Trong bài viết này tôi trình bày về phương pháp giải các bài toán về: Viết phương trình mặt cầu, các bài toán về tiếp tuyến, tiếp diện, đường tròn trong không gian và một số ứng dụng tro[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A ĐẶT VẤN ĐỀ: Các bài toán phương pháp toạ độ không gian từ trước đến có các đề thi TN, ĐH-CĐ Nếu học sinh nắm phương pháp toạ độ học sinh có thể giải nhiều bài toán hình học không gian phương pháp toạ độ Trong đời sống hàng ngày, chúng ta gặp nhiều đồ vật có dạng hình cầu như: Quả bóng, địa cầu ít người biết các tính chất mặt cầu Học sinh học mặt cầu và phương trình mặt cầu Chương trình, SGK HH 12 Trong phần "Phương pháp toạ độ không gian" SGK HH12 có ba đối tượng nghiên cứu đó là: Đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu Khi dạy học sinh phương trình mặt cầu tôi nhận thấy học sinh không khó tiếp thu các kiến thức mặt cầu việc vận dụng vào giải bài tập phương trình mặt cầu còn nhiều học sinh không làm được, không nắm các dạng toán phương trình mặt cầu và số ứng dụng phương trình mặt cầu giải số bài toán đại số Trong bài viết này tôi trình bày phương pháp giải các bài toán về: Viết phương trình mặt cầu, các bài toán tiếp tuyến, tiếp diện, đường tròn không gian và số ứng dụng bài toán đại số cần luyện tập cho học để học sinh có thể giải tốt các bài toán trên gặp các kì thi B NỘI DUNG: I Các kiến thức bản: Phương trình mặt cầu: Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: 2 y b z c R x y z 2ax + 2by + 2cz + d = a b c d Dạng 2: x a 2 2 (1) (2) Khi đó: Mặt cầu tâm 2 I(-a; -b; -c), bán kính R a b c d Vị trí tương đối mặt cầu với đường thẳng: Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng d I , d I , R : C Tính: Nếu: ; d I , R : C điểm phân biệt; d I , R : , C tiếp xúc nhau, gọi là tiếp tuyến mặt cầu Vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng: Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng Aa +Bb +Cc+D d I , P A2 B2 C Tính: Nếu: d I , P R : P C 1) ; P : Ax + By + Cz + D = (2) d I , P R : P C H;r là đường tròn R2 d I ; P 2) với H là hình chiếu I trên (P) Vậy đường tròn không gian có phương trình: x a y b z c R Ax + By + Cz + D = d I , P R : P , C 3) tiếp xúc điểm H là hình chiếu I trên (P), (P) gọi là tiếp diện mặt cầu (C) II Các dạng toán: Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu cho trước (dạng pt (2)): Cách 1: Đưa dạng 2 Cách 2: Kiểm tra điều kiện a b c d tâm và bán kính Ví dụ: 2 2 Cho phương trình: x y z 2m x 4my +8m = Tìm điều kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu Khi đó tìm tập hợp tâm họ mặt cầu đó Giải: Pt đã cho x m y m z m 4m là phương trình mặt cầu m 4m2 m2 m yI2 xI Khi đó tâm I (m ; 2m;0) Ta thấy tâm I thuộc mặt phẳng Oxy và: y2 x nằm mp Oxy bỏ điểm: M (2; 2;0) và Vậy tập hợp tâm I là parabol N (2; 2; 0) Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu biết số yếu tố cho trước Đi xác định tâm và bán kính mặt cầu: - Biết tâm: tìm bán kính; - Biết bán kính: tìm tâm; - Chưa biết tâm và bán kính:Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tiếp xúc với mặt phẳng cho trước thường xác định tâm trước sau đó tìm bán kính Bài 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I(4; 3; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) với: A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) x y z 1 x y z 0 Giải: Phương trình mp(ABC): 3 Bán kính mặt cầu: R d I , ABC 2 x 4 Phương trình mặt cầu: x 3 x 12 (3) Bài 