Chuyên đề phương trình đường thẳng

Thay tọa độ các điểm của đáp án vào phương trình đường thẳng d.. ) Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là.. A. )[r]

Tailieumontoan.com 

Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ

CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

+ Phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M0(x y z0; 0; 0) có vectơ phương

( 1; 2; 3)

a = a a a phương trình có dạng:

0

0

0

x x ta

y y ta

z z ta

= +



 = + 

 = + 

trong t tham số

Chú ý: Nếu a ; 1 a ; 2 a 3 khác viết phương trình ∆ dạng tắc:

0 0

1

x x y y z z

a a a

− − −

= =

+ Cho A x( A; yA; zA), B x( B; yB; zB) ta có : AB=(xB −xA;yB −y zA; B −zA)



+ Hình chiếu M a b c( ; ; ) Ox M1(a; 0; 0), Oy M2(0; ; 0b ), Oz M3(0; 0;c)

+ Hình chiếu M a b c( ; ; ) (Oxy) M1(a b; ; 0), (Oyz) M2(0; ;b c), (Oxz)

( )

3 ; 0;

M a c

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Phương trình đường thẳng( Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng cho)

Tìm VTCP, vấn đề lý thuyết

PT hình chiếu vng góc d lên (P)

Điểm thuộc đường thẳng thỏa ĐK

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

1

:

2

x y z

d − = − = +

− Điểm thuộc d ?

A P(1; 2; 1− ) B M(− −1; 2;1) C N(2;3; 1− ) D Q(− −2; 3;1)

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Xác định điểm thuộc đường thẳng cho trước

………

2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Phương trình tham số đường thẳng d :

Cho đường thẳng d qua điểm M x y z( 0; 0; 0) có vectơ phương ( )

2 2

; ; ,a

u= a b c +b +c > Khi

phương trình tham số đường thẳng d :

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

= +



 = + 

 = + 

(t∈ )

+ Nếu a b c≠ đường thẳng d có phương trình tắc: 0 x x0 y y0 z z0

a b c

− = − = −

………

3 HƯỚNG GIẢI:

Thay tọa độ điểm đáp án vào phương trình đường thẳng d Từ đó, ta giải toán cụ thể sau:

Lời giải Chọn A

Thay tọa độ điểm P(1; 2; 1− ) vào phương trình đường thẳng d ta có: 1 2 1

2

− = − =− + = − Ta suy P d∈

Bài tập tương tự phát triển:

 Mức độ

Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng d :

1 2

2

x t

y t

z t

= − 

 = − + 

 = − − 

qua điểm ?

A M(2; 1; 2− ) B N(1; 2; 2− − ) C P(1; 2;3) D Q(−2;1; 1− )

Lời giải Chọn B

Ta thấy N(1; 2; 2− − ∈) d

Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng d :

2

x− = y+ = z

− − qua điểm ?

A M(2; 1; 2− ) B N(1; 4; 0− ) C P(1; 4; 2− − ) D Q(−2;1; 1− )

Lời giải Chọn B

Thay tọa độ điểm N(1; 4; 0− ) vào phương trình đường thẳng d ta có: 1 4 0

2

− =− + = =

(1; 4; 0)

N d

⇒ − ∈

Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng :

2

x y z

d − = − = −

− qua điểm sau đây?

A Q(2; 1; 2− ) B M(− − −1; 2; 3) C P(1; 2;3) D N(−2;1; 2− )

Lời giải Chọn C

Thay tọa độ điểm P(1; 2;3) vào phương trình đường thẳng d ta có: 1 2 3

2

− = − = − =

−

(1; 2;3)

P d

⇒ ∈

Câu Cho đường :

3

x y z

d − = + = − ⋅

− Điểm sau không thuộc d ?

A N(4; 0; − ) B M(1; 2;3 − ) C P(7; 2;1 ) D Q(− −2; 4; )

Lời giải Chọn D

Thay tọa độ P(7; 2;1) vào phương trình đường thẳng d khơng thỏa mãn nên P∉ d

Câu Trong không gian Oxyz, điểm thuộc đường thằng : 2

1

x y z

d + = − = + ?

A P(1;1; 2) B N(2; 1; 2− ) C Q(−2;1; 2− ) D M(− −2; 2;1)

Lời giải Chọn C

Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng d ta thấy điểm Q(−2;1; 2− ∈) d

Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng :

1

x y z

d − = − = +

− không đi qua điểm đây?

