TRƯỜNG THPT NGHÈN NGUYỄN KHÁNH NAM Chuyên đề tháng 12: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương trình mặt cầu: Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R (1) 2 2 2 2 Dạng 2: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( a + b + c − d > ) (2) Khi đó: Mặt cầu tâm I(-a; -b; -c), bán kính R = a + b + c − d Vị trí tương đối mặt cầu với đường thẳng: Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R đường thẳng ( ∆ ) Tính: d ( I , ∆ ) Nếu: d ( I , ∆ ) > R :( ∆ ) ∩ ( C ) = ∅ ; d ( I , ∆ ) < R : ( ∆ ) ∩ ( C ) điểm phân biệt; d ( I , ∆ ) = R : ( ∆ ) , ( C ) tiếp xúc nhau, ( ∆ ) gọi tiếp tuyến mặt cầu Vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng: Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = Aa +Bb +Cc+D Tính: d ( I , ( P ) ) = A2 + B2 + C Nếu: 1) d ( I , ( P ) ) > R : ( P ) ∩ ( C ) = ∅ ; ( 2 2) d ( I , ( P ) ) < R : ( P ) ∩ ( C ) đường tròn H ; r = R − d ( I ; ( P ) ) ) với H hình chiếu I (P) Vậy đường tròn không gian có phương trình: 2 2 ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R Ax + By + Cz + D = 3) d ( I , ( P ) ) = R : ( P ) , ( C ) tiếp xúc điểm H hình chiếu I (P), (P) gọi tiếp diện mặt cầu (C) II Các dạng toán: Dạng 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu cho trước (dạng pt (2)): Cách 1: Đưa dạng Cách 2: Kiểm tra điều kiện a + b + c − d > ⇒ tâm bán kính Ví dụ: Cho phương trình: x + y + z − 2m x − 4my +8m − = Tìm điều kiện để phương trình phương trình mặt cầu Khi tìm tập hợp tâm họ mặt cầu Giải: Pt cho ⇔ ( x − m2 ) + ( y − 2m ) + z = m − 4m2 + 2 -1- TRƯỜNG THPT NGHÈN NGUYỄN KHÁNH NAM phương trình mặt cầu ⇔ m − 4m + = ( m − ) > ⇔ m ≠ ± 2 yI2 Khi tâm I ( m ; 2m; 0) Ta thấy tâm I thuộc mặt phẳng Oxy và: xI = Vậy tập hợp tâm I parabol x = y2 nằm mp Oxy bỏ điểm: M (2; 2;0) N (2; −2 2;0) Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu biết số yếu tố cho trước Đi xác định tâm bán kính mặt cầu: - Biết tâm: tìm bán kính; - Biết bán kính: tìm tâm; - Chưa biết tâm bán kính:Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tiếp xúc với mặt phẳng cho trước thường xác định tâm trước sau tìm bán kính Bài 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I(4; 3; 2) tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) với: A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) x y z Giải: Phương trình mp(ABC): + + = ⇔ x + y + z − = 3 Bán kính mặt cầu: R = d ( I , ( ABC ) ) = ⇒ Phương trình mặt cầu: ( x − 4) + ( x − 3) + ( x − ) = 12 2 Bài 2: Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) cho mặt cầu cắt đường thẳng (d) có 5x − y + 3z + 20 = phương trình: điểm A, B cho AB = 16 3x − y + z − = Giải: r (d) qua M(11; 0; -25) có véc tơ phương u = ( 2;1; − ) Gọi H hình chiếu I (d) Có: uuur r MI , u IH = d ( I , AB ) = = 15 ⇒ Bán kính mặt cầu: r u AB R = IH + ÷ = 17 Vậy phương trình mặt cầu: Bài 3: ( x − 2) R d A H B + ( y − 3) + ( z + 1) = 289 2 x −1 y − z − = = 2 hai mặt phẳng ( P1 ) : x + 2y + 2z − = 0; ( P2 ) : 2x + y + 2z −1= Lập phương trình mặt cầu có tâm I nằm (d) tiếp xúc với mặt phẳng Giải: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) có phương trình: -2- TRƯỜNG THPT NGHÈN NGUYỄN KHÁNH NAM I ∈ ( d ) ⇒ I ( 2t + 1; t + 2; 2t + ) Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ⇔ d ( I , ( P1 ) ) = d ( I , ( P2 ) ) t = 8t + = 9t + ⇔ 8t + = 9t + ⇔ ⇔ t = −18 t − = − t − 17 t = ⇒ I1 ( 1; 2;3) ; R1 = ⇒ Pt m / c ( S1 ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 2 2 2 18 19 16 15 19 16 15 t = − ⇒ I − ; ; ÷; R2 = ⇒ Pt m / c ( S ) : x + ÷ + y − ÷ + z − ÷ = 17 17 17 17 17 289 17 17 17 Chú ý: Nếu ( P1 ) P( P2 ) : 1) d song song không cách ( P1 ) ( P2 ) nằm ( P1 ) mặt cầu thoả mãn 2) d song song cách ( P1 ) ( P2 ) : Có vô số mặt cầu thoả mãn ( P2 ) : Không có 3) d không song song, không nằm ( P1 ) ( P2 ) : Có mặt cầu thoả mãn Bài 4: Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) D(1; -1; 2) Giải: IA2 = IB 2 Cách 1: Gọi I(x; y; z) ⇒ IB = IC ⇒ I ( 1;1;1) , R = IA = IC = ID Cách 2: 2 2 2 Gọi phương trình mặt cầu là: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( a + b + c − d > ) Mặt cầu qua điểm A, B, C, D nên: 2a + 2b + d + = 6a + 2b + 4c + d + 14 = ⇒ ⇒ a = b = −1; c = −2; d = −2a + 2b + 4c + d + = 2a − 2b + 4c + d + = Kết luận: Phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − ) = Chú ý: Bài toán (ĐH KD-2004): Trong không gian Oxyz cho điểm A(2; 0;1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + x - = Viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) Cách giải toán tương tự cách toán 2 Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện mặt cầu Bài toán 1: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) tâm I, bán kính R điểm A -3- TRƯỜNG THPT NGHÈN NGUYỄN KHÁNH NAM Cách giải: uur mp(P) qua A nhận véc tơ IA làm véc tơ pháp tuyến Bài toán 2: Lập phương trình r tiếp diện (P) mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết véc tơ pháp tuyến (P) là: n = ( A; B; C ) Cách giải: ( P ) : Ax + By + Cz + D = Có: d ( I , ( P ) ) = R ⇔ Aa +Bb +Cc+D A2 + B2 + C = R ⇒ tìm D suy phương trình mp(P) Chú ý: Trong toán cho biết véc tơ pháp tuyến dạng: - Biết ( P ) song song với mặt phẳng song song với đường thẳng cho trước - Biết vuông góc với đường thẳng cho trước Bài toán 3: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) chứa đường thẳng (d) cho trước Cách giải: - Xét đường thẳng (d) dạng phương trình tổng quát; - Viết phương trình chùm mặt phẳng qua (d); - Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm mp(P) Bài toán 4: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S), tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) qua điểm C và: 1) Song song với đường thẳng (d) cho trước 2) Vuông góc với mặt phẳng (Q) cho trước Cách giải: 1) Gọi: ( Q ) = ( d ; C ) ; a = ( P ) ∩ ( Q ) ⇒ a qua A song song với d nên có pt xác định Bài toán trở thành viết phương trình mp(P) qua a tiếp xúc với mặt cầu (S) 2) Tương tự với: d qua A vuông góc với mp(Q) Dạng 4: Đường tròn không gian Bài toán 1: Xác định tâm, tính bán kính đường tròn giao mặt phẳng với mặt cầu cho trước: Cách giải: Sử dụng tính chất phần B.I2) để tìm tâm, tính bán kính đường tròn Bài toán 2: Tìm tâm bán kính đường tròn giao mặt cầu (S), (S') có tâm I, I'; bán kính R, R' Cách giải: - Đưa pt đường tròn giao mặt cầu pt đường tròn giao mặt cầu (S) với mặt phẳng (Q) -4- TRƯỜNG THPT NGHÈN NGUYỄN KHÁNH NAM - Tâm đường tròn O = II '∩ ( Q ) ; bán kính r = R − d ( I ; ( P ) ) Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn sau kẻ từ A cho trước: 2 ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R ( 1) Ax + By + Cz + D = Cách giải: Gọi B tiếp điểm Để ý B thuộc đường tròn nên toạ độ B thoả mãn (1) Lạiuuu có: tiếp tuyến AB đường tròn đồng thời tiếp tuyến mặt cầu tâm O nên: r uuur uuur uuur ⇒ AB ⊥ OB ⇒ AB OB = ( ) từ (1) (2) suy toạ độ B ⇒ tiếp tuyến AB Dạng 5: Ứng dụng mặt cầu giải số toán đại số Bài 1: x + y + z =1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm, tìm nghiệm đó: (1) 2 x − y + z = m Giải: Nghiệm hệ phương trình (nếu có) tọa độ điểm chung của: mặt cầu (S): x + y + z =1 , (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = mặt phẳng ( α ) :2 x − y + z − m = Do hệ (1) có nghiệm (S) (α) tiếp xúc ⇔ d ( O, (α ) ) = −m m = =1 ⇔ + (−1) + m = − 2 TH1:m = nghiệm hệ hình chiếu vuông góc H O (α1): 2x – y + 2z – = x = 2t đường thẳng ∆ qua O vuông góc với (α1) có phương trình y = − t ( t ∈ R ) z = 2t giá trị tham số t tương ứng với điểm chung (α1) ∆ t = ⇒H 2 2 ;− ; ÷ 3 3 TH2: m = -3 Gọi H’ hình chiếu vuông góc O (α2): 2x – y + 2z + = 2 ⇒ H’ − ; ; − ÷ (tương tự TH1) 3 3 2 Vậy m = hệ có mghiệm x = ; y = − ; z = ÷ 3 2 m = - hệ có mghiệm x = − ; y = ; z = − ÷ 3 x + y + z = ( 1) 2 Bài 2: Giải hệ phương trình: x + y + z = ( ) 3 x + y + z = ( 3) -5- TRƯỜNG THPT NGHÈN NGUYỄN KHÁNH NAM Giải: Mặt cầu (S): x + y + z = , tâm O bán kính R = mp(α): x + y + z – = tiếp xúc với d ( O, (α ) ) = −3 + 12 + 12 = 3=R x + y + z = ( 1) Do hệ phương trình có nghiệm nhất, 2 x + y + z = ( ) dễ thấy nghiệm x = y = z = nghiệm thỏa (3) Vậy hệ cho có nghiệm x = y = z = Bài 3: Cho ba số thực x, y, z thỏa: x + y + z =1 Tìm GTLN GTNN của: F = 2x + y − z − Giải: Xét mặt cầu (S): x + y + z =1 , tâm O, bán kính R = mặt phẳng (α): x + y − z − = x = 2t Đường thẳng ∆ qua O vuông góc với (α) có phương trình y = 2t ( t ∈ R ) giá trị tham z = − t 2 1 2 1 ⇒ ∆ (S) cắt điểm: A ; ; − ÷ B − ; − ; ÷ 3 3 3 3 4 4 + + −9 − − − −9 3 3 3 d ( A, (α ) ) = =2; d ( B, (α ) ) = =4 2 22 + 22 + ( −1) 22 + 22 + ( −1) số t tương ứng với giao điểm ∆ (S) t = ± Lấy M(x; y; z) ∈ (S), d ( M , (α ) ) = Luôn có 2x + y − z − + + ( −1) 2 = F d ( A, (α ) ) ≤ d ( M , (α ) ) ≤ d ( B, (α ) ) ⇔ ≤ F ≤ ⇔ ≤ F ≤ 12 ;z= − 3 Fmax = đạt x = y = − ; z = 3 Vậy Fmin = đạt x = y = Bài tập vận dụng: Bài 1: 2x − y − z + 1= Trong hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d): mặt cầu (S) có x + y − z − 4= phương trình: x + y + z + 4x − 6y + m = Tìm m để d cắt mặt cầu (S) điểm M, N cho MN = Bài 2: Trong không gian Oxyz cho mp(P): 2x + 2y + z + = I(1; 2; -2): -6- TRƯỜNG THPT NGHÈN NGUYỄN KHÁNH NAM a) Lập phương trình mặt cầu (C), tâm I cho giao tuyến mặt cầu (C) mp (P) đường tròn có chu vi 8π b) CMR; mặt cầu (C) nói tiếp xúc với (d): 2x - = y + = z c) Lập phương trình mặt phẳng qua (d) mà tiếp xúc với mặt cầu (C) Bài 3: 2 x + ( y + ) + ( z − 1) = ( S ) Cho điểm M(0; 2; 0) đường tròn (C): x+y+z =2 a) CMR: M nằm (C) Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) b) Từ M kẻ tiếp tuyến tới mặt cầu (S) Tìm tập hợp tiếp điểm Bài 4: Cho mặt cầu (S): ( x − ) + ( y + 3) + ( z + 3) = mp(P): x - 2y + 