H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương 106 Bài tập áp dụng 106 Bài tập rèn luyện 112 I – Hệ phương trình lượng giác 116 Bài tập áp dụng 117 J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác 121 Bài tập áp dụng 122 Bài tập rèn luyện 125 " Cần cù bù thông minh…………" Page 1 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG   Công thức cơ bản ● 2 2 sin x cos x 1+ = ● tan x.cot x 1= ● sin x tan x cos x = ● cos x cot x sin x = ● os 2 2 1 1 tan x c x + = ● 2 2 1 1 cot x sin x + =  Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba ● sin 2x 2 sin x. cos x= ● 2 2 2 2 cos x sin x cos2x 2 cos x 1 1 2 sin x é - ê = ê - = - ê ë ● os 2 1 c 2x sin x 2 - = ● os os 2 1 c 2x c x 2 + = ● 3 sin 3x 3 sin x 4 sin x= - ● 3 cos 3x 4 cos x 3 cos x= -  Công thức cộng cung ● ( ) sin a b sin a. cos b cos a. sin b± = ± ● ( ) osc a b cos a. cos b sin a. sin b± = m ● ( ) tan a t an b tan a b 1 tan a. tan b + + = - ● ( ) tan a tan b tan a b 1 tan a. tan b - - = + ● π 1 tan x tan x 4 1 tan x æ ö + ÷ ç ÷ + = ç ÷ ç ÷ ç - è ø ● π 1 tan x tan x 4 1 tan x æ ö - ÷ ç ÷ - = ç ÷ ç ÷ ç + è ø  Công thức biến đổi tổng thành tích ● a b a b cos a cos b 2cos . cos 2 2 + - + = ● a b a b cos a cos b 2sin . sin 2 2 + - - = - ● a b a b sin a sin b 2 sin . cos 2 2 + - + = ● a b a b sin a sin b 2 cos .sin 2 2 + - - = ● ( ) sin a b t an a t an b cos a.cos b + + = ● ( ) sin a b t an a tan b cos a. cos b - - =  Công thức biến đổi tích thành tổng ● ( ) ( ) cos a b cos a b cos a. cos b 2 + + - = ● ( ) ( ) sin a b sin a b sin a. cos b 2 + + - = ● ( ) ( ) cos a b cos a b sin a. sin b 2 - - + =  Một số công thức thông dụng khác ● π π sin x cos x 2 sin x 2 cos x 4 4 æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ + = + = - ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø ● π π sin x cos x 2 sin x 2 cos x 4 4 æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ - = - = + ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø ● 4 4 2 1 cos 4x cos x sin x 1 s 3 1 in 2x 2 4 + + = - = ● 6 6 2 3 cos 4x cos x sin x 1 s 5 3 in 2x 4 8 + + = - = Page 2 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn on Mụt sụ lu y: iờu kiờn co nghiờm cua phng trinh sin x cos x ộ = a ờ ờ = a ờ ở la: 1 1- ÊaÊ . Khi giai phng trinh co cha cac ham sụ t an hoc cot , co mõu sụ hoc cn bõc chn thi nhõt thiờt phai t iờu kiờn ờ phng trinh xac inh. Phng trinh cha tan x , iờu kiờn: ( ) cos x 0 x k k 2 p +ạ ạ p ẻ Â . Phng trinh cha cot x , iờu kiờn: ( ) sin x 0 x k kạ ạ p ẻ Â . Phng trinh cha ca tan x va cot x , iờu kiờn: ( ) x k. k 2 p ạ ẻ Â . Khi tim c nghiờm phai kiờm tra (so) vi iờu kiờn. Ta thng dung mụt trong cac cach sau õy ờ kiờm tra iờu