A Q(1; 2; 3)− B M(2; 1; 2)− C P(0; 2; 8)− D N(0;5; 8)−

Lời giải Chọn C

Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta thấy: 2

1 P d

− = − ≠− + ⇒ ∉

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng( )d có phương trình

1

3

x− y+ z−

= =

− Điểm sau không thuộc đường thẳng ( )d ?

A. P(7; 2;1) B M(1; 2;3− ) C N(4; 0; 1− ) D Q(− −2; 4; 7) Lời giải

Chọn A

Thế tọa độ điểm P(7; 2;1) vào đường thẳng ( )d ta có: 2 −

= ≠ nên P(7; 2;1)không thuộc đường thẳng ( )d

Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng

2

:

3

x t

d y t

z t

= −   = +   = + 

có vectơ phương

A u3 =(2;1;3) B u4 = −( 1; 2;1) C u2 =(2;1;1) D u1 = −( 1; 2;3)

Lời giải Chọn B

Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng d :

2

x+ y− z+

= =

− có vectơ phương

A u=(2;1; − ) B u=(2; 3; − ) C u=(1; 2;3 ) D u = −( 2;1; − )

Lời giải Chọn B

Câu 10 Trong không gian Oxyz, đường thẳng d :

3

2

x t

y t

z t

= − 

 = − + 

 = + 

có vectơ phương

A u=(3; 2; − ) B u=(2; 3; − ) C u= −( 3; 2; ) D u= −( 2;3;1 )

Lời giải Chọn D

Câu 11 Trong không gian Oxyz, đường thẳng :

1

x y z

d + = − = −

− có một vectơ phương

A u1 =(3; 1;5− ) B u4 =(1; 1; 2− ) C u2 = −( 3;1;5) D u3 =(1; 1; 2− − )

Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ( )

1

: ;

5 x

d y t t

z t

= 

 = + ∈

  = − 

 Véctơ

dưới véctơ phương d ?

A u1 =(0;3; 1− ) B u2 =(1;3; 1− ) C u3 =(1; 3; 1− − ) D u4 =(1; 2;5)

Lời giải Chọn A

 Mức độ

Câu Cho d qua A(3; 0;1 ,) B(−1; 2;3 ) Đường thẳng d có véctơ phương

A u= −( 1; 2;1 ) B u=(2;1; ) C u=(2; 1; − − ) D u = −( 1; 2; )

Lời giải Chọn C

Véctơ phương véctơ có giá song song nằm đường thẳng d Do đó: ( 4; 2; 2) 2; 1; 1( )

d

u =AB= − = − − −

Câu Cho hai điểm A(5; 3; 6− ), B(5; 1; 5− − ) Tìm véctơ phương đường thẳng AB

A u=(5; 2;1 − ) B u=(10; 4;1 − ) C u=(0; 2; 11 − ) D u=(0; 2;11 )

Lời giải Chọn C

Véctơ phương u=AB=(0; 2; 11 − )

Câu Cho điểm M(1; 2; 3) Gọi M1, M l2 ần lượt hình chiếu vng góc M lên trục Ox ,

Oy Véctơ véctơ phương đường thẳng M M 1 2

A u2 =(1; 2; ) B u3 =(1; 0; ) C u4 = −( 1; 2; ) D u1 =(0; 2; )

Lời giải Chọn C

1

M hình chiếu vng góc M lên trục Ox nên M1(1; 0; 0)

2

M hình chiếu vng góc M lên trục Oy nên M2(0; 2; 0)

( )

1 1; 2;

M M = −



Câu Cho điểm M(3; 1; 5− ) Gọi M1, M l2 ần lượt hình chiếu vng góc M lên trục Ox

, Oy Véctơ véctơ phương đường thẳng M M 1 2

A u2 =(3; 1; − ) B.

u3=(1; 0; )

 C ( )

4 3; 1;

Lời giải Chọn C

1

M hình chiếu vng góc M lên trục Ox nên M1(3; 0; 0)

2

M hình chiếu vng góc M lên trục Oy nên M2(0; 1; 0− )

( )

1 3; 1; M M = − − 

Câu Cho điểm M(−2; 3; 4) Gọi M1, M l2 ần lượt hình chiếu vng góc M lên mặt

phẳng (Oxy), (Oyz Tìm m) ột véctơ phương đường thẳng M M 1 2

A u2 =(2; 3; ) B u3 =(1; 0; ) C u4 =(0; 3; − ) D u1 = −( 2; 0; )