2z + = a) CNR: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn Lập phương trình đường tròn (C) giao tuyến tìm tâm, tính bán kính đường tròn b) Lập phương trình mặt cầu chứa (C) tâm nằm mặt phẳng (Q): x+y+z+3=0 2 Bài 5: Cho mặt cầu: ( S1 ) : ( x − ) + ( y + 3) + ( z + 3) = ( S ) : ( x − 3) 2 + ( y + ) + ( z + 1) = 20 2 a) CMR: Hai m/c cắt nhau, lập phương trình đường tròn giao tuyến m/c b) Tìm tâm bán kính đường tròn Bài 6: Cho mặt cầu (S): ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 3) = mp(P): x - 4y - 3z + = Lập phương trình tiếp diện (S) qua A(0; 1; 0) vuông góc với mp(P) 2 x2 + y2 + z − 2x − y − 6z = Bài 7: Giải hệ phương trình: 3x + y − z − = 3 x + y − z −12 = ĐÁP SỐ - HƯỚNG DẪN: Bài 1: ( S ) : I ( −2;3; ) , R = 13 − m ( m ≥ 13) r 65 d : A ( 0;1; −1) ; vtcp a = ( 2;1; ) , d ( I , d ) = 3, IM = IH + d ( I , d ) ⇒ m = − Bài 2: 2 a) Bán kính đường tròn r = 4, d ( I , ( P ) ) = ⇒ R = ⇒ ( x − 1) + ( y − ) + ( z + ) = 25 b) d ( I , ( ∆ ) ) = = R ⇒ đpcm c) 2x - 11y + 10z - 35 = Bài 3: 2 x + ( y + ) + ( z − 1) = ( S ) a) Gọi tiếp điểm H(x; y; z) Vì H thuộc (C) nên: (1) x+ y+z =2 uuur uuuur uuur uuuur Lại có: ⇒ IH ⊥ MH ⇒ IH MH = ⇔ x + y + z = = ( ) -7- TRƯỜNG THPT NGHÈN NGUYỄN KHÁNH NAM 16 Từ (1) (2) có: H1 ( 2;0; ) ; H − ; ; ÷ ⇒ pttt 7 b) Gọi T tiếp điểm nên T thuộc m/c (S) (1) Lại có: MT = R + MI = 2 nên T thuộc m/c (S') tâm M, bán kính 2 có pt: x + ( y − ) + z = (2) Từ (1) (2) tập hợp T giao m/c (S), (S') nên mp có phương trình 2 x + ( y − 2) + z = 2 y − z = Bài 4: −7 −11 a) Đường tròn tâm H ; ; ÷; r = 3 3 b) Tâm J m/c nằm đường thẳng IH ⇒ J = IH ∩ ( Q ) ⇒ J ( 3; −5; −1) l = d ( J , ( P ) ) = ⇒ bán kính m/c: R '2 = r + l = 20 Bài 5: 2 ( x − ) + ( y + ) + ( z + 3) = a) R2 − R1 < I1 I < R2 + R1 ⇒ ĐPCM Pt: x − y + 2z + = ( α ) −7 −11 b) Tâm O = I1 I ∩ ( α ) ⇒ H ; ; ÷; r = 3 3 4 x + y − = Bài 6: Lập pt đường thẳng d qua A vuông góc với (P): 3x − z = Bài toán trở thành lập pt mp qua d, tiếp xúc với (S) Bài 7: Nghiệm hệ tọa độ điểm chung của: 3 x + y − z − = 3 x + y − z −12 = Mặt cầu (S): x + y + z − x − y − z = đường thẳng ∆: r ∆ qua M(0; 4; 0) có VTCP u = (-2; 6; 3) x = − 2t ⇒ ∆ có phương trình tham số: y = + 6t ( t ∈ R ) z = 3t Giá trị tham số t tương ứng với điểm chung (S) ∆ nghiệm phương trình: t = ( −2t ) + ( + 6t ) + ( 3t ) − ( −2t ) − ( + 6t ) − 6.3t = ⇔ t = − 10 49 20 136 30 ;− ÷ ⇒ ∆ (S) có hai điểm chung A ( 0; 4;0 ) A ; 49 49 49 20 136 30 ;− ÷ Vậy hệ (3) có hai nghiệm ( 0; 4;0 ) ; 49 49 49 2 -8- TRƯỜNG THPT NGHÈN NGUYỄN KHÁNH NAM N -9- TRƯỜNG THPT NGHÈN NGUYỄN KHÁNH NAM N n - 10 - ... z Giải: Phương trình mp(ABC): + + = ⇔ x + y + z − = 3 Bán kính mặt cầu: R = d ( I , ( ABC ) ) = ⇒ Phương trình mặt cầu: ( x − 4) + ( x − 3) + ( x − ) = 12 2 Bài 2: Lập phương trình mặt cầu tâm... Viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) Cách giải toán tương tự cách toán 2 Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện mặt cầu Bài toán 1: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt. .. KHÁNH NAM a) Lập phương trình mặt cầu (C), tâm I cho giao tuyến mặt cầu (C) mp (P) đường tròn có chu vi 8π b) CMR; mặt cầu (C) nói tiếp xúc với (d): 2x - = y + = z c) Lập phương trình mặt phẳng qua