2: Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) cho mặt cầu cắt đường thẳng (d) có 5x y + 3z 20 = phương trình: 3x y + z = điểm A, B cho AB = 16 Giải: u 2;1; (d) qua M(11; 0; -25) và có véc tơ phương Gọi H là hình chiếu I trên (d) Có: MI , u IH d I , AB 15 u Bán kính mặt cầu: R d A H B AB R IH 2 17 x y 3 z 1 289 Vậy phương trình mặt cầu: Bài 3: x y z Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) có phương trình: P : x + 2y + 2z = 0; P2 : 2x + y + 2z 1= và hai mặt phẳng Lập phương trình mặt cầu có tâm I nằm trên (d) và tiếp xúc với mặt phẳng trên Giải: I d I 2t 1; t 2; 2t 3 Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng d I , P1 d I , P2 t 0 8t 9t 8t 9t t 18 t t 17 t=0 2 I1 1; 2;3 ; R1 3 Pt m / c S1 : x 1 y z 9 2 18 19 16 15 19 16 15 t I2 ; ; ; R2 Pt m / c S : x y z 17 17 17 17 17 289 17 17 17 Chú ý: P P Nếu : P P P P 1) d song song không cách và nằm trên : Không có mặt cầu thoả mãn P P 2) d song song và cách và : Có vô số mặt cầu thoả mãn P P 3) d không song song, không nằm trên và : Có mặt cầu thoả mãn Bài 4: Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) và D(1; -1; 2) Giải: (4) IA2 IB IB IC I 1;1;1 , R IA 2 IC ID Cách 1: Gọi I(x; y; z) Cách 2: x y z 2ax + 2by + 2cz + d = a b c d Gọi phương trình mặt cầu là: Mặt cầu qua điểm A, B, C, D nên: 2a 2b d 0 6a 2b 4c d 14 0 a b 1; c 2; d 2 2a 2b 4c d 0 2a 2b 4c d 0 2 x 1 y 1 z 4 Kết luận: Phương trình mặt cầu là: Chú ý: Bài toán (ĐH KD-2004): Trong không gian Oxyz cho điểm A(2; 0;1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + x - = Viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) Cách giải bài toán này tương tự cách bài toán trên Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện mặt cầu Bài toán 1: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) tâm I, bán kính R điểm A Cách giải: mp(P) qua A và nhận véc tơ IA làm véc tơ pháp tuyến Bài toán 2: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết véc tơ n A; B; C pháp tuyến (P) là: Cách giải: P : Ax + By + Cz + D = Aa +Bb +Cc+D R d I , P R A2 B2 C Có: tìm D suy phương trình mp(P) Chú ý: Trong bài toán cho biết véc tơ pháp tuyến dạng: P - Biết song song với mặt phẳng song song với đường thẳng cho trước - Biết vuông góc với đường thẳng cho trước Bài toán 3: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) chứa đường thẳng (d) cho trước Cách giải: - Xét đường thẳng (d) dạng phương trình tổng quát; - Viết phương trình chùm mặt phẳng qua (d); (5) - Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm mp(P) Bài toán 4: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S), tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) qua điểm C và: 1) Song song với đường thẳng (d) cho trước 2) Vuông góc với mặt phẳng (Q) cho trước Cách giải: Q d ; C ; a P Q a 1) Gọi: qua A và song song với d nên có pt xác định Bài toán trở thành viết phương trình mp(P) qua a và tiếp xúc với mặt cầu (S) 2) Tương tự trên với: d qua A và vuông góc với mp(Q) Dạng 4: Đường tròn không gian Bài toán 1: Xác định tâm, tính bán kính đường tròn là giao mặt phẳng với mặt cầu cho trước: Cách giải: Sử dụng tính chất phần B.I2) để tìm tâm, tính bán kính đường tròn Bài toán 2: Tìm tâm và bán kính đường tròn là giao mặt cầu (S), (S') có tâm là I, I'; bán kính R, R' Cách giải: - Đưa pt đường tròn là giao mặt cầu pt đường tròn là giao mặt cầu (S) với mặt phẳng (Q) O II ' Q ; - Tâm đường tròn là r R2 d I ; P bán kính Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn sau kẻ từ A cho trước: x a y b z c R 1 Ax + By + Cz + D = Cách giải: Gọi B là tiếp điểm Để ý B thuộc đường tròn nên toạ độ B thoả mãn (1) Lại có: tiếp tuyến AB đường tròn đồng thời là tiếp tuyến mặt cầu tâm O nên: AB OB AB OB 0 từ (1) và (2) suy toạ độ B tiếp tuyến AB Dạng 5: Ứng dụng mặt cầu giải số bài toán đại số Bài 1: x y z 1 Tìm m để phương trình sau có đúng nghiệm, hãy tìm nghiệm đó: 2 x y z m (1) Giải: Nghiệm hệ phương trình (nếu có) là tọa độ điểm chung của: 2 mặt cầu (S): x y z 1 , (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = (6) :2 x y z m 0 và mặt phẳng Do đó hệ (1) có đúng nghiệm và (S) và () tiếp xúc d O, ( ) m 2 ( 1) 2 1 m 3 m TH1:m = nghiệm hệ là hình chiếu vuông góc H O trên (1): 2x – y + 2z – = đường thẳng qua O và vuông góc với (1) có phương trình x 2t y t t R z 2t 2 ; ; giá trị tham số t tương ứng với điểm chung (1) và là t = H 3 TH2: m = -3 Gọi H’ là hình chiếu vuông góc O trên (2): 2x – y + 2z + = 2 ; ; H’ 3 (tương tự TH1) 2 x ; y ; z 3 3 Vậy m = thì hệ có mghiệm là 2 x ; y ; z 3 3 m = - thì hệ có mghiệm là x y z 3 1 2 x y z 3 3 x y z 3 Bài 2: Giải hệ phương trình: Giải: 2 Mặt cầu (S): x y z 3 , tâm O bán kính R = xúc với vì d O, ( ) 3 12 12 12 và mp(): x + y + z – = tiếp R x y z 3 1 x y z 3 Do đó hệ phương trình có nghiệm nhất, dễ thấy nghiệm đó là x = y = z = và nghiệm này thỏa (3) Vậy hệ đã cho có nghiệm x = y = z = 2 Bài 3: Cho ba số thực x, y, z thỏa: x y z 1 Tìm GTLN và GTNN của: F 2x y z Giải: 2 Xét mặt cầu (S): x y z 1 , tâm O, bán kính R = và mặt phẳng (): x y z = Đường thẳng qua O và vuông góc với () có phương trình t tương ứng với giao điểm và (S) là t = x 2t y 2t t R z t giá trị tham số (7) 2 1 2 1 ; ; ; ; và (S) cắt điểm: A 3 và B 3 4 4 9 9 3 3 3 d A, ( ) 2 d B, ( ) 4 2 22 22 1 22 22 1 ; d M , ( ) Lấy M(x; y; z) (S), Luôn có 2x y z 22 22 1 d A, ( ) d M , ( ) d B, ( ) Vậy Fmin = đạt x = y = ; z = Fmax = đạt x = y = ; z = F 2 F 4 F 12 Bài tập vận dụng: Bài 1: 2x y z 1= Trong hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d): x y z 4= và mặt cầu (S) có 2 phương trình: x y z 4x 6y + m = Tìm m để d cắt mặt cầu (S) điểm M, N cho MN = Bài 2: Trong không gian Oxyz cho mp(P): 2x + 2y + z + = và I(1; 2; -2): a) Lập phương trình mặt cầu (C), tâm I cho giao tuyến mặt cầu (C) và mp (P) là đường tròn có chu vi 8 b) CMR; mặt cầu (C) nói trên tiếp xúc với (d): 2x - = y + = z c) Lập phương trình mặt phẳng qua (d) mà tiếp xúc với mặt cầu (C) Bài 3: 2 x y z 1 9 S x+y+z =2 Cho điểm M(0; 2; 0) và đường tròn (C): a) CMR: M nằm ngoài (C) Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) b) Từ M kẻ các tiếp tuyến tới mặt cầu (S) Tìm tập hợp các tiếp điểm Bài 4: x 2 2 y 3 z 3 5 Cho mặt cầu (S): và mp(P): x - 2y + 2z + = a) CNR: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn Lập phương trình đường tròn (C) là giao tuyến và tìm tâm, tính bán kính đường tròn đó b) Lập phương trình mặt cầu chứa (C) và tâm nằm trên mặt phẳng (Q): x+y+z+3=0 Bài 5: S : x 2 Cho mặt cầu: y 3 z 3 5 2 S2 : x 3 y z 1 20 2 a) CMR: Hai m/c cắt nhau, lập phương trình đường tròn giao tuyến m/c (8) b) Tìm tâm và bán kính đường tròn Bài 6: x 1 2 y z 3 9 Cho mặt cầu (S): và mp(P): x - 4y - 3z + = Lập phương trình tiếp diện (S) qua A(0; 1; 0) và vuông góc với mp(P) Bài 7: Giải hệ phương trình: x y z x y z 0 3x y z 0 3x y z 12 0 ĐÁP SỐ - HƯỚNG DẪN: Bài 1: S : I 2;3;0 , R 13 m m 13 65 d : A 0;1; 1 ; vtcp a 3 2;1; , d I , d 3, IM IH d I , d m Bài 