Chuyên đề phương trình mặt cầu - Giáo viên Việt Nam

Lại có: tiếp tuyến AB của đường tròn đồng thời là tiếp tuyến của mặt cầu tâm O nên:.  .[r]

Lý thuyết tập phương trình mặt cầu 1 Phương trình mặt cầu:

Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R:      

2 2 2

x a  y b  z c R (1)

Dạng 2:  

2 2 2ax + 2by + 2cz + d = 0 2 0

x  y z  a b c  d 

(2) Khi đó: Mặt cầu

tâm I(-a; -b; -c), bán kính R a2 b2 c2  d . 2 Vị trí tương đối mặt cầu với đường thẳng:

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R đường thẳng  

Tính: d I  ,  Nếu: d I ,  R:   C ;

d I ,  R:   C điểm phân biệt;

d I ,  R:    , C tiếp xúc nhau,   gọi tiếp tuyến mặt cầu 3 Vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng:

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R mặt phẳng  P : Ax + By + Cz + D =

Tính:

 

 ,  Aa +Bb +Cc+D2 2 2

A d I P

B C



  .

Nếu:

1) d I P ,  R P:  C ;

2)d I P ,   R P:   C đường tròn     

2

; ;

H r  R  d I P

với H hình chiếu I (P) Vậy đường trịn khơng gian có phương trình:

 2  2  2 Ax + By + Cz + D =

x a y b z c R

      

   

3) d I P ,  R P:   , C tiếp xúc điểm H hình chiếu I (P), (P) gọi tiếp diện mặt cầu (C)

Dạng 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu cho trước (dạng pt (2)): Cách 1: Đưa dạng 1

Cách 2: Kiểm tra điều kiệna2 b2 c2  d 0 tâm bán kính Ví dụ:

Cho phương trình: x2 y2 z2  2m2x y +8 m m2  =

Tìm điều kiện để phương trình phương trình mặt cầu Khi tìm tập hợp tâm họ mặt cầu

Giải:

Pt cho    

2 2

2 2 4 4

x m y m z m m

       

là phương trình mặt cầu

 

4 4 4 2 0 2

m m m m

       

Khi tâm I m( 2; ;0)m Ta thấy tâm I thuộc mặt phẳng Oxy và:

2

4

I I

y x 

Vậy tập hợp tâm I parabol

2

4 y x 

nằm mp Oxy bỏ điểm: M(2; 2;0) (2; 2;0)

N 

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu biết số yếu tố cho trước Đi xác định tâm bán kính mặt cầu:

- Biết tâm: tìm bán kính; - Biết bán kính: tìm tâm;

- Chưa biết tâm bán kính:Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tiếp xúc với mặt phẳng cho trước thường xác định tâm trước sau tìm bán kính

Bài 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I(4; 3; 2) tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) với: A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3)

Giải: Phương trình mp(ABC): 3 3 x y z

x y z

       

Bài 2: Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) cho mặt cầu cắt đường thẳng (d) có

phương trình:

5x +3z 20 = 3x + z 8=

y y

 

 

 

 điểm A, B cho AB = 16 Giải:

(d) qua M(11; 0; -25) có véc tơ phương u 2;1; 2 

 d

R

H B

A

Gọi H hình chiếu I (d) Có:

 ,  MI u, 15 IH d I AB

u

 

 

   

                           



Bán kính mặt cầu:

2

2 17

2

AB

R IH   

  Vậy phương trình mặt cầu: x 22 y 32 z12 289

Bài 3: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (d) có phương trình:

1

2

x y z

 

và hai mặt phẳng  P1 : x + 2y + 2z = 0;  P2 : 2x + y + 2z 1= 0 Lập phương trình mặt

cầu có tâm I nằm (d) tiếp xúc với mặt phẳng Giải:

  2 1; 2; 3 I d  I t t  t

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  d I P , 1  d I P , 2 

0

8 9

8 9 18

8 9

17 t

t t

t t

t t t

 

  

 

       



   



t =          

2 2

1 1; 2;3 ; / :

I R Pt m c S x y z

        

 

2 2

2 2

18 19 16 15 19 16 15

; ; ; / :

17 17 17 17 17 17 17 17 289

t   I   R   Pt m c S x  y  z  

       

Chú ý:

Nếu    P1  P2 :

1) d song song không cách  P1 và  P2 hoặc nằm trên  P1 hoặc  P2 : Khơng

có mặt cầu thoả mãn

2) d song song cách  P1 và  P2 : Có vơ số mặt cầu thoả mãn.

3) d không song song, không nằm  P1 và  P2 : Có mặt cầu thoả mãn.