Lời giải Chọn B

1

M hình chiếu vng góc M lên trục (Oxy) nên M1(−2 ; ; 0)

2

M hình chiếu vng góc M lên trục (Oyz) nên M2(0 ; ; 4)

( )

1 2 ; ;

M M =



nên u3 =(1 ; ; 2) vectơ phương M M 1 2

Câu Cho điểm M(−2;5;1) Gọi M1, M l2 ần lượt hình chiếu vng góc M lên mặt

phẳng (Oxy), (Oxz Tìm m) ột véctơ phương đường thẳng M M 1 2

A u2 = −( 2;5;1 ) B u3 =(0; 5; -1 ) C u4 =(0; 5; ) D u1= −( 4;5;1 )

Lời giải Chọn B

1

M hình chiếu vng góc M lên trục (Oxy) nên M1(−2;5; 0)

2

M hình chiếu vng góc M lên trục (Oxz) nên M2(−2; 0;1)

( )

1 0; 5;1

M M = −



nên u3 =(0; 5;1− ) vectơ phương M M 1 2

Câu Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) : 4P x− + = Tìm véctơ phương z đường thẳng d

A.u=(4;1;3) B u=(4; 0; 1).− C.u=(4;1; 1).− D.u=(4; 1;3).−

Lời giải Chọn B

Vì d ⊥( )P nên ud =n( )P =(4; 0; 1).−

Câu Cho đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ) : 2P − + − + = Tìm véctơ x y z phương đường thẳng d

A.u= − − −( 2; 1; 1) B u=(2; 1;1).− C.u= −( 2;1;1) D.u= − −( 2; 1;1)

Lời giải Chọn B

Câu Cho hai mặt phẳng ( )P : 2x+ − − =y z 0,( )Q :x−2y+ − =z Khi đó, giao tuyến hai

mặt phẳng ( )P ( )Q có vectơ phương

A u=(1; 2;1− ) B u =(2;1; 1− ) C u =(1;3;5) D u = −( 1;3; 5− )

Lời giải Chọn C

Gọi d =( ) ( )P ∩ Q Khi đó, chọn vectơ phương d u=n n P; Q= − − −( 1; 3; 5)

Vậy u =(1;3;5) cũng vectơ phương d

Câu 10 Cho đường thẳng

1

: ( )

2

x t

d y t t

z t = +   = ∈   = − + 

 Biết A m m( ; +2;1)∈d Tìm m

A m= − 1 B m= − C m= 7 D m=

Lời giải Chọn C

( ; 2;1)

A m m+ ∈d

1 2 m t m t t = +   ⇒ + =  = − +  m m m − + ⇔ = = ⇔ =

Câu 11 Cho đường thẳng :

1

x y+ z−

∆ = =

− qua điểm M(2; ;m n) Giá trị m n+

A − B 7 C 3 D

Lời giải

Chọn C

Đường thẳng :

1

x y+ z−

∆ = =

− qua điểm M(2; ;m n)

2

1

m+ n−

= =

−

2

2

1

m+ n−

⇔ = = − 2 m n + = −  ⇔  − =  m n = −  ⇔  = 

Suy m n+ =

 Mức độ

Câu Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương trình hình chiếu

của đường thẳng

2

x− y+ z−

= = mặt phẳng (Oxy ? )

A x t y t z = +   = −   = 

B

1 x t y t z = +   = − +   = 

C

1 x t y t z = +   = − −   = 

D.

Lời giải

Chọn D

Đường thẳng

2

x− y+ z−

= = qua M(1; 2;3− )và N(3;1; 4)

Gọi M ′và N ′ lần lượt hình chiếu Mvà N (Oxy ta có ) M ′(1; 2; 0− ), N ′(3;1; 0)

Phương trình hình chiếu cần tìm là:

1

:

0

x t

M N y t

z = +   ′ ′  = − +  = 

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương trình hình chiếu

của đường thẳng

2

x− = y+ = z−

mặt phẳng (Oyz)?

A 3 x y t z t =   = − −   = − + 

B

0 3 x y t z t =   = −   = − + 

C

0 3 x y t z t =   = +   = − + 

D.