2: 2 dIP,3R5 x 1 y z 25 a) Bán kính đường tròn r = 4, d I , 5 R b) đpcm c) 2x - 11y + 10z - 35 = Bài 3: 2 x y z 1 9 S x + y + z = a) Gọi tiếp điểm là H(x; y; z) Vì H thuộc (C) nên: (1) IH MH IH MH 0 x y z 2 2 Lại có: 16 H1 2;0;0 ; H ; ; 7 pttt Từ (1) và (2) có: b) Gọi T là tiếp điểm nên T thuộc m/c (S) (1) 2 Lại có: MT R MI 2 nên T thuộc m/c (S') tâm M, bán kính 2 có pt: x y z 8 (2) Từ (1) và (2) tập hợp T là giao m/c (S), (S') nên là mp có phương trình 2 x y z 8 2 y z 0 Bài 4: 11 H ; ; ; r 2 a) Đường tròn tâm 3 J IH Q J 3; 5; 1 b) Tâm J m/c nằm trên đường thẳng IH 2 l d J , P bán kính m/c: R ' r l 20 Bài 5: 2 x y 3 z 3 5 x y z 0 R2 R1 I1 I R2 R1 a) ĐPCM Pt: 11 H ; ; ; r 2 O I1 I 3 b) Tâm (9) x y 0 Bài 6: Lập pt đường thẳng d qua A và vuông góc với (P): 3x z 0 Bài toán trở thành lập pt mp qua d, tiếp xúc với (S) Bài 7: Nghiệm hệ là tọa độ điểm chung của: 3x y z 0 2 Mặt cầu (S): x y z x y z 0 và đường thẳng : 3x y z 12 0 qua M(0; 4; 0) và có VTCP u = (-2; 6; 3) x 2t y 4 6t t R z 3t có phương trình tham số: Giá trị tham số t tương ứng với điểm chung (S) và là nghiệm phương trình: t 0 t 10 2 2t 6t 3t 2t 6t 6.3t 0 49 20 136 30 A ; ; A 0; 4;0 49 49 49 và (S) có hai điểm chung và 20 136 30 ; ; 0; 4;0 49 49 49 Vậy hệ (3) có hai nghiệm và C ÁP DỤNG TRONG GIẢNG DẠY: Phương pháp trên đã tôi khai thác và triển khai để dạy học sinh các lớp ôn thi TN, ĐH-CĐ và bước đầu đã đạt kết tốt Các học sinh sau học đã vận dụng và giải các bài toán phương trình mặt cầu, nhận dạng cách giải, đảm bảo yêu cầu chính xác, tiết kiệm thời gian tìm lời giải thi Đối tượng thực nghiệm năm học này là lớp 12A2 và 12A9: Đối với lớp 12A2 tôi đã dạy kĩ, đầy đủ các dạng trên và cho học sinh tìm tòi, khai thác các câu hỏi khác xoay quanh các bài toán trên Đối với lớp 12A9 đối tượng học sinh yếu hơn, tôi cho học sinh làm các bài toán và phân tích cặn kẽ lời giải để học sinh hiểu được, làm theo và biết độc lập tìm tòi lời giải bài toán Khi dạy trước hết tôi đưa các bài toán để học sinh tìm lời giải, sau đó tổng hợp cách làm và các dạng để học sinh nắm phương pháp, có cái nhìn tổng quát giải toán Khi dạy tránh trình bày các dạng và phương pháp giải trước sau đó đưa bài tập cho học sinh làm, đó bài toán còn là thay số, dần làm cho học sinh lười suy nghĩ và thụ động làm toán D MỘT SỐ KIẾN NGHỊ: Theo tôi việc bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên phải tiến hành thường xuyên, liên tục, trước hết là việc tự bồi dưỡng và thể kết giảng dạy và các tài liệu thu thập Vì nhà trường, các tổ, nhóm chuyên môn nên phân công cụ thể người viết các báo cáo, sáng kiến kinh nghiệm phần nào đó tuỳ theo sở trường và trình bày hàng tháng, hàng quí sau kì mà không thiết để cuối năm (10) học Các báo cáo photo cho người tổ, nhóm để đọc, bổ sung, trình bày trước tổ và sửa chữa, hoàn thiện làm tài liệu giảng dạy chung cần Các tài liệu có chất lượng hỗ trợ kinh phí thưởng và là đánh giá thi đua người viết Nếu làm vừa mang tính động viên, khích lệ, vừa mang tính ràng buộc việc tự học và là hội tốt để giáo viên học hỏi lẫn nhau, đặc biệt giúp cho các giáo viên trẻ có thể học hỏi nhiều kinh nghiệm các thầy cô trước, vừa có tài liệu tốt để giảng dạy Các báo cáo mang tính đặc thù môn nên trình bày tổ, nhóm; các báo cáo phương pháp có thể trình bày trước hội đồng GD nhà trường E TÀI LIỆU THAM KHẢO: Sách giáo khoa, sách bài tập HH12 (Chuẩn và NC) Đề thi ĐH các năm và Bộ đề năm 1996 Tài liệu khai thác trên mạng (11) (12)