Bài 4: Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) D(1; -1; 2)

Giải:

Cách 1: Gọi I(x; y; z)

 

2

2

2

1;1;1 ,

IA IB

IB IC I R IA

IC ID

 



     

 



Cách 2:

Gọi phương trình mặt cầu là:  

2 2 2ax + 2by + 2cz + d = a2 2 0

x  y z  b c  d 

Mặt cầu qua điểm A, B, C, D nên:

2 2

6 14

1; 2;

2

2

a b d

a b c d

a b c d

a b c d

a b c d

   



     



      

     



     



Kết luận: Phương trình mặt cầu là:      

2 2

1

x  y  z 

Cách giải toán tương tự cách toán Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện mặt cầu

Bài tốn 1: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) tâm I, bán kính R điểm A Cách giải: mp(P) qua A nhận véc tơIA làm véc tơ pháp tuyến

Bài tốn 2: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết

véc tơ pháp tuyến (P) là: n A B C; ;  

Cách giải:

 P : Ax + By + Cz + D = 0

Có: d I P ,   R 2 Aa +Bb +Cc+D

A B C R tìm D suy phương trình mp(P). Chú ý: Trong toán cho biết véc tơ pháp tuyến dạng:

- Biết  P song song với mặt phẳng song song với đường thẳng cho trước - Biết vng góc với đường thẳng cho trước

Bài tốn 3: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) chứa đường thẳng

(d) cho trước Cách giải:

- Xét đường thẳng (d) dạng phương trình tổng quát; - Viết phương trình chùm mặt phẳng qua (d);

- Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm mp(P)

Bài tốn 4: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S), tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) qua điểm C và:

1) Song song với đường thẳng (d) cho trước 2) Vng góc với mặt phẳng (Q) cho trước Cách giải:

2) Tương tự với: d qua A vng góc với mp(Q) Dạng 4: Đường trịn khơng gian

Bài tốn 1: Xác định tâm, tính bán kính đường trịn giao mặt phẳng với mặt cầu cho trước:

Cách giải: Sử dụng tính chất phần B.I2) để tìm tâm, tính bán kính đường trịn

Bài tốn 2: Tìm tâm bán kính đường trịn giao mặt cầu (S), (S') có tâm lần lượt I, I'; bán kính R, R'

Cách giải:

- Đưa pt đường tròn giao mặt cầu pt đường tròn giao mặt cầu (S) với mặt phẳng (Q)

- Tâm đường trịn làOII' Q ;

bán kính   

2 ;

r  R  d I P

Bài toán 3:

Lập phương trình tiếp tuyến đường trịn sau kẻ từ A cho trước:

 2  2  2  1 Ax + By + Cz + D =

x a y b z c R

      

   

Cách giải: Gọi B tiếp điểm Để ý B thuộc đường tròn nên toạ độ B thoả mãn (1). Lại có: tiếp tuyến AB đường tròn đồng thời tiếp tuyến mặt cầu tâm O nên:

 

AB OB AB OB                   

từ (1) (2) suy toạ độ B tiếp tuyến AB

Dạng 5: Ứng dụng mặt cầu giải số toán đại số Bài 1:

Tìm m để phương trình sau có nghiệm, tìm nghiệm đó:

2 2 1

2

x y z x y z m

   



  

 (1)

Giải:

mặt cầu (S): x2y2z21, (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R =

và mặt phẳng   :2x y 2z m 0

Do hệ (1) có nghiệm (S) () tiếp xúc



 ,( ) 2 2 2

2 ( 1) m

d O    

   

3 m m

    

TH1:m = nghiệm hệ hình chiếu vng góc H O (1): 2x – y + 2z – =

đường thẳng  qua O vng góc với (1) có phương trình

 

2

2 x t y t t R z t

  

 

   

giá trị tham số t tương ứng với điểm chung (1)  t =

1 3 H

2

; ;

3 3

 



 

 

TH2: m = -3 Gọi H’ hình chiếu vng góc O (2): 2x – y + 2z + =

 H’

2

; ;

3 3

 

 

 

  (tương tự TH1)

Vậy m = hệ có mghiệm

2

; ;

3 3

x y z

 

  

 

  m = - hệ có

mghiệm

2

; ;

3 3

x y z

 

  

 

 

Bài 2: Giải hệ phương trình:

     

2 2

3 3

x y z x y z

x y z 3    



  

 

  



tiếp xúc với   2

,( )

1 1

d O     R

  .

Do hệ phương trình

   

2 2

x y z x y z    

 

  



 có nghiệm nhất, dễ thấy nghiệm x = y = z = nghiệm thỏa (3) Vậy hệ cho có nghiệm x = y = z = Bài 3: Cho ba số thực x, y, z thỏa: x2y2z21 Tìm GTLN GTNN của:

2

F x y z 

Giải:

Xét mặt cầu (S): x2y2z21, tâm O, bán kính R = mặt phẳng (): 2x2y z  9= 0

Đường thẳng  qua O vng góc với () có phương trình

 

2 x t y t t R z t        

 giá trị tham số t

tương ứng với giao điểm  (S) t = 

  (S) cắt điểm: A

2

; ;

3 3

 



 

  B

2

; ;

3 3

 

 

 

 

 

 2

2

4 3

,( )

2

d A 

  

