Đang tải... (xem toàn văn)
Thay tọa độ các điểm của đáp án vào phương trình đường thẳng d.. ) Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là.. A. )[r]
(1)Tailieumontoan.com
Sưu tầm
CHUYÊN ĐỀ
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG
(2)
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
+ Phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M0(x y z0; 0; 0) có vectơ phương
( 1; 2; 3)
a = a a a phương trình có dạng:
0
0
0
x x ta
y y ta
z z ta
= +
= +
= +
trong t tham số
Chú ý: Nếu a ; 1 a ; 2 a 3 khác viết phương trình ∆ dạng tắc:
0 0
1
x x y y z z
a a a
− − −
= =
+ Cho A x( A; yA; zA), B x( B; yB; zB) ta có : AB=(xB −xA;yB −y zA; B −zA)
+ Hình chiếu M a b c( ; ; ) Ox M1(a; 0; 0), Oy M2(0; ; 0b ), Oz M3(0; 0;c)
+ Hình chiếu M a b c( ; ; ) (Oxy) M1(a b; ; 0), (Oyz) M2(0; ;b c), (Oxz)
( )
3 ; 0;
M a c
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Phương trình đường thẳng( Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng cho)
Tìm VTCP, vấn đề lý thuyết
PT hình chiếu vng góc d lên (P)
Điểm thuộc đường thẳng thỏa ĐK
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1
:
2
x y z
d − = − = +
− Điểm thuộc d ?
A P(1; 2; 1− ) B M(− −1; 2;1) C N(2;3; 1− ) D Q(− −2; 3;1)
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TOÁN: Xác định điểm thuộc đường thẳng cho trước
………
2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
(3)Phương trình tham số đường thẳng d :
Cho đường thẳng d qua điểm M x y z( 0; 0; 0) có vectơ phương ( )
2 2
; ; ,a
u= a b c +b +c > Khi
phương trình tham số đường thẳng d :
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +
(t∈ )
+ Nếu a b c≠ đường thẳng d có phương trình tắc: 0 x x0 y y0 z z0
a b c
− = − = −
………
3 HƯỚNG GIẢI:
Thay tọa độ điểm đáp án vào phương trình đường thẳng d Từ đó, ta giải toán cụ thể sau:
Lời giải Chọn A
Thay tọa độ điểm P(1; 2; 1− ) vào phương trình đường thẳng d ta có: 1 2 1
2
− = − =− + = − Ta suy P d∈
Bài tập tương tự phát triển:
Mức độ
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng d :
1 2
2
x t
y t
z t
= −
= − +
= − −
qua điểm ?
A M(2; 1; 2− ) B N(1; 2; 2− − ) C P(1; 2;3) D Q(−2;1; 1− )
Lời giải Chọn B
Ta thấy N(1; 2; 2− − ∈) d
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng d :
2
x− = y+ = z
− − qua điểm ?
A M(2; 1; 2− ) B N(1; 4; 0− ) C P(1; 4; 2− − ) D Q(−2;1; 1− )
Lời giải Chọn B
Thay tọa độ điểm N(1; 4; 0− ) vào phương trình đường thẳng d ta có: 1 4 0
2
− =− + = =
(4)(1; 4; 0)
N d
⇒ − ∈
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng :
2
x y z
d − = − = −
− qua điểm sau đây?
A Q(2; 1; 2− ) B M(− − −1; 2; 3) C P(1; 2;3) D N(−2;1; 2− )
Lời giải Chọn C
Thay tọa độ điểm P(1; 2;3) vào phương trình đường thẳng d ta có: 1 2 3
2
− = − = − =
−
(1; 2;3)
P d
⇒ ∈
Câu Cho đường :
3
x y z
d − = + = − ⋅
− Điểm sau không thuộc d ?
A N(4; 0; − ) B M(1; 2;3 − ) C P(7; 2;1 ) D Q(− −2; 4; )
Lời giải Chọn D
Thay tọa độ P(7; 2;1) vào phương trình đường thẳng d khơng thỏa mãn nên P∉ d
Câu Trong không gian Oxyz, điểm thuộc đường thằng : 2
1
x y z
d + = − = + ?
A P(1;1; 2) B N(2; 1; 2− ) C Q(−2;1; 2− ) D M(− −2; 2;1)
Lời giải Chọn C
Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng d ta thấy điểm Q(−2;1; 2− ∈) d
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng :
1
x y z
d − = − = +
− không đi qua điểm đây?
