+ Trường hợp 2: gx,y=0 kết hợp với phương trình 1 + 2 suy ra nghiệm trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1 và thông thường vô nghiệm... Tìm m để hệ phương trì[r]
(1)Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN I Hệ phương trình đối xứng loại 1: Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng Phương trình n ẩn x1, x2, , xn gọi là đối xứng với n ẩn thay xi xj; xj xi thì phương trình không thay đổi Khi đó phương trình luôn biểu diễn dạng: x1 + x2 + + xn x1x2 + x1x3 + + x1xn + x2x1 + x2x3 + + xn-1xn x1x2 xn Hệ phương trình đối xứng loại là hệ mà đó gồm các phương trình đối xứng Để giải hệ phương trình đối xứng loại ta phải dùng định lý Viét * Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn1 + an, a0 ≠ 0, P có nhgiệm trên P là c1, , cn: a1 c1 c2 cn a a2 c1c2 c1c3 c1cn c2 c1 c2 c3 cn-1cn (Định lý Viét tổng quát) a0 n an c1c1 cn (1) a0 Phần – Hệ phương trình đối xứng loại hai ẩn: A LÝ THUUYẾT Định lý Viét cho phương trình bậc 2: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 thì: b S x1 x2 a P x x c a x x S Ngược lại, số x1, x2 có thì x1, x2 là nghệm phương trình X2 SX + P = x x P 2 Định nghĩa: f ( x, y ) f ( y , x ) f ( x, y ) , đó g ( x, y ) g ( x, y ) g ( y , x ) 3.Cách giải: Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P và S P Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P dùng Viét đảo tìm x, y Chú ý: + Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP + Đôi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv + Có hệ phương trình trở thành đối xứng loại sau đặt ẩn phụ Bài tập: Loại 1: Giải hệ phương trình x y xy 30 Ví dụ Giải hệ phương trình x y 35 GIẢI Đặt S x y, P xy , điều kiện S P Hệ phương trình trở thành: Lop12.net (2) ì 30 ï ï P= ï ì ì ì ì SP = 30 S=5 x+y=5 x =2 ì ï ï ï ï ïx = ï S ï ï ï ï Û Û Û Úï Ûï í í í í í í æ ö ï ï ï ï ï P=6 xy = y=3 ï y=2 çç S2 - 90 ÷÷ = 35 ï ï ï ï ï S(S - 3P) = 35 ï î î î î î S ï ï S ÷ø ï î çè xy ( x y ) 2 Ví dụ Giải hệ phương trình x y GIẢI Đặt t y, S x t , P xt , điều kiện S P Hệ phương trình trở thành: ìï xt(x + t) = ìï SP = ìï S = ìï x = ìï x = ïí ïí ïí ïí ïí Û Û Û Û ïï x + t3 = ïï S3 - 3SP = ïï P = ïï t = ïï y = -1 î î î î î x y x y Ví dụ Giải hệ phương trình 1 2 x y 4 x2 y GIẢI Điều kiện x 0, y ìæ ö æ ö ï çç x + ÷÷ + çç y + ÷÷ = ï ï ÷ ÷ ïçè x ø çè yø Hệ phương trình tương đương với: ï í 2 ïæ ö æ 1÷ ö÷ ï ç ç ï ç x + ÷÷ + çç y + ÷÷ = ï è xø yø ï îçè æ æ 1ö æ 1ö öæ 1ö Đặt S = çç x + ÷÷÷ + çç y + ÷÷÷ , P = çç x + ÷÷÷ çç y + ÷÷÷ , S2 ³ 4P ta có: èç èç x ø èç yø x øèç yø ìæ ö æ ö ì ï ï çç x + ÷÷ + çç y + ÷÷ = ï ï x+ =2 ï ï ì ì ì ÷ ÷ S = ï S = ï ïx = ç ç ï ï è xø è yø x ï Ûï Ûï Ûí Ûï í í íæ í öæ ö ï ï ï ï ï P=4 ÷ç 1÷ y=1 ç ï S - 2P = ï ï ï ï î î î y + = ç x + ÷÷ çç y + ÷÷ = ï ï ï ï y x øè yø ï î ï îçè 2 x y xy (1) Ví dụ Giải hệ phương trình (2) x y GIẢI Điều kiện x, y Đặt t xy , ta có: Thế vào (1), ta được: Suy ra: xy = t2 và (2) Þ x + y = 16 - 2t t2 - 32t + 128 = - t Û t = ïìï xy = 16 ïì x = Û ïí í ïï x + y = ïï y = î î Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) có nghiệm Phương pháp giải chung: + Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) + Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P và S P (*) + Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m từ điều kiện (*) tìm m Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v Ví dụ (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: Lop12.net (3) x y 1 x x y y 3m GIẢI Điều kiện x, y ta có: ìï x + y = ïìï x + y = ï Ûí í ïï x x + y y = - 3m ïï( x)3 + ( y)3 = - 3m îï îï Đặt S = x + y ³ 0, P = xy ³ , S ³ 4P Hệ phương trình trở thành: ì ì S=1 ï ïS = ï Ûï í í ï ï P=m ï S - 3SP = - 3m ï î î Từ điều kiện S ³ 0, P ³ 0, S2 ³ 4P ta có £ m £ x y xy m Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực x y xy 3m GIẢI ïìï x + y + xy = m ïì(x + y) + xy = m Û ïí í 2 ïï x y + xy = 3m - ïï xy(x + y) = 3m - î î ìï S + P = m Đặt S = x + y, P = xy, S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: ïí ïï SP = 3m - î Suy S và P là nghiệm phương trình t2 - mt + 3m - = ìï S = ìï S = m - Þ ïí Ú ïí ïï P = m - ïï P = î î é 32 ³ 4(m - 3) 21 Từ điều kiện ta suy hệ có nghiệm Û êê Û m£ Ú m ³ + êë (m - 3) ³ 12 x y 1 Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm x y 3m GIẢI Đặt u = x - ³ 0, v = y - ³ hệ trở thành: ìï u + v = ìï u + v = ï ïí Û ïí 2 ïï u + v = 3m - ïï uv = 21 - 3m î ïî Suy u, v là nghiệm (không âm) t2 - 4t + 21 - 3m = (*) Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm không âm ì 3m - 13 ì ï ï D/ ³ ï ï ³0 ï ï 13 ï Û íS ³ Û ï Û £ m £ í ï ï 21 - 3m ï ï ³0 ï ï ïP ³ ï î ï î x y x y 10 Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực xy ( x 4)( y 4) m GIẢI 2 ì(x + 4x) + (y2 + 4y) = 10 ì x + y + 4x + 4y = 10 ï ï ï ï Û í í ï ï xy(x + 4)(y + 4) = m (x + 4x)(y2 + 4y) = m ï ï î î Lop12.net (4) Đặt u = (x + 2)2 ³ 0, v = (y + 2)2 ³ Hệ phương trình trở thành: ìï u + v = 10 ïì S = 10 ïí (S = u + v, P = uv) Û ïí ïï uv - 4(u + v) = m - 16 ïï P = m + 24 î î ì ï S2 ³ 4P ï ï Û -24 £ m £ Điều kiện ï íS ³ ï ï P³0 ï ï î Loại 3: Một số bài toán giải cách đưa hệ phương trình Ví dụ Giải phương trình: x x GIẢI u+v = u v x u u v 2 Đặt: Vậy ta có hệ: 19 x v (u v) (u v) 3uv u v3 u.v = 36 19 =0 u, v là hai nghiệm phương trình: X - X + 36 9+ x = + 12 u = 12 9- 9- u = x = 12 12 3 Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} = ; 12 B BÀI TẬP 12 I Giải các hệ phương trình sau: x y 1) 6 x y x y 2) 2 x x y y 13 x y 4) 2 x y xy x x y y 18 5) xy ( x 1)( y 1) 72 1 x y x y 7) x2 y x2 y 6 x y 10) 3 x x y y II Gải hệ phương trình có tham số: Tìm giá trị m: 5 x y xy a) có nghiệm x y xy m x y 1 y x x y 8) x xy y xy 78 Lop12.net x y y x 30 3) x x y y 35 x y 1 xy 6) x y 1 49 x2 y x y 9) 2 3 x y x y 280 (5) x y xy m b) có nghiệm x y xy m x y 2 c) có đúng hai nghiệm 2 x y m 1 x xy y m (1II) x y m a Giải hệ phương trình m = b Tìm các giá trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x xy y m (7I) x y xy 3m a Giải hệ phương trình m = 7/2 b Tìm các giá trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x xy y m (40II) x y xy m a Giải hệ phương trình m=2 b Tìm các giá trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0 III Giải phương trình cách đưa hệ phương trình: Giải phương trình: x 18 x Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a x x m b m x m x m c x x m Phần – Hệ phương trình đối xứng loại ba ẩn: (Đọc thêm) a Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các phương trình hệ là đối xứng b Định lý Vi-et cho phương trình bậc 3: x + y + z = α Cho sè x, y, z cã: xy + yz + zx = β xyz = γ Thì x, y, z ;à nghiệm phương trình X3 - αX2 + βX - γ = (*) ThËy vËy: (X - x)(X - y)(X - z) = [ X2 - (x + y)X + xy ](X - z) = X3 - X2z - X2(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = X3 - αX2 + βX - γ = (*) có nghiệm là x, y, z phương trình X3 - αX2 + βX - γ = có nghiệm là x, y, z c.C¸ch gi¶i: + Do các phương trình hệ là đối xứng nên ta luôn viết dạng α, β, γ x + y + z = α Khi đó ta đặt xy + yz + zx = β xyz = γ Ta ®îc hÖ cña α, β, γ + Giải phương trình X3 - αX2 + βX - γ = (1) tìm nghiệm (x, y, z) hệ Chó ý: (1) cã nghiÖm nhÊt hÖ v« nghiÖm (1) cã nghiÖm kÐp nhÊt hÖ cã nghiÖm (1) có nghiệm : nghiệm kép, nghiệm đơn hệ có nghiệm (1) cã ngiÖm hÖ cã nghiÖm d Bµi tËp: Lop12.net (6) x + y + z = 2 VD1: Gi¶i hÖ: x + y + z = x + y3 + z = Giải: áp dụng đẳng thức ta có: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx) x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz VËy = 22 - 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = -1 = 23 - 3.2.(-1) + 3xyz xyz = -2 t = x, y, z là nghiệm phương trình:t - 2t - t + = t = - t = VËy hÖ cã cÆp nghiÖm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1) x + y + z = (1) (2) VD2: Gi¶i hÖ xy + yz + zx = 27 1 1 + + =1 (3) y z x xy + yz + zx =1 Gi¶i: §K: x, y, z ≠ Tõ (3) xyz Do (2) xyz = 27 x + y + z = VËy hÖ xy + yz + zx = 27 xyz = 27 Do đó (x; y; z) là nghiệm phương trình: X3 - 9X2 + 27X - 27 = (X - 3)3 = X = VËy hÖ cã nghiÖm lµ (3; 3; 3) x + y + z = a VD3: Gi¶i hÖ x + y + z = a x + y3 + z = a Gi¶i: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz xyz = x + y + z = VËy cã: xy + yz + zx = xyz X = (x; y; z) là nghiệm phương trình: X3 - aX2 = X = a VËy hÖ cã nghiÖm lµ {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)} e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lưu ý giải hệ loại này + Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đưa x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó lµ hÖ qu¶ cña hÖ nªn t×m ®îc nghiÖm nªn thö l¹i + Vì là hệ đối xứng các ẩn nên nghiệm có ít cặp nghiệm có cùng x, cùng y cùng z nên có thể giải hệ theo phương trình cộng, Lop12.net (7) x + y + z = (1) (2) VD: xy + yz + zx = 27 1 1 + + =1 (3) y z x Gi¶i: Râ rµng x = 0, y = 0, z = kh«ng lµ nghiÖm cña hÖ Víi x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nh©n hai vÕ cña (3) víi xyz ta cã xy + yz + zx = xyz Tõ (2) vµ (4) xyz = 27 Tõ (2) x2(y + z) + xyz = 27x Tõ (1), (5), (6) ta cã: x2(9 - x) + 27 - 27x = x3 - 9x2 + 27x - 27 = (x - 3)3 = x = y + z =6 Thay x = vµo (1), (5) ta cã: y = z = yz = VËy hÖ cã nghiÖm lµ x = y = z = (4) (5) (6) II Hệ phương trình đối xứng loại 2: Hệ phương trình đối xứng loại hai ẩn: A Định ghĩa: f ( x, y ) f ( y, x) Cách giải: Lấy (1) (2) (2) (1) ta được: (xy)g(x,y)=0 Khi đó