 

  

;

 

 2

2

4 3

,( )

2

d B 

   

 

  

Lấy M(x; y; z)  (S),

 

 2

2

2

,( )

3

2

x y z

d M       F

  

Ln có d A , ( ) d M ,( ) d B ,( )  

2

3 F

 

Vậy Fmin = đạt x = y =

2 3; z =

1 

Fmax = đạt x = y =

2 

; z =

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Trong hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d):

2x z 1=

x 2 z 4= y

y

  

 

  

 mặt cầu (S) có

phương trình:x2  y2 z2 4x 6y + = 0 m Tìm m để d cắt mặt cầu (S) điểm M, N cho MN =

Bài 2: Trong không gian Oxyz cho mp(P): 2x + 2y + z + = I(1; 2; -2):

a) Lập phương trình mặt cầu (C), tâm I cho giao tuyến mặt cầu (C) mp (P) đường trịn có chu vi 8

b) CMR; mặt cầu (C) nói tiếp xúc với (d): 2x - = y + = z c) Lập phương trình mặt phẳng qua (d) mà tiếp xúc với mặt cầu (C)

Bài 3: Cho điểm M(0; 2; 0) đường tròn (C):

 2  2  

2 2 1 9

x + y + z =

x y z S

     

   

a) CMR: M nằm (C) Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) b) Từ M kẻ tiếp tuyến tới mặt cầu (S) Tìm tập hợp tiếp điểm

Bài 4:

Cho mặt cầu (S):      

2 2

2 3

x  y  z 

mp(P): x - 2y + 2z + =

a) CNR: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường trịn Lập phương trình đường trịn (C) giao tuyến tìm tâm, tính bán kính đường trịn

b) Lập phương trình mặt cầu chứa (C) tâm nằm mặt phẳng (Q): x+y+z+3=0 Bài 5:

Cho mặt cầu:        

2 2

1 : 3

S x  y  z 

       

2 2

2 : 20

S x  y  z 

b) Tìm tâm bán kính đường trịn

Bài 6: Cho mặt cầu (S):      

2 2

1

x  y  z 

mp(P): x - 4y - 3z + = Lập phương trình tiếp diện (S) qua A(0; 1; 0) vng góc với mp(P)

Bài 7: Giải hệ phương trình:

2 2 2 4 6 0

3 2

3 12

x y z x y z

x y z

x y z

      



   



    



ĐÁP SỐ - HƯỚNG DẪN: Bài 1:

     

      2 2 

: 2;3;0 , 13 13

65

: 0;1; ; 2;1; , , 3, ,

4

S I R m m

d A vtcp a d I d IM IH d I d m

   

      

Bài 2:

a) Bán kính đường trịn r = 4, d I P ,   3 R5      

2 2

1 2 25

x y z

      

b) d I ,    5 R  đpcm c) 2x - 11y + 10z - 35 = Bài 3:

a) Gọi tiếp điểm H(x; y; z) Vì H thuộc (C) nên:

 2  2  

2 2 1 9

x + y + z =

x y z S

     

  

 (1)

Lại có:  IH MH IH MH  0 x y z   2 2     

                                                   

Từ (1) (2) có: 1 

6 16

2;0;0 ; ; ;

7 7

H H  

  pttt.

b) Gọi T tiếp điểm nên T thuộc m/c (S) (1)

Lại có: MT  R2 MI2 2 nên T thuộc m/c (S') tâm M, bán kính2 có pt:  2

2 2 8

x  y z  (2)

 2

2 2 8

2

x y z

y z

    

 

 

 

Bài 4:

a) Đường tròn tâm

5 11

; ; ;

3 3

H    r

 

b) Tâm J m/c nằm đường thẳng IH J IH  Q  J3; 5; 1    

 ,  l d J P  

bán kính m/c: R'2 r2 l2 20 Bài 5:

a) R2  R1 I I1  R2 R1 ĐPCM Pt:

     

 

2 2

2 3

2

x y z

x y z 

      

 

   

 

b) Tâm OI I1   

5 11

; ; ;

3 3

H    r 

 

Bài 6: Lập pt đường thẳng d qua A vuông góc với (P):

4

3

x y x z

  

 

 



Bài toán trở thành lập pt mp qua d, tiếp xúc với (S) Bài 7:

Nghiệm hệ tọa độ điểm chung của:

Mặt cầu (S):x2y2z2 2x 4y 6z0 đường thẳng :

3 2

3 12

x y z

x y z

   

 

   



 qua M(0; 4; 0) có VTCP u = (-2; 6; 3)

  có phương trình tham số:

 

2

x t

y t t R

z t   

  

   

2t24 6 t2 3t 2 2 t 4 6  t 6.3 0t 

0 10 49 t t

     

  (S) có hai điểm chung A0; 4;0

20 136 30

; ;

49 49 49

A  

 

Vậy hệ (3) có hai nghiệm 0;4;0

20 136 30

; ;

49 49 49

 



 