A Q(1; 2; 3)− B M(2; 1; 2)− C P(0; 2; 8)− D N(0;5; 8)−
Lời giải Chọn C
Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta thấy: 2
1 P d
− = − ≠− + ⇒ ∉
(5)Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng( )d có phương trình
1
3
x− y+ z−
= =
− Điểm sau không thuộc đường thẳng ( )d ?
A. P(7; 2;1) B M(1; 2;3− ) C N(4; 0; 1− ) D Q(− −2; 4; 7) Lời giải
Chọn A
Thế tọa độ điểm P(7; 2;1) vào đường thẳng ( )d ta có: 2 −
= ≠ nên P(7; 2;1)không thuộc đường thẳng ( )d
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng
2
:
3
x t
d y t
z t
= − = + = +
có vectơ phương
A u3 =(2;1;3) B u4 = −( 1; 2;1) C u2 =(2;1;1) D u1 = −( 1; 2;3)
Lời giải Chọn B
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng d :
2
x+ y− z+
= =
− có vectơ phương
A u=(2;1; − ) B u=(2; 3; − ) C u=(1; 2;3 ) D u = −( 2;1; − )
Lời giải Chọn B
Câu 10 Trong không gian Oxyz, đường thẳng d :
3
2
x t
y t
z t
= −
= − +
= +
có vectơ phương
A u=(3; 2; − ) B u=(2; 3; − ) C u= −( 3; 2; ) D u= −( 2;3;1 )
Lời giải Chọn D
Câu 11 Trong không gian Oxyz, đường thẳng :
1
x y z
d + = − = −
− có một vectơ phương
A u1 =(3; 1;5− ) B u4 =(1; 1; 2− ) C u2 = −( 3;1;5) D u3 =(1; 1; 2− − )
(6)Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ( )
1
: ;
5 x
d y t t
z t
=
= + ∈
= −
Véctơ
dưới véctơ phương d ?
A u1 =(0;3; 1− ) B u2 =(1;3; 1− ) C u3 =(1; 3; 1− − ) D u4 =(1; 2;5)
Lời giải Chọn A
Mức độ
Câu Cho d qua A(3; 0;1 ,) B(−1; 2;3 ) Đường thẳng d có véctơ phương
A u= −( 1; 2;1 ) B u=(2;1; ) C u=(2; 1; − − ) D u = −( 1; 2; )
Lời giải Chọn C
Véctơ phương véctơ có giá song song nằm đường thẳng d Do đó: ( 4; 2; 2) 2; 1; 1( )
d
u =AB= − = − − −
Câu Cho hai điểm A(5; 3; 6− ), B(5; 1; 5− − ) Tìm véctơ phương đường thẳng AB
A u=(5; 2;1 − ) B u=(10; 4;1 − ) C u=(0; 2; 11 − ) D u=(0; 2;11 )
Lời giải Chọn C
Véctơ phương u=AB=(0; 2; 11 − )
Câu Cho điểm M(1; 2; 3) Gọi M1, M l2 ần lượt hình chiếu vng góc M lên trục Ox ,
Oy Véctơ véctơ phương đường thẳng M M 1 2
A u2 =(1; 2; ) B u3 =(1; 0; ) C u4 = −( 1; 2; ) D u1 =(0; 2; )
Lời giải Chọn C
1
M hình chiếu vng góc M lên trục Ox nên M1(1; 0; 0)
2
M hình chiếu vng góc M lên trục Oy nên M2(0; 2; 0)
( )
1 1; 2;
M M = −
Câu Cho điểm M(3; 1; 5− ) Gọi M1, M l2 ần lượt hình chiếu vng góc M lên trục Ox
, Oy Véctơ véctơ phương đường thẳng M M 1 2
A u2 =(3; 1; − ) B.