kiờn: Kiờm tra trc tiờp bng cach thay gia tri cua x vao biờu thc iờu kiờn. Nờu khi thờ vao, gia tri õy lam ng thc ung thi nhõn nghiờm, nờu sai thi loai nghiờm. Dung ng tron lng giac, nghia la biờu diờn cac ngon cung cua iờu kiờn va cung cua nghiờm. Nờu cac ngon cung nay trung nhau thi ta loai nghiờm, nờu khụng trung thi ta nhõn nghiờm. Cach biờu diờn cung goc lng giac trờn ng tron: " Nờu cung hoc goc lng giac ẳ AM co sụ o la k2 n p +a 0 0 k.360 hay a n ổ ử ữ ỗ ữ + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ vi k , n + ẻ ẻÂ Ơ thi co n iờm M trờn ng tron lng giac cach ờu nhau". Vi du 1: Nờu s ẳ AM k2 3 p = + p thi co mụt iờm M tai vi tri 3 p (ta chon k 0= ). Vi du 2: Nờu s ẳ AM k 6 p = + p thi co 2 iờm M tai vi tri 6 p va 7 6 p (ta chon k 0, k 1= = ). Vi du 3: Nờu s ẳ 2 AM k. 4 3 p p = + thi co 3 iờm M tai cac vi tri 11 ; 4 12 p p va 19 12 p , ( ) k 0;1;2= . Vi du 4: Nờu s ẳ k2 AM k. 4 2 4 4 p p p p = + = + thi co 4 iờm M tai cac vi tri 4 p , 3 4 p , 5 4 p ; 7 4 p (ng vi cac vi tri k 0,1,2, 3= ). Vi du 5: Tụng hp hai cung x k 6 p = - + p va x k 3 p = + p Biờu diờn cung x k 6 p = - + p trờn ng tron thi co 2 iờm tai cac vi tri: 6 p - va 5 6 p " Cõn cu bu thụng minh" Page 3 ờ giai c phng trinh lng giac cung nh cac ng dung cua no, cac ban hoc sinh cõn nm vng tõt ca nhng cụng thc lng giac. o la hanh trang, la cụng cu cõn thiờt nhõt ờ chinh phuc thờ gii mang tờn: "Phng trinh lng giac" Ths. Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Biờu diờn cung x k 3 p = + p trờn ng tron thi co 2 iờm tai cac vi tri: 3 p va 4 3 p . Tụng hp hai cung gụm 4 iờm nh hinh ve va cung tụng hp la: x k 3 2 p p = + ụi vi phng trinh 2 2 1 1 cos x cos x 2 2 1 1 sin x sin x 2 2 ộ ộ ờ ờ = = ờ ờ ờ ờ ờ ờ = = ờ ờ ở ở ta khụng nờn giai trc tiờp vi khi o co ti 4 nghiờm, khi kờt hp va so sanh vi iờu kiờn rõt phc tap, ta nờn ha bõc la tụi u nhõt. Nghia la: 2 2 2 2 1 cos x 2 cos x 1 0 cos 2x 0 2 1 cos2x 0 2 sin x 1 0 sin x 2 ộ ờ ộ = ộ - = = ờ ờ ờ ờ ờ ờ = - = ờ ờ ờ ở = ở ờ ở . Tng t ụi vi phng trinh 2 2 sin x 1 sin x 1 cos x 1 cos x 1 ộ ộ = = ờ ờ ờ ờ = = ờ ờ ở ở ta khụng nờn giai nh thờ, ma nờn biờn ụi da vao cụng thc 2 2 sin x cos x 1+ = . Luc o: 2 2 2 2 sin x 1 cos x 0 cos x 0 sin x 0 cos x 1 sin x 0 ộ ộ ộ = = = ờ ờ ờ ờ ờ ờ = = = ờ ờ ờ ở ở ở S dung thanh thao cõu thõn chu: '' Cos ụi Sin bu Phu cheo '' õy co thờ xem la cõu thõn chu ''n gian, dờ nh'' trong lng giac nhng no lai ong vai tro la mụt trong nhng nhõn tụ cõn thiờt, hiờu qua nhõt khi giai phng trinh lng giac. Cos ụi, nghia la cos cua hai goc ụi nhau thi bng nhau, tc la ( ) cos cos- =a a , con cac cung goc lng giac con lai thi bng '' '' chinh no: ( ) ( ) ( ) sin sin , tan t an , cot tan- = - - = - - = -a a a a a a Sin bu, nghia la sin cua hai goc bu nhau thi bng nhau, tc la ( ) sin sin- =p a a , con cac cung goc lng giac con lai thi bng '' '' chinh no: ( ) ( ) ( ) cos cos , tan tan , cot t an- = - - = - - = -p a a p a a p a a Phu cheo, nghia la vi hai goc phu nhau (co tụng bng 90 0 ) thi sin goc nay bng cos goc kia va ngc lai, tc la: sin cos , cos sin , tan cot , cot tan 2 2 2 2 ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử p p p p ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ - = - = - = - =a a a a a a a a ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ Ta hay th ờn vi vi du nho sau õy ờ thõy c hiờu qua cua '' cõu thõn chu '' nay: Giai phng trinh lng giac: sin u cos v= Ro rang, phõn phng trinh lng giac c ban, ta chi biờt cach giai sao cho phng trinh sin u sin v= , võy con phng trinh sin u cos v= thi sao ? Cõu tra li õy chinh la phu cheo, bi: sin u cos v sin u sin v 2 ổ ử p ữ ỗ ữ = = - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ( ) u v k2 u v k2 , k 2 2 p p = - + = + +p pẻ Â . Page 4 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" /3 5/6 4/3 /6 O Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn on Qua vi du nay, chc hn nờu trong bai gp nhng phng trinh dang nh 2 sin x cos x 3 ổ ử p ữ ỗ ữ = - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ thi cac ban hoc sinh se khụng con cam thõy lung tung na. Mụt sụ cung goc hay dung khac: ( ) ( ) sin x k2 sin x cos x k2 cos x ỡ ù + =p ù ù ớ ù + =p ù ù ợ va ( ) ( ) ( ) sin x k2 sin x k cos x k2 cos x ỡ ù + + = -p p ù ù ẻ ớ ù + + = -p p ù ù ợ Â . A PHNG TRINH LNG GIAC C BAN Dang: u v k2 sin u sin v u v k2 ộ = + p ờ = ờ = - +p p ờ ở c biờt: sin x 0 x k sin x 1 x k2 2 sin x 1 x k2 2 ỡ ù ù = =ị p ù ù ù ù p ù = = +ị p ớ ù ù ù p ù ù = - = - +ị p ù ù ợ Dang: u v k2 cos u cos v u v k2 ộ = + p ờ = ờ = - + p ờ ở c biờt: cos x 0 x k 2 cos x 1 x k2 cos x 1 x k2 ỡ ù p ù = = +ị p ù ù ù ù = =ị p ớ ù ù = - = +ị p p ù ù ù ù ợ Dang: tan u tan v u v k ék : u, v k 2 = = + p p +ạ p c biờt: tan x 0 x k tan x 1 x k 4 ỡ ù = = p ù ù ù ớ p ù = = + p ù ù ù ợ Dang: cot u cot v u v k ék : u, v k = = + p ạ p c biờt: cot x 0 x k 2 cot x 1 x k 4 ỡ ù p ù = = + p ù ù ù ớ ù p ù = = + p ù ù ù ợ BAI TP AP DUNG Bai 1. Giai phng trinh: ( ) cos 3x 4 cos2x 3 cos x 4 0 , x 0;14 ộ ự - + - = * " ẻ ờ ỳ ở ỷ Bai 2. Giai phng trinh: ( ) ( ) ( ) 2 cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x- + = - * Bai 3. Giai phng trinh: ( ) cos 3x cos 2x cos x 1 0+ - - = * Bai 4. Giai phng trinh: ( ) sin x cos x 1 sin 2x cos2x 0+ + + + = * Bai 5. Giai phng trinh: ( ) ( ) 2 sin x 1 cos 2x sin 2x 1 cos x+ + = + * " Cõn cu bu thụng minh" Page 5 