0 3 x y t z t =   = − +   = +  Lời giải

Chọn D

Đường thẳng

2

x− y+ z−

= = qua M(1; 2;3− )và N(3;1; 4)

Gọi M ′và N ′ lần lượt hình chiếu Mvà N (Oyz)ta có M ′(0; 2;3− ), N ′(0;1; 4)

Phương trình hình chiếu cần tìm là:

0

:

3 x

M N y t

z t =   ′ ′  = − +  = + 

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 12 1,

4

x y z

d − = − = − mặt thẳng

( )P : 3x+5y− − =z Gọi 'd hình chiếu d lên ( )P Phương trình tham số 'd

A. 62 25 61 x t y t z t = −   =   = −  B. 62 25 61 x t y t z t =   = −   = +  C. 62 25 61 x t y t z t =   = −   = − +  D 62 25 61 x t y t z t =   = −   = + 

Lời giải Chọn C

Cách 1:

Gọi A= ∩d ( )P

( )

( ) ( )

12 ;9 ;1

3 0; 0;

A d A a a a

A P a A

∈ ⇒ + + +

d đi qua điểm B(12;9;1)

Gọi H hình chiếu B lên ( )P

( )P có vectơ pháp tuyến nP =(3;5; 1− )

BH đi qua B(12;9;1) có vectơ phương a BH =nP =(3;5; 1− )

( )

( )

12

:

1

12 ;9 ;1

78 186 15 113

; ;

35 35 35

186 15 183

; ;

35 35

x t

BH y t

z t

H BH H t t t

H P t H

AH

= +

  = +   = − 

∈ ⇒ + + −

 

∈ ⇒ = − ⇒  − 

 

 

= − 

 



'

d đi qua A(0; 0; 2− ) có vectơ phương ad' =(62; 25; 61− )

Vậy phương trình tham số 'd

62

25

2 61

x t

y t

z t

=   = − 

 = − + 

Cách 2:

Gọi ( )Q qua d vuông góc với ( )P

d đi qua điểm B(12;9;1) có vectơ phương ad =(4;3;1)

( )P có vectơ pháp tuyến nP =(3;5; 1− )

( )Q qua B(12;9;1) có vectơ pháp tuyến nQ =a n d, P= −( 8; 7;11)

( )Q : 8x−7y−11z−22=0

'

d giao tuyến ( )Q ( )P

Tìm điểm thuộc 'd , bằng cách cho y=

Ta có hệ (0; 0; 2) '

8 11 22

x z x

M d

x z y

− = =

 

⇒ ⇒ − ∈

 − =  = −

 

'

d đi qua điểm M(0; 0; 2− )và có vectơ phương ad =n n P; Q=(62; 25; 61− )

Vậy phương trình tham số 'd

62

25

2 61

x t

y t

z t

=   = − 

Câu Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( )P :x+ + − =y z đường thẳng

1

:

1

x y z

d = + = −

− Hình chiếu vng góc d ( )P có phương trình

A 1

1

x+ y+ z+

= =

− − B

1 1

3

x− y− z−

= =

− −

C 1

1

x− y− z−

= =

− D

1

1 1

x− y− z+

= =

Lời giải

Chọn C

Gọi M giao điểm d với ( )P

Tọa độ M nghiệm hệ:

3

3

2 1

1

2

1

x y z x

x y z

x y y

x y z

x z z

+ + = =

 

+ + − = 

 ⇔ − = ⇔ =

 = + = −  

  + =  =

 −  

(1;1;1)

M

⇒

Lấy điểm N(0; 1; 2− )∈d

Một vec tơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P là: n=(1;1;1)

Gọi ∆ đường thẳng qua N nhận n =(1;1;1) làm vec tơ phương

Phương trình đường thẳng :

1 1

x y+ z−

∆ = =

Gọi N′ giao điểm ∆ với ( )P

Tọa độ N′ nghiệm hệ:

2 3

3

1

1

3

1 1

8 x

x y z

x y z

x y y

x y z

x z

z  =  + + =

 

+ + − = 

 ⇔ − = ⇔ = −

 + −  

= =

  − = − 

 

 = 

2

; ;

3 3

N′ − 

 

( )

1

; ; 1; 4;

3 3

MN′ = − − = − u −

 

 

Đường thẳng cần tìm qua điểm M(1;1;1) nhận u =(1; 4; 5− ) làm vec tơ phương nên có phương trình 1

1

x− y− z−

= =

−

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :

2

x y z

d − = + = −

A x y t z t = −   = − −   = − +  B x y t z t = −   = − +   = +  C x y t z t = −   = − +   = −  D x y t z t = −   = − −   = + 