u3=(1; 0; )
C ( )
4 3; 1;
(7)Lời giải Chọn C
1
M hình chiếu vng góc M lên trục Ox nên M1(3; 0; 0)
2
M hình chiếu vng góc M lên trục Oy nên M2(0; 1; 0− )
( )
1 3; 1; M M = − −
Câu Cho điểm M(−2; 3; 4) Gọi M1, M l2 ần lượt hình chiếu vng góc M lên mặt
phẳng (Oxy), (Oyz Tìm m) ột véctơ phương đường thẳng M M 1 2
A u2 =(2; 3; ) B u3 =(1; 0; ) C u4 =(0; 3; − ) D u1 = −( 2; 0; )
Lời giải Chọn B
1
M hình chiếu vng góc M lên trục (Oxy) nên M1(−2 ; ; 0)
2
M hình chiếu vng góc M lên trục (Oyz) nên M2(0 ; ; 4)
( )
1 2 ; ;
M M =
nên u3 =(1 ; ; 2) vectơ phương M M 1 2
Câu Cho điểm M(−2;5;1) Gọi M1, M l2 ần lượt hình chiếu vng góc M lên mặt
phẳng (Oxy), (Oxz Tìm m) ột véctơ phương đường thẳng M M 1 2
A u2 = −( 2;5;1 ) B u3 =(0; 5; -1 ) C u4 =(0; 5; ) D u1= −( 4;5;1 )
Lời giải Chọn B
1
M hình chiếu vng góc M lên trục (Oxy) nên M1(−2;5; 0)
2
M hình chiếu vng góc M lên trục (Oxz) nên M2(−2; 0;1)
( )
1 0; 5;1
M M = −
nên u3 =(0; 5;1− ) vectơ phương M M 1 2
Câu Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) : 4P x− + = Tìm véctơ phương z đường thẳng d
A.u=(4;1;3) B u=(4; 0; 1).− C.u=(4;1; 1).− D.u=(4; 1;3).−
Lời giải Chọn B
Vì d ⊥( )P nên ud =n( )P =(4; 0; 1).−
Câu Cho đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ) : 2P − + − + = Tìm véctơ x y z phương đường thẳng d
A.u= − − −( 2; 1; 1) B u=(2; 1;1).− C.u= −( 2;1;1) D.u= − −( 2; 1;1)
Lời giải Chọn B
(8)Câu Cho hai mặt phẳng ( )P : 2x+ − − =y z 0,( )Q :x−2y+ − =z Khi đó, giao tuyến hai
mặt phẳng ( )P ( )Q có vectơ phương
A u=(1; 2;1− ) B u =(2;1; 1− ) C u =(1;3;5) D u = −( 1;3; 5− )
Lời giải Chọn C
Gọi d =( ) ( )P ∩ Q Khi đó, chọn vectơ phương d u=n n P; Q= − − −( 1; 3; 5)
Vậy u =(1;3;5) cũng vectơ phương d
Câu 10 Cho đường thẳng
1
: ( )
2
x t
d y t t
z t = + = ∈ = − +
Biết A m m( ; +2;1)∈d Tìm m
A m= − 1 B m= − C m= 7 D m=
Lời giải Chọn C
( ; 2;1)
A m m+ ∈d
1 2 m t m t t = + ⇒ + = = − + m m m − + ⇔ = = ⇔ =
Câu 11 Cho đường thẳng :
1
x y+ z−
∆ = =
− qua điểm M(2; ;m n) Giá trị m n+
A − B 7 C 3 D
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng :
1
x y+ z−
∆ = =
− qua điểm M(2; ;m n)
2
1
m+ n−
= =
−
2
2
1
m+ n−
⇔ = = − 2 m n + = − ⇔ − = m n = − ⇔ =
Suy m n+ =
Mức độ
Câu Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương trình hình chiếu
của đường thẳng
2
x− y+ z−
= = mặt phẳng (Oxy ? )
A x t y t z = + = − =
B
1 x t y t z = + = − + =
C
1 x t y t z = + = − − =
D.
(9)Lời giải
Chọn D
Đường thẳng
2
x− y+ z−
= = qua M(1; 2;3− )và N(3;1; 4)
Gọi M ′và N ′ lần lượt hình chiếu Mvà N (Oxy ta có ) M ′(1; 2; 0− ), N ′(3;1; 0)
Phương trình hình chiếu cần tìm là:
1
:
0
x t
M N y t
z = + ′ ′ = − + =
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương trình hình chiếu
của đường thẳng
2
x− = y+ = z−
mặt phẳng (Oyz)?
A 3 x y t z t = = − − = − +
B
0 3 x y t z t = = − = − +
C
0 3 x y t z t = = + = − +
D.