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài 6. Giải phương trình: ( ) 1 1 7 4 sin x sin x 4 3 sin x 2 æ ö p ÷ ç ÷ + = - * ç ÷ ç æ ö ÷ ç p è ø ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç è ø Bài 7. Giải phương trình: ( ) 4 4 7 sin x cos x cot x cot x 8 3 6 æ ö æ ö p p ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ + = + - * ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Bài 8. Giải phương trình: ( ) 4 4 4 sin 2x cos 2x cos 4x tan x tan x 4 4 + = * æ ö æ ö p p ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ - + ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Bài 9. Giải phương trình: ( ) 3 x 1 3x sin sin 1 10 2 2 10 2 æ ö æ ö p p ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ - = + ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Bài 10. Giải phương trình: ( ) sin 3x sin 2x sin x 1 4 4 æ ö æ ö p p ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ - = + ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Bài 11. ( ) 3 8 cos x cos 3x 1 3 æ ö p ÷ ç ÷ + = ç ÷ ç ÷ ç è ø Bài 12. Giải phương trình: ( ) 3 2 sin x 2 sin x 1 4 æ ö p ÷ ç ÷ + = ç ÷ ç ÷ ç è ø Bài 13. Giải phương trình: ( ) 3 sin x 2 sin x 1 4 æ ö p ÷ ç ÷ - = ç ÷ ç ÷ ç è ø Bài 14. Giải phương trình: ( ) cos x cos 2x cos 3x cos 4x 0+ + + = * Bài 15. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 3 sin x sin 2x sin 3x 2 + + = * . Bài 16. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 sin x sin 2x sin 3x 2+ + = * . Bài 17. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2 sin x sin 3x cos 2x cos 4x+ = + * Bài 18. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2 sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x- = - * Bài 19. Giải phương trình: ( ) sin 2 2 5x 9x cos 3x sin 7x 2 2cos 4 2 2 æ ö p ÷ ç ÷ + = + - * ç ÷ ç ÷ ç è ø Bài 20. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 sin x cos 2x cos 3x= + * Bài 21. Giải phương trình: ( ) 2 2 sin 2x sin 7x 1 sin x+ - = * Bài 22. Giải phương trình: ( ) sin x sin 2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + * Bài 23. Giải phương trình: ( ) 3 3 3 sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x+ = * Bài 24. Giải phương trình: ( ) 2 3 cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x+ + = + * Bài 25. Giải phương trình: ( ) 3 3 2 4 sin x 3cos x 3 sin x sin x cos x 0+ - - = * Bài 26. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 sin x 1 3cos 4x 2 sin x 4 4 cos x 3+ + - + = * Bài 27. Giải phương trình: ( ) ( ) 6 6 8 8 sin x cos x 2 sin x cos x+ = + * Page 6 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn Đoàn Bài 28. Giải phương trình: ( ) ( ) 8 8 10 10 5 sin x cos x 2 sin x cos x cos 2x 4 + = + + * Bài 29. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 3 5 5 sin x cos x 2 sin x cos x+ = + * Bài 30. Giải phương trình: ( ) 4 2 2 4 3 cos x 4 cos x sin x sin x 0- + = * Bài 31. Giải phương trình: ( ) 3 3 2 3 2 cos 3x cos x sin 3x sin x 8 - - = * Bài 32. Giải phương trình: ( ) 1 cos x cos 2x cos 4x cos 8x 16 = * Bài 33. Giải phương trình: ( ) 3 4 sin 3x cos 2x 1 6 sin x 8 sin x= + - * Bài 34. Giải phương trình: ( ) 1 cos x cos 2x cos 3x cos 4x cos 5x 2 + + + + = - * Bài 35. Giải phương trình: ( ) sin 2x 2 cos x sin x 1 0 tan x 3 + - - = * + Bài 36. Giải phương trình: ( ) 2 1 sin 2x cos2x 2 sin x sin 2x 1 cot x + + = * + Bài 37. Giải phương trình: ( ) ( ) tan x cot x 2 sin 2x cos2x+ = + * Bài 38. Giải phương trình: ( ) 2 tan x t an x t an 3x 2- = * Bài 39. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 11 tan x cot x cot 2x 3 + + = * Bài 40. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 x x sin tan x cos 0 2 4 2 æ ö p ÷ ç ÷ - - = * ç ÷ ç ÷ ç è ø Bài 41. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 sin 2x cot x tan 2x 4 cos x+ = * Bài 42. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 cot x t an x 16 1 cos 4x cos2x - = + * Bài 43. Giải phương trình: ( ) 1 2 tan x cot 2x 2sin 2x 2 sin 2x + = + * Bài 44. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 sin x tan x 2 1 cos x 0 tan x sin x + - + = * - Bài 45. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 cos x 1 cos x 1 tan x sin x 1 sin x tan x 2 4 1 sin x - + + - = + + * - Bài 46. Giải phương trình: ( ) cos 3x t an 5x sin 7x= * Bài 47. Giải phương trình: ( ) 1 1 sin 2x sin x 2 cot x 2 sin x sin 2x + - - = * Bài 48. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 4 sin x cos x 1 tan x cot 2x sin 2x 2 + = + * Bài 49. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2 t an x. cot 2x. cot 3x t an x cot 2x cot 3x= - + * " Cần cù bù thông minh…………" Page 7 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài 50. Giải phương trình: ( ) x cot x sin x 1 tan x t an 4 2 æ ö ÷ ç ÷ + + = * ç ÷ ç ÷ ç è ø Page 8 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Ths. Lờ Vn on HNG DN GIAI PHNG TRINH LNG GIAC C BAN Li binh: T viờc xuõt hiờn ba cung x,2x, 3x , giup ta liờn tng ờn viờc a chung vờ cung mụt cung. Nhng a vờ cung x hay cung 2x ? Cac ban co thờ tra li cõu hoi o da vao quan niờm sau: " Trong phng trinh lng giac tụn tai ba cung x,2x, 3x , ta nờn a vờ cung trung gian 2x nờu trong biờu thc co cha sin 2 x (hoc cos 2 x). Con khụng cha sin 2 x (hoc cos 2 x), nờn a vờ cung x ". Bai giai tham khao ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 4 cos x 3 cos x 4 2 cos x 1 3 cos x 4 0 4 cos x 8 cos x 0* - - - + - = - = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cos x 0 N 4 cos x cos x 2 0 x k , k cos x 2 L 2 ộ = p ờ - = = + p ẻ ờ = ờ ở Â . 