Lời giải

Chọn D

Cách 1: Đường thẳng d qua điểm M0(1; 5;3)− có VTCP ud =(2; 1; 4− )

Gọi ( )Q mặt phẳng chứa d vng góc với ( )P :x+ =3

Suy mặt phẳng ( )Q qua điểm M0(1; 5;3)− có VTPT [n uP; d] (= 0; 4;1)  

( )Q : 4y z 17

⇒ + + =

Phương trình hình chiếu vng góc d mặt phẳng ( )P

4 17

3 y z x + + =   + =

 hay

3 x y t z t = −   = − −   = + 

Cách 2: Ta có M∈ ⇒d M(1 ; 5+ t − −t;3 4+ t) Gọi M ′ hình chiếu M

( )P :x+ =3 Suy M′ − − −( 3; t;3 4+ t) Suy

3

:

3 x

d y t

z t = −   ′  = − −  = + 

So sánh với phương án, ta chọn D đáp án

Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+ + − =y z đường thẳng

1

:

1

x y z

d = + = −

− Hình chiếu vng góc d ( )P có phương trình

A 1

1

x+ y+ z+

= =

− − B

1 1

3

x− y− z−

= =

− −

C 1

1

x− = y− = z−

− D

1

1 1

x− = y− = z+

Lời giải

Chọn C

Gọi M giao điểm d với ( )P

Tọa độ M nghiệm hệ:

3

3

2 1

1

2

1

x y z x

x y z

x y y

x y z

x z z

+ + = =   + + − =   ⇔ − = ⇔ =  = + = −     + =  =  −  

(1;1;1)

M

⇒

Lấy điểm N(0; 1; 2− )∈d

Một vec tơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P là: n=(1;1;1)

Gọi ∆ đường thẳng qua N nhận n =(1;1;1) làm vec tơ phương

Phương trình đường thẳng :

1 1

x y+ z−

Gọi N′ giao điểm ∆ với ( )P

Tọa độ N′ nghiệm hệ:

2 3

3

1

1

3

1 1

8 x

x y z

x y z

x y y

x y z

x z

z  =  + + =

 

+ + − = 

 ⇔ − = ⇔ = −

 = + = −  

  − = − 

 

 = 

2

; ;

3 3

N′ − 

 

( )

1

; ; 1; 4;

3 3

MN′ = − − = − u −

 

 

Đường thẳng cần tìm qua điểm M(1;1;1) nhận u =(1; 4; 5− ) làm vec tơ phương nên có phương trinh 1

1

x− y− z−

= =

−

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P :x+ − − =y z đường thẳng

2

:

2

x y z

d + = − = +

− Viết phương trình đường thẳng d′ hình chiếu vng góc d ( )P

A :

7

x y z

d′ + = = +

− B

2

:

7

x y z

d′ − = = −

−

C :

7

x y z

d′ + = = + D :

7

x y z

d′ − = = −

Lời giải

Chọn B

+) Phương trình tham số

2

:

1

x t

d y t

z t

= − + 

 = − 

 = − + 

, t∈ Gọi R M = − +( 2 ; ; 1t − t − +t) giao

điểm d ( )P ⇒ − +( 2t) (+ 2− t) (− − + − =1 t) ⇔ = t ⇒M =(2; 0;1)

+) Mặt phẳng ( )P có vectơ pháp tuyến nP =(1;1; 1− ) Điểm N =(0; 2; 0) ∈ d d'

d

P

M

N

Gọi ∆ đường thẳng qua N(0; 2; 0) vng góc với mặt phẳng ( )P ⇒ ∆ nhận vectơ

(1;1; 1)

P

n = −



làm vectơ phương Suy phương trình ∆ là:

( ) ( )

: :

1 1

x c

x y z

y c

z c

= 

− − − 

∆ = = ⇔ ∆  = +

−  = −



, c∈  Gọi M′ =(c; 2+ −c; c) giao điểm

∆ với mặt phẳng ( )P (2 ) ( ) 1

c c c c

⇒ + + − − − = ⇔ = − 1; ;

3 3

M′ 

⇒ − 

 

+) 5; ;

3 3

MM′ = − − 

 



, đường thẳng d′ hình chiếu vng góc d mặt phẳng ( )P

nên d ′ đường thẳng MM , suy d ′ ' qua M(2; 0;1) nhận vectơ

( )

3 7; 5;

u= − MM ′= − làm vector chỉ phương nên phương trình d′ là:

2

:

7

x y z

d′ − = = −

−