0 3 x y t z t = = − + = + Lời giải
Chọn D
Đường thẳng
2
x− y+ z−
= = qua M(1; 2;3− )và N(3;1; 4)
Gọi M ′và N ′ lần lượt hình chiếu Mvà N (Oyz)ta có M ′(0; 2;3− ), N ′(0;1; 4)
Phương trình hình chiếu cần tìm là:
0
:
3 x
M N y t
z t = ′ ′ = − + = +
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 12 1,
4
x y z
d − = − = − mặt thẳng
( )P : 3x+5y− − =z Gọi 'd hình chiếu d lên ( )P Phương trình tham số 'd
A. 62 25 61 x t y t z t = − = = − B. 62 25 61 x t y t z t = = − = + C. 62 25 61 x t y t z t = = − = − + D 62 25 61 x t y t z t = = − = +
Lời giải Chọn C
Cách 1:
Gọi A= ∩d ( )P
( )
( ) ( )
12 ;9 ;1
3 0; 0;
A d A a a a
A P a A
∈ ⇒ + + +
(10)d đi qua điểm B(12;9;1)
Gọi H hình chiếu B lên ( )P
( )P có vectơ pháp tuyến nP =(3;5; 1− )
BH đi qua B(12;9;1) có vectơ phương a BH =nP =(3;5; 1− )
( )
( )
12
:
1
12 ;9 ;1
78 186 15 113
; ;
35 35 35
186 15 183
; ;
35 35
x t
BH y t
z t
H BH H t t t
H P t H
AH
= +
= + = −
∈ ⇒ + + −
∈ ⇒ = − ⇒ −
= −
'
d đi qua A(0; 0; 2− ) có vectơ phương ad' =(62; 25; 61− )
Vậy phương trình tham số 'd
62
25
2 61
x t
y t
z t
= = −
= − +
Cách 2:
Gọi ( )Q qua d vuông góc với ( )P
d đi qua điểm B(12;9;1) có vectơ phương ad =(4;3;1)
( )P có vectơ pháp tuyến nP =(3;5; 1− )
( )Q qua B(12;9;1) có vectơ pháp tuyến nQ =a n d, P= −( 8; 7;11)
( )Q : 8x−7y−11z−22=0
'
d giao tuyến ( )Q ( )P
Tìm điểm thuộc 'd , bằng cách cho y=
Ta có hệ (0; 0; 2) '
8 11 22
x z x
M d
x z y
− = =
⇒ ⇒ − ∈
− = = −
'
d đi qua điểm M(0; 0; 2− )và có vectơ phương ad =n n P; Q=(62; 25; 61− )
Vậy phương trình tham số 'd
62
25
2 61
x t
y t
z t
= = −
(11)Câu Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( )P :x+ + − =y z đường thẳng
1
:
1
x y z
d = + = −
− Hình chiếu vng góc d ( )P có phương trình
A 1
1
x+ y+ z+
= =
− − B
1 1
3
x− y− z−
= =
− −
C 1
1
x− y− z−
= =
− D
1
1 1
x− y− z+
= =
Lời giải
Chọn C
Gọi M giao điểm d với ( )P
Tọa độ M nghiệm hệ:
3
3
2 1
1
2
1
x y z x
x y z
x y y
x y z
x z z
+ + = =
+ + − =
⇔ − = ⇔ =
= + = −
+ = =
−
(1;1;1)
M
⇒
Lấy điểm N(0; 1; 2− )∈d
Một vec tơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P là: n=(1;1;1)
Gọi ∆ đường thẳng qua N nhận n =(1;1;1) làm vec tơ phương
Phương trình đường thẳng :
1 1
x y+ z−
∆ = =
Gọi N′ giao điểm ∆ với ( )P
Tọa độ N′ nghiệm hệ:
2 3
3
1
1
3
1 1
8 x
x y z
x y z
x y y
x y z
x z
z = + + =
+ + − =
⇔ − = ⇔ = −
+ −
= =
− = −
=
2
; ;
3 3
N′ −
( )
1
; ; 1; 4;
3 3
MN′ = − − = − u −
Đường thẳng cần tìm qua điểm M(1;1;1) nhận u =(1; 4; 5− ) làm vec tơ phương nên có phương trình 1
1
x− y− z−
= =
−
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :
2
x y z
d − = + = −