0,5 k 3,9 3 5 7 Do x 0;14 ,k 0 k 14 x ; ; ; k 2 2 2 2 2 ỡ ỡ ỹ ù - ằÊÊ ù ù p p p p p ù ù ù ộ ự +ẻ ẻ Ê p Ê ị ẻ ớ ớ ý ờ ỳ ở ỷ ù ù ù ẻ ù ù ù ợ ỵ ợ Â Â . Bai giai tham khao ( ) ( ) ( ) 2 cos x 1 2 sin x cos x 2 sin x cos x sin x* - + = - ( ) ( ) ( ) 2 cos x 1 2 sin x cos x sin x 2 cos x 1 0- + - - = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cos x 1 2 sin x cos x sin x 0 2 cos x 1 sin x cos x 0 ộ ự - + - = - + = ờ ỳ ở ỷ ( ) x k2 2 cos x 1 0 cos x cos 3 k; l 3 sin x cos x 0 tan x 1 x l 4 ộ p ộ p ờ = + p ộ - = ờ = ờ ờ ờ ẻ ờ ờ ờ + = p ờ ờ = - ở = - + p ờ ờ ở ở Â . Li binh: T viờc xuõt hiờn cac cung 3x va 2x , chung ta nghi ngay ờn viờc a chung vờ cung mụt cung x bng cụng thc nhõn ba va cụng thc nhõn ụi cua ham cos Bai giai tham khao ( ) 3 2 3 2 4 cos x 3 cos x 2 cos x 1 cos x 1 0 2 cos x cos x 2 cos x 1 0* - + - - - = + - - = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 cos x 2cos x 1 2 cos x 1 0 2 cos x 1 cos x 1 0+ - + = + - = " Cõn cu bu thụng minh" Page 9 Bai 1. Giai phng trinh: ( ) cos 3x 4 cos2x 3 cos x 4 0 , x 0;14 ộ ự - + - = * " ẻ ờ ỳ ở ỷ Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2002 Bai 2. Giai phng trinh: ( ) ( ) ( ) 2 cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x- + = - * Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2004 Bai 3. Giai phng trinh: ( ) cos 3x cos2x cos x 1 0+ - - = * Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2006 Bai 4. Giai phng trinh: ( ) sin x cos x 1 sin 2x cos2x 0+ + + + = * Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi B nm 2005 Ths. Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) ( ) ( ) 2 sin x 0 x k 2 cos x 1 sin x 0 k;l 1 2 cos x x l2 2 3 ộ ộ = = p ờ ờ ờ ờ - + = ẻ p ờ ờ = - = + p ờ ờ ở ở Â . Bai giai tham khao ( ) ( ) 2 sin x cos x 2 sin x cos x 2 cos x 0* + + + = ( ) ( ) sin x cos x 2 cos x sin x cos x 0+ + + = ( ) ( ) sin x cos x 1 2cos x 0+ + = ( ) sin x cos x tan x 1 x k 4 k; l 1 2 2 cos x cos x cos x l2 2 3 3 ộ p ộ ộ = - = - ờ = - + p ờ ờ ờ ờ ờ ẻ ờ p ờ ờ p = - = ờ = + p ờ ờ ờ ở ở ở Â . Li binh: T viờc xuõt hiờn cua cung 2x va cung x ma ta nghi ờn viờc chuyờn cung 2x vờ cung x bng cụng thc nhõn ụi cua ham sin va cos, t o xuõt hiờn nhõn t chung hai vờ ( ) ( ) 2 sin x 1 2 cos x 1 2 sin x cos x 1 cos x* + - + = + ( ) ( ) 2 2 sin x cos x 2 sin x cos x 1 cos x 2 sin x cos x cos x 1 1 cos x 0+ = + + - + = ( ) ( ) ( ) 2 1 x k2 cos x 3 cos x 1 sin 2x 1 0 k, l 2 sin 2x 1 x l 4 ộ p ộ ờ = + p ờ = - ờ ờ + - = ẻ ờ ờ p ờ = = + p ờ ờ ở ở Â . Li binh: T viờc xuõt hiờn hai cung 3 