xy=0 g(x,y)=0 + Trường hợp 1: xy=0 kết hợp với phương trình (1) (2) suy nghiệm + Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình trở hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm B Các ví dụ: x3 x y 1 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình (I) y y x GIẢI 2 Lấy (1) (2) ta được: (x - y)(x + xy + y + 5) = x = x = 3x + 8y x - 11x = Trường hợp 1: (I) x = ± 11 x = y x = y x = y x +xy+y +5=0 Trường hợp 2: (I) 3 (hệ này vô nghiệm) x +y =11 x+y Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm: (x, y) = (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11) x y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình y x GIẢI Đặt: x - = u 0; 4 y-1 =v0 4 u = x = u + + v = u + v = Hệ phương trình trở thành (Do u, v ≥ 0) v = y = v + + u = v + u = Vậy hệ có nghiệm (1,1) Lop12.net (8) x y y m Ví dụ 2: Cho hệ phương trình y x x m a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (I) x - y = y - y - x + x x = ± y 2 x = y - y + m x = y - y + m x = y x = y Giải (I) 2 x = y - y + m x - 2x + m = x=-y x=-y x = y - y + m y + m = Δ x ' 1 - m m m0 a) Hệ phương trình có nghiệm ' Δ y - m m Δ x ' = 1 - m = ' Δ y < - m < b) Hệ phương trình có nghiệm m = 1 - m < Δ x ' < ' - m = Δ = y Vậy m = Ví dụ 3: Giải phương trình: x3 x GIẢI Đặt 2x - = t 2x - = x + = 2t x + = 2t x - 2x + = Ta có hệ 2 t + = 2x (x - t)(x + xt + t + 1) = x = t x = (x - 1)(x + x - 1) = x = - ± x = t t3 Vậy phương trình có nghiệm: 1; -1± C Bài tập: 1.Giải các hệ phương trình sau: 3 2 x y x 2 x y x a b 2 y 2 y x y2 x y x y x y d e y x y x x3 y c y x x y g y x x ( x y ) 2m Cho hệ phương trình y ( x y ) 2m a Giải hệ với m = b Tìm m để hệ có nghiệm Lop12.net (9) x3 y x mx Tìm m để hệ: có nghiệm 2 y x y my Giải các phương trình: a x x b x3 3 x 2 Hệ phương trình đối xứng loại 2, ẩn: (Đọc thêm) A Dùng chủ yếu là phương pháp biến đổi tương đương phép cộng và Ngoài sử dụng đặc biệt hệ cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải B VÝ dô: x + 2yz = x (1) Gi¶i hÖ y + 2zx = y (2) z + 2xy = z (3) Giả cách cộng (1), (2), (3) và lấy (1) trừ (2) ta có hệ đã cho tương đương với hệ x + 2yz = x (x + y + z) = x + y + z (x - y)(x + y - 2z - 1) = Hệ này đương tương với hệ sau: x + 2yz = x x + 2yz = x (I) (II) x + y + z = x + y + z = x =y x + y - 2z - = x + 2yz = x x + y + z = x =y (III) x + 2yz = x x + y + z = x + y - 2z - = (IV) Gi¶i (I): -1 x = x = x + 2yz = x x + 2yz = x x - 4x = x (I) 2y + z = z = - 2x z = - 2x z = - 2x x = y x = y x = y x = y -1 -1 VËy (I) cã nghiÖm (0;0;0); ( ; ; ) 3 -1 -1 -1 -1 Làm tương tự (II) có nghiệm ( ; ; );( ; ; ) 3 3 3 1 HÖ (III) cã nghiÖm (0;0;1); ( ; ; ) 3 HÖ (IV) cã nghiÖm (0;1;0); (1;0;0) Vậy hệ đã cho có nghiệm kể trên x + y2 + z = VD2: Giải hệ phương trình: x + y + z = x + y + z2 = Lop12.net (10) Gi¶i: HÖ x + y2 + z = (y - z)(y + z - 1) = (x - z)(x + z - 1) = x + y2 + z = (I) y=z x=z x + y2 + z = y = z x + z - = x + y2 + z = (III) z + y - = x = z x + y2 + z = z + y - = x + z - = (II) (IV) 1 1 Giải các hệ phương pháp nghiệm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0); (0;0;1); ; ; 2 2 VD4: Gi¶i hÖ: x2 y y z 1 z2 x 1 Giải: Xét hai trường hợp sau: TH1: Trong sè Ýt nhÊt cã nghiÖm sè b»ng nhau: x2 x Gi¶ sö x=y cã hÖ y z 1 z2 x 1 1 1 1 1 1 1 Từ đó có nghiệm hệ (x;y;z) là : ; ; ; ; ; 2 2 2 Tương tự y=z, z=x ta nghiệm trên TH2 : số x, y, z đôi khác Gi¶ sö x>y>z ,xÐt hµm sè f(t) = t2 trªn D = 1; a) z , x>y>z f(x)>f(y)>f(z)y+1>z+1>x+1y>x>z(v« lý) b) z<y<x f(x)<f(y)<f(z)y+1<z+1<x+1y<z<x(v« lý) c) x>0>z>-1 f(-1)>f(z) 1>x+1x<0 (v« lý) VËy ®iÒu gi¶ sö lµ sai TH2 v« nghiÖm VD5: 2 x x y y 2 y y z z 2 z z x x (Vô địch Đức) Gi¶i: TH1: Trong x, y, z Ýt nhÊt cã nghiÖm sè b»ng Gi¶ sö x = y ta cã hÖ x3 x x (1) x z x z (2) z x z x (3) Tõ (1) x = 0, x = -1 x = Thay vµo (2), (3) z=0 Lop12.net 10 (11) x = -1 Thay vµo (2), (3) v« lý VËy hÖ cã nghiÖm (0,0,0) NÕu y = z hay x = z còng chØ cã nghiÖm (0,0,0) TH2: số đôi khác Tõ 2x + x2y = y thÊy nÕu x2 = ± = (v« lý) 2x VËy x2 ≠ 2x + x2y = y y x2 2x y x2 2y Hai phương trình còn lại tương tự ta có hệ phương trình tương đương với: z 1 y 2z x 1 z2 Gi¶ sö x > y > z (*) XÐt hµm sè: 2t f(t) = xác định trên D = R\ {1} 1 t2 2(t 1) víi mäi tD f’(t) = (1 t ) hàm số đồng biến trên D f(x) > f(y) > f(z) y > z > x m©u thuÉn víi (*) VËy ®iÒu gi¶ sö sai Do vai trß x, y, z nh VËy TH2 - hÖ v« nghiÖm Vậy hệ đã cho có nghiệm là (0; 0; 0) C Bµi tËp x y3 y y y z z z z x3 x x 2 3(3 x 4) x y x Hướng dẫn: Đặt z y y 3x §a vÒ gi¶i hÖ z y x 3z xyz x y z yzt y z t ztx z t x txy t x y x 3z y x 27 x 27 z y 27 y 27 x z 27 z 27 Lop12.net x2 y 1 x y z 1 y 2z2 x 1 z 11 (12) III Hệ phương trình đẳng cấp: F x, y A Dạng: , đó F kx, ky k n F x, y ; G kx, ky k m G x, y G x, y B Cách giải: Đặt y = tx (x ≠ 0) x = ty (y ≠ 0) Ví dụ: x xy y * Giả hệ phương trình: 2 x xy y GIẢI + Với x = 0: Hệ phương trình đã cho vô nghiệm x 2t 3t 1 + Với x ≠ 0: Đặt y = tx Hệ phương trình tương đương với Lấy (1)(2) ta được: 2 x 4t 5t 15t213t+2=0 t ; t Với t : ta có y x , thay vào (*) ta nghiệm (3;2), (3;2) 5 2 2 1 Với t : ta có y x , thay vào (*) ta nghiệm ; ; , 5 2 Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 2 2 3 x xy y 11 6 x xy y 56 2 x x y 1) 2) 3) 2 x xy y 25 5 x xy y 49 y xy IV Một số hệ phương trình khác: Tổng hợp các kiến thức kết hợp với việc suy luận hợp lý để giải xy x y x y ( x, y ) x y y x x y HD: Biến đổi phương trình xy x y x y (x + y)(x 2y 1) = ĐS: x = 5; y = x x y x y x ( x, y ) x xy x ( x xy ) x 17 HD: Biến đổi hệ phương trình thành: ĐS: x = 4; y = x x2 xy x y x y xy xy x y xy 1 x 5 2 x y xy x y xy u x y HD: Biến đổi hệ phương trình thành: Đặt: v xy x y xy 5 x x ĐS: 3 y 25 y 16 2 Lop12.net 12 (13) 1 x x y y 1 2 y x3 1 1 1 1 ĐS: 1;1 , ; ; , 2 2 HD: (1) x y 1 xy log y x log y x y 25 HD: Tìm cách khử logarit để được: x HD: 3y ĐS: 3; y x y x x y x y y x y x y x 1 y x 3 1 ĐS: 1;1 , ; 2 2 y2 y x2 3 x x y2 HD: Đối xứng loại ĐS: 1;1 x y 3log x log y HD: Tìm cách khử logarit để được: x y ĐS: 1;1 , 2; x y xy x y HD: Đặt t xy , bình phương hai vế phương trình thứ hai tìm t=3 ĐS: 3;3 1 x x y y 10 Tìm m để hệ phương trình này có nghiệm thực x y 15m 10 x3 y3 HD: Đặt u x 1 , v y , điều kiện u 2, v x y ĐS: m 2, m 22 Het Lop12.net 13 (14)