(12)A x y t z t = − = − − = − + B x y t z t = − = − + = + C x y t z t = − = − + = − D x y t z t = − = − − = +
Lời giải
Chọn D
Cách 1: Đường thẳng d qua điểm M0(1; 5;3)− có VTCP ud =(2; 1; 4− )
Gọi ( )Q mặt phẳng chứa d vng góc với ( )P :x+ =3
Suy mặt phẳng ( )Q qua điểm M0(1; 5;3)− có VTPT [n uP; d] (= 0; 4;1)
( )Q : 4y z 17
⇒ + + =
Phương trình hình chiếu vng góc d mặt phẳng ( )P
4 17
3 y z x + + = + =
hay
3 x y t z t = − = − − = +
Cách 2: Ta có M∈ ⇒d M(1 ; 5+ t − −t;3 4+ t) Gọi M ′ hình chiếu M
( )P :x+ =3 Suy M′ − − −( 3; t;3 4+ t) Suy
3
:
3 x
d y t
z t = − ′ = − − = +
So sánh với phương án, ta chọn D đáp án
Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+ + − =y z đường thẳng
1
:
1
x y z
d = + = −
− Hình chiếu vng góc d ( )P có phương trình
A 1
1
x+ y+ z+
= =
− − B
1 1
3
x− y− z−
= =
− −
C 1
1
x− = y− = z−
− D
1
1 1
x− = y− = z+
Lời giải
Chọn C
Gọi M giao điểm d với ( )P
Tọa độ M nghiệm hệ:
3
3
2 1
1
2
1
x y z x
x y z
x y y
x y z
x z z
+ + = = + + − = ⇔ − = ⇔ = = + = − + = = −
(1;1;1)
M
⇒
Lấy điểm N(0; 1; 2− )∈d
Một vec tơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P là: n=(1;1;1)
Gọi ∆ đường thẳng qua N nhận n =(1;1;1) làm vec tơ phương
Phương trình đường thẳng :
1 1
x y+ z−
(13)Gọi N′ giao điểm ∆ với ( )P
Tọa độ N′ nghiệm hệ:
2 3
3
1
1
3
1 1
8 x
x y z
x y z
x y y
x y z
x z
z = + + =
+ + − =
⇔ − = ⇔ = −
= + = −
− = −
=
2
; ;
3 3
N′ −
( )
1
; ; 1; 4;
3 3
MN′ = − − = − u −
Đường thẳng cần tìm qua điểm M(1;1;1) nhận u =(1; 4; 5− ) làm vec tơ phương nên có phương trinh 1
1
x− y− z−
= =
−
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P :x+ − − =y z đường thẳng
2
:
2
x y z
d + = − = +
− Viết phương trình đường thẳng d′ hình chiếu vng góc d ( )P
A :
7
x y z
d′ + = = +
− B
2
:
7
x y z
d′ − = = −
−
C :
7
x y z
d′ + = = + D :
7
x y z
d′ − = = −
Lời giải
Chọn B
+) Phương trình tham số
2
:
1
x t
d y t
z t
= − +
= −
= − +
, t∈ Gọi R M = − +( 2 ; ; 1t − t − +t) giao
điểm d ( )P ⇒ − +( 2t) (+ 2− t) (− − + − =1 t) ⇔ = t ⇒M =(2; 0;1)
+) Mặt phẳng ( )P có vectơ pháp tuyến nP =(1;1; 1− ) Điểm N =(0; 2; 0) ∈ d d'
d
P
M
N
(14)Gọi ∆ đường thẳng qua N(0; 2; 0) vng góc với mặt phẳng ( )P ⇒ ∆ nhận vectơ
(1;1; 1)
P
n = −
làm vectơ phương Suy phương trình ∆ là:
( ) ( )
: :
1 1
x c
x y z
y c
z c
=
− − −
∆ = = ⇔ ∆ = +
− = −
, c∈ Gọi M′ =(c; 2+ −c; c) giao điểm
∆ với mặt phẳng ( )P (2 ) ( ) 1
c c c c
⇒ + + − − − = ⇔ = − 1; ;
3 3
M′
⇒ −
+) 5; ;
3 3
MM′ = − −
, đường thẳng d′ hình chiếu vng góc d mặt phẳng ( )P
nên d ′ đường thẳng MM , suy d ′ ' qua M(2; 0;1) nhận vectơ
( )
3 7; 5;
u= − MM ′= − làm vector chỉ phương nên phương trình d′ là:
2
:
7
x y z
d′ − = = −
−