x 2 p - va 7 x 4 p - giup ta suy nghi ờn viờc a hai cung khac nhau nay vờ cung mụt cung chung la x . ờ lam c iờu o, ta co thờ dung cụng thc cụng cung hoc dung cõu thõn chu "cos ụi sin bu phu cheo''. Ta thc hiờn hai y tng o qua hai cach giai sau õy Page 10 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" Bai 6. Giai phng trinh: ( ) 1 1 7 4 sin x sin x 4 3 sin x 2 ổ ử p ữ ỗ ữ + = - * ỗ ữ ỗ ổ ử ữ ỗ p ố ứ ữ ỗ ữ - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi A nm 2008 Bai 5. Giai phng trinh: ( ) ( ) sin x 1 cos 2x sin 2x 1 cos x+ + = + * [...]... ạ 1 ự ổ pử sin 2 x 1 ( 1 - sin x ) 1 - cos2 x 1 ỗx - ữ ỳ 1 - ( 1 + cos x ) = 0 ( * ) 2 ờ - cos ỗ 2 ữcos2 x - 2 ( 1 + cos x ) = 0 ữ ờ ỳ ỗ ữ 1 - sin 2 x ố ứ ờ ỳ ở ỷ 2 ổ - cos x ử 1 - cos x 1 ữ - ( 1 + cos x ) = 0 ( 1 + cos x ) ỗ - 1 0 = ỗ ữ 1 + sin x ữ 1 + sin x ố ứ ( ) ộ = p + k2p x ộ x = - 1 ( N) cos ờ ờ ờ ( 1 + cos x ) ( - cos x - sin x ) = 0 ờ ( k; l ẻ Â ) ờ = - p + l2p t x ờan x = - 1. .. sin x cos x sin x cos x sin 2 2x 4 ( * ) sin 2 2x = 16 ( 1 + cos 4x ) 1 = 4 ( 1 + cos 4x ) sin 2 2x 1 = 2 ( 1 + cos 4x ) ( 1 - cos 4x ) 1 (Nhõn do sin 4x ạ 0 ) 1 = 2 1 - cos2 4x 1 = 2 sin 2 4x sin 2 4x = 2 1 1 p kp ( 1 - cos 8x ) = cos 8x = 0 x = + ,( k ẻ Â ) 2 2 16 8 ( ) 1 ( *) sin 2x Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Tp.HCM nm 19 98 19 99 Bai 43 Giai phng trinh: 2 t an x + cot 2x = 2... 2 x cot 2 2x - 1 = t an 2 x - cot 2 2x ( " Cõn cu bu thụng minh" ) Page 29 Ths Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) ổ - cos 2x 1 + cos 4x ử 1 - cos 2x 1 + cos 4x 1 ữ cot 3x ỗ - 1 = ỗ ữ 1 + cos 2x - 1 - cos 4x 1 + cos 2x 1 - cos 4x ữ ố ứ cot 3x 1 - cos 2x ) ( 1 + cos 4x ) - ( 1 + cos 2x ) ( 1 - cos 4x ) ự ( ờ ỳ ở ỷ = ( 1 - cos 2x ) ( 1 - cos 4x ) - ( 1 + cos 2x ) ( 1 + cos 4x ) cot... 0 1 ờ ở ộ x = - 1 (Loai do sin x ạ 0 ) cos ờ ờ ờ x = - 1 (Nhõn) cos ờ 2 ở 2p + k2p , ( k ẻ Â ) 3 Bai 45 Giai phng trinh: (1- 2 cos x ) + ( 1 + cos x ) 4 ( 1 - sin x ) 2 - t an 2 x sin x = 1 ( 1 + sin x ) + t an 2 x ( * ) 2 Bai giai tham khao iờu kiờn: sin x ạ 1 cos x ạ 0 2 1 + cos2 x sin 3 x 1 sin 2 x *) = ( 1 + sin x ) + ( 2 1 - sin 2 x 1 - sin 2 x 4 ( 1 - sin x ) ( ) ( ) ( 1 + cos x ) ( 1 +... ỗ ỗ ) ữ ữ ữ ỗ2 ỗ4 10 ữ ữ ữ 2ứ 5 ứ ố ứ ố ố ờ cos ờ 5x = 0 ở 2 2 2 2 Bai 18 Giai phng trinh: sin 3x - cos 4x = sin 5x - cos 6x ( *) Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi B nm 2002 Bai giai tham khao 1 1 1 1 ( 1 + cos 8x ) = 2 ( 1 - cos10x ) - 2 ( 1 + cos12x ) 2 cos 6x + cos 8x = cos10x + cos12x 2 cos 7x cos x = 2 cos11x cos x ộ ờ = p + kp x ờ 2 ờ ộ x=0 cos lp ờ cos x ( cos 7x - cos11x ) = 0 ờ x ( k,... ữ ữ ữ ữ ờ 10 ỳ 10 ỗ 10 10 2 ứ T o, ta se ữ ữ ữ ữ 2ứ 2ứ 2ứ ố ố ố ờ ỳ ở ỷ 3p x t t = va s dung cụng thc nhõn ba la tụi u nhõt 10 2 Bai giai tham khao ộ ự ổ ử p 3x ử p ữ= sin ờ - ổ + 3x ử = sin ổp - 3x ữ= sin 3 ổp - x ử ữ ữ ỗ9 ỗ3 ỳ ữ ữ ữ ữ sin ỗ + p ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ Ta co: ữ ữ ữ ữ ờ ố ỳ 10 10 10 2 ứ ữ ữ ữ ữ 10 2ứ 2ứ 2ứ ố ố ố ờ ỳ ở ỷ ổp x ử 1 ổp x ử 3 3 ữ ữ ỗ ỗ ( 1) sin 10 - 2 ữ= 2 sin 3 10 - 2 ữ (... 5 7/6 11 /6 (vụ li vi k, l ẻ Â ) Cach 1: Khi x = 5/4 p lp Võy ho nghiờm cua phng trinh la: x = + ,( l ẻ Â ) 4 2 Bai 39 Giai phng trinh: t an 2 x + cot 2 x + cot 2 2x = 11 3 7/4 3/2 ( *) Bai giai tham khao " Cõn cu bu thụng minh" Page 25 Ths Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) ỡ cos x ạ 0 ù ù ù ù iờu kiờn: ớ sin x ạ 0 sin 2x ạ 0 ù ù sin 2x ạ 0 ù ù ợ ổ 1 ử ổ 1 ử ổ 1 ử 11 1 1 1 20 ữ... ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4) + 4 ( 1 - sin x ) - 3 = 0 ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4 ) + ( 1 - 2 sin x ) ( 1 + 2 sin x ) = 0 ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4 + 1 - 2 sin x ) = 0 2 " Cõn cu bu thụng minh" Page 19 Ths Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) 3 ( cos 4x - 1) ( 2 sin x + 1) = 0 ộ ờ = k2p 4x ờ ộ 4x = 1 cos ờ ờ p ờ ờ = - + l2p x 1 ờ ờ 2x = 6... L ) 2 ù ù ợ ( *) 1- ( ) Lu y, ta co thờ thc hiờn biờn ụi mõu sụ bng cụng thc cụng theo tan nh sau p p ổ ử ổ ử t an - t an x t an + t an x p p 1 - t an x 1 + t an x 4 4 ữ ữ t an ỗ - x ữt an ỗ + x ữ= = =1 ỗ ỗ ữ ữ ỗ4 ỗ4 ữ ữ p p 1 + t an x 1 - t an x ố ứ ố ứ 1 + t an t an x 1 - t an t an x 4 4 ổp x ữ 1 ử ổ ử 3 ỗ p 3x ữ ỗ Bai 9 Giai phng trinh: sin ỗ - ữ ữ= 2 sin 10 + 2 ữ ( 1) ữ 10 2 ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ... ùờ ù ờ = k2p x 15 ùờ 17 p - 1 15 p lp ờ ùờ vi k ạ 15 n; l ạ ớ x= ; ( k, l, m, n, p ẻ Â ) ờ + ùờ p lp ờ = 2 ù ở 17 17 x + ù ờ ù x ạ mp ở 17 17 ù ù ù ợ Page 22 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) on Ths Lờ Vn 3 Bai 33 Giai phng trinh: 4 sin 3x cos 2x = 1 + 6 sin x - 8 sin x ( *) Bai giai tham khao ( *) ( ) 4 sin 3x cos 2x = 1 + 2 3 sin x . 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x 2 2 2 2 * - - + = - - + cos 6x cos 8x cos10x cos12x 2 cos7x cos x 2 cos11x cos x+ = + = ( ) ( ) x k 2 cos x 0 l cos x cos 7x cos11x 0 x k, l, m cos 7x cos11x 2 m x 9 ộ p ờ =. ứ ờ ỳ ở ỷ . ( ) ( ) 2 4 2 4 4 2 1 1 1 sin 4x cos 4x 1 1 cos 4x cos 4x 2cos x cos 4x 1 0 2 2 * - = - - = - - = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 t 1 N 2t t 1 0 1 cos 4x 1 sin 4x 0 sin 4x 0 t L t cos 4x. giác 11 6 Bài tập áp dụng 11 7 J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác 12 1 Bài tập áp dụng 12 2 Bài tập rèn luyện 12 5 " Cần cù bù thông minh…